ISSN 2177-9139
XX EREMAT-Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul Fundação
Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil.13-16 nov.2014.
HOMOGENEIZAÇÃO ASSINTÓTICA DA EQUAÇÃO DA ONDA SOBRE MEIOS
MICROPERIÓDICOS UNIDIMENSIONAIS
Marcos Pinheiro de Lima - [email protected]
Luana Lazzari - [email protected]
Lucas dos Santos Fernandez - [email protected]
Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática,
Instituto de Fı́sica e Matemática, Universidade Federal de Pelotas
Campus Universitário Capão do Leão s/no ,
Caixa Postal 354, 96010-971 - Pelotas, RS, Brasil
Leslie Darien Pérez Fernández - [email protected]
Departamento de Matemática e Estatı́stica,
Instituto de Fı́sica e Matemática, Universidade Federal de Pelotas
Campus Universitário Capão do Leão s/no ,
Caixa Postal 354, 96010-971 - Pelotas, RS, Brasil
Julián Bravo Castillero - [email protected]
Departamento de Matemática, Facultad de Matemática y Computación,
Universidad de La Habana
San Lázaro y L, Vedado, La Habana, CP 10400, Cuba
Resumo. Este trabalho descreve o processo de resolução da equação da onda sobre meios
periódicos unidimensionais e com coeficientes rapidamente oscilantes através do método de
homogeneização assintótica. Mostra-se que a relação de proximidade entre as soluções do
problema
√ original (meio heterogêneo) e a do problema homogeneizado (meio homogêneo) é de
ordem ε, sendo que tal prova não aparece explicitamente na literatura consultada.
Palavras Chave: Equação da onda, Homogeneização assintótica, Princı́pio do máximo
1
INTRODUÇÃO
Muitos fenômenos naturais ou gerados pelo homem podem ser modelados e descritos
mediante equações diferenciais parciais (EDPs). A equação da onda é um caso particular de
EDP hiperbólica, a qual é empregada em diversas áreas da ciência e tecnologia onde aparecem
fenômenos ondulatórios mecânicos ou eletromagnéticos. Considerando que grande parte dos
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meios em que as ondas se propagam são heterogêneos, a obtenção de soluções dos modelos
de tais fenômenos tornam-se difı́cil. Neste trabalho, estudamos a propagação de ondas através
de um meio contı́nuo microperiódico unidimensional, de maneira que a EDP do problema tenha coeficientes rapidamente oscilantes continuamente diferenciáveis. Este tipo de problema
pode ser abordado mediante o método de homogeneização assintótica (MHA)(Bakhvalov &
Panasenko, 1989)(Panasenko, 2008), que consiste em procurar a solução na forma de uma série
assintótica em escala dupla em potências de um parâmetro geométrico pequeno ε, a qual produz
o desacoplamento do problema original em uma sequência de problemas para os coeficientes
das potências de ε na série assintótica. Neste caso, são relevantes sobretudo os dois primeiros problemas da sequência, a saber, os problemas homogeneizado e local, os quais fornecem,
respectivamente, os comportamentos médio e sobre o elemento recorrente de periodicidade.
