MARTINGAIS
FABIO NISKI
1. Preliminares
No que se segue, sejam (Ω, F, µ) um espaço de medida e f uma função não
negativa e F-mensurável.
√ P
∞ (4n)! 1103+26390n
8
1
n=0 (n!)4
π = 9801
3964n
Lema 1. Nas condições acima, seja ν : F → R+ dada por ν(A) =
que ν é uma medida em (Ω, F).
R
A
f dµ. Temos
Demonstração. Em primeiro lugar, ν(A) ∈ [0,
R ∞] para RA ∈ F. Isso segue por
construção de ν e f . Além disso, ν(∅) = ∅ f dµ = Ω (f I[∅] )(ω) µ(dω) = 0,
pois f I[∅] é nula q.s. Finalmente, sejam {Ak } uma sequência disjunta de conPn
S∞
.
.
juntos em F tal que k=1 Ak ∈ F , gn = f I[Snk=1 Ak ] =
k=1 f I[Ak ] e g =
S
. Temos que 0 ≤ gn ↑ g (sempre ou q.s?) e portanto, pelo Teorema
f I[ ∞
k=1 Ak ]
R
R
R
da convergência monótona, lim Ω gn dµ = Ω g dµ, ou seja, lim Ω f I[Snk=1 Ak ] dµ =
R
R Pn
P∞
P∞ R
lim Ω k=1 f I[Ak ] = k=1 Ω f I[Ak ] dµ = k=1 ν(Ak ) = Ω lim f I[Snk=1 Ak ] dµ =
R
S∞
¤
dµ = ν( k=1 Ak ).
f I[S∞
Ω
k=1 Ak ]
Definição 1. Dizemos que a medida ν : F → R+ definida por
Z
ν(A) =
f dµ, A ∈ F
A
tem densidade f com respeito à medida µ.
Definição 2. Sejam µ e ν medidas em (Ω, F). Dizemos que ν é absolutamente
contı́nua com respeito a µ quando para cada A ∈ F, µ(A) = 0 implicar que ν(A) = 0.
Observe que se ν tem densidade f com Rrespeito a Rµ então ν é absolutamente
contı́nua com respeito a µ. De fato, ν(A) = A f dµ = Ω f I[A] dµ = 0 se µ(A) = 0,
pois f I[A] ≡ 0 q.s.
O teorema de Radon-Nikodym é quase uma recı́proca para essa observação.
Antes,
Definição 3. Seja µ uma medida em (Ω, F). Dizemos que:
• µ é finita quando µ(Ω) < ∞.
• µ é σ-finita quando existir
S uma sequência {Ak }, Ak ∈ F finita ou
enumerável tal que Ω = Ak e µ(Ak ) < ∞.
Teorema 1. (Radon-Nikodym) Se µ e ν são medidas σ-finitas e ν é absolutamente
contı́nua
com respeito a µ então existe f não negativa, F-mensurável tal que ν(A) =
R
f
dµ
para
qualquer A ∈ F . Isto é, ν tem densidade f com respeito a µ.
A
Para a demonstração, veja Billinsgley, Teorema 32.2.
1
2
FABIO NISKI
2. Esperança Condicional
Definição 4. Seja X uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade
(Ω, F, P), P-integrável e G é uma sub-σ-álgebra em F. Dizemos que a variável
aleatória E[XkG] é uma esperança condicional de X dado G, quando satisfazer as
seguintes propriedades:
(i) E[XkG] é G-mensurável e integrável.
(ii) E[XkG] satisfaz a seguinte equação funcional:
Z
Z
X d P, G ∈ G.
E[XkG] d P =
G
G
Lema 2. Existe uma variável aleatória E[XkG] com as propriedades da definição
anterior.
Demonstração. Inicialmente,
considere X não negativa. Defina uma medida ν em
R
(Ω, G) por ν(G) = G X d P. Como X é integrável, ν é finita e é absolutamente
contı́nua com respeito a P. Pelo
R teorema de Radon-Nikodym, existe uma função f ,
G-mensurável tal que ν(G) = G f d P. Assim, da integrabilidade de X segue a de
f e portanto essa f satisfaz as propriedades (i) e (ii). Se X não for necessáriamente
não negativa, considere a decomposição X = X + − X − e obtenha f + e f − . A
proposicão está provada pois f + − f − satisfaz as condições da definição anterior.
Perceba que aqui nada se afirmou sobre a unicidade da esperança condicional. De
fato, existem várias esperanças condicionais, basta alterar a função em conjuntos
de medida P-nula. As propriedades continuam sendo satisfeitas e chamamos cada
uma das esperanças condicionais de versão da esperança condicional.
¤
Observe que se G = {∅, Ω} então a esperança
condicional, por ser G-mensurável,
R
só
pode
ser
constante.
