ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O CONTEÚDO DE
GEOMETRIA EM LIVROS DIDÁTICOS DO PONTO DE VISTA DAS
REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
Tamires Vieira Calado
Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR/FECILCAM
[email protected]
Mariana Moran Barroso (OR)
Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR/FECILCAM
[email protected]
Resumo:
O presente trabalho preocupa-se com o estudo da Teoria das Representações Semióticas, mais
especificamente, sobre os registros de representação semiótica em Geometria. Como primeira etapa
da pesquisa, foi feito um estudo aprofundado sobre esta teoria de Raymond Duval, filósofo e
psicólogo francês que estuda o papel dos registros de representação semiótica na aprendizagem
matemática. Em seguida, pesquisou-se aplicações de representação semiótica à Geometria. Foi
feito, também, um levantamento de conteúdos de Geometria estudados na Educação Básica. Para
tal levantamento foi necessário recorrer aos documentos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais 1997) e DCE (Diretrizes Curriculares Estaduais - 2008). Logo após, realizou-se uma pesquisa em
livros didáticos acerca dos diferentes tipos de representações para alguns conteúdos específicos de
Geometria, tais como: segmentos de reta, polígonos, circunferências e poliedros.
Palavras-chave: Registros de Representação Semiótica. Geometrias. Livros didáticos.
Introdução
No presente trabalho estudou-se as representações de objetos geométricos com base
na Teoria das Representações Semióticas de Raymond Duval para o ensino de Geometria.
Desta forma, foram estudados os registros e as conversões de representações de objetos
geométricos.
A necessidade de trabalhar a representação e a conversão de registros semióticos
para o conteúdo de Geometria, nasce, principalmente, do fato da não existência física de
seus objetos e da dificuldade de compreensão deste conteúdo estruturante.
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Pesquisar os diversos registros de representação e as conversões entre eles tem sua
importância “Porque passar de um registro de representação a outro não é somente mudar
de modo de tratamento, é também explicar as propriedades ou os aspectos diferentes de um
mesmo objeto” (DUVAL, 2003, p. 22).
Outro fato importante que valida a necessidade do estudo de representações em
Geometria é que, pesquisas de Duval (2012) demonstram que quando há variações de
representação, o aluno não mais confunde a representação do objeto ao objeto
propriamente dito. Acredita-se que isso se deva ao fato do aluno estar apreendendo o
conceito do objeto por meio de suas várias representações, e deste modo ele não fica
atrelado a uma única representação ou ideia.
“A compreensão em matemática implica a capacidade de mudar de registro”
(DUVAL, 2003, p. 21).
Desta forma, realizou-se um estudo sobre alguns conteúdos indicados nos PCN
(Parâmetros Curriculares Nacionais - 1997) e nas DCE (Diretrizes Curriculares Estaduais 2008) para o conteúdo estruturante Geometrias e buscou-se analisar a utilização de
diferentes registros de representação semiótica para o ensino de alguns desses conteúdos
em diferentes livros didáticos.
Os registros de representação semiótica em Geometria
“Geralmente consideram-se as representações semióticas como um suporte para as
representações mentais: as representações semióticas teriam a função de comunicar as
representações mentais” (DAMM, 1999, p. 143). Porém, as representações semióticas vão
muito além disto. Elas não são somente suporte para representações mentais. Suas
diferentes representações produzem conhecimentos relativos à construção de conceitos e
significados de objetos matemáticos.
Desta forma, quando nos referimos às Geometrias, estamos trabalhando com
objetos matemáticos que podem ser mencionados por meio de suas representações
semióticas. Brandt (2005) ressalta que devemos ter cuidado para que os sujeitos, em fase
de aprendizagem, não confundam os objetos matemáticos com suas representações. E é daí
que parte a seguinte indagação proposta por Duval (2003, p. 21): “Como podemos não
confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse objeto a não ser por
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meio de sua representação?” Deste fato nasce a necessidade de se trabalhar com diferentes
representações para um mesmo conceito.
As representações semióticas auxiliam no estudo e compreensão de objetos
geométricos, de acordo com Almouloud (2007), baseado nas ideias de Duval, a
compreensão ou descoberta do objeto matemático é obtida quando o sujeito é capaz de
coordenar vários registros de representação. Sendo assim, esta pode ser uma eficiente
metodologia a ser empregada em sala de aula na aprendizagem de um conceito geométrico.
