Anais do IX Seminário de Iniciação Científica, VI Jornada de Pesquisa e Pós-Graduação
e Semana Nacional de Ciência e Tecnologia
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
19 a 21 de outubro de 2011
SISTEMAS LINEARES E APLICAÇÕES
Wilker Mac Arantes Fernandes (UEG – UnU Iporá)
[email protected]
Rodrigo Miyasaki (UEG – UnU Iporá)
[email protected]
Introdução
O campo de aplicação dos Sistemas de Equações Lineares é vasto, para tanto se
faz necessária a investigação deste conteúdo. Partindo desse pressuposto faz-se
necessário o estudo completo dos Sistemas de equações Lineares começando por sua
história; posteriormente é imprescindível analisar as suas definições e teoremas para
entender a forma matemática dos Sistemas Lineares e por último observar as aplicações
relacionadas ao assunto, pois dessa forma o leitor observará a grandeza do conteúdo.
Este tema foi escolhido para a obtenção de conhecimento mais aprofundado
sobre o assunto e, também, para analisar aplicações que rotineiramente o ser humano
está realizando, ou seja, o mesmo realiza atividades, mas não sabe que boa parte destas
está inserida no campo da matemática, especificamente dos Sistemas Lineares. Dessa
forma, ficará claramente evidenciado a história, conceitos e definições, e aplicações
sobre os Sistemas Lineares, possibilitando, assim a soma de conhecimento.
Objetivos
O trabalho tem o objetivo de conhecer a história dos Sistemas Lineares
identificando seus principais teóricos; analisar teoremas, definições e algoritmos sobre
os Sistemas de Equações Lineares e mostrar aplicações.
Logo fica evidenciada a questão central da pesquisa que é, conhecer algumas
aplicações dos Sistemas Lineares que estão inseridas no dia a dia do ser humano através
do estudo minucioso de sua história e, também, dos conceitos e definições.
Metodologia
A metodologia está fundamentada na análise de livros e artigos relacionados ao
tema, ou seja, a pesquisa tem enfoque bibliográfico. Através desta modalidade obtém-se
um estudo mais aprofundado, tomando por base citações de autores de livros e artigos
relacionados ao assunto enriquecendo, assim, o trabalho, na qual, servirá como
direcionamento para as aplicações.
A análise dos dados foi feita através de citações retiradas de livros e artigos da
internet na qual embasaram o estudo e possibilitou, ainda, o enriquecimento do trabalho.
Através deste procedimento pode-se dizer ainda que no campo das aplicações estão
contidas informações precisas sobre situações do cotidiano o que mostra a grandeza
deste conteúdo.
Resultados e discussão
Para conhecer os Sistemas de Equações Lineares é primordialmente importante
conhecer sua história, pois é através dela que se pode obter a noção dos seus conceitos e
definições.
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Os Sistemas Lineares foram representados pela primeira vez há muitos anos
atrás, pois no terceiro século a.C. os chineses já dominavam a técnica de eliminação de
coeficientes.
O método de eliminação de Gauss era conhecido pelos chineses no
terceiro século a.C., mas carrega o nome de Gauss por causa de sua
redescoberta em um artigo no qual ele resolveu um sistema de
equações lineares para descrever a órbita de um asteróide. (POOLE,
2004, p. 70).
Logo fica evidenciado a razão da técnica de eliminação de coeficientes receber
o nome de eliminação de Gauss e também da quantidade de tempo em que foi utilizada
pela primeira vez pelos chineses.
Um fato muito relevante na história dos Sistemas de Equações Lineares foi a
descoberta de uma situação problema datada de 250 a.C. que utilizava conceitos de
sistemas lineares para a resolução de uma problemática. A construção desta situação
problema em 250 a. C. consta num livro chinês, chamado: “Chiu-Chang Suan-Chu
(Nove Capítulos sobre Aritmética)”. O problema consistia numa situação cotidiana,
descrevendo fatos como colheita e venda de produtos:
Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita
medíocre, e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39
dou. Dois fardos de boa, três da medíocre, e um da ruim foram
vendidos a 34 dou; e uma boa, dois da medíocre, e três da ruim foram
vendidos a 26. Qual o peço recebido pela venda de cada fardo
associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim?
