Perpendicularismo I
MA13 - Unidade 17
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Reta perpendicular a um plano
Dizemos que a reta r é perpendicular ao plano α quando ela é
ortogonal a todas as retas de α. Isto significa que ela é
perpendicular a todas as retas de α que passam pelo seu ponto de
interseção com o plano.
r
α
Perpendicularismo I
b
slide 2/9
Lema
Se os pontos B e C equidistam dos pontos M e N então qualquer
ponto da reta BC equidista de M e N.
M
b
C
b
b
P
b
B
b
N
b
Perpendicularismo I
slide 3/9
Teorema
Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano ela
é perpendicular ao plano (ou seja, ela faz ângulo reto com qualquer
reta do plano).
Resumo da demonstração:
r
M
b
α
b
b
b
A
b
B
N
P
C
t
x
s
b
As retas s e t do plano α são concorrentes
em A.
A reta r passa por A e é perpendicular a
s e a t.
Sejam M e N pontos de r simétricos em
relação a A.
Seja x uma reta de α que passe por A.
Vamos provar que r é perpendicular a x.
Seja P um ponto de x. Trace sobre α uma reta passando por P,
cortando s e t nos pontos B e C .
As retas s e t são mediatrizes de MN. Logo, B e C equidistam de M e N.
Pelo Lema anterior, P equidista de M e N e portanto, a reta x é uma
mediatriz de MN. Assim, x é perpendicular à reta MN, ou seja, x é
perpendicular a r .
Perpendicularismo I
slide 4/9
Ângulo entre dois semiplanos
Sejam α e β dois semiplanos que possuem a reta t em comum.
Seja A um ponto de t.
Trace por A as semirretas AX e AY contidas em α e β,
respectivamente, ambas perpendiculares a t.
X
α
θ
Y
b
t
A
β
[ é, por definição, o ângulo entre os semiplanos
O ângulo θ = XAY
α e β.
Perpendicularismo I
slide 5/9
Ângulo entre dois planos
O ângulo entre dois planos é o menor ângulo formado por dois dos
seus semiplanos.
b
Perpendicularismo I
slide 6/9
Planos perpendiculares
Dois planos são perpendiculares quando o ângulo entre eles é reto.
Teorema
Dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contém
uma reta perpendicular ao outro.
β
s
t
b
r
Perpendicularismo I
α
slide 7/9
Plano mediador
O plano mediador do segmento AB é o plano perpendicular a AB
que contém o seu ponto médio.
A
b
α
M
b
b
B
O plano mediador do segmento AB é o lugar geométrico dos
pontos do espaço que equidistam de A e B.
Perpendicularismo I
slide 8/9
Problema
Determine a seção em um cubo pelo plano mediador de sua
diagonal.
b
Solução:
Seja AB uma diagonal do cubo e O o A
seu ponto médio. Considere os pontos
médios das 6 arestas que não possuem
extremidades A ou B. Por exemplo, na
figura ao lado, CD é uma dessas arestas
e M é seu ponto médio.
C
b
b
b
b
b
b
b
O
b
b
b
b
b
b
M
B
b
D
Todos os 6 pontos médios estão no plano mediador da diagonal AB.
Basta mostrar que o ponto M está no plano mediador de AB.
Observe que os triângulos retângulos MCA e MDB são congruentes.
Logo, MA = MB e, portanto, M está no plano mediador de AB.
A seção é o hexágono que se vê na figura.
Perguntas finais:
1. Se a aresta do cubo mede a, que tamanho tem cada lado do
hexágono?
2. Por que esse hexágono é regular?
Perpendicularismo I
slide 9/9