Conceitos Iniciais de Estatística –Módulo 5 :
PROBABILIDADE – VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Prof. Rogério Rodrigues
1
CONCEITOS INICIAIS DE ESTATÍSTICA:
►PROBABILIDADE / VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
CURSO : ADMINISTRAÇÃO
PERÍODO : 4o
===========================================================================
1) INTRODUÇÃO:
Na experiência humana há eventos que são regidos por leis da natureza e, por isso, são previsíveis; são os
experimentos determinísticos; se uma maçã desprende-se de um galho, sabe-se, de antemão, que ela
cairá. Mas há os experimentos chamados aleatórios, que mesmo executados repetidas vezes, não
apresentam sempre o mesmo resultado; exemplo disso é o lançamento de uma moeda (sairá cara ou
coroa?) ou o lançamento de um dado com seis faces (sairá 1,2,3,..., 5 ou 6?).
Quando um experimento é aleatório, o máximo que se pode fazer é calcular a possibilidade matemática de
ele acontecer. Para isso, utiliza-se a teoria da probabilidade, uma metodologia científica com alto grau de
confiabilidade, que procura avaliar matematicamente a chance de um evento aleatório ocorrer.
Cada resultado possível de um experimento aleatório é chamado genericamente de evento e o conjunto de
todos os eventos é chamado de Espaço amostral. Veja os exemplos a seguir:
a) Experimento : Lançar uma moeda e observar que face ficará voltada para cima.
Espaço amostral: S = {cara (c ), coroa (k )}
Evento A : sair cara → A = {c}
Evento B : sair coroa → B = {k}
b) Experimento : Lançar um dado com seis faces e observar que face ficará voltada para cima.
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A : sair número par → A = {2,4,6}
Evento B : sair número ímpar → B = {1,3,5}
Evento C : sair divisor de 12 → C = {1, 2, 3, 4, 6}
Exemplo ilustrativo 1:
1o) No lançamento sucessivo de duas moedas
a) qual é o espaço amostral ? Resp. : S = {(c,c),(c,k),(k,k),(k,c)}
b) quais as possibilidades para o evento A= sair resultados iguais? Resp. : A= {(c,c),(k,k)}
c) quais as possibilidades para o evento B= sair resultados disstintos? Resp. : B= {(c,k),(k,c)}
2o) No lançamento sucessivo de dois dados de seis faces
a) quantas possibilidades compõem o espaço amostral? Resp. : 36, pois cada uma das seis faces podem se
combinar de duas em duas entre si.
b) quais as possibilidades para o evento E = sair dois pares? Resp. : E = {(2,2), (4,4),(6,6), (2,4),(4,2),
(2,6),(6,2), (4,6),(6,4)}.
c) quais as possibilidades para o evento F = sair dois números de soma igual a 7? ? Resp. : G = {(1,6),
(6,1),(2,5), (5,2),(3,4), (4,3),(5,2), (2,5),(6,1), (1,6)}.
1
2
2) PROBABILIDADE EM ESPAÇOS AMOSTRAIS EQUIPROVÁVEIS :
Todo espaço amostral S é constituído de eventos que chamamos de pontos amostrais. Como vimos, por
exemplo, o experimento “Lançar um dado” tem espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; a possibilidade de
sair, num lançamento, qualquer dos pontos amostrais 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 é a mesma. Quando isto acontece,
ou seja, a possibilidade de todos os pontos amostrais é a mesma, diz-se que o espaço amostral é
equiprovável . No lançamento de uma moeda isto também acontece: a probabilidade de sair cara é a
mesma de sair coroa. Nestes casos, a probabilidade de cada evento é a razão entre o número de casos
favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis , ou seja,
P(E) =
Número de caso favaráveis a E
Número total de casos possíveis
Exemplo ilustrativo 2: Calcule a probabilidade pedida em cada caso a seguir.
a) Uma rifa sorteia um número de dois algarismos. Se você comprar todos os bilhetes cujos números
começam com algarismo ímpar, quanto por cento de probabilidade terá de ganhar?
Resolução:
1o) Os casos favoráveis são todos os números de dois algarismos que começam com ímpar, ou seja,
→ começados por 1: de 10 a 19: 10 números
→ começados por 3: de 30 a 39: 10 números
→ começados por 5: de 50 a 59: 10 números
→ começados por 7: de 70 a 79: 10 números
→ começados por 9: de 90 a 99: 10 números
Então são 50 casos favoráveis.
2o) Os casos possíveis são todos os números de 2 algarismos: de 10 a 99. São 90 números.
3o) A probabilidade de você ganhar a rifa é
P(Ganhar) =
50 5
= = 55,56%.
90 9
b) Um levantamento feito em um hospital sobre os casos de doenças respiratórias e suas causas gerou a
seguinte tabela:
TIPO DE
PACIENTE
Homens adultos
Mulheres adultas
Crianças
No DE PACIENTES POR CAUSA
TABAGISMO
D. HEREDITÁRIA
63
11
49
8
2
19
Sorteando-se, aleatoriamente, um paciente desse hospital, qual é a probabilidade de que ele seja:
b.1) Um homem adulto, fumante inveterado?
b.2) Uma mulher adulta com doença hereditária?
b.3) Uma criança com problema de tabagismo?
Resolução:
Ao todo, são 63+11+49+8+2+19 casos, ou seja, 152 casos. Para a questão b.1, temos 63 casos
favoráveis; para a questão b.2, temos 8 casos e para a questão b.3, temos 2 casos favoráveis. Então:
2
3
63
= 41,45%
152
8
1
b.2) P(mulher c/ d. hered.) =
=
= 5,26%
152 19
2
1
b.3) P(criança c/ tabagismo) =
=
= 1,32%
152 76
b.1) P(homem fumante) =
c) (ENEM-MEC/Inep) – A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material
particulado na atmosfera, causa alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias. A
tabela abaixo apresenta números relativos a pacientes internados em um hospital no período da queima de
cana. Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital por problemas respiratórios
causados pelas queimadas, qual é a probabilidade de que ele seja uma criança?
Pacientes
Idosos
Crianças
Problemas
respiratórios
causados pelas
queimadas
50
150
Problemas
respiratórios
resultantes de
outras causas
150
210
Outras doenças
TOTAL
60
90
260
450
Resolução:
Como os pacientes internados por problemas respiratórios causados pelas queimadas são 50 idosos e
150 crianças, o número total de casos a considerar é 200, dos quais 150 são crianças. Então, a
150
probabilidade pedida é P(criança) =
= 75%.
200
d) A Loteria Federal da Caixa Econômica Federal sorteia uma formação numérica de 6 algarismos como
prêmio. Depois que os bilhetes são impressos, são distribuídos entre as milhares de casas lotéricas do país
para a venda. Suponha que num determinado concurso, a distribuição dos bilhetes tenha sido feita com o
seguinte critério:
⇒ Dos bilhetes começados com cinco zeros até os começados com o algarismo 2 foram para a cidade A
(suponha que não há o bilhete com seis zeros);
⇒ Dos bilhetes começados com o algarismo 3 até os começados com o algarismo 5 foram para a cidade
B;
⇒ Dos bilhetes começados com o algarismo 6 até os começados com o algarismo 8 foram para a cidade
C;
⇒ Os bilhetes começados com o algarismo 9 foram destinados à venda nos aeroportos.