Disso,
vem
que
E[XkG]
d P = E[XkG] P(Ω) = E[XkG] =
Ω
R
X
d
P
ou
seja,
E[XkG]
=
E[X],
com
probabilidade
1. Observe também que para
Ω
G = F, X satisfaz todas a propriedades donde E[XkF] = X com probabilidade 1.
O próximo teorema lista algumas propriedades da esperança condicional. Todas
as igualdades e desigualdades valem com probabilidade 1. A prova destes resultados
está em Billingsley página 447. Daqui em diante, assume-se tacitamente que X é
uma variável aleatória definida no espaço (Ω, F, P) e G é uma sub-σ-álgebra de F.
Teorema 2. Sejam X, Y e Xn variáveis aleatórias integráveis
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Se X = a com probabilidade 1, então E[XkG] = a.
Se a e b são constantes, vale que E[aX + bY kG] = a E[XkG] + b E[Y kG].
Se X ≤ Y com probabilidade 1, então E[XkG] ≤ E[Y kG].
| E[XkG]| ≤ E[|X|kG].
Se limn Xn = X com probabilidade 1, |Xn | ≤ Y e se Y for integrável,
então limn E[Xn kG] = E[XkG] com probabilidade 1.
Teorema 3. Suponha que X é G-mensurável e que Y e XY são integráveis então,
com probabilidade 1 vale que
E[XY kG] = X E[Y kG].
Demonstração. Inicialmente, sejam G0 ∈ G e X = I[G0 ] . Temos que I[G0 ] E[Y kG] é
G-mensurável
e integrável
(pois I[G0 ] E[Y kG] R≤ E[Y kG]). Além disso,
R
R
R como vale que
E[Y
kG]
d
P
=
Y
d
P,
vem
que
I
E[Y
kG]
d
P
=
I
Y dP =
[G
]
0
G∩G0
G∩G0
G
G [G0 ]
MARTINGAIS
3
R
E[I[G0 ] Y kG] d P. Resulta portanto que X E[Y kG] é uma versão de E[XY kG]
G
quando X = I[G0 ] .
Pn
Agora para X =
k=1 xk I[Gk ] , com G1 , . . . , Gn ∈ G e x1 , . . . , xn constantes
reais, temos pelo o que acabamos de mostrar e pelo item (ii) do Teorema 2 que:
Z
Z
E[XY kG] d P =
E[x1 I[A1 ] Y + · · · + xn I[An ] Y kG] d P
G
Z
ZG
x1 E[I[A1 ] Y kG] d P + · · · + xn
E[I[An ] Y kG] d P
=
ZG
Z G
=
x1 I[A1 ] E[Y kG] d P + · · · +
xn I[An ] E[Y kG] d P
G
G
Z
X E[Y kG] d P
=
ZG
=
XY d P .
G
Como X E[Y kG] é G-mensurável e integrável, segue que X E[Y kG] é uma versão de
E[XY kG] para X simples.
Finalmente, seja X arbitrária e G-mensurável. Sabemos que existe uma sequência
{Xn } de funções simples, G-mensuráveis tais que |Xn | < |X| e limn Xn = X. Como
|Xn Y | ≤ |XY | e |XY | é integrável por hipótese, pelo item (v) do Teorema 2,
temos que limn E[Xn Y kG] = E[XY kG] com probabilidade 1. Resulta portanto que
X E[Y kG] = limn Xn E[Y kG] = limn E[Xn Y kG] = E[XY kG]. Como X E[Y kG] é Gmensurável (pois é limite de funções G-mensurável) e é integrável (pois, pelos itens
(iii) e (iv) do Teorema 2, |Xn E[Y kG]| = | E[Xn Y kG] ≤ E[|Xn Y |kG] ≤ E[|XY |kG],
que é integrável), resulta que X E[Y kG] é uma versão de E[XY kG], como querı́amos.
¤
Teorema 4. Sejam X uma variável aleatória integrável e G1 ⊂ G2 , sub-σ-álgebras
de F. Então com probabilidade 1 vale que
E[E[XkG2 ]kG1 ] = E[XkG1 ] = E[E[XkG2 ]kG1 ].
Demonstração. Para a primeira igualdade, temos que E[XkG2 ] é integrável portanto, pela definição de esperança condicional, E[E[XkG2 ]kGR1 ] é G1 -mensurável e inRtegrável, assim falta verificar o item (ii) da definição 4 isto é, GR E[E[XkG2 ]kG1 ] d P =
RG X d P para G ∈ GR1 . De fato, se G ∈ G1 então G ∈ G2 donde G E[E[XkG2 ]kG1 ] d P =
E[XkG2 ] d P = G X d P. Para a segunda, observe que E[XkG1 ] por ser G1 G
mensurável é também G2 -mensurável, assim da observação depois da prova da
Proposição 2 segue o que querı́amos.
¤
Teorema 5. Seja X uma variável aleatória integrável e G uma sub-σ-álgebra de
F. Se X for independente de G então, com probabilidade 1, vale que
E[XkG] = E[X].
