AULA 01 – CONCEITOS BÁSICOS DE LÓGICA E PRINCÍPIOS
Olá amigos, meu nome é Adeilson de Melo. Fui convidado para ministrar
aulas dessa apaixonante matéria que é o Raciocínio Lógico Matemático. ESPERO QUE
TODOS GOSTEM E SE DEDIQUEM AO MÁXIMO, pois isto é pressuposto básico para seu
aprendizado. Vou iniciar este curso com um pouco de teoria e depois praticaremos
muitos exercícios.
Abordarei nesta aula os conceitos mais importantes dessa matéria, tendo
sempre o foco de nosso trabalho voltado para as bancas FCC e CESPE/UNB.
VEJA O CONTEÚDO DO ÚLTIMO EDITAL (2011/2012, ORGANIZADO PELA FCC)
RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos
das proposições; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; conectivos;
proposições simples; proposições compostas. 2 Tautologia. 3 Operação com conjuntos. 4
Cálculos com porcentagens.
CONCEITOS BÁSICOS DE LÓGICA
Este assunto que é cobrado em praticamente todos os
concursos em que a disciplina Raciocínio Lógico é abordada. Tratase do que aprendemos na escola simplesmente com o nome de
Lógica: você deve lembrar: p e q, se p ... então q, ... etc.
No estudo da lógica matemática, estaremos em muitas ocasiões diante da
linguagem corrente, como vemos no seguinte exemplo:
"Sócrates é Inteligente ou Platão é Sábio"
Usar essa linguagem, porém, não é adequado para resolvermos questões de
concurso. Para isso, deveremos transformar essa linguagem em outra que indique
apenas símbolos, a qual denominamos linguagem simbólica.
A linguagem simbólica possui dois elementos essenciais: as proposições e os
operadores.
www.concursoproinss2014.com.br
As sentenças são um conjunto de palavras, ou símbolos, que exprimem um
pensamento de sentido completo. São compostas por um sujeito e por um predicado.
Vamos a alguns exemplos:
Maria ganhou um presente.
Gustavo não comprou uma Bicicleta.
Que horas você chegou a escola?
Que dia belo!
As proposições podem ser:
Afirmativas:
Negativas:
Interrogativas:
Exclamativas:
Imperativas:
PROPOSIÇÃO. Trata-se de uma sentença fechada, algo que será declarado
por meio de palavras ou de símbolos (expressões matemáticas) e cujo conteúdo
poderá ser considerado verdadeiro (V) ou falso (F). Ou seja, poderemos atribuir um
juízo de valor acerca do conteúdo dessa proposição.
Ex: Pedro é pedreiro.
Caso ele realmente seja pedreiro o valor lógico desta proposição será
verdadeiro, caso ele não seja pedreiro, o valor lógico da proposição será falso (por
exemplo, se ele for bombeiro).
Nas cinco frases apresentadas, apenas as duas primeiras são proposições,
pois podemos julgá-las com “V” ou “F”. Frases como: “Que horas você chegou ao
trabalho?”, “Que dia lindo!” ou “Tome um café.”, não são proposições, pois, como
vimos acima, não podemos atribuir um juízo de valor a respeito delas.
Sentenças interrogativas, exclamativas ou no imperativo não são proposições. Apenas
as sentenças afirmativas e negativas poderão ser proposições.
www.concursoproinss2014.com.br
Perceberam o “poderão ser”? É isso mesmo, não basta a frase ser afirmativa
ou negativa para ser considerada uma proposição. É preciso que ela possa ser julgada
com “F” ou “V”.
Vejamos mais alguns exemplos:
2+3=4
A metade de 10
E então, esses dois exemplos são proposições? Bom, voltando ao conceito
“algo declarado por meio de palavras ou de símbolos (expressões matemáticas) e cujo
conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso”. Portanto, só o primeiro
exemplo é considerado uma proposição, pois sabemos que 2 + 3 = 5 e não 4, o que
torna essa proposição falsa. Já o segundo exemplo, ele não apresenta algo que poderá
ser julgado com V ou F, pois a informação não possui sentido completo, falta o
predicado. Chamamos esse segundo exemplo apenas de “expressão”.
Devemos saber também que existem expressões matemáticas e sentenças
afirmativas ou negativas às quais não podemos atribuir um valor lógico verdadeiro ou
falso. Isso mesmo, pode acontecer de uma sentença não ser nem exclamativa, nem
interrogativa e nem mesmo uma ordem, e, ainda assim, nós não conseguimos atribuir
um valor lógico verdadeiro ou falso para ela. Vejamos dois exemplos:
Ele é campeão mundial de futebol