Se todos os bilhetes foram vendidos, qual é a probabilidade de ser sorteado um bilhete vendido
1o) em alguma casa lotérica da cidade A?
2o) em alguma casa lotérica da cidade B?
3o) em alguma casa lotérica da cidade A ou da cidade C?
4o) em algum aeroporto?
Resolução:
- O total de bilhetes possível é 10.10.10.10.10.10 -1= 999.999 bilhetes;
- Para a cidade A vão os bilhetes de números 000001 a 299999, são 299.999 bilhetes;
- Para a cidade B vão os bilhetes de números 300000 a 599999, são 300.000 bilhetes;
- Para a cidade C vão os bilhetes de números 600000 a 899999, são 300.000 bilhetes;
- Para os aeroportos vão os bilhetes de números 900000 a 999999, são 100.000 bilhetes.
Então,
3
4
299.999
= 30%
999.999
300.000
2o) P(cidade B)=
= 30%
999.999
1o) P(cidade A)=
299.999 300.000
+
=60%
999.999 999.999
100.000
=10%
4o) P(Aeroporto)=
999.999
3o) P(cidade A ou C)=
3) UM POUCO DE COMBINATÓRIA :
3.1) Princípio multiplicativo da contagem :
Exemplo ilustrativo 3: Quantos numerais de três algarismos
algarismos 0,1,2,3,4,5 e 6
a) podendo repeti-los?
b) sem repeti-los?
podemos formar usando apenas os
Resolução:
a) Trata-se de um problema composto de 3 etapas, ou seja, preencher as três casas, de acordo com o
enunciado, formando o numeral. Vejamos o número de possibilidades de cada casa(etapa):
- para a primeira casa, eu posso começar com qualquer um dos 7 algarismos dados, exceto o zero, são 6
possibilidades; para a segunda casa,já que pode haver algarismo repetido, eu tenho agora 7
possibilidades (o zero já pode) e para a última casa(etapa),eu também tenho 7 possibilidades. Como
cada possibilidade de uma casa combina com as outras possibilidades das outras casas, temos o produto
da possibilidades como resposta, ou seja, 6.7.7 = 294 numerais.
b)O caso é análogo ao anterior com uma diferença: se não pode haver repetição, temos 6.6.5= 180
numerais.
Se um experimento é composto de etapas independentes a,b,c,.... com possibilidades
Pa , Pb , Pc , ..., respectivamente, então o número de modos de se realizar esse evento é o
produto das possibilidades das etapas, ou seja, Pa . Pb .Pc ....
Exemplo ilustrativo 4: Uma repartição pública faz seu atendimento obedecendo as seguintes prioridades
na formação da fila: Em primeiro lugar, são atendidos os portadores de necessidades especiais, depois os
idosos, depois o resto das pessoas, por ordem de chegada. Num determinado dia, há 9 pessoas para serem
atendidas, entre as quais, 3 com necessidades especiais e 2 idosos. De quantos modos distintos se pode
montar a fila de atendimento?
Resolução:
A fila tem 9 posições, ou seja, são 9 etapas.Cada etapa tem seu número de possibilidades de
preenchimento: Como são 3 pessoas com necessidades especiais, as três primeiras etapas têm
possibilidades 3, 2 e 1; em seguida, os idosos, com possibilidades 2 e 1. as últimas etapas obedecem a
ordem de chegada que é única, ou seja, 1,1,1 e1. Então, são 3.2.1.2.1.1.1.1.1= 12 modos de se formar a
fila.
4
5
Exemplo ilustrativo 5: Suponhamos que numa rifa todos os números dos bilhetes são formados, como
no Exemplo ilustrativo 3, apenas com 3 algarismos do conjunto {0,1,2,3,4,5,6}, podendo haver repetição
de algarismos.Se você comprar todos os bilhetes de números formados apenas com algarismos distintos,
qual é a sua chance de ser sorteado?
Resolução:
Na resolução do citado exemplo, vimos que o número total de numerais possíveis é 294 e o número de
180 30
numerais com algarismos distintos é 180. Então, a probabilidade pedida é P =
=
= 61,22%.
294 49
Exemplo ilustrativo 6: Considere o Exemplo ilustrativo4. Qual é a probabilidade de, no citado dia, a fila
ser formada com os idosos em ordem decrescente de idade?
Resolução:
Neste caso, teríamos, na ala dos idosos, todo mundo numa única ordem determinada. Então , seriam
6 1
3.2.1.1.1.1.1.1.1= 6 modos. A probabilidade seria P = = = 50%.
12 2
3.2) Arranjos, Permutações e Combinações :
Dado um conjunto finito {a1, a2 , a1 , a2 , ..., an-1, an} com n elementos, faz-se o reagrupamento desses
elementos em subconjuntos com p elementos distintos, p≤ n :
1o) Se dois quaisquer desses subconjuntos, formados pelos mesmos elementos, são diferentes apenas
pela ordem de seus elementos, os agrupamentos são chamados de ARRANJOS. Neste caso, temos
A pn ou An , p ⇒ Arranjos de n elementos tomados de p em p.
2o) Se dois quaisquer desses subconjuntos, formados pelos mesmos elementos, não são diferentes
apenas pela ordem de seus elementos, os agrupamentos são chamados de COMBINAÇÕES. Neste
caso, temos
n
C pn ou Cn , p ou   ⇒ Combinações de n elementos tomados de p em p.
p
Exemplo ilustrativo 7: Verifique a diferença entre as duas situações aparentemente iguais a seguir:
1a) Formar números de 4 algarismos distintos usando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
2a) Formar grupos de 4 pessoas usando as pessoas: Lucas, Mateus, Luísa, Mariana, Ana e Tiago.
► Na 1a situação, os números (agrupamentos) formados com os mesmos algarismos se diferenciam
apenas pela ordem. Por exemplo, 1234 e 4321 são números diferentes. Trata-se de contar os ARRANJOS
de 6 elementos tomados de 4 em 4. Quantos são eles? Basta usar o Princípio da Contagem, ou seja,
A6 , 4 = 6.5.4.3 = 360 números.
► Na 2a situação, os grupos (agrupamentos) formados com as mesmas pessoas não se diferenciam apenas
pela ordem. Por exemplo, o grupo{Lucas, Mateus, Luísa, Mariana}é igual ao grupo{Mariana, Luísa,
Mateus, Lucas }. Trata-se de contar as COMBINAÇÕES de 6 elementos tomados de 4 em 4. Quantos
são elas? Basta usar o Princípio da Contagem, corrigindo as repetições. Neste caso, cada grupo de 4
5
6
pessoas seria contado 4.3.2.1 vezes repetido. Então, basta dividir o cálculo do Princípio da Contagem por
 6  6 .5 .4 .3
4.3.2.1, ou seja, C6,4 =   =
= 15 grupos.
 4  4 .3 .2 .1
Dado um número natural n, chama-se FATORIAL DE n o produto assim indicado:
n ! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3) ...3.2.1
Por exemplo:
a) 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
b) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040
12!