Demonstração. Lembramos o leitor que dizer que X é independente de G é dizer que
a σ-álgebra gerada por X é independente de G. Note que como E[X] é constante,
4
FABIO NISKI
segue que E[X] ∈ G. Agora seja Λ ∈ G arbitrário. Temos que
Z
E[X] d P = E[X] P(Λ)
Λ
= E[X] E[I[Λ] ]
= E[X · I[Λ] ]
Z
=
X · I[Λ] ] d P
Ω
Z
=
X dP.
Λ
Donde resulta o que querı́amos.
¤
Vamos formalizar o conceito subjetivo de informação amarrando-o com o conceito de sub-σ-álgebra. Com isso, torna-se mais fácil a interpretação de resultados
probabilı́sticos envolvendo esperança condicional.
Considere um experimento que consiste no lançamento de 3 moedas nos instantes de tempo t1 , t2 e t3 . Seja Ω o espaço de todos os resultados possı́veis deste
experimento, isto é Ω = {HHH, HHT, HT H, HT T, T HH, T HT, T T H, T T T }. A
figura 1 ilustra as possibilidades deste experimento. Em t0 a única informação que
temos sobre o resultado do experimento (ω) é a trivial, isto é, ω é tal que ω ∈ Ω.
Em t1 temos mais informações sobre o possı́vel ω que irá ocorrer, de fato, agora
sabemos que ω ∈ {HHH, HHT, HT H, HT T } ou ω ∈ {T HH, T HT, T T H, T T T }.
Figura 1. Árvore de estados possı́veis.
Seja F1 a σ-álgebra gerada pela familı́a
{{HHH, HHT, HT H, HT T }, {T HH, T HT, T T H, T T T }}.
Dizer que um observador possui a informação F1 é dizer que para qualquer F ∈ F1
ele sabe se ω ∈ F ou se ω ∈
/ F . No caso do lançamento das moedas, é dizer que o observador conheçe o resultado do primeiro lançamento. Após o segundo lançamento,
obtemos mais informações. Sabemos agora que ω pertencerá a exatamente um dos
MARTINGAIS
5
conjuntos da famı́lia
{{HHH, HHT }, {HT H, HT T }, {T HH, T HT }, {T T H, T T T }},
sendo F2 a σ-álgebra gerada por esta famı́lia, dizer que o observador possui a
informação F2 é , equivalemente ao que escrevemos antes, conhecer o valor da
variável aleatória I[F ] para cada F ∈ F2 . O fato intuitivo de que a cada lançamento
o observador possui mais informações sobre o resultado do experimento, é expresso
pela inclusão F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ F3 onde F0 é a σ-álgebra trivial e F3 é, neste caso,
a σ-álgebra gerada pela famı́lia
{{HHH}, {HHT }, {HT H}, {HT T }, {T HH}, {T HT }, {T T H}, {T T T }}.
Observe que no sentido que demos acima, ter a informação F0 é não saber nada e
ter a informação F3 é saber o resultado do experimento.
3. Martingais
3.1. Definição e exemplos.
Definição 5. Sejam X1 , X2 , . . . uma sequência de variáveis aleatórias definidas no
espaço de probabilidade (Ω, F, P) e F1 , F2 , . . . uma seqûencia de σ-álgebras de F.
Dizemos que a sequência {(Xn , Fn ) : n = 1, 2, . . .} é um martingal (discreto) quando
as quatro condições a seguir forem satisfeitas:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
{Fn } é uma filtração, isto é, Fn ⊂ Fn+1 .
{Xn } é adatpada à filtração, isto é, Xn é Fn -mensurável.
E[|Xn |] < ∞.
E[Xn+1 kFn ] = Xn , com probabilidade 1.
É usual dizer apenas que a sequência {Xn } é um martingal quando a filtração
estiver implı́cita no contexto. Se ao invés de (iv) valer, com probabilidade 1, que
E[Xn+1 kFn ] ≥ Xn ,
então a sequência {Xn } é chamada de submartingal. Se valer que
E[Xn+1 kFn ] ≤ Xn ,
dizemos que sequência é um supermartingal.
Apartir deste ponto, quando não for explicitada nenhuma filtração, subentendese que se trada da filtração natural gerada pela sequência de variáveis aleatórias,
isto é Fn = σ(X1 , . . . , Xn ).
R
R Pela definição de esperança condicional, temos para A ∈ Fn que A E[Xn+1 kFn ] d P =
X
d P. Agora, a condição (iv) da definição anterior diz que Xn é uma versão
A n+1
de E[Xn+1 kFn ] e como Xn é Fn -mensurável, a condição pode ser reescrita como
Z
Z
(1)
Xn+1 d P =
Xn d P, A ∈ Fn .
A
A
Como {Fn } é filtração, podemos,
por indução,
R
R repetir o argumento
R acima e concluir
que para A ∈ Fn vale que A Xn d P = A Xn+1 d P = . . . = A Xn+k d P. Isso
mostra que Xn é uma versão de E[Xn+k kFn ] para k ≥ 1. Vamos agora apresentar
alguns exemplos de martingais.
