1.
O PLANO COMPLEXO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
1.1 (a) 2=5 (b)
1.2 (a) 6
1=5 (c)
i (b) 5
1.5 (a) 0 (b)
2 Re (z) Im (z)
jzj4
5i (c) 4 + 5i (d)
=4 (c)
=3 (d)
(d) 1 (e) 3 (f) 1
1
8i
13
=2 (e) 5 =6 (f)
1.9 (b) Se ' = Arg (2 + i), então 2 + i =
p
5ei' e, portanto,
p
p
p
5i
= 5ei( 2 ') = 5 sen ' + i 5 cos ':
2+i
p
p
Como tg ' = 1=2, segue que sen ' = 1= 5 e cos ' = 2= 5 e obtemos o resultado.
(c) Temos que
p 3
p
p 7 21 i
3
1 + i = 2e 4 i ) z 7 =
2 e 4 = 8 2e(6 4 )i
p
p
3
= 8 2e 4 i = 8 2 (cos (3 =4) i sen (3 =4)) = 8 (1 + i) :
z =
1.10 Considerando z = x + iy, temos que z 2 = x2
z 2 = z 2 , x2
y 2 + 2xyi e z 2 = x2
y 2 + 2xyi = x2
y2
y2
2xyi, de modo que
2xyi , 2xy = 0:
Ora, 2xy = 0 se, e somente se, x = 0 (neste caso z é imaginário puro) ou y = 0 (neste caso z é real).
1.11 Da desigualdade jjzj
jwjj
jz
1
jjz2 j j z3 jj
wj segue que jjz2 j
j z3 jj
1
jz1 j
)
jz2 + z3 j
jjz2 j j z3 jj
jz2 + z3 j e, portanto,
jz1 j
:
jz2 + z3 j
1.12 Considerando que jzj2 = Re (z)2 + Im (z)2 , então,
(jRe (z)j + jIm (z)j)2 = jRe (z)j2 + 2 jRe (z)j jIm (z)j + jIm (z)j2
2 jRe (z)j2 + jIm (z)j2 = 2 jzj2 :
2
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA
1.13 Como ilustração, faremos a parte (a). Usando a identidade
com z = ei ;
<
1 + cos + cos 2 +
;
1
+ zn =
1 + z + z2 + z3 +
z n+1
;
1 z
z 6= 1;
6= 0; encontramos
+ cos n + i (1 + sen + sen 2 +
+ sen n ) =
1
cos (n + 1)
i sen (n + 1)
:
(1 cos ) i sen
Da última igualdade, resulta:
1 + cos + cos 2 +
+ cos n
cos (n + 1)
1 cos (n + 1) cos + sen (n + 1) sen
+
2
2 (1 cos )
1 cos n
cos (n + 1)
1 sen (n + 1=2) sen ( =2)
+
= +
:
2
2 (1 cos )
2
1 cos
=
=
(aqui usamos a identidade cos x
x+y
2
cos y = 2 sen
sen
y x
2
). Para concluir a parte (a), use a
cos = 2 sen2 ( =2). A identidade (b) é deduzida de forma similar, igualando as partes
identidade 1
imaginárias.
1.14 (a)
(1
i) (b) i;
p
1
2
3
i
p
(c)
1.15 As quatro raízes de z 4 + 4 = 0 são 1
2;
ie
p1
2
1
p
i 3 ; 12 1
1
p
i 3
i. A fatoração do polinômio z 4 + 4 …ca assim:
z 4 + 4 = z 2 + 2z + 2
z2
2z + 2 :
1.16 Considerando que wn = 1, por ser w uma raiz da unidade, obtemos
+ wn
1 + w + w2 + w3 +
1.20 Mostrar que
p
w=
=
1
1 wn
= 0:
1 w
=
2
é equivalente a mostar que w =
q
1
2
(jwj + Re (w)) + i sgn (Im z)
q
. Se …zermos
1
2
(jwj
Re (w))
teremos
2
=
1
2
q
(jwj Re (w)) i sgn (Im (w)) jwj2 Re (w)2
q
i sgn (Im (w)) Im (w)2 = Re (w) + i Im (w) = w:
(jwj + Re (w))
= Re (w)
1
2
(a) Temos
z2 + z + 1 = i , z
1 2
2
=
3
4
+i,z
1
2
=
p
w;
w=
3
4
+ i:
RESPOSTAS & SUGESTÕES
Logo,
z
1
2
O PLANO COMPLEXO
q
=
1
2
(jwj + Re (w)) + i sgn (Im z)
q
1
2
(jwj
Assim, as raízes da equação z 2 + z + 1 = i são precisamente z =
Re (w))
1
2
1
2
=
1
2
3
+i
+ i , isto é, z = i ou z =
1 + i:
1.21 Considerando z = x + iy; z0 = x0 + iy0 e passando a equação jzj2 + 2 Re (z z0 ) + jz0 j2 = R2 para
coordenadas cartesianas, encontramos
(x + x0 )2 + (y + y0 )2 = R2 ;
que representa uma circunferência de raio R:
1.22 Se …zermos z = rei e w = z = ei' , teremos
zw = r ei(
')
= r [cos (
') + i sen (
')]
e, consequentemente,
Re (zw) = r cos (
') = jzj jwj cos (
') :
') = 1 ,
' = 2k :
Da última relação, vemos que
Re (zw) = jzj jwj , cos (
1.23 Tendo em vista que j j < 1, então j j2 1
jzj2
1 + z , jz + j2
jz + j
, jzj2 + j j2 + z + z
, j j2 1
jzj2
1
1
jzj2 e, sendo assim, obtemos:
1+ z
2
1 + j j2 jzj2 + z + z
jzj2 :
Por …m, observamos que
jz + j
=
1 + z , jz + j2 = 1 + z
2
, jzj2 + j j2 + z + z = 1 + j j2 jzj2 + z + z
, jzj2 1
2.
FUNÇÕES ANALÍTICAS
j j2
1
j j2 , jzj = 1:
4
CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA
2
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
3.
FUNÇÕES ELEMENTARES
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
3.1
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
3.2 Deixe k representar um número inteiro.
(k) Re (z) = 0 , z = iy;
y 2 R:
(l) z = exp [i (2k + =2)] :
(j) z = ln 2 + i (2k + =3) :
(m) z = exp [i (2k + 1) ] :
(n) z = ln 2 + 2k i ou
z = ln 3 + 2k i:
(o) z = 4=3 + i (2k =3 + =3) :
3.4 z = k =2 k 2 Z:
3.5 Temos que jexp ( 2z)j = e
2x
<1,
2x < 0 , x > 0:
3.7 Dado z = x + iy, temos
exp (z) 2 R , sen y = 0 , y = Im (z) = k :
x
é de classe C 2 no domínio Cnf0g e que ' = 0:
+ y2
3.13 Da relação cos z = cos x cosh y i sin x sinh y; segue que cos z é real se, e somente se,
3.11 Observe que ' (x; y) =
x2
sen x sinh y = 0;
isto é, se, e somenete se, z é real ou z = k + iy, sendo k 2 Z e y 2 R:
4.
INTEGRAÇÃO COMPLEXA
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
4.1
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
4.1