.
c) Simplificar
10!
12! 12.11.10! 12.11.10/ !
Tem-se
=
=
= 12.11 = 132
10!
10!
10/ !
OBSERVAÇÕES: 1! = 1 e 0! = 1
Exemplo ilustrativo 8: Sete cavalos A, B, C, D, E, F e G disputam um páreo. Quantas são as
classificações possíveis
a) para os cinco primeiros lugares?
b) para os cinco primeiros lugares, se os cavalos A e B chegarão entre os cinco primeiros?
Resolução :
a) São arranjos de 7 cavalos de 5 em 5, já que, por exemplo, o resultado ABCDE é diferente de EDCBA.
Então, temos A7,5 = 7.6.5.4.3 = 2.520 resultados possíveis.
b) São cinco etapas, das quais duas serão ocupadas pelos cavalos A e B; as outras três etapas poderão
ser ocupadas pelos cinco cavalos restantes. Então, temos A5,2.A5,3 = 5.4.5.4.3 = 1.200 resultados.
Exemplo ilustrativo 9: Uma empresa de projetos dispõe de 3 diretores, 5 coordenadores e 6 arquitetos.
De quantos modos essa empresa pode montar, com esses funcionários, uma comissão composta de
a) 9 pessoas?
b) 9 pessoas, tendo 2 diretores, 4 coordenadores e 3 arquitetos?
c) 9 pessoas, tendo pelo menos dois diretores?
Resolução :
a) Trata-se de combinar 14 pessoas de 9 em 9, ou seja, C14,9 =
14.13.12/ .11.10/ .9/ .8/ .7/ .6/
=2.002 modos.
9/ .8/ .7/ .6/ .5/ .4/ .3/ .2/ .1/
3.2/
5.4/ .3/ .2/ 6/ .5.4.
x
x
=300 modos.
2/ .1
4/ .3/ .2/ .1 3/ .2/ .1
c) Então são duas hipóteses, pois “pelo menos 2” significa 1 ou 2 diretores. Então, somaremos as
3.2/ 12/ .11.10/ .9.8/ .7/ .6/
3/ .2/ .1/ 11.10/ .9/ 6.8/ .7.6/
possibilidades, assim, C3,2. C12,7 + C3,3. C11,6 =
+
= 759
2/ .1 8/ .7/ .6/ .5/ .4/ .3/ .2/ .1/
3/ .2/ .1 6/ .5/ .4/ .3/ .2/ .1
modos.
b) C3,2.C5,4.C6,3 =
Exemplo ilustrativo 10: De quantos modos diferentes se pode formar uma fila com 6 pessoas A, B, C, D,
E e F, sabendo que
a) as pessoas A e B, nessa ordem, ficarão nos primeiros lugares?
b) as pessoas A e B ficarão nos primeiros lugares?
c) as pessoas A e B ficarão lado a lado nesta ordem?
6
7
d) as pessoas A e B ficarão lado a lado?
Resolução :
a) Os dois primeiros lugares estão ocupados com as pessoas A e B, nesta ordem. Então, temos as quatro
pessoas restantes para agrupar de 4 em 4, ou seja, A4,4= 4.3.2.1=4!= 24 modos.
b) Neste caso, há duas hipóteses para os dois primeiros lugares: AB ou BA; em cada hipótese, teremos
ainda que agrupar as quatro pessoas restantes de 4 em 4. Então, serão 2.4! = 48 modos.
c) Ficando lado a lado, nesta ordem, A e B serão um bloco único e, das seis etapas, teremos apenas 5, ou
seja, 5! = 120 modos.
d) Neste caso, há duas hipóteses de A e B ficarem lado a lado: AB ou BA; Em cada uma delas, tem-se
ainda 5 etapas, ou seja, serão 2.5! = 240 modos.
Todo arranjo em que o número de elementos dados (n) coincide com o número de elementos dos
agrupamentos formados (p), ou seja, n = p, chama-se PERMUTAÇÃO. Para esse caso, tem-se
An,n = Pn = n!
OUTRAS FÓRMULAS :
►ARRANJOS:
► COMBINAÇÕES:
An,p= n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ...(n - p + 1)
OU
An,p=
n!
(n - p)!
n
n!
Cn,p=   =
 p  p!(n - p)!
Exemplo ilustrativo 11: Quantos números pares podemos formar com 4 algarismos distintos do conjunto
{0, 1, 2, 3, 4, 5}?
Resolução:
São quatro etapas em que a primeira não pode ser zero e para a última temos três possibilidades: 0, 2e 4.
4!
5.4.3.2/ !.3
Então, serão, 5.C4,2.3 = 5.
.3 =
=180 números.
(4 − 2)!
2/ !
Exemplo ilustrativo 12: Uma sorveteria oferece os seguintes sabores de sorvetes: Morango, Chocolate,
Baunilha, Limão, Leite condensado e Doce de leite. De quantos modos posso preencher uma casquinha
com 4 sabores distintos, se 2 deles serão Limão e Baunilha?
Resolução:
Teremos C4,2=
4!
4.3.2/ ! 12
=
= = 6 modos.
2!.(4 - 2)! 2!.2/ !
2
7
8
Exercícios Propostos:
1) Um automóvel é oferecido pelo fabricante com 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os
motores 2000 cc e 4000 cc . Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões “standard”, “luxo”
e “superluxo”, quantas são as alternativas para o comprador ?
2) Se uma sala tem 8 portas, qual é o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por
uma porta diferente ?
3) Um teste é composto de 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assinalar , na folha de respostas,
uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se obter ,
pelo menos, 80% dos acertos, qual é o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas ?
4) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes,
que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes,
que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Neste caso, qual é o número de
maneiras diferentes de se fazer a programação da semana ?
5) Um aposentado realiza diariamente , de Segunda a Sexta-feira , estas cinco atividades:
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola;
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;
c) passeia com o cachorro da família;
d) pega seu neto Pedrinho , às 17 horas, na escola;
e) rega as plantas de jardim de sua casa.
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia,
vai realizá-las em uma ordem diferente. Nesse caso, qual é o número de maneiras possíveis de ele
realizar essas cinco atividades ?
6) Qual é a quantidade de números inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos formar
utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 , de modo que não figurem algarismos repetidos ?
7) Seis pessoas – A, B, C, D, E e F - ficam em pé uma ao lado da outra para uma fotografia . Se A e B
se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em ficar em pé uma ao lado da outra, qual é o número de
possibilidades para as seis pessoas se disporem ?
8) Quantos números ímpares de 4 algarismos , sem repetir algarismo num mesmo número, podemos
formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 ?
9) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles o
restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado
imediatamente após a locomotiva , qual é o número de modos diferentes para se montar a composição?
10) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4 lugares.
Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez. Combinaram também que,
toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. Qual é o número de
arrumações possíveis dos 4 jogadores durante a viagem ?
11) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas,
contendo no mínimo um diretor?
12) Numa competição esportiva , dez atletas disputam os três primeiros lugares Admitindo que não haja
empate, quantos resultados são possíveis para as três primeiras colocações?