Para Duval (2003), o fato de o aluno ter acesso a apenas um registro de
representação pode limitar sua capacidade de reconhecimento dessas diferentes
representações. “Existe um „enclausuramento‟ de registro que impede o aluno de
reconhecer o mesmo objeto matemático em duas de suas representações bem diferentes”
(DUVAL, 2003, p. 21).
Deste modo, transitar entre os vários registros de representação, trabalhando com
conversões, auxilia no entendimento do que se pretende ensinar.
Um estudo da organização didática do conteúdo estruturante Geometria
A Matemática tem se tornado cada vez mais importante em várias áreas do
conhecimento, inclusive na formação pessoal do indivíduo como cidadão. Auxilia no
raciocínio lógico e em muitas tarefas do cotidiano e é assim que a Matemática deve ser
vista pelo aluno em sua vida profissional.
O aluno sozinho deve ser capaz de estabelecer relações no processo do seu
conhecimento. Entretanto, as dificuldades diante da Matemática exercem um papel de
insegurança nesse procedimento. A incerteza na tomada de decisão esperando sempre pelo
professor impede o tentar por não confiar em sua própria forma de pensar (PCN, 1997).
Inúmeras habilidades como a visualização e aplicações na busca de soluções para
os problemas, a compreensão e ampliação da percepção do espaço, as relações entre as
representações planas nos desenhos podem ser buscadas na geometria.
As ideias geométricas conhecidas há muitos anos e usadas até hoje, influenciaram
muito no desenvolvimento humano. No decorrer da história, estudos envolvendo
construções geométricas foram desenvolvidos por importantes pesquisadores e
matemáticos.
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Como nos indica as DCE (2008), no Ensino Fundamental e Médio, o conteúdo
estruturante Geometria tem as seguintes divisões:
- geometria plana;
- geometria espacial;
- geometria analítica;
- noções básicas de geometrias não-euclidianas.
É aconselhável, pelas DCE (2008), que os conhecimentos geométricos não sejam
rigidamente separados da álgebra e da aritmética. É interessante interligá-los.
Conforme encontramos nos PCN (1997), com o estudo de conceitos geométricos no
Ensino Fundamental, o aluno desenvolve o pensamento se tornando capaz de compreender,
descrever e representar de forma organizada o mundo em que vive. O trabalho com figuras
geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas levando o aluno a
identificar diferenças e semelhanças, além disso, pode ser feita a exploração de objetos
físicos do cotidiano do aluno, o que permitirá realizar conexões entre a Matemática e
outras áreas do conhecimento.
Segundo as DCE (2008) para o Ensino Fundamental, a Geometria tem como base o
estudo do espaço. Neste nível de ensino, o aluno deve compreender os conceitos das
geometrias plana, espacial, analítica e não-euclidianas.
Ainda segundo as DCE (2008), no Ensino Médio deve-se garantir ao aluno um
aprofundamento dos conceitos da geometria plana e espacial. Neste nível do
conhecimento, os alunos analisam a geometria euclidiana por meio de expressões
algébricas, ou seja, com a geometria analítica plana. Com isso, é fundamental o estudo das
distâncias entre pontos, retas e circunferências; equações da reta, do plano e da
circunferência; cálculos de área de figuras geométricas no plano e estudo de posições.
Assim, é necessário conhecer as demonstrações de fórmulas e teoremas, a fim de favorecer
a compreensão do conceito.
No Ensino Médio, as formas geométricas planas, tridimensionais e suas
representações são tratadas interligadas com o mundo concreto.
“Neste sentido o aluno deve reconhecer representações equivalentes de um mesmo
conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações” (PCN,
1997, p. 42).
Enfim, é de fundamental importância que os assuntos e as abordagens sugeridas
pelos PCN (1997) e pelas DCE (2008) sejam explorados em sala de aula de modo a tornar
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o aluno competente intelectualmente para aprender novos conceitos e resolver situações
problemas com as quais este irá se deparar.
