Econometria Avançada - 2015-1
Terceira lista de exercı́cios
SOLUÇÃO
Problema 1. Seja rt os retornos (ou log-retornos) diários de um ativo financeiros (por exemplo,
S&P500 ou Petrobrás ON) tal que rt = σt εt , onde εt e σt são independentes e εt ∼ N ID(0, 1).
Portanto rt também é normal com E(rt ) = 0 e V (rt ) = E(rt2 ) = E(σt2 ). Ou seja, apesar da média
condicional de rt ser zero, sua variância condicional é σt e pode variar no tempo, um fato comumente
observado em séries temporais financeiras. A curtose de rt , denotada aqui por Krt , mede o peso
das caudas da distributição de rt e é dada por Krt = E(rt4 )/{E(rt2 )}2 . Obtenha Krt para os mod2
2
2
; e c) SV-AR(1):
+ β1 σt−1
; b) GARCH(1,1): σt2 = α0 + α1 rt−1
elos: a) ARCH(1): σt2 = α0 + α1 rt−1
2
2
2
log σt = µ + φ(log σt−1 − µ) + ut , onde ut ∼ N (0, τ ).
Antes de resolvermos a)-c), vamos relembrar a diferença entre esperança (variância) conditional e
esperança (variância) incondicional. É fácil ver que
σ ⊥ε
t
t
E(rt |σt ) = E(σt εt |σt ) ==
E(σt |σt )E(εt |σt ) = σt × 0 = 0,
onde σt ⊥ εt denota que σt é independente de εt . Segue, de um resultado básico de probabilidade1 ,
que V (rt |σ 2 ) = E(rt2 |σ 2 ). Portanto
σ ⊥ε
t
t
V (rt |σt ) = E(rt2 |σt ) = E(σt2 ε2t |σt ) ==
E(σt2 |σt )E(ε2t |σt ) = σt2 × 1 = σt2 ,
pois E(ε2t |σt ) = E(ε2t ) = 1. Perceba que a suposição de normalidade para εt não foi usada em nenhum
momento até aqui.
Usando dois resultados básicos de probabilidade2 , segue imediatamente que
E(rt ) = E{E(rt |σt )} = E{0} = 0
V (rt ) = E{V (rt |σt )} + V {E(rt |σt )} = E{σt2 } + V {0} = E(σt2 ).
Somente nesse momento é necessário se utilizar as estruturas ARCH, GARCH e SV.
2
2
2
ARCH(1): V (rt ) = E(rt2 ) = E(σt2 ) = E(α0 + α1 rt−1
) = α0 + α1 E(rt−1
). Como E(rt2 ) = E(rt−1
)
(esperanças incondicionais), segue que
V (rt ) =
α0
.
1 − α1
2
2
2
2
GARCH(1,1): V (rt ) = E(rt2 ) = E(σt2 ) = E(α0 + α1 rt−1
+ β1 σt−1
) = α0 + α1 E(rt−1
) + β1 E(σt−1
).
2
2
2
2
Como E(rt ) = E(rt−1 ) = E(σt ) = E(σt−1 ), segue que
V (rt ) =
1
2
α0
.
1 − α1 − β1
V (X) = E(X 2 ) − {E(X)}2 . Portanto, quando E(X) = 0, segue que V (X) = E(X 2 ).
E(X) = E{E(X|Y )} e V (X) = E{V (X|Y )} + V {E(X|Y )}.
1
Só nos resta obter E(rt4 ):
E(rt4 ) = E{E(rt4 |σt )} = E{E(σt4 ε4t |σt )} = E{σt4 E(ε4t )} = 3E(σt4 ),
pois a curtose da distribuição normal padrão é igual a 3.
ARCH(1):
1
2
4
2
)2 } = α02 + 2α0 α1 E(rt−1
) + α12 E(rt−1
)
E(rt4 ) = E(σt4 ) = E{(α0 + α1 rt−1
3
α02
1 + α1
4
4
= α02 + 2α1
+ α12 E(rt−1
) = α02
+ α12 E(rt−1
)
1 − α1
1 − α1
logo
E(rt4 ) = 3
e
α02 (1 + α1 )/(1 − α1 )
1 − 3α12
α2 (1+α )/(1−α )
1
1
3 0 1−3α
2
E(rt4 )
3(1 + α1 )(1 − α1 )
3(1 − α12 )
1
Krt =
=
=
=
.