8
9
13) Em uma caixa há 28 bombons, todos com forma, massa e aspecto exterior exatamente iguais. Desses
bombons, 7 têm recheio de coco, 4 de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Se retirarmos da caixa 3
bombons simultaneamente, a probabilidade de se retirar um bombom de cada sabor é, aproximadamente:
a) 7,5%
b) 11%
c) 12,5%
d) 13%
e) 14,5%
14) Considere que um dado honesto é lançado duas vezes e que os números observados na face superior
são anotados. A probabilidade de que a soma dos números anotados seja múltiplo de 4 é igual a:
1
1
3
1
a)
b)
c)
d)
5
6
4
4
15) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o ensino médio há 10 anos se encontraram em uma
reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tinham filhos. A distribuição das mulheres de
acordo com a quantidade de filhos é mostrada no gráfico abaixo.
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada
seja um(a) filho(a) único(a) é:
1
1
7
7
7
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
15
23
25
16) José, João, Manoel, Lúcia, Maria e Ana foram ao cinema e sentaram-se lado a lado, aleatoriamente,
numa mesma fila. A probabilidade de José ficar entre Ana e Lúcia (ou Lúcia e Ana), lado a lado, é:
1
14
1
1
a)
b)
c)
d)
2
15
30
15
17) As porcentagens de filmes policiais transmitidos pelos canais A, B e C de uma provedora de sinal de
TV são, respectivamente, 35%, 40% e 50%. Se uma pessoa escolhe casualmente um desses canais para
assistir a um filme, a probabilidade de que ela não assista a um filme policial é:
5
6
7
8
a)
b)
c)
d)
12
12
12
12
18) Uma caixa contém duas moedas honestas e uma com duas caras. Uma moeda é selecionada ao acaso e
lançada duas vezes. Se ocorrem duas caras, a probabilidade de a moeda ter duas caras é:
1
1
1
1
2
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
6
4
3
19) O serviço meteorológico informa que, para o final da semana, a probabilidade de chover é 70%, a de
fazer frio é 60% e a de chover e fazer frio é 50%. Então, a probabilidade de que chova ou faça frio no
final de semana é de:
a) 95
b) 75%
c) 90%
d) 85%
e) 80%
9
10
20) Retirando-se uma carta de um baralho comum e sabendo-se que é uma carta de copas, qual é a
probabilidade de que seja uma dama?
1
4
1
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
52
13
3
4
13
21) Em uma bandeja há 10 pastéis dos quais três são de carne, três de queijo e quatro de camarão. Se
Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposição, dois pastéis dessa bandeja, a probabilidade de os dois
pastéis retirados serem de camarão é
3
4
2
2
4
a)
b)
c)
d)
e)
25
25
15
5
5
22) Sabe-se que 35% dos alunos de um curso de línguas são rapazes e, entre eles, 80% nunca foram
reprovados. Escolhendo-se, ao acaso, um estudante do curso, qual é a probabilidade de que ele já tenha
sido reprovado?
RESPOSTAS :
1) 42 2) 56 3) 576 4) 720 5) 60 6) 66 7) 144 8) 840 9) 600 10) 24 11) 55 12) 720
13) e 14) d
15) e 16) d
17) c 18) e 19) e 20) e 21) c 22) 7%
4) PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS :
Exemplo introdutório: Sobre o experimento E: Lançar um dado e verificar, após o lançamento, que face
ficou voltada para cima, considere os seguintes eventos:
A: Sair número par ► Espaço amostral Ω(A) = {2, 4, 6};
B: Sair número divisor de 8 ► Espaço amostral Ω(B) = {1, 2, 4};
C: Sair número par e divisor de 8 ► Espaço amostral Ω(C) = { 2, 4}
D: Sair número par ou divisor de 8 ► Espaço amostral Ω(D) = {1, 2, 4, 6}
Como o Espaço amostral do experimento é Ω(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos as seguintes probabilidades:
► P(A) =
=
► P(B) =
=
► P(C) =
=
► P(D) =
=
Digite a equação aqui.
No Diagrama acima, são mostrados os espaços amostrais de A, B, C, D e E. Observe que:
n(D) = n(A) + n(B) – n(C) , ou seja, 4 = 3 + 3 - 2
10
11
O mesmo acontece com P(D), P(A), P(B) e P(C), pois todas são relativas ao espaço amostral Ω(E), ou
. Note que D = A∪B e C = A∩B e, portanto,
seja,
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Exemplo ilustrativo 13: Numa festa de calouros há 72 jovens presentes, dos quais 37 usam calça jeans,
32 usam camisetas de malha branca e 15 não usam nenhum dos dois tipos de roupa. No meio da festa,
sortearão, pelo número de ordem de chegada, um calouro para receber o título de Representante da Festa.
Qual é a probabilidade de o calouro sorteado
a) usar calça jeans?
b) usar camiseta branca?
c) não usar calça jeans e nem camiseta branca?
d) usar calça Jean ou camiseta branca?
e) usar calça jeans e camiseta branca?
Resolução :
Legenda: P(J)→Probabilidade de usar jeans, P(B) )→Probabilidade de usar camiseta branca, P(N)→
→ Probabilidade de não usar calça jeans e nem camiseta branca
a) P(J)=
b) P(B)=
.
c) P(N) =
20,8%
d) P(J∪B)=
=79,2%
e) Temos que P(J∪B)= P(J) + P(B) – P(J∩B) ⇒
P(J∩B) ⇒ P(J∩B)=
16,7%.
5) PROBABILIDADE CONDICIONAL :
Exemplo introdutório : Numa urna de loteria estão 10 bolas numeradas de 1 a 10. considere o
experimento de extrair dessa urna uma bola aleatoriamente. O espaço amostral desse evento é Ω(E) = {1,
2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10}. Sejam os eventos A e B descritos a seguir:
A : Extrair uma bola de número par. O espaço amostral é Ω(A) = {2, 4, 6, 8, 10};
B: Extrair uma bola de número maior do que 5. O espaço amostral é Ω(B) = {6, 7, 8, 9, 10};
Temos, então, as seguintes probabilidades:
P(A) =
n(A) 5 1
=
= = 50%
n(E) 10 2
e
P(B) =
n(B) 5 1
=
= = 50%
n(E) 10 2
Consideremos, então a Probabilidade de extrair uma bola de número par, sabendo que ela tem número
maior do que 5 , ou seja, probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo que B já ocorreu; denotaremos
essa probabilidade como P(A/B) e a denominaremos como probabilidade condicional.
11
12
Então, temos agora o interesse nos pares maiores do que 5, ou seja, A∩B. Em relação ao espaço amostral
n(A ∩ B)
n(A ∩ B)
n(B)
, temos que n(E) =
Ω(E) , temos P(A∩B) =
e P(A/B) =
. Como P(B) =
n(E)
n(B)
n(E)
3
n(B)
n(A ∩ B).P(B)
n(A ∩ B) P(A ∩ B)
3
e P(A∩B) =
e P(A/B) =
=
= 10 = = 60%.