Assim, o problema homogeneizado tem coeficientes constantes, os quais são chamados de coeficientes efetivos do meio heterogêneo, ou seja, obtém-se um meio homogêneo equivalente ao
meio heterogêneo original no sentido de que as soluções dos problemas correspondentes são
muito próximas. Especificamente, mostramos aqui√que a proximidade entre as soluções dos
problemas original e homogeneizado é de ordem O( ε).
2
PROCESSO DE HOMOGENEIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA
Seja uε (x,t) o deslocamento do ponto material em x ∈ (0, 1) no instante t > 0 causado pela
propagação de uma onda mecânica sobre um meio contı́nuo ε-periódico, 0 < ε 1, caracterizado pelas propriedades R(x/ε) e E(x/ε). Assim, considere o problema de valores de contorno
e iniciais para encontrar uε (x,t) definido pela equação da onda
x ∂2 u
∂
x ∂uε
ε
−
E
= f (x,t), x ∈ (0, 1), t > 0,
(1)
R
ε ∂t 2
∂x
ε ∂x
sujeita às condições de contorno
uε (0,t) = 0, uε (1,t) = 0, t > 0,
(2)
e às condições iniciais
uε (x, 0) = p(x),
∂uε
(x, 0) = q(x), x ∈ (0, 1),
∂t
(3)
onde R(x/ε), E(x/ε), f (x,t), p(x) e q(x) funções são diferenciáveis, com R(x/ε) e E(x/ε)
ε-periódicas, positivas e limitadas, e com p(0) = p(1) = 0.
Seja y = x/ε a variável local. Seguindo o método de homogeneização assintótica, procu(∞)
ramos uma solução assintótica formal uε (x,t) ≈ uε (x,t) = ∑k≥0 εk uk (x, y,t) do problema Eq.
(1) − (3), onde uk (x, y,t) são funções diferenciáveis e 1-periódicas na variável local y. Em particular, tomamos a aproximação obtida após desprezar os termos de ordem maior que O(ε2 ), ou
seja,
(2)
uε (x,t) = u0 (x, y,t) + εu1 (x, y,t) + ε2 u2 (x, y,t).
(4)
214
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Substituindo a aproximação assintótica Eq.(4) na Eq.(1), obtém-se
!
(2)
(2)
∂
∂uε
∂2 u ε
−
E(y)
f (x,t) = R(y)
∂t 2
∂x
∂x
2
∂
∂
∂
2
2
= R(y)
(u0 + εu1 + ε u2 ) −
E(y) (u0 + εu1 + ε u2 )
∂t 2
∂x
∂x
2
∂
= R(y)
(u0 + εu1 + ε2 u2 ) −
2
∂t
∂u0 1 ∂u0
∂u1 ∂u1
∂u2
∂
2 ∂u2
−
E(y)
+
+ε
+
+ε
+ε
∂x
∂x
ε ∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
1 ∂(·)
∂
(·) = ∂(·)
onde usamos a regra da cadeia ∂x
∂x + ε ∂y . Introduzindo o operador diferencial Lαβ (·) =
∂(·)
∂
podemos escrever a última igualdade na forma
∂α E(y) ∂β
2
∂
2
0 = R(y)
(u0 + εu1 + ε u2 ) − ε−2 Lyy u0 − ε−1 (Lyx u0 + Lxy u0 + Lyy u1 ) −
(5)
∂t 2
−ε0 (Lxx u0 + Lyy u2 + Lyx u1 + Lxy u1 + f ) − ε(Lxx u1 + Lyx u2 + Lxy u2 ) − ε2 Lxx u2
Agrupando as potências de ε na Eq.(5) e igualando a zero os coeficientes, obtém-se uma
sequência de equações:
ε−2 : Lyy u0 = 0,
(6)
ε−1 : Lyx u0 + Lxy u0 + Lyy u1 = 0,
(7)
∂2 u0
ε0 : −R(y) 2
∂t
(8)
+ Lxx u0 + Lyy u2 + Lyx u1 + Lxy u1 + f (x,t) = 0,
∂2 u 1
+ Lxx u1 + Lyx u2 + Lxy u2 = 0,
(9)
∂t 2
∂2 u2
ε2 : −R(y) 2 + Lxx u2 = 0.
(10)
∂t
Por outro lado, de substituir aproximação assintótica Eq.(4) nas condições de contorno
Eq.(2) e iniciais Eq.(3), obtemos
ε : −R(y)
(2)
uε (0,t) = u0 (0, 0,t) + εu1 (0, 0,t) + ε2 u2 (0, 0,t) = 0,