6
FABIO NISKI
Exemplo 1. Seja {Xn } uma sequência de variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuidas e com média
Pn0 (Este processo é conhecido como Passeio
aleatório centrado) e defina Sn = k=1 Xn , n ≥ 0 (Y0 = X0 = 0). Com relação
à filtração Fn = σ(X0 , . . . , Xn ) = σ(S0 , . . . , Sn ), {Xn } e {Sn } são martingais. De
fato
E[Sn+1 kFn ] = E[Sn + Xn+1 kFn ]
= Sn + E[Xn+1 kFn ]
= Sn + 0.
Note que usamos o fato que Xn+1 é independente de Fn (a demonstração disso é
uma aplicação do Teorema 20.2 do Billinsgley) e o Teorema 5.
Exemplo 2. Seja {Fn } uma filtração no espaço de probabilidade (Ω, F, P) e seja
X uma variável aleatória integrável. Para cada n defina Xn = E[XkFn ]. Pela
definição de esperança condicional, Xn é integrável e Fn -mensurável. Temos então
que {Xn } é adaptada à filtração {Fn } e
E[Xn+1 kFn ] = E[E[XkFn+1 ]kFn ]
pela construção de Xn+1
= E[XkFn ]
pelo Teorema 4
= Xn
pela construção de Xn .
Exemplo 3. Sejam {Fn } uma filtração no espaço de probabilidade (Ω, F, P) e ν
uma medida finita em F. Suponha que P seja absolutamente contı́nua com respeito
a ν quando ambas medidas estão restritas a Fn . Pelo teorema de Radon-Nikodym,
existe uma densidade Xn de ν com respeito a P quando ambas estão restritas a Fn .
Então Xn é uma função Fn -mensurável e satisfaz
Z
Xn d P = ν(A), A ∈ Fn .
A
Pelo fato de Xn ser positiva (pois é densidade) e por ν ser finita segue que
Z
Xn d P = ν(Ω) < ∞,
Ω
ou seja, Xn é P-integrável. Pelo mesmo argumento considere
agora a densidade
R
Xn+1 . Como A
∈
F
implica
que
A
∈
F
temos
que
X
d P = ν(A), porn
n+1
n+1
A
R
R
tanto vale que A Xn d P = A Xn+1 d P e por (1) resulta que {Xn } é um martingal.
Exemplo 4. É muito útil enxergar os martingais em termos de jogos (de apostas
com dinheiro). Para isso, denote por ∆Xn = Xn − Xn−1 a variável aleatória que
representa o ganho de um jogador no n-ésimo jogo (vamos assumir que X0 = 0)
que é realizado nos instantes n = 1, 2, . . .. Um bom jogador mantém um registro
do seu capital disponı́vel jogo a jogo para que possa tomar as decisões da melhor
forma possı́vel. Modelamos esse fato dizendo que o jogador no instante k possui
a informação gerada pela filtração natural Fk = σ{Xi : i ≤ k} = σ{∆Xi : i ≤
k}. Assim, em um jogo honesto, imediatamente antes da n-ésima partida o jogador espera que seu ganho incremental seja 0 em média. Expressamos isso como
E[∆Xn kFn−1 ] = 0 mostrando como jogos honestos e martingais estão relacionados.
De forma análoga, os jogos favoráveis ao jogador são modelados como submartingais pois temos que E[∆Xn kFn−1 ] ≥ 0. Os jogos desfavoráveis ao jogador, tı́picos
de cassino, são supermartingais e evidentemente E[∆Xn kFn−1p. ] ≤ 0.
MARTINGAIS
7
O exemplo anterior mostrou como podemos interpretar martingais em termos de
jogos de apostas. Uma pergunta que possa ser natural para jogadores e é certamente
interessante para matemáticos é: Será que podemos transformar um jogo honesto
em um jogo favorável?. Para responder essa pergunta, precisamos antes de uma
Definição 6. Dada uma filtração {Fn }, dizemos que uma sequência de varı́aveis
aleatórias {Cn } é um processo previsı́vel quando, para n ≥ 2, Cn for Fn−1 -mensurável.
Voltando à pergunta, vamos interpretar um processo previsı́vel como uma estratégia de jogo. Cn representa a quantidade que será apostada na n-ésima partida.
É natural supor que Cn ≥ 0 e que exista um limite para as apostas, isto é, para
algum K ∈ [0, ∞) vale que Cn (ω) ≤ K para todo n e ω. O fato de ser um processo
previsı́vel diz intuitivamente que a escolha de Cn só pode depender das informações
que o jogador tem até a jogada n − 1. Nessas condições Ck (ω)∆Xk (ω) representa
Pk
quanto o jogador ganhou na k-ésima jogada e
j=1 Cj (ω)(∆Xk (ω)) representa
quanto o jogador ganhou até a k-ésima jogada. O próximo teorema mostra que a
resposta para a nossa pergunta é negativa.