1 5
P(B)
n(B)
n(B)
P(B)
2
P(A/B) =
P(A ∩ B)
P(B)
6) PROBABILIDADE DE EVENTOS SIMULTÂNEOS :
Pela fórmula anterior, temos que P(A∩B) = P(A/B).P(B). Analisemos, com isso, a seguinte situação:
Numa caixa há 20 fichas de cartolina, sendo 12 azuis e 8 vermelhas. Extraindo-se duas dessas fichas,
uma de cada vez, qual é a probabilidade de que as duas sejam azuis?
► Temos as seguintes probabilidades:
P(azul) =
12 3
= = 60% ;
20 5
P(verm)=
8 2
= = 40% ;
20 5
P(azul/azul) = probabilidade de a segunda ser azul, se a primeira for azul =
Logo, P(azul∩azul) =
11
= 57,9% ;
19
11 3 33
x =
= 34,7% . Considerando que o primeiro evento é A: a primeira ficha é
19 5 95
azul e o segundo é B: a segunda ficha é azul (depois de retirada, sem reposição, a primeira), temos que a
probabilidade das duas serem azuis é P(A).P(B).
► Se as retiradas fossem com reposição, teríamos P(azul∩azul) =
12 12
9
x
=
= 36% .
20 20 25
Então, em geral,
Se dois eventos A e B devem acontecer simultaneamente, P(A∩B)= P(A).P(B).
Exemplo ilustrativo 14: Uma prova tem três questões de múltipla escolha com quatro alternativas de
resposta cada uma. Marcando-se aleatoriamente as respostas, qual é a probabilidade de acertar exatamente
duas questões?
Resolução:
Há três hipóteses a considerar: errar a primeira, errar a segunda ou errar a terceira:
► Errar a primeira:
3
1
1
3
x
;
x
=
4
4
4
64
12
13
► Errar a segunda:
1
3
1
3
=
;
x
x
4
4
4
64
► Errar a terceira:
1
1
3
3
=
.
x
x
4
4
4
64
Então, a probabilidade pedida é 3 x
3
9
=
= 14,1%.
64 64
7) PROBABILIDADE EM EXPERIMENTOS BINOMIAIS :
7.1) COMPLEMENTAÇÃO : PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS
Exemplo ilustrativo 15: Um cliente de um banco, com dificuldade de entrar com sua senha no
atendimento eletrônico, só conseguiu lembrar que, dos seis algarismos que a compunham, havia dois
algarismos iguais a 3, três algarismos iguais a 5 e um algarismo igual a 1. Podia ser 331555, por
exemplo. Quantas tentativas ele terá que fazer para acertar com certeza?
Resolução : Trata-se de determinar o número de permutações distintas que se pode fazer com esses 6
algarismos. Se fossem 6 algarismos diferentes, teríamos 6! Senhas possíveis; mas há três repetições do 5
e duas repetições do 3. Portanto, dividiremos o 6! Pelos fatoriais dos números de repetições. Então, temse P63 , 2 =
6!
720
=
= 60 tentativas.
3!.2! 12
Em geral o número de permutações de n elementos com repetições a,b,c, ... é calculado pela fórmula
Pna , b, c , ... =
n!
a!.b!.c!...
Exemplo ilustrativo 16: Um programa de prêmios vai entregar para cada uma das 9 pessoas de uma
equipe, numa gincana, um prêmio. Os prêmios a distribuir são
3 DVD’s, 4 televisores LCD e 2
geladeiras. De quantos modos diferentes essa distribuição pode ser feita?
Resolução :
Trata-se de permutar 9 prêmios com repetição de 3 DVD’s, 4 televisores LCD e 2
geladeiras. Então, teremos P93 , 4 , 2 =
9!
362.880
=
= 1.260 modos.
3!.4!.2!
288
Exemplo ilustrativo 17: Quantos são os anagramas da palavra ARARAQUARA começando com AR,
nesta ordem, e terminando com RA, nesta ordem.
Resolução : São 10 letras, mas como 4 delas já estão colocadas no início e no final de cada anagrama,
basta permutar as outras 6 letras, verificando que, neste grupo, haverá repetição de três letras A, um Q,
um U e um R. Serão P63 =
6! 720
=
= 120 anagramas.
3!.
6
13
14
7.2) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL :
Refere-se a experimentos de
apenas dois resultados complementares como CERTO ou ERRADO,
ACERTAR ou ERRAR, VIVER ou MORRER, CARA ou COROA, etc.
Exemplo ilustrativo 18: Uma moeda viciada é tal que a probabilidade de, num lançamento, sair cara(C)
é
3
e
5
probabilidade de sair coroa(K) é
2
. Se fizermos 7 lançamentos consecutivos, qual é a
5
probabilidade de saírem 3 caras?
Resolução :
1o) Uma das composições possíveis para o experimento proposto é CCCKKKK . Nessa composição,
3
4
3  2
temos como probabilidade P1 =   .   ;
5  5
2o) Em cada composição, temos probabilidade P1 e o número de composições é uma permutação com
3
3, 4
7
repetição, ou seja, P
4
7!
7.6/ .5.4/ !
3  2
=
=
= 35 . Então, a probabilidade pedida é P = 35.   .   ; ou
3!.4!
6/ .4/ !
5  5
 27   16 
seja, P = 35. 
. 
 = 19,4%.
 125   625 
Exemplo ilustrativo 19: Um levantamento histórico dos jogos realizados entre dois times de futebol T1 e
T2 mostrou que eles jogaram 36 vezes , sem empates, e T1 venceu 22 vezes. Considerando esses
números como indicadores de probabilidade, podemos dizer que, em jogos contra T2 , T1 tem
probabilidade de vencer da ordem de
22
11
. Logo, neste caso, a probabilidade de T1 perder é
, ou seja,
36
18
7
. Com base nesses dados, em 4 jogos consecutivos, qual é a probabilidade de T1 vencer 3 ?
18
Resolução :
3
1
4! 1331 7
37268
 11   7 
Analogamente ao exemplo anterior, temos P= P .  .  =
=
= 35,5%.
3! 5832 18 104976
 18   18 
3
4
Em geral, um evento com resultados complementares
r1 e r2
realizado n vezes, apresenta como
probabilidade de r1 acontecer p vezes (p≤n) e r2 acontecer n – p vezes P = Pnp , n -p . [P(r1)]p. [P(r2)]n – p =
n
=   [P(r1)]p. [P(r2)]n – p.
p
14
15
Exercícios propostos:
1) Uma pesquisa encomendada por uma empresa de chocolates finos visava verificar a viabilidade de se
abrir uma de suas franquias em determinada cidade. A questão básica que preocupava os diretores da
empresa é a seguinte: A maioria da população é de consumidores potenciais de chocolate? Para se
certificar da resposta, optou-se por entrevistar 5 amostras da população, considerando cinco estratos
diferentes: idade, gênero, escolaridade, ramo de atividade e renda. Cada amostra tinha 2.000 indivíduos.
As respostas estão sintetizadas no quadro abaixo:
ESTRATO
VOCÊ GOSTA DE CHOCOLATE OU
É CONSUMIDOR DE CHOCOLATE ?