ε0 : u0 (0, 0,t) = 0, ε1 : u1 (0, 0,t) = 0, ε2 : u2 (0, 0,t) = 0;
(11)
(2)
uε (1,t) = u0 (1, 1/ε,t) + εu1 (1, 1/ε,t) + ε2 u2 (1, 1/ε,t) = 0,
ε0 : u0 (1, 1/ε,t) = 0, ε1 : u1 (1, 1/ε,t) = 0, ε2 : u2 (1, 1/ε,t) = 0;
(12)
(2)
uε (x, 0) = u0 (x, x/ε, 0) + εu1 (x, x/ε, 0) + ε2 u2 (x, x/ε, 0) = p(x),
ε0 : u0 (x, x/ε, 0) = p(x), ε1 : u1 (x, x/ε, 0) = 0, ε2 : u2 (x, x/ε, 0) = 0;
(13)
(2)
∂
∂uε
(x, 0) = u0 (x, x/ε, 0) + εu1 (x, x/ε, 0) + ε2 u2 (x, x/ε, 0) = q(x),
∂t
∂t
∂u
∂u1
∂u2
0
ε0 :
(x, x/ε, 0) = q(x), ε1 :
(x, x/ε, 0) = 0, ε2 :
(x, x/ε, 0) = 0.
∂t
∂t
∂t
(14)
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Para determinar ui , i = 0, 1, 2, deve-se resolver as equações Eq.(6)-(8) de forma recorrente.
Para a garantir a existência e a unicidade destas soluções 1-periódicas, utiliza-se o seguinte
Lema. Sejam F(y) e K(y) > 0 funções diferenciáveis e 1-periódicas. Uma condição necessária
e suficiente para a existência e a unicidade de uma solução 1-periódica N da equação Lyy N = F
R
é que hF(y)i ≡ 01 F(y)dy = 0.
O Lema (Bakhvalov & Panasenko, 1989) garante que existe u0 1-periódica em y solução
da Eq.(6). Logo, integrando a Eq.(6) com respeito a y, obtemos
E(y)
∂u0
= c1 (x,t),
∂y
(15)
de onde, sendo E(y) por definição, positiva, podemos isolar
∂u0
∂y ,
∂u0 c1 (x,t)
=
.
∂y
E(y)
(16)
Para determinar c1 (x,t), aplica-se o operador
D doEvalor médio h·i em ambos os lados da
0
Eq.(16). Como u0 é 1-periódica em y, temos que ∂u
∂y = 0 e, portanto,
Z 1
c1 (x,t)
0
Sendo a integral
E(y)
dy = 0 ⇒ c1 (x,t)
Z 1
0
1
dy = 0.
E(y)
(17)
R1 1
0 E(y) dy positiva, tem-se que c1 (x,t) = 0, logo da Eq. (15) conclui-se que
E(y)
∂u0
∂u0
=0⇒
= 0 ⇒ u0 = u0 (x,t).
∂y
∂y
(18)
Para determinar u1 e u2 resolvem-se a Eq.(7) e a Eq.(8), respectivamente, de maneira
análoga à Eq.(6). Assim, obtém-se
u1 (x, y,t) = N1 (y)
∂u0 (x,t)
,
∂x
onde
!
Z y
N1 (y) =
Ê
− 1 ds
E(s)
0
e
Z y
N2 (y) =
0
(20)
∂2 u0
,
∂x2
(21)
−N1 (s)ds.
(22)
u2 (x, y,t) = N2 (y)
onde
(19)
Da condição de existência e unicidade de u2 1-periódica em y segue a equação do problema
homogeneizado:
∂2 u 0
∂2 u 0
−
Ê
= f (x,t)
∂t 2
∂x2
u0 (0,t) = 0, u0 (1,t) = 0, t > 0
∂u0
u0 (x, 0) = p(x),
(x, 0) = q(x), x ∈ (0, 1),
∂t
R̂
(23)
(24)
(25)
onde Ê = hE −1 (y)i−1 é a constante elástica efetiva do material e R̂ = hR(y)i é a densidade
efetiva.
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3
RELAÇÃO DE PROXIMIDADE ENTRE SOLUÇÕES
√
Vamos provar que a proximidade entre uε (x,t) e u0 (x,t) é de ordem O( ε), ou seja, que,
para algum T > 0, deve-se cumprir que
√
kuε (x,t) − u0 (x,t)kW 1 ((0,1)×(0,T )) = O( ε).
(26)
2
Para mostrar que esta relação é válida será utilizado o Princı́pio do Máximo Generalizado
(Bakhvalov & Panasenko, 1989). Para isso, consideramos o problema original Eq.(1)-(3) utilizando o operador
x ∂2 (·) ∂ x ∂(·) ε
L (·) = R
−
E
,
(27)
ε ∂t 2
∂x
ε ∂x
denotado por P1 :
 ε
 L uε (x,t) = f (x,t),
uε (0,t) = 0, uε (1,t) = 0, t > 0,
P1 =