Um estudo acerca de alguns conteúdos de Geometria
Neste trabalho estudou-se especificamente alguns conteúdos tratados na geometria
plana e espacial. São eles: segmentos de reta, polígonos, circunferências e poliedros.
Iniciou-se, então, uma pesquisa de tais conteúdos em diferentes livros didáticos e
buscou-se a semelhança dos objetivos destes com os documentos PCN (1997) e DCE
(2008) e também o uso das variadas representações para a Geometria. Para tanto, os livros
didáticos serão nomeados com a sigla LD seguido de um número para identificação
buscando preservar a identidade dos autores. Os quatro conteúdos em questão foram
analisados nos mesmos livros didáticos.
Segmentos de reta
Será dado início a este estudo com o conteúdo de segmentos de reta, sendo este,
parte do conteúdo estruturante Geometrias. Como já mencionado, segundo as DCE (2008),
no Ensino Fundamental o aluno deve compreender o conceito de reta, bem como
paralelismo e perpendicularismo entre retas. Ainda segundo o documento analisado, no
Ensino Médio o aluno deverá compreender o estudo de equações da reta incluído na
geometria analítica.
O livro didático estudado LD1, datado de 2005 e indicado para a 4ª série do Ensino
Fundamental, contém o estudo de segmentos de reta, onde são apresentadas definições de
semi-reta, retas paralelas e perpendiculares. Em alguns exercícios é solicitado que o aluno
realize conversões da expressão algébrica e língua natural para a representação figural.
Observemos a Figura 1 onde é solicitado que o aluno faça a conversão da linguagem
algébrica para a figural:
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Figura 1: Representação algébrica e representação figural de segmentos de reta
Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Vivência e Construção. São Paulo: Ática, 2005.
Nos livros didáticos LD2 de 2004 proposto para a 5ª série do Ensino Fundamental,
LD3 com data em 2002 e sugerido para a 6ª série do Ensino Fundamental, LD4 com data
em 2009 e indicado para a 7ª série do Ensino Fundamental e LD6 de 2005, sugerido para a
1ª série do Ensino Médio não foram encontrados estudos de segmentos de reta.
No livro LD5, também datado em 2009 e proposto para a 8ª série do Ensino
Fundamental, o autor inicia uma seção tratando das relações entre retas, como retas
transversais, paralelas e concorrentes mas não estabelece um conceito de segmento de reta.
Nos exercícios é solicitado aos alunos que realize conversões entre a linguagem figural e
materna, como por exemplo, sugerindo que os mesmos tracem retas e segmentos de reta
com medidas e posições pré-determinadas.
No livro didático LD7 de 2009, destinado para a 2ª série do Ensino Médio,
podemos encontrar uma seção destinada para o estudo de posições relativas entre duas
retas, onde são apresentados exemplos na língua natural, expressão algébrica e figural.
O livro didático LD8, com data em 2004 e sugerido para a 3ª série do Ensino
Médio, por sua vez, apresenta um estudo dedicado a equação da reta, onde são
apresentados definições e exemplos. O conteúdo é tratado na representação algébrica,
figural e na língua natural, onde também é solicitado que o aluno realize tais conversões,
como por exemplo, sugerindo que o aluno a partir de uma equação de reta desenvolva sua
representação no plano cartesiano.
O livro didático estudado LD9, datado em 2003 e de volume único, por sua vez,
apresenta conteúdos relacionados com o estudo de polígonos para o Ensino Médio,
apresenta um estudo sobre segmentos de reta, posições relativas entre retas e suas
equações. São apresentados exemplos na expressão algébrica, figural e na língua natural,
ainda é solicitado nos exercícios que o aluno realize conversões entre esses registros,
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donde por exemplo, é apresentado pontos de um segmento de reta e solicitado que o aluno
represente a reta no plano cartesiano e escreva a sua equação.
No quadro abaixo, podemos observar uma análise quantitativa de algumas
características dos nove livros didáticos estudados referente ao estudo de Segmentos de
reta:
Livros didáticos que contemplam o estudo de segmento de reta
5
Apresentam ao menos dois tipos de Representação Semióticas
5
Solicita que o aluno realize ao menos uma conversão de registros
4
O estudo de segmentos de reta está presente na maioria dos livros didáticos com
diferentes representações como sugeridos nos documentos analisados anteriormente,
embora na maioria deles, o conceito de reta se sobressai sobre o conceito de segmento de
reta. Em alguns dos exercícios é proposto ao aluno que represente segmentos de reta no
plano cartesiano ou ainda, que a partir desses segmentos desenvolva sua equação
correspondente, sugerindo assim que o aluno realize uma conversão de registros.