SIM
NÃO
IDADE
1.360
640
GÊNERO
1.120
880
ESCOLARIDADE
1.080
920
RAMO DE ATIVIDADE
1.220
780
RENDA
960
1.040
TOTAIS ►
4.764
4.255
Resolveu-se então adotar como probabilidade de sucesso a média das respostas afirmativas (SIM) e
como probabilidade de insucesso a média das negativas (NÃO).
a) Neste caso, qual é a probabilidade de sucesso e qual a de insucesso?
b) Considerando as probabilidades calculadas no item a, suponha que a empresa deseja confirmar essa
pesquisa novamente nos cinco grupos, qual seria a probabilidade de dar sucesso em três deles?
2) Numa prova de múltipla escolha com 7 questões , com 4 alternativas de resposta cada uma, qual é a
probabilidade de se acertar, aleatoriamente,
a) apenas as questões de números ímpares?
b) apenas 5 questões?
3) Lançando-se 5 vezes um dado não viciado, qual é a probabilidade de sair número primo 3 vezes ?
(Nota: 1 não é primo)
4) O setor de Recursos Humanos de uma empresa catalogou 164 currículos recebidos para análise de
prováveis candidatos a vagas na empresa. Constatou-se que as principais competências pontuadas nesses
currículos eram Consultoria em contabilidade(CC), Consultoria em finanças(CF) e Consultoria em
Marketing(CM). O quadro abaixo discrimina os números:
COMPETÊNCIAS
CC
CF
CM
CC e CF
No DE CURRÍCULOS
62
56
62
4
CC e CM CF e CM
4
10
Sabe-se ainda que, entre esses currículos, há alguns pontuando as três competências. Sorteando-se um
desses currículos, qual é a probabilidade de sair um currículo
15
16
a) com apenas uma das competências?
b) com apenas duas das competências?
c) com as três competências?
d) com a competência CC ou com a competência CF ou com a competência CM ?
5) Um economista apresentou proposta de trabalho às empresas X e Y, de modo que a probabilidade de
ele ser contratado pela empresa X é 0,61, a de ser contratado pela empresa Y é 0,53 e a de ser contratado
pelas duas empresas é 0,27. Determine a probabilidade de ele não ser contratado por nenhuma das
empresas.
6) Em pesquisa divulgada recentemente, realizada entre mulheres executivas brasileiras, constatou-se o
fato de 90% delas se sentirem realizadas com o trabalho que desenvolvem e de 20% delas almejarem a
direção da empresa em que trabalham. Sabe-se também que 8% dessas executivas não se sentem
realizadas com o trabalho e nem almejam a direção da empresa em que trabalham. Escolhendo-se
aleatoriamente uma dessas executivas, determine a probabilidade de essa mulher não se sentir realizada
com o trabalho ou não querer assumir a direção da empresa em que trabalha.
7) Um supermercado registrou a forma de pagamento utilizada por 180 clientes durante certa manhã e
obteve a seguinte tabela:
VALOR DA COMPRA ▼
ATÉ 50 REAIS
ACIMA DE 50 REAIS
DINHEIRO
CHEQUE
CARTÃO
34
25
40
10
28
43
a) Qual é a probabilidade de que se tenha utilizado cheque, sabendo que o valor da compra não excedeu
50 reais?
b) Qual é a probabilidade de que a compra tenha excedido 50 reais, sabendo que ela foi paga em
dinheiro?
8) Um casal e quatro pessoas são colocados em fila indiana. Sabendo que o casal não ficou junto, qual é a
probabilidade de que as extremidades da fila sejam ocupadas pelo casal?
9) Num congresso de Ciências Gerenciais, estão presentes 56 economistas e 84 administradores, dos
quais 35 são formados em Ciências Contábeis. Se um empresário vai escolher aleatoriamente um dos
profissionais presentes no congresso, qual é a probabilidade de que ele seja administrador e contador?
10) Um teste de seleção para uma vaga de administrador é composto de 10 afirmativas de V (verdadeiro)
ou F (falso). Para ser classificado o candidato deve acertar, pelo menos 80% das afirmativas.Se um
candidato não estudou nada e quer marcar o cartão de respostas aleatoriamente, qual é a probabilidade de
ele ser classificado?
16
17
RESPOSTAS :
1) a) P(S) = 57,4% e P(I) = 42,6%
4) a) 91,46%
b) 22,72%
b) 10,98%
8) 10%
c) 1,22%
9) 25%
2) a) 0,165%
b) 34,94%
d) 100%
b) 1,15%
3) 31,25%
6) 82%
7) a) 26,60%
5) 13%
10) 5,47% .
8) DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS:
8.1) Variável Aleatória :
Exemplo introdutório : Seja o experimento Lançar consecutivamente duas moedas e verificar as faces
sorteadas. O espaço amostral é Ω = {(c , c), (c , k), (k , k), (k , c)}; seja X o número de caras (c) obtidas
no lançamento: X = 0 corresponde ao resultado (k , k), ou seja, nenhuma cara; X = 1 corresponde ao
resultado (c , k) ou (k , c), ou seja, uma cara e X = 2 corresponde ao resultado (c , c), duas caras. Então, a
cada ponto do espaço amostral Ω podemos associar u m valor de X, assim:
PONTO AMOSTRAL
X
(k , k)
0
(c , k)
1
(k , c)
1
(c , c)
2
A função que associa cada ponto amostral do espaço amostral Ω a um número real X é chamada de
variável aleatória. Seu domínio é Ω e seu contra domínio é real (todos os valores possíveis de X).
Exemplo Ilustrativo 20 :
a) X : Número de peregrinos que passam num oásis do deserto entre os dias 05 e 25 de um mesmo mês.
Variável aleatória com valores 0, 1, 2,3 , .....
b) X : Idades dos alunos de uma escola entre 19 e 25 anos : 20, 21, 22, 23, 24.
c) X : Alturas dos atletas de um clube que medem entre 1,70m e 2,05m.
d) X : Salários dos operários de uma fábrica, superiores a 400 reais.
OBS:
1a) Nos dois primeiros exemplos anteriores, o número de valores para X é finito; por isso X é chamado
de variável aleatória discreta; também o seria se fosse um número de valores infinito numerável.
2a) Nos dois últimos exemplos, os valores para X são intervalos reais, ou seja, conjuntos não numeráveis
de valores; trata-se de uma variável aleatória contínua.
Exemplo Ilustrativo 21 :
a) X : Número de ases extraídos de um grupo de 20 cartas de baralho: 0, 1, 2, 3,4.
b) X : Tempo de cozimento de diversas massas distintas de macarrão.
17
18
8.2) Função de probabilidade :
Seja X uma variável aleatória discreta com valores x1 , x2 , x3 , x4 , .... Se a cada valor xi de X associarmos
um número p(xi) = p(X = xi) tal que p(xi) ≥ 0, para todo xi e
∞
∑ p(x ) = 1 , teremos a função de
i
i =1
probabilidade da variável aleatória X.
Exemplo Ilustrativo 22 : Seja a variável aleatória discreta X: Número de caras conseguidas no
lançamento de três moedas.