Teorema 6. Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e {Fn } uma filtração. Se
{Xn } é um (sub/super)martingal e {Cn } um processo previsı́vel, positvo e limitado,
então a sequência {In } definida por
n
n
X
X
(2)
In (ω) =
Cj (ω)(∆Xj (ω)) =
Cj (ω)(Xj (ω) − Xj−1 (ω))
j=1
j=1
é um (sub/super)martingal também.
Demonstração. Perceba que In satisfaz os itens (i),(ii) e (iii) da definição 5. Vamos
mostrar que (iv) também vale. De fato,
E[In kFn−1 ] = E[In−1 + Cn ∆Xn kFn−1 ]
pela construção de In
= E[In−1 kFn−1 ] + E[Cn ∆Xn kFn−1 ] pela linearidade da esperança condicional
= In−1 + Cn E[∆Xn kFn−1 ]
pois In−1 ∈ Fn−1 e pelo teorema 3
= In−1 + Cn · 0
por hipótese.
E[In kFn−1 ] = In−1 e o teorema está provado. As afirmações referentes aos (sub/super)martingais
são provadas da mesma forma.
¤
O processo (2) é um exemplo de transformada
martingal de {Xn } por {Cn } e é a
R
versão discreta da integral estocástica C dX que estudaremos depois.
Como observação final, note que {Xn } é submartingal se e somente se {−Xn }
for um supermartingal. Por esta equivalência, para todos os resultados sobre submartingais existem os duais para supermartigais e vice versa. Além disso, {Xn } é
um martingal se e somente for um submartingal e um supermartingal. Disso, todos os resultados que valem para submartingais ou para supermartingais, também
valem para martingais.
3.2. Convergência de martingais. Vamos começar esta seção com um lema:
Lema 3. Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e {Fn } uma filtração. Se
(i) {Xn } for um martingal então E[X1 ] = E[X2 ] = . . .
(ii) {Xn } for um submartingal então E[X1 ] ≤ E[X2 ] ≤ . . .
(iii) {Xn } for um supermartingal então E[X1 ] ≥ E[X2 ] ≥ . . .
8
FABIO NISKI
Demonstração. Vamos provar (i). Pela discussão logo após a definição 5 vimos que
para A ∈ F1 e k ≥ 1 vale
Z
Z
X1 d P =
Xk d P
A
A
Tomando A = Ω, segue o resultado. A demonstração dos outros itens é análoga. ¤
Considere a < b dois números reais. Vamos denotar por UN (a, b) a variável
aleatória que indica a quantidade de upcrossings (ou atravessamentos pra cima???)
feitas pela sequência {Xn } até o instante N . Ela é definida como o maior k ∈
{0, 1, 2, . . .} tal que podemos encontrar
0 ≤ s1 < t1 < s2 < t2 < . . . < sk < tk ≤ N
onde
Xsi (ω) ≤ a,
Xti (ω) ≥ b
(1 ≤ i ≥ k).
Nosso objetivo agora será provar o seguinte resultado obtido por J. L. Doob
Teorema 7. Seja {Xn } um supermartingal. Então, UN (a, b), como definido acima,
satisfaz a seguinte desigualdade
E[UN (a, b)] ≤
E[(XN − a)− ]
.
b−a
Para demonstrar este teorema, vamos lançar mão da relação entre jogos e martingais. Considere então dois jogadores P e Q. O jogador P irá jogar N partidas
e seu dinheiro na n-ésima jogada será representado pela variável aleatória Xn . O
jogador Q adotará a seguinte estratégia: Antes do primeiro jogo começar, ele fixa
dois numeros a e b (a < b) e vai iniciar uma série de apostas na rodada que o
dinheiro de P ficar menor ou igual a a e terminará na rodada que o dinheiro de P
ficar maior ou igual a b. Esta estratégia pode ser representada como uma sequência
de variavéis aleatórias {Cn } definidas da seguinte maneira:
C1 = I[X0 ≤a]
e para n ≥ 2,
Cn = I[Cn−1 =1] I[Xn−1 ≤b] + I[Cn−1 =0] I[Xn−1 ≤a] .
Por essa construção, resulta que {Cn } é um processo previsı́vel em relação à σálgebra natural Fk = σ(X1 , . . . , Xk ) (ou seja é Fn−1 -mensurável pois existe uma
função mensurável f tal que para todo ω ∈ Ω, Cn (ω) = f (X1 (ω)), . . . , Xn−1 (ω)).
Assim,Pseja Yn o dinheiro do jogador Q até o instante n. Temos que Y0 = 0 e
n
Yn = j=1 Cj (Xj − Xj−1 ). Observe a cada upcrossings, o valor de o dinheiro do
jogador Q aumenta em pelo menos b − a unidades. Assim, sendo (XN (ω) − a)− a
pior perda possı́vel no ultimo intervalo de jogadas, resulta que
(3)
YN (ω) ≥ (b − a)UN (a, b)(ω) − (XN (ω) − a)− .