Polígonos
Faremos também um estudo com o conteúdo de polígonos, sendo este, componente
da geometria plana fazendo parte do conteúdo estruturante de Geometrias segundo os
documentos PCN (1997) e DCE (2008).
Como mencionado anteriormente, segundo as DCE (2008), já no Ensino
Fundamental, o aluno deve compreender as estruturas e dimensões das figuras geométricas
planas e seus elementos fundamentais. Ainda segundo o PCN (1997), no Ensino Médio o
aluno deve analisar e interpretar diferentes representações de figuras planas (polígonos) e
utilizar essas formas para representar o mundo real por meio de escalas.
No livro didático LD1, o conteúdo de polígonos é apresentado logo após outros
conceitos geométricos. Primeiramente é apresentada uma definição de polígono, tratando
também de sua classificação, sempre seguido de exemplos e exercícios. Na referência
estudada encontramos o conteúdo em questão representado por meio da representação
figural e da língua natural e também é solicitado nos exercícios que o aluno realize essa
conversão de registro.
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A Figura 2 traz um dos exercícios propostos onde é requerido que o aluno, diante
da representação figural, descreva a classificação de alguns polígonos utilizando de sua
língua materna:
Figura 2: Representação figural e representação na língua materna de polígonos
Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Vivência e Construção. São Paulo: Ática, 2005.
O livro LD2, apresenta um capítulo dedicado às construções geométricas. São
apresentados exemplos de ampliação e redução de figuras geométricas planas por meio da
representação figural, onde podemos encontrar alguns polígonos, mas estes não são
classificados. Ainda são propostos exercícios com o auxílio de régua e compasso na forma
de Expressão Gráfica.
No livro didático LD3, encontramos a construção de ideias geométricas
apresentando relações com a natureza. O estudo de polígonos é apresentado na linguagem
natural por meio de suas nomenclaturas e a representação figural. Nos exercícios propostos
é sugerido ao aluno que represente diferentes polígonos em seus registros figurais.
O livro didático LD4 não contempla conteúdos relacionados aos polígonos, desta
forma podemos perceber que o estudo da geometria nesta obra não está adequado quanto
alguns conteúdos sugeridos pelos documentos analisados.
No livro didático LD5 o conteúdo de polígonos é tratado em um capítulo específico
onde se inicia com exemplos de figuras geométricas encontradas na natureza fazendo
relação com as figuras que serão estudadas. Em seguida, é apresentada uma definição de
polígonos e alguns de seus elementos. Essas características são apresentadas utilizando a
língua natural por meio de suas nomenclaturas e ainda proporciona sua representação
figural, como podemos observar na Figura 3:
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Figura 3: Representação figural e representação na língua materna de polígonos
Fonte: JR. José Ruy Giovanni; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da Matemática. São Paulo: FTD,
2009.
Para o Ensino Médio estudamos livros didáticos que são separados por séries e
também um livro de volume único, onde todos os conteúdos para o Ensino Médio são
encontrados em um único exemplar.
Os livros didáticos LD6, LD7 e LD8 não apresentam conteúdos relacionados com o
estudo de polígonos.
O livro didático LD9 apresenta uma seção denominada Polígono Regular, onde são
tratados alguns elementos de polígonos com sua representação figural e língua natural. São
utilizadas fórmulas, exemplos e exercícios propostos, embora estes não solicitem que o
aluno realize a conversão de registros.