Temos então:
Evento: Lançamento de três moedas;
Espaço amostral : {ccc , cck , ckc , kcc , ckk , kck , kkc , kkk}
X = Número de caras = 0, 1, 2, 3
→ Se x = 0 , temos kkk ⇒ p(0) =
1
8
→ Se x = 1 , temos ckk , kck , kkc ⇒ p(1) =
3
8
→ Se x = 2 , temos cck , ckc , kcc ⇒ p(2) =
3
8
→ Se x = 3 , temos ccc ⇒ p(3) =
1
8
De fato, temos que
1
∞
∑ p(x ) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 8
3
3
1
+
+
= 1.
8
8
8
+
i
i =1
A função probabilidade, neste caso, é p(x) =
1 3 
 .
8  x 
8.3) Função de Distribuição Acumulada :
Sendo X uma variável aleatória discreta, a soma das probabilidades dos valores xi menores ou iguais a x é
chamada de Função de Distribuição acumulada em um ponto x.
∑ p( x )
F(x) =
i
x1 ≤ x
Exemplo Ilustrativo 23 : Aproveitando a função do exemplo ilustrativo 22, temos:
a) F(1) =
1
∑ p(x ) = p(0) + p(1) = 8
i
x1 ≤1
b) F(2) =
∑ p( x )
i
+
3
4
1
=
=
8
8
2
= p(0) + p(1) + p(2) =
x1 ≤2
c) F(3) =
∑ p( x ) = p(0) + p(1) + p(2) +
i
x1 ≤3
1 3
3
7
+ +
=
8 8
8
8
p(3) =
1 3
3 1
+ +
+ =1
8 8
8 8
18
19
b) F(2,5) = p(0) + p(1) + p(2) =
1 3
3
7
+ +
=
8 8
8
8
Exemplo Ilustrativo 24 : Numa urna há 3 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. São retiradas, aleatoriamente
e sem reposição, 3 bolas dessa caixa. Seja X ; Número de bolas vermelhas dentre as três retiradas.
Então, temos X = 0, 1, 2, 3 e o espaço amostral será {vvv , vva , vav , avv , aav , ava , vaa , aaa}
 3  4 
  
0 3
1 .4 4
ou p(0) =
→ Se x = 0 , temos p(0) =    =
=
35 35
7
 
3
 43 2 4
 . .  =
 7   6   5  35
 3  4 
  
1 2
3.6 18
 3   4   3  18
→ Se x = 1 , temos p(1) =    =
=
ou p(1) = 3.  . .  =
35 35
7
 7   6   5  35
 
3
 3  4 
  
2 1
3.4 12
 3   2   4  12
→ Se x = 2 , temos p(2) =    =
=
ou p(2) = 3.  . .  =
35 35
7
 7   6   5  35
 
3
 3  4 
  
3 0
1 .1 1
 3 21 1
→ Se x = 3 , temos p(3) =    =
=
ou p(3) =  . .  =
35 35
7
 7   6   5  35
 
3
Então,
F(3) =
∑ p(x ) = p(0) + p(1) + p(2) +
i
p(3) =
x1 ≤3
F(2) =
∑ p(x ) = p(0) + p(1) + p(2)
i
x1 ≤2
F(1,5) =
∑ p(x ) = p(0) + p(1)
i
=
x1 ≤1, 5
=
4
18
12
1
+
+
+
=1
35
35
35
35
4
18
12
34
+
+
=
35
35
35
35
4
18
22
+
=
35
35
35
Esses valores são tabelados abaixo, juntamente com outros:
xi
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
F(xi)
4
35
4
35
18
35
18
35
34
34
1
35
35
19
20
Graficamente, teremos:
1o) Probabilidade em função de xi :
2o) Função de probabilidade acumulada F(xi);
Exercícios propostos:
1) Dada a variável aleatória: número de coroas obtidas mo lançamento de duas moedas; construir a tabela
de distribuição de probabilidades e seu respectivo gráfico.
20
21
2) Considere a variável aleatória X : Número de faces pares obtidas no lançamento de dois dados.
Determine:
a) A tabela de distribuição de probabilidades de X;
b) P(2 ≤ x ≤ 3);
c) P(x < 2);
d) P(x ≥ 1).
3) Um vendedor sabe que em cada contato que faz com um possível cliente a probabilidade de vender
algo é 20%. Num determinado dia ele faz contato com 2 clientes. Construa a tabela de distribuição de
probabilidade considerando a variável aleatória X : número de clientes que naquele dia comprarão algo.
4) A respeito de um feriado prolongado (sexta, sábado e domingo), a meteorologia informou que, em cada
um dos dias a probabilidade de chover era de 30% . Considere a variável aleatória Y: número de dias que
vai chover.
a) Construa a tabela de distribuição de probabilidade de Y:
b) Faça o gráfico relativo à distribuição de probabilidade de Y
c) Calcule P(y ≤ 2);
d) Calcule (0 ≤ y ≤ 2);
e) Calcule P(y ≥ 2).
f) Construa o gráfico da função F(y), de distribuição acumulada.
5) Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada por P(xi) =
5k
para x = 1, 2, 3,4.
x
a) Calcule k;
b) Calcule P(2≤ x ≤ 4);
c) Calcule F(3);
d) Calcule F(2,5).
6) Num jogo de festa junina, 6 coelhos são colocados numa pequena arena circulada por 6 saídas; esperase 1 minuto, verificando-se então quantos coelhos utilizaram as saídas. Considerando o experimento
2
como aleatório e a probabilidade de um coelho não sair igual a , seja X a variável aleatória número de
3
coelhos que saíram.
a) Calcule P(x ≤ 4);
b) Calcule P(3 ≤ x ≤ 6);
c) Calcule F( 3,5);
d) Construa, em função de xi , os gráficos de P(x) e F(x).
21
22
8.4) Valor Esperado ou Média de uma Variável Aleatória Discreta :
Se X é uma variável aleatória discreta de valores x1, x2, x3, ..., xk ; chama-se Valor Esperado de X, ou
simplesmente Média de X o número
µx = E(x) =
k
∑x
i
p( x i )
i =1
Exemplo Ilustrativo 25 : Dois jogadores lançavam , cada um na sua vez, três moedas não viciadas,
sendo que um deles receberá 1 dólar por cada cara que sair e o outro, 1 dólar por cada coroa que sair.
Qual é o valor esperado de uma jogada para cada jogador?
Resolução :
Teremos a seguinte distribuição de probabilidades:
Número de caras ou Número de coroas ►
0
1
2
3
xi : Valor a ser recebido em cada caso (US$) ►
0
1
2
3
Probabilidades correspondentes p(xi) ►
1
8
3
8
3
8
1
8
0
3
8
6
8
3
8
Produtos xi.p(xi) ►
µx = E(x) =
k
∑x
i
p(x i ) = 0 +
i =1
3
6
3 12
+
+ =
= 1,5 dólar.