Com isso, estamos prontos para provar o teorema.
Demonstração. (do Teorema 7.) Temos que o processo {Cn } é previsı́vel, limitado e
não-negativo. Pelo Teorema 6 resulta que {Yn } é um supermartingal. Agora, como
Y0 = 0, temos pelo item (iii) do Lema 3 que E[YN ] ≤ 0. Finalmente, tomando o
valor esperado dos dois lados da desigualdade (3) temos
E[YN ] ≥ E[(b − a)UN (a, b) − (XN − a)− ]
MARTINGAIS
9
e usando que E[YN ] ≤ 0, resulta
E[UN (a, b)] ≤
E[(XN − a)− ]
.
b−a
Como querı́amos.
¤
Se {Xn } for um supermartingal representando o dinheiro de um jogador em uma
série de jogos, vimos que é razoável esperar que este dinheiro diminua conforme
as partidas são realizadas. Em termos de upcrossings esse fato é justificado pelo
seguinte
Corolário 1. Sejam {Xn } um supermartingal tal que supn E[|Xn |] < ∞ e a < b
.
números reais arbitrarios, então, definindo U∞ (a, b) = limN UN (a, b), temos que
P[U∞ (a, b) = ∞] = 0.
Demonstração. Como (Xn − a)− ≤ |Xn | + |a|, pelo Teorema 7 temos que
|a| + E[|XN |]
b−a
|a| + supn E[|XN |]
≤
.
b−a
E[UN (a, b)] ≤
Pelo teorema da convergência monótona, limN E[UN (a, b)] = E[U∞ (a, b)], donde
|a| + supn E[|XN |]
< ∞.
b−a
.
Agora suponha por absurdo que P[A] > 0 onde A = {ω ∈ Ω : U∞ (a, b)(ω) = ∞}.
Isso implica que
Z
Z
E[U∞ (a, b)] =
U∞ (a, b) d P +
X dP
A
Ω\A
Z
= ∞ · P[A] +
X dP
E[U∞ (a, b)] ≤
Ω\A
= ∞.
Esta contradição completa a demonstração.
¤
Agora estamos com condições para provar um dos principais resultados desta
seção
Teorema 8. (Teorema de convergência de Doob) Seja {Xn } um supermartingal.
Se supn E[|Xn |] < ∞ então, existe uma variável aleatória integrável X∞ tal que
limn Xn = X∞ com probabilidade 1.
Demonstração. Em primeiro lugar, lembramos que escrever b < lim sup Xn (ω) é o
mesmo que dizer que b é menor que o maior ponto de acumulação de {Xn (ω)}, que
é o mesmo que dizer que existe uma subsequência de {Xn (ω)} que converge para
um número maior do que b e isso finalmente implica que existem infinitos indı́ces
n tais que Xn (ω) > b. De forma análoga, a > lim inf Xn (ω) implica na existência
de infinitos indices n tais que Xn (ω) < a. Posto isso,
10
FABIO NISKI
.
Θ = {ω : Xn (ω) não converge em [−∞, ∞]}
= {ω : lim inf Xn (ω) < lim sup Xn (ω)}
[
=
{ω : lim inf Xn (ω) < a < b < lim sup Xn (ω)}.
a,b∈Q:a<b
.
Seja Θa,b = {ω : lim inf Xn (ω) < a < b < lim sup Xn (ω)}. Se ω ∈ Θa,b , então
sendo U∞ (a, b)(ω) como no Corolário anterior, temos, pela discussão inicial, que o
número de upcrossings é infinito. Disso resulta a inclusão
Θa,b ⊆ {ω : U∞ (a, b)(ω) = ∞}.
Agora, pelo Corolário anterior, P[Θa,b ] = 0 e assim,


[
X
Θa,b  ≤
P[Θ] = P 
a,b∈Q:a<b
P[Θa,b ] = 0.
a,b∈Q:a<b
Portanto está garantida a existência de X∞ = lim Xn com probabilidade 1. Vamos
agora mostrar que X∞ é integrável. De fato, pelo Lema de Fatou,
Z
Z
Z
|X∞ | d P =
lim inf |Xn | d P ≤ lim inf
|Xn | d P < ∞.
Ω
Ω
Ω
E isso termina a demonstração.
¤
3.3. Tempos de parada. Outros dois teoremas centrais da teoria dos Martingais
são Doob’s Optional Sampling e o Doob’s Optional Stopping Theorem. Para tratar
destes resultados, vamos introduzir o conceito de tempo de parada. Com o ferramental que desenvolvemos até agora, é possı́vel provar os teoremas citados acima para
tempos de parada finitos. Veremos que ao indroduzir o conceito de martingal uniformemente contı́nuo será possivel extender esses resultados para tempos de parada
não finitos e uma versão modificada do Teorema de convergência de Doob. De posse
destes resultados vamos, em um próximo capı́tulo, generaliza-los para martingais
continuos o que será crucial para desenvolver a teoria de integração estocástica.