ε
uε (x, 0) = p(x), ∂u
∂t (x, 0) = q(x), x ∈ (0, 1),
(1)
e o problema P2 , o qual resulta da substituição da aproximação uε = u0 + εu1 em P1 :

ε (1)


 L uε (x,t) = f (x,t) + F(x,t, ε),
(1)
(1)
uε (0,t) = 0, uε (1,t) = 0, t > 0,
P2 =


 u(1) (x, 0) = p(x), ∂u(1)
ε
(x, 0) = q(x), x ∈ (0, 1),
ε
∂t
onde
∂3 u0
∂3 u0
−
εE(y)N
(y)
.
1
∂t 2 ∂x
∂x3
Subtraindo os problemas P1 e P2 , obtém-se o problema P3 :

(1)

Lε (uε − uε )(x,t) = −F(x,t, ε),



(1)
(1)
(uε − uε )(0,t) = 0, (u
P3 =
ε − uε )(1,t)
= 0, t > 0,
(1)

(1)

∂uε
∂uε

(x, 0) = 0, x ∈ (0, 1).
 (uε − uε )(x, 0) = 0,
∂t − ∂t
F(x,t, ε) = εR(y)N1 (y)
(28)
Sejam G ⊂ Rn e T > 0. O Principio do Máximo Generalizado (Bakhvalov & Panasenko,
1989) garante a existência e a unicidade de uma solução generalizada u ∈ W21 (G × (0, T )) do
problema dado pela equação hiperbólica geral
n
∂2 u
∂u
∂
∂u
R(x,t) 2 + S(x,t)
− ∑
Ai j (x,t)
+
(29)
∂t
∂t
∂x
∂x
i
j
i, j=1
n
+
n
∂u
∂ fi
∑ Bi(x,t) ∂xi + A(x,t)u = f (x,t) + ∑ ∂xi (x,t),
i=1
i=1
sujeita às condições de contorno e iniciais
u(x,t) = 0, x ∈ ∂G,t > 0
(30)
o
u(x, 0) = ψ1 (x), ψ1 ∈W21 (G),
∂u
(x, 0) = ψ2 (x), ψ2 ∈ L2 (G),
∂t
(31)
(32)
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e que para tal solução generalizada do problema Eq.(29) − (32) a seguinte estimativa é válida:
kukW 1 (G×(0,T )) ≤ c(T ) kψ1 kW 1 (G) + kψ2 kL2 (G) + k f kL2 (G×(0,T )) +
2
2
!
n
∂ fi (33)
+∑ + max k fi kL2 (G) .
∂t L2 (G×(0,T )) t∈ [0,T ]
i=1
Adaptando a estimativa Eq.(33) ao problema P3 obtém-se
(1)
kuε − uε kW 1 ((0,1)×(0,T )) ≤ c(T )k − F(x,t, ε)kL2 ((0,1)×(0,T ))
(34)
2
pois n = 1, G = (0, 1), ψ1 = 0, ψ2 = 0, e fi = 0. Define-se a norma de uma função φ ∈
L2 ((0, 1) × (0, T )) como
s
kφkL2 ((0,1)×(0,T )) =
Z TZ 1
0
φ2 dxdt.
(35)
0
Logo, substituindo a Eq.(28) na Eq.(35), segue que
k − Fk2L2 ((0,1)×(0,T ))
=ε
2
∂3 u 0
∂3 u0
−R(y)N1 (y) 2 + E(y)N1 (y) 3
∂t ∂x
∂x
Z T Z 1
0
0
2
dxdt.
(36)
Note que (·)2 = | · |2 . Logo, de aplicar a desigualdade triangular, segue que
3 2
∂ u0 ∂3 u 0
∂3 u0
≤
|R(y)N1 (y)| 2 −R(y)N1 (y) 2 + E(y)N1 (y) 3
∂t ∂x
∂x
∂t ∂x
3 2
∂ u0 + |E(y)N1 (y)| 3 .
∂x
(37)
Assumindo que u0 (x, ·) ∈ C 3 [0, 1] e que u0 (·,t) ∈ C [0, T ] tem-se, pelo Teorema de Weierstrass, que existem constantes A1 , A2 > 0 tais que
3 3 ∂ u0 ≤ A1 e ∂ u0 ≤ A2 .
(38)
∂x3 ∂t 2 ∂x Tomando A = max{A1 , A2 } e considerando a Eq. (38) na Eq.(37), obtém-se que
3 3 2
∂ u0 ∂ u0 |R(y)N1 (y)| 2 + |E(y)N1 (y)| 3 ≤ A2 N12 (y)((R(y) + E(y))2 .
∂t ∂x
∂x
(39)
Agora, substituindo a Eq.(39) na Eq.(36) e calculando a integral com relação a t, tem-se
que
Z 1
x i2
xh x
R
+E
dx.
(40)
ε
ε
ε
0
Lembrando que R, E, N1 ∈ C∞ (R), do teorema de Weierstrass segue que existem constantes