8
8
8
8
8.5) Variância e Desvio Padrão de uma Variável Aleatória Discreta :
Como a variância mede o grau de homogeneidade da variável em torno da média, temos:
σ (2x) = Var[x] = E[(x - µ(x))2]
em que E[x2] =
k
∑x
2
i
p(x i )
e
µ(x) =
i =1
ou
k
∑x
i
σ (2x) = Var[x] = E[x2]- µ(x))2
p(x i )
i =1
2
Então, o desvio padrão será σ ( x) = σ (x)
Exemplo Ilustrativo 26 : Suponhamos que a tabela a seguir represente a expectativa de um comerciante
de geladeiras sobre as vendas em um dia de promoção:
22
23
xi (vendas)
p(xi)
xi.p(xi)
xi2.p(xi)
0
0,20
0,00
0,00
1
0,30
0,30
0,30
2
0,25
0,50
1,00
3
0,10
0,30
0,90
4
0,15
0,60
2,40
TOTAIS ►►►
1,00
1,70
4,60
1o) O número esperado de vendas será µ ( x) = E[x] = 1,70 geladeiras;
2o) A variância será σ (2x) = 4,60 – 1,70 = 2,90;
3o) O desvio padrão será σ ( x) =
2,90 = 1,70 geladeiras.
8.5) COMPLEMENTO:Variância e Desvio Padrão de uma Distribuição Binomial :
No tópico 7.2, página 14, abordamos a Distribuição Binomial, equacionada por
n
P = Pnp , n -p . [P(r1)]p. [P(r2)]n – p =   [P(r1)]p. [P(r2)]n – p.
p
Para esse tipo de distribuição temos as seguintes medidas:
8.5.1) Média ou Valor esperado :
µ(y) = E[y] = n.P(r1)
8.5.2) Variância :
σ (2y) = Var[y] = n.P(r1).P(r2)
8.5.3) Desvio padrão :
σ ( y) = n.P(r1 ).P (r2 )
8.5.4) A Moda:
O valor mais provável da Moda é o número inteiro compreendido entre n.P(r1) - P(r1) e n.P(r1) + P(r1).
Então,
[n.P(r1) - P(r1)] < Mo < [ n.P(r1) + P(r1)]
Exemplo Ilustrativo 27 : Oito controladores de temperaturas similares serão instalados num circuito de
produção industrial e projeta-se em 0,4 a probabilidade de que cada um deles tenha vida útil superior a
400 horas. Qual é a probabilidade de que exatamente y deles durem mais do que 400 horas?
23
24
Resolução :
8 
Então, teremos P(Y = y) =  (0,4) y .(0,6) 8 - y . Consideremos os valores possíveis de Y :
 y
8 
► P(Y = 0) =  (0,4) 0 .(0,6) 8-0 = 1.1.(0,6)8 = 0,0168;
0
8
► P(Y = 1) =  (0,4)1 .(0,6) 8-1 = 8.(0,4).(0,6)7 = 0,0896;
1 
8 
► P(Y = 2) =  (0,4) 2 .(0,6) 8-2 = 28.(0,16).(0,6)6 = 0,2090;
 2
8
► P(Y = 3) =  (0,4) 3 .(0,6) 8-3 = 56.(0,064).(0,6)5 = 0,2787;
 3
8 
► P(Y = 4) =  (0,4) 4 .(0,6) 8-4 = 70.(0,0256).(0,6)4 = 0,2322;
 4
8
► P(Y = 5) =  (0,4) 5 .(0,6) 8-5 = 56.(0,01024).(0,6)3 = 0,1239;
 5
8 
► P(Y = 6) =  (0,4) 6 .(0,6) 8-6 = 28.(0,0040).(0,6)2 = 0,0403 ;
 6
8 
► P(Y = 7) =  (0,4) 7 .(0,6) 8-7 = 8.(0,016).(0,6)1 = 0,0768;
7
8
► P(Y = 8) =  (0,4) 8 .(0,6) 8-8 = 1.(0,0007).(0,6)0 = 0,0007.
8
A tabela de distribuição de probabilidade será:
yi ►
P(yi) ►
0
0,0168
1
0,0896
2
0,2090
3
0,2787
4
0,2322
5
0,1239
6
0,0403
7
0,0768
8
0,0007
E o gráfico:
24
25
Exercícios propostos:
1) Cada caso a seguir apresenta uma variável aleatória discreta através de seus valores xi e as respectivas
probabilidades p(xi) . Em cada caso,
1o) Encontrar a(s) probabilidade(s) faltante(s);
2o) Calcular o valor de F(5), função acumulativa para x = 5;
3o) Encontrar a média da distribuição;
4o) Calcular a variância e o desvio pdrão.
a)
xi
p(xi)
0
0,15
1
0,12
2
0,10
3
0,13
4
0,08
5
?
6
0,10
7
0,05
0
0,25
1
0,15
2
0,08
3
?
4
0,08
5
?
6
0,13
7
0,07
0
0,22
1
0,12
2
0,16
3
0,13
4
?
5
0,16
6
?
2
0,12
3
0,17
4
0,13
5
0,21
6
0,10
7
0,09
8
0,15
b)
xi
p(xi)
p(3) = p(5)
c)
xi
p(xi)
p(6) = 2.p(4)
d)
xi
p(xi)
1
0,18
p(1) = 2.p(7) e p(2) =
2
p(1)
3
2) Uma ONG abre um posto de recrutamento de voluntários durante uma semana em um bairro da cidade.
A expectativa de recrutamento é dada pelas probabilidades da tabela abaixo:
xi (no de volunt.)
p(xi) ►
0
0,15
1
0,22
2
0,20
3
0,23
4
0,12
5
0,08
a) Calcule o número de voluntários esperado;
b) Calcule a variância e o desvio padrão.
3) A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta é dada pela fórmula:
p(x) = (0,8).(0,2) x – 1 para x = 1, 2, 3, 4, .....
a) Calcular p(x) para x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 e x = 5;
b) Some as probabilidades calculadas no item a. O que se pode dizer a respeito das probabilidades para
valores maiores do que 5?
25
26
4) O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas respectivas probabilidades para
um intervalo de um minuto são dadas na tabela abaixo:
xi (no de cham.)
p(xi) ►
0
0,55
1
0,25
2
0,10
3
0,04
4
0,04
5
0,02
a) Calcule F(2);
b) Determinar P(1 ≤ x ≤ 4) e P(x > 1);
c) Qual é o número de chamadas esperado em um minuto?
d) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dessa distribuição.
5) Seja Z a variável aleatória discreta correspondente ao número de pontos de uma peça de dominó.
a) Construir a tabela de distribuição de probabilidade e o gráfico para Z;
b) Calcular P(2 ≤ x ≤ 6);
c) Calcular F(8);
d) Calcule o número médio de pontos.
6) Num berçário estão 11 crianças, sendo 5 do gênero masculino. Serão sorteadas quatro crianças para se
submeterem a um exame neurológico. Considere a variável aleatória discreta X: número de meninos
sorteados.
a) Construa a tabela de distribuição de probabilidade de X e o respectivo gráfico;
b) Calcule P(x > 3);
c) Calcule P(2 < x < 5);
d) Calcule F(3) e F(2,5).
7) Calcule a média, a moda, a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidade cuja variável
aleatória é X em cada caso a seguir:
a) Num teste com 8 questões de V ou F, X = número de questões certas;
b) Numa maratona com 6 atletas, X = número de atletas que completam a prova se as probabilidades
individuais de faze-lo são de 35%.
c) No lançamento de 3 dados, X = número de lançamentos que deram divisor de 20.
d) Na retirada de 5 cartas de um baralho, sem reposição, X = número de cartas com figura.
26
27
27