Definição 7. Dizemos que uma variável aleatória T : Ω 7→ {0, 1, . . . ; ∞} é um
tempo de parada (com relação à filtração {Fn } quando
{ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn ,
∀n ≤ ∞.
Perceba que pela definição acima é S
necessário que {T = ∞} ∈ F∞ . Para lidar
.
com essa situação, definimos F∞ = σ( n≥1 Fn ).
Intuitivamente, podemos interpretar o tempo de parada como o instante em
que decidimos parar de jogar um jogo ou o instante em que exercemos uma opção
americana. A mensurabilidade de T diz que a decisão de T ≤ n ou não, é tomada
com base na informação disponı́vel até o instante n. Para modelos em tempo
discreto, é mais fácil verificar que T é um tempo de parada usando a seguinte
equivalência
Lema 4. T : Ω 7→ {0, 1, . . . ; ∞} é um tempo de parada se, e somente se
{ω : T (ω) = n} ∈ Fn ,
∀n ≤ ∞
MARTINGAIS
11
Demonstração. Se valer que {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn ,
∀n < ∞ , então
{ω : T (ω) = n} = {ω : T (ω) ≤ n} \ {ω : T (ω) ≤ n − 1} ∈ Fn .
e
{ω : T (ω) = ∞} = Ω \ {ω :
[
T (ω) ≤ n} ∈ F∞ .
n≥1
Reciprocamente, se valer que {ω : T (ω) = n} ∈ Fn , ∀n ≤ ∞, então, para k ≤ n,
{ω : T (ω) = k} ∈ Fk ⊆ Fn e portanto, resulta que
[
{ω : T (ω) ≤ n} =
{ω : T (ω) = k} ∈ Fn .
k≤n
e
{ω : T (ω) ≤ ∞} = Ω ∈ F∞ .
¤
Lema 5. Sejam T1 e T2 tempos de parada e K um inteiro positivo. Então
(i) T1 ≡ K é um tempo de parada ;
(ii) T1 ∧ T2 = min{T1 , T2 } é um tempo de parada ;
(iii) TK = T1 ∧ K = min{T1 , K} é um tempo de parada finito.
Demonstração. Temos que {T = n} = Ω, quando n = K e {T = n} = ∅, quando
n 6= K. Isso prova a primeira T
afirmação. Para a segunda, note que para qualquer
n, {T1 ∧ T2 > n} = {T1 > n} {T2 > n} ∈ Fn . A última resulta das anteriores e
do fato que TK ≤ K.
¤
Será que um martingal interrompido continua sendo um martingal? Vamos responder esta pergunta e formalizar esse conceito. Sejam, então, um supermartingal
{Xn } e T um tempo de parada. Considere um jogo de apostas e a seguinte estratégia de um jogador: Sempre apostar uma unidade e parar imediamente depois
do instante T (ou da T -ésima jogada). A estratégia pode ser representada pela
(T )
(T )
sequência de variavéis aletórias {Cn } onde Cn (ω) = I[n≤T ] (ω). Vamos mostrar
(T )
que esta estratégia é um processo previsı́vel. De fato, Cn só pode assumir os
(T )
valores 0 ou 1 e portanto, {ω ∈ Ω : Cn (ω) = 0} = {ω ∈ Ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn−1 .
(T )
(T )
Como {ω ∈ Ω : Cn (ω) = 1} = Ω \ {ω ∈ Ω : Cn (ω) = 0} ∈ Fn−1 , resulta o que
(T )
querı́amos. Por construção, {Cn } é positivo e limitado. O ganho total do jogador
até a k-ésima jogada In , é calculado por
I0 (ω) = 0,
Ik (ω) =
k
X
Cn(T ) (ω)(Xj (ω) − Xj−1 (ω)),
k > 0.
j=1
Para ilustrar, veja que para ω ∈ Ω fixado tal que T (ω) = 4, temos para k = 6 que,
I6 (ω) = X4 (ω) − X0 (ω), e quando k = 3, I3 (ω) = X3 − X0 . De modo geral,
(4)
In (ω) = XT (ω)∧n (ω) − X0 (ω).
Essa discussão nos motiva à seguinte
Definição 8. Sejam {Xn } um supermartingal e T um tempo de parada, todos com
respeito à uma filtração {Fn }. Dizemos que {XT ∧n } é um processo parado em T .
e ao seguinte
12
FABIO NISKI
Teorema 9. (Teorema da parada opcional de Doob I). Sejam (Ω, F, P) um espaço
de probabilidade, {Xn } um supermartingal (martingal) e T um tempo de parada,
ambos com respeito à filtração {Fn }. Então o processo parado em T , {XT ∧n } é um
supermartingal (martingal) e vale que
E[XT ∧n ] ≤ E[X0 ]
(E[XT ∧n ] = E[X0 ]).