B1 , B2 , B3 > 0 tais que
x x x (41)
N1
≤ B1 , E
≤ B2 e R
≤ B3 ,
ε
ε
ε
k − Fk2L2 ((0,1)×(0,T ))
2 2
≤ε A T
N12
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∀x ∈ [0, 1].
Tomando B = max{B1 , B2 , B3 } e considerando a Eq.(41), segue da Eq. (40) que
k − Fk2L2 ((0,1)×(0,T )) ≤ εA2 T B4 .
Portanto,
k − FkL2 ((0,1)×(0,T )) ≤
(42)
√
√
εAB2 T .
(43)
Logo, de substitutir Eq.(43) na Eq.(34), tem-se que
(1)
kuε − uε kW 1 ((0,1)×(0,T )) ≤ c(T )k − FkL2 ((0,1)×(0,T )) ≤
2
onde podemos assumir c(T ) =
√
√
εAB2 T ,
(44)
√
T , para algum T > 0. Conclui-se, portanto, que
√
(1)
kuε − uε kW 1 ((0,1)×(0,T )) = O( ε).
2
(45)
De modo análogo podemos mostrar que,
√
(1)
kuε − u0 kW 1 ((0,1)×(0,T )) = O( ε)
2
(46)
Logo da Eq.(45) e da Eq.(46), com o uso da desigualdade triangular, segue que
(1)
(1)
kuε − u0 kW 1 ((0,1)×(0,T )) = kuε + uε − uε − u0 kW 1 ((0,1)×(0,T ))
2
2
≤
(1)
(1)
kuε − uε kW 1 ((0,1)×(0,T )) + kuε − u0 kW 1 ((0,1)×(0,T ))
2
2
√
√
= O( ε) + O( ε)
√
= O( ε),
ou seja,
√
kuε − u0 kW 1 ((0,1)×(0,T )) = O( ε).
2
4
(47)
CONCLUSÕES
Considerando as dificuldades encontradas ao resolver problemas em meios heterogêneos, o
método de homogeneização mostra-se eficiente, pois permite estudar o comportamento de um
meio com microestrutura através do comportamento de um meio homogêneo equivalente. Tal
equivalência é, formalmente, que a diferença entre as soluções dos problemas original
√ (para o
meio com microestrutura) e homogeneizado (para o meio homogêneo) é de ordem ε. Este resultado demonstrado aqui não aparece explicitamente detalhada na literatura consultada. O trabalho se mostra relevante na medida que as técnicas utilizadas servem de base para a resolução
de problemas multidimensionais, pois seguindo a metodologia exposta, sempre que exista um
princı́pio do máximo é possı́vel construir uma solução assintótica formal que seja uma expansão
assintótica da solução exata do problema original.
Agradecimentos
Os autores agradecem à FAPERGS/CAPES pelo apoio financeiro para o desenvolvimento
das atividades cientı́ficas e ao apoio do projeto CAPES no 88881.030424/2013-01 intitulado
”Desenvolvimento e Aplicações de Métodos Matemáticos de Homogeneização”.
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5
REFERÊNCIAS
G. P. PANASENKO.Homogenization for Periodic Media from Microscale to Macroscale. Physics of Atomic Nuclei, v.71, n.4, p.681-694, 2008.
N. S. BAKHVALOV, G. P. PANASENKO. Homogenisation: averaging processes in periodic
media. Mathematics and its applications (soviet series). D. Leites (translator). Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers, 1989.
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