No quadro a seguir, podemos observar uma análise quantitativa de algumas
características dos nove livros didáticos analisados referente ao estudo de Polígonos:
Livros didáticos que contemplam o estudo de Polígonos
5
Apresentam ao menos dois tipos de Representação Semióticas
4
Solicita que o aluno realize ao menos uma conversão de registros
2
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Pode-se facilmente notar que nem todos os livros didáticos apresentam os
conteúdos específicos de polígonos descritos como necessários nos PCN (1997) e DCE
(2008) ou então não estão relacionados com as séries indicadas, o que influencia
diretamente no ensino do aluno. Nota-se também, que a maioria deles apresentam dois
diferentes registros de representação para a Geometria (língua natural e registro figural),
mas nem sempre é solicitado que o aluno realize a conversão entre esses registros. Mesmo
quando solicitado, alguns se apresentam em forma de problemas fechados1 e exigem um
resposta direta do aluno independente de um raciocínio mais elaborado.
Circunferência
Agora faremos um estudo nos livros didáticos sobre o conteúdo de circunferências
de maneira a compará-los com as especificações descritas nos PCN (1997) e DCE (2008)
analisadas anteriormente.
Vale relembrar que segundo os PCN (1997) as séries finais do Ensino Fundamental
deve envolver o estudo de circunferências. E segundo as DCE (2008), no Ensino Médio o
aluno deve compreender o estudo de posições relativas e a análise de equação em uma
circunferência.
O livro didático LD1 contém um breve estudo sobre circunferências, apresentando
algumas definições, como raio e diâmetro por meio da representação figural. É solicitado
ainda, que o aluno realize conversões da linguagem natural para a representação figural,
onde é sugerido que o aluno trace circunferências de diferentes raios.
Os livros didáticos LD2, LD3, LD4 e LD6 não apresentam conteúdos relacionados
ao estudo de circunferências.
No livro LD5 o conteúdo de circunferências é tratado com definições e exemplos,
são apresentadas definições como raio e diâmetro por meio de sua representação figural.
Também é tratado o conteúdo de posições relativas, sempre destacando definições e
propondo exercícios para fixação do conteúdo tratado. No entanto, esses exercícios não
sugerem que o aluno realize conversões entre registros. O livro didático em questão
1
Nos referimos a problemas fechados os exercícios apresentados com frases curtas, onde são dispostos todos
os dados necessários para o desenvolvimento de sua única solução.
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apresenta os conteúdos analisados por meio de sua representação figural e da língua
natural.
O livro analisado LD7 é introduzido com o estudo da geometria plana. O autor
define circunferência e círculo e trata de algumas de suas propriedades. Apresenta também,
exercícios para que o aluno possa fixar os conteúdos, embora estes não solicite que o aluno
realize conversão de registros.
No livro didático LD8 podemos encontrar um breve estudo sobre circunferências,
do ponto de vista da geometria analítica, onde são apresentadas na linguagem natural,
figural e algébrica, proporcionando estas diferentes representações para o mesmo objeto –
circunferência.
O livro didático LD9, por sua vez, apresenta um estudo detalhado sobre o conteúdo
de circunferências requerido para o Ensino Médio. Para introduzir o estudo é feito um
apontamento histórico com curiosidades relacionadas a circunferências. São apresentadas
definições com vários exemplos e exercícios propostos. Em alguns exercícios é sugerido
que o aluno realize conversões da língua natural e expressão algébrica para a representação
figural, donde por exemplo, este a partir da representação gráfica de uma circunferência
estabeleça sua representação algébrica.
No quadro a seguir, podemos novamente observar uma análise quantitativa de
algumas características dos nove livros didáticos analisados, agora referente ao estudo de
Circunferências:
Livros didáticos que contemplam o estudo de Circunferência
5
Apresentam ao menos dois tipos de Representação Semióticas
4
Solicita que o aluno realize ao menos uma conversão de registros
3
Podemos notar que o conteúdo de circunferências é tratado nas séries finais do
ensino médio para a maioria dos livros didáticos e neste nível de ensino este conteúdo é
estudado com maiores detalhes, onde são retomados conceitos de séries anteriores e
apresentado novos conceitos sempre buscando relação entre eles. Em alguns livros ainda é
solicitado que o aluno realize conversões entre registros. Essas conversões, em sua
maioria, sugerem que o aluno represente circunferências de diferentes raios em suas
representações figurais.