{E(rt2 )}2
α02 /(1 − α1 )2
1 − 3α12
1 − 3α12
GARCH(1,1): O que você tem que mostrar aqui é que
1 − (α1 + β1 )2
Krt = 3
1 − (α1 + β1 )2 − 2α12
Finalmente, duas complicações adicionais surgem quando se trata do modelo SV-AR(1):
2
log σt2 = µ + φ(log σt−1
− µ) + ut
ut ∼ N (0, τ 2 ).
Em primeiro lugar, existe agora o termo de erro ut que tem que ser levado em consideração. Mas
esse é um problema relativamente simples, uma vez que assumimos que εt e ut são independentes
entre si. Em segundo lugar, para se obter esperança, variância e curtose de rt é necessário se obter
E(σt2 ) e E(σt4 ), que são momentos de uma distribuição log-normal (dado que log σt é normalmente
distribuı́do).
2
Problema 2. Mostre que se rt ∼ ARCH(2) normal, então rt2 ∼ AR(2) com inovações não-normais.
Mostre também que {rt } é uma sequência de ruı́dos brancos.
Como rt ∼ ARCH(2) normal, podemos escrever (como no problema 1 acima)
rt = σt εt
εt ∼ N ID(0, 1)
2
2
2
σt = α0 + α1 rt−1
+ α2 rt−2
de forma que, se definirmos νt = rt2 − σt2 , temos que
2
2
rt2 = α0 + α1 rt−1
+ α2 rt−2
+ νt ,
ou seja, rt2 ∼ AR(2).
O que ainda resta fazer é entender o comportamento de νt :
νt = rt2 − σt2 = σt2 ε2t − σt2 = σt2 (1 − ε2t ).
Segue que
E(νt ) = E(σt2 )E(1 − ε2t ) = 0,
e
2
E(νt νt+h ) = E{σt2 σt+h
}E{(1 − ε2t )}E{(1 − ε2t+h )} = 0.
Portanto o processo {νt } é um ruı́do branco.
3
Problema 3. Suponha que r1 , r2 , . . . , rn sejam observações de uma série de log-retornos seguindo
um modelo AR(1)-GARCH(1,1) normal, isto é,
rt = µ + φrt−1 + ut ,
ut = σt εt
2
σt2 = α0 + α1 u2t−1 + β1 σt−1
,
para εt ∼ N ID(0, 1). Perceba que o modelo acima pode ser mais compatamente escrito como
rt |rt−1 , σt ∼ N (µ + φ1 rt−1 , σt2 )
2
,
σt2 = α0 + α1 (rt−1 − µ − φrt−2 )2 + β1 σt−1
2
2
2
.
e σt−1
, rt−2
o que evidencia a normalidade dos log-retornos rt e também que σt2 depende de rt−1
Obtenha a função de log-verossimilhança condicional de (µ, φ, α0 , α1 , β1 ). Sem perda de generalidade,
assuma que σ02 = r0 = r−1 = 0.
Para se obter a função de log-verossimilhança condicional de θ = (µ, φ, α0 , α1 , β1 ), é necessário que
escrevamos a densidade conjunta dos dados condicional em θ, p(r1 , . . . , rn |θ). Uma vez que σ12 , . . . , σn2
são deterministicamente derivados de σ02 , r0 , r−1 , θ e r1 , . . . , rn , segue que
n
Y
n
Y
1 (rt − µ − φrt−1 )2
2 −1/2
p(r1 , . . . , rn |θ) =
p(rt |rt−1 , θ) =
(2πσt )
exp −
.
2
σt2
t=1
t=1
Portanto, a função log-verossimilhança condicional de θ é
"
#
n
n
X
X
1
2
l(θ) = log p(r1 , . . . , rn |θ) = K −
log(2π) +
log σt +
σt−2 (rt − µ − φrt−1 )2 .