Demonstração. Pela discussão anterior, podemos usar In definido em (4) no Teorema 6. Segue portanto que In é um supermartingal (martingal). Assim,
E[In ] ≤ E[I0 ]
E[XT ∧n − X0 ] ≤ 0
E[XT ∧n ] ≤ E[X0 ].
Pelos mesmos argumentos, se {In } for um martingal resulta que
E[XT ∧n ] = E[X0 ].
Como querı́amos.
¤
Um exemplo importante de tempo de parada é o de first hitting time. Para definilo, considere um processo {Xn } adaptado à filtração {Fn } e seja B um boreliano
qualquer. TB : Ω → {0, 1, . . . ; ∞} definido por TB (ω) = inf{n ≥ 1 : Xn (ω) ∈ B} é
um tempo de parada (aqui usamos que inf ∅ = ∞). De fato, para k ≥ 2,
{TB = k} =
k−1
\
{Xj ∈
/ B} ∩ {Xk ∈ B} ∈ Fk
j=1
{TB = ∞} = Ω \
[
{TB ≤ n} ∈ F∞
n≥0
e para k = 1, {TB = 1} = {X1 ∈ B} ∈ F1 .
Considere agora um passeio aleatório centrado como no exemplo 1. Vimos que
{Sn } é um martingal e seja T = inf{n : Sn = 1} um tempo de parada. Sabe-se (ver
Williams pag 102) que P (T < ∞) = 1. Queremos saber se quando n → ∞ temos
E[ST ∧n ] → E[ST ]. Sabemos, pelo último teorema que E[ST ∧n ] = E[S0 ] = 0 mas
ST = 1 com probabilidate 1. Então a resposta à essa pergunta é negativa. Para ser
positiva, devemos acrescentar algumas hipóteses como mostra o próximo teorema.
Teorema 10. (Teorema da parada opcional de Doob II). Sejam (Ω, F, P) um espaço
de probabilidade, {Xn } um supermartingal (martingal) e T um tempo de parada,
ambos com respeito à filtração {Fn }. Então XT é integrável e vale que
E[XT ] ≤ E[X0 ]
(E[XT ] = E[X0 ]).
nas seguintes situações:
(i) Existe N ∈ N tal que T (ω) ≤ N, ∀ω;
(ii) Existe K ∈ R+ tal que |Xn (ω)| ≤ K, ∀(n, ω) ∈ (N × Ω) e T finito com
probabilidade 1.
(iii) E[T ] < ∞ e para algum K ∈ R+ ;
|Xn (ω) − Xn−1 (ω)| ≤ K
∀(n, ω) ∈ (N × Ω).
MARTINGAIS
13
Demonstração. Em primeiro lugar, sabemos do teorema anterior que o processo
{XT ∧n } é integrável e
(5)
E[XT ∧n − X0 ] ≤ 0,
pois {XT ∧n } é supermartingal.
Para o item (i), bastar usar (5) com n = N , assim
E[XT ∧N − X0 ] ≤ 0
E[XT ∧N ] ≤ E[X0 ]
E[XT ] ≤ E[X0 ].
Para o item (ii), temos que P {ω ∈ Ω : lim XT ∧n (ω) = XT (ω)} = 1 pois o limite
converge para XT em {ω ∈ Ω : T (ω) < ∞} que por hipótese tem medida 1. Além
disso |XT | ≤ K < ∞ e portanto E[XT ] < ∞, isto é, XT é integrável. Desses
.
resultados, seja fn = XT ∧n − X0 . fn é uniformemente limitada e converge com
probabilidade 1 para XT − X0 . Pelo teorema da convergência limitada, E[XT −
X0 ] = lim E[XT ∧n − X0 ] ≤ 0. Assim E[XT ] ≤ E[X0 ].
Para o item (iii), note que
|XT ∧n − X0 | = |
T
∧n
X
(Xk − Xk−1 | ≤ KT.
k=1
Agora, da hipótese que E[T ] < ∞, segue que KT é uma função integrável e sendo
fn como na demonstração do item (ii) temos que fn converge com probabilidade
1 para XT − X0 . Estamos nas condições do teorema da convergência dominada
que garante que XT é integrável e E[XT − X0 ] = lim E[XT ∧n − X0 ] ≤ 0. Portanto
E[XT ] ≤ E[X0 ]. Finalmente, perceba que todas os passos acima continuam válidos
se considerarmos o processo {Yn } = {−Xn } que é um submartingal. Disso resulta
que o teorema também vale para o caso de martingais e nesse caso E[XT ] = E[X0 ].
¤
Teorema 11. (Doob’s optional sampling for bounded stopping times). Sejam {Xn }
um supermartingal e T , τ tempos de parada limitados com T ≤ τ com probabilidade
1. Então
E[XT