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Poliedros
Como já foi mencionado, o estudo de Poliedros deve estar presente no currículo
educacional sendo parte do conteúdo estruturante Geometrias. Segundo as DCE (2008) e
os PCN (1997), no Ensino Fundamental o aluno deve desenvolver suas habilidades
espaciais e ser capaz de reconhecer corpos redondos e poliedros. No Ensino Médio, o
estudo da geometria espacial deve ser mais aprofundado, devem ser estudadas suas
classificações, representações e propriedades. Por fim, então, faremos uma análise nos
livros didáticos em questão sobre o conteúdo de poliedros.
Os livros didáticos LD1, LD4, LD5, LD6 e LD8 não apresentam o estudo de
poliedros.
O livro didático LD2 apresenta um capítulo destinado ao estudo de figuras
geométricas espaciais, onde são apresentados prismas e pirâmides com algumas de suas
propriedades. Essas figuras espaciais são estudadas em suas representações figurais e na
língua natural, embora nos exercícios não seja solicitado que o aluno realize essa
conversão.
No livro didático analisado LD3, é feito o estudo de algumas propriedades das
figuras geométricas espaciais embora, essas não sejam nomeadas como poliedros.
O livro didático LD8 apresenta uma seção para o estudo de poliedros, onde é feito
primeiramente um apontamento histórico trazendo relações dessas figuras geométricas
com o mundo real. São apresentados vários poliedros bem como suas características, esses
estudo é feito por meio da representação figural e da língua natural, embora nos exercícios
não seja solicitado que o aluno realize conversões de registros.
No livro didático LD9 o estudo de poliedros é feito de maneira a iniciar o conteúdo
de figuras geométricas espaciais. São apresentadas classificações e propriedades dessas
figuras, bem como suas representações figurais e língua natural, mas não é sugerido nos
exercícios que o aluno realize essa conversão de registro. Na figura abaixo podemos
observar algumas representações proporcionadas pelo livro didático:
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Figura 4: Planificação de poliedros
Fonte: BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemática. Moderna: São Paulo, 2003.
No quadro abaixo, podemos observar uma análise quantitativa de algumas
características dos nove livros didáticos estudados referentes a Poliedros:
Livros que contemplam o estudo de Poliedros
4
Apresentam ao menos dois tipos de Representação Semióticas
4
Solicita que o aluno realize ao menos uma conversão de registros
0
A maioria dos livros didáticos analisados não comtempla o estudo do conteúdo de
Poliedros do modo que é proposto nos documentos analisados anteriormente. E mesmo nos
livros onde foram encontrados esse estudo, o conteúdo apresenta deficiências do ponto de
vista das diferentes representações de registros semióticas, pois embora seja proporcionado
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ao aluno a representação figural desses poliedros logo após sua representação na
linguagem natural, não é solicitado que o aluno realize essa conversão de registro.
Considerações Finais
Por meio da pesquisa apresentada, podemos perceber a importância de se trabalhar
com diferentes registros de representação semiótica no processo de aprendizagem de
Geometria. As dificuldades de visualização e compreensão dos objetos geométricos podem
ser amenizadas se o aluno for capaz de reconhecer o mesmo objeto em suas variadas
formas.
Outro fator importante percebido, se refere à necessidade da retomada de
determinados conceitos básicos de Geometria em anos posteriores, visto que o aluno
poderá fazer uma associação das representações vistas anteriormente à representação pela
qual irá iniciar seus estudos.
Com este estudo podemos notar que a geometria plana e espacial é representada por
meio de sua representação figural e da língua natural, já conteúdos da geometria analítica,
como segmento de reta, são ainda estudados em sua representação algébrica, embora o
estudo utilizando diferentes registros de representação e suas conversões seja ainda
deficiente em alguns livros didáticos analisados.
Em alguns dos exercícios propostos aos alunos é sugerido que este realize
conversões entre registros semióticos. Embora estes exercícios não apresentem um caráter
diferenciado e sejam todos caracterizados como problemas fechados, ainda assim
proporcionam ao aluno que parta de um registro de representação e desenvolva outro
registro.
Com base no fato de que o professor não deve ficar totalmente e somente atrelado
ao livro didático durante suas aulas, consideramos que o professor, ao ter conhecimento da
importância das várias representações para um mesmo objeto, poderá, ainda assim,
proporcionar tal experiência ao aluno em sala de aula se desvencilhando sutilmente da
dicotomia livro – quadro.
Referências
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