Na época, os chineses formularam este problema empregando pedaços
de bambus de diferentes cores para representar os coeficientes das
equações, dispostos de forma organizada em um quadro onde as
colunas representavam a qualidade de cada colheita e o total vendido
de todas as colheitas. A solução do problema era então obtida por uma
sequência ordenada de manipulações nas linhas que compunham o
quadro. [...] Para o problema originalmente formulado pelos chineses,
tem-se na forma atual a seguinte representação:
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
(PEREIRA; HAFFNER, p. 1, grifo do autor).
Portanto fica mais evidenciada a importância que os Sistemas Lineares
exerceram naquela época. Mesmo não dominando conceitos da matemática, mas por
necessidade construíram esse método para facilitar na organização da colheita. Sendo de
forma fácil e organizada, porém bruta, eles utilizavam varas de bambu de diferentes
cores para representar os coeficientes das equações e resolviam o problema obtendo
uma sequência ordenada de manipulação nas linhas que compunham um quadro.
Vários teóricos contribuíram para o desenvolvimento dos Sistemas Lineares,
dentre eles estão Leibiniz, Gauss, Al-Khowarizmi, Cayley, Sylvester, entre outros tantos
que acrescentaram as notações e desenvolveram ainda mais a Álgebra, especificamente
os Sistemas de Equações Lineares.
Os conceitos e definições dos Sistemas Lineares na sua forma atual são
bastante avançados, mas a sua definição é simples, Edwards e Penney (1998, p. 2)
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definem da seguinte maneira: “é simplesmente uma coleção finita de equações lineares
que envolvem certas variáveis”. Ainda de acordo com Edwards e Penney (1998, p. 2):
“[...] se a, b e c são constantes, com a e b não simultaneamente nulos, então o gráfico da
equação
ax + by = c
é uma reta do plano xy”.
Então todas as definições, teoremas e algoritmos são precedidos por estas
definições iniciais e que constantemente revolucionam a tecnologia, a biologia, as
engenharias, enfim as ciências em geral podem apresentar formas para aplicações de
Sistemas Lineares.
Considerações finais
Após a verificação do que o trabalho está abordando, faz-se necessária a
averiguação de suas aplicações. O ser humano constantemente utiliza materiais ou
resoluções para encontrar uma forma ideal para aquilo que está procurando e os
Sistemas Lineares é a forma perfeita para a obtenção de resultados concretos.
Um fato importante é a grandeza de aplicações que os Sistemas Lineares
oferecem, e conhecê-las num todo será muito difícil, mas se conhecer uma boa parte
delas pode-se obter várias respostas de indagações feitas por nós, como do tipo: quantos
carros percorrem numa rua em determinado tempo? Quantas bactérias de cada espécie
podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo alimento? Quais valores
são os valores exatos necessários para a construção de uma viga metálica? Entre outras
indagações que estão inseridas no contexto das aplicações de Sistemas Lineares.
Portanto, este tema contribuirá profundamente para o leitor dando clareza nas
definições e provas de teoremas, mas principalmente para a averiguação das aplicações.
Seja na Física, Química, Engenharias, Biologia, Economia e outros campos de
aplicação, os Sistemas Lineares levam ao avanço de todas e ainda possibilita cálculos
exatos para as respectivas variáveis, não importando qual seja a área de aplicação.
Referências
EDWARDS, C.H., Jr.; PENNEY, David E. Introdução à Álgebra Linear. 1.ed. Rio de
Janeiro-RJ: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1998. 406 p.
PEREIRA, Luís Fernando Alves; HAFFNER, José Felipe. Sistemas de Equações
Lineares. 1ed. Rio Grande do Sul. 11p. Disponível em:
<http://www.feng.pucrs.br/~gacs/new/disciplinas/asl/apostilas/Aula01.pdf> Acesso em:
02 jun. 2011.
POOLE, David. Álgebra Linear. 1.ed. São Paulo – SP: Pioneira Thomsom Learning,
2004. 690 p.
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