2
t=1
t=1
O estimador de máxima verossimilhança, θ̂, é obtido maximizando l(θ) sujeito às seguintes restrições:
|φ| < 1, α0 , α1 , β1 > 0 e α1 + β1 < 1.
4
Problema 4. O arquivo sp500.csv contém preços diários do S&P500 para o perı́odo de 03/01/1950
a 23/04/2015 (16432 observações). Veja a figura 1 com os dados.
a) Ajuste modelos ARCH(1), GARCH(1,1) e SV-AR(1) para essa série temporal financeira. Mais
precisamente, para rt = σt εt , onde εt e σt são independentes e εt ∼ N ID(0, 1), ajuste os
modelos
2
a1) ARCH(1): σt2 = α0 + α1 rt−1
.
2
2
a2) GARCH(1,1): σt2 = α0 + α1 rt−1
+ β1 σt−1
.
2
− µ) + ut , onde ut ∼ N (0, τ 2 ).
a3) SV-AR(1): log σt2 = µ + φ(log σt−1
Veja os resultados na próxima página e nas figuras 2 a 3.
ARCH(1)
Parameter
alpha0
alpha1
Estimate
6.518712e-05
3.118930e-01
Std. Error
9.616782e-07
1.465707e-02
GARCH(1,1)
Parameter
alpha0
alpha1
beta1
Estimate
8.116538e-07
8.055070e-02
9.127400e-01
Std. Error
9.956670e-08
4.198828e-03
4.483739e-03
SV-AR(1)
1st Qu.
Median
Mean
3rd Qu.
mu
-9.806
-9.752
-9.752
-9.700
phi
0.9844
0.9857
0.9856
0.9869
sigma
0.1404
0.1449
0.1453
0.1497
VARIANCE, STANDARD DEVIATION AND KURTOSIS
Sample
ARCH(1) GARCH(1,1) SV-AR(1)
Variance 0.0000944 0.0000947
0.0001210 0.0000583
St.Dev.
0.0097164 0.0097331
0.0109988 0.0076381
Kurtosis 24.6164182 3.8241874 101.1132664 6.3648994
b) Divida a série em grupos de 5 anos (13 grupos, portanto) e repita as análises de a). Como se
comportam os parâmetros dos modelos ao longo do tempo? Comente seus resultados.
5
2000
1500
1000
0
500
Price
1/3/50
5/5/66
9/23/82
12/22/98
4/23/15
12/22/98
4/23/15
12/22/98
4/23/15
6
5
3
4
Log−price
7
days
1/3/50
5/5/66
9/23/82
0.00
−0.10
−0.20
Log−price
0.10
days
1/4/50
5/6/66
9/24/82
days
Figure 1: S&P500: preços, log-preços e log-retornos.
6
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
Standard deviation
0.10
0.12
ARCH(1)
GARCH(1,1)
1/4/50
5/6/66
9/24/82
12/22/98
4/23/15
Days
Figure 2: S&P500: Estimativas dos desvios-padrões pelos modelos ARCH(1) e GARCH(1,1).
7
GARCH(1,1)
5
9/24/82 12/22/98 4/23/15
1/4/50
5/6/66
9/24/82 12/22/98 4/23/15
Days
ACF squared residuals
ACF squared residuals
0.6
0.4
0.2
0.4
ACF
0.6
0.8
0.8
1.0
Days
0.0
0.0
0.2
10
20
30
40
0
10
20
30
Lag
Lag
PACF squared residuals
PACF squared residuals
40
0.00
−0.02
0.00
0.05
0.10
Partial ACF
0.15
0.01
0.20
0.02
0
−0.01
ACF
0
−10
5/6/66
1.0
1/4/50
Partial ACF
−5
Standardized residuals
5
0
−5
−10
Standardized residuals
10
ARCH(1)
0
10
20
30
40
0
Lag
10
20
30
40
Lag
Figure 3: S&P500: Análise residual dos modelos ARCH(1) e GARCH(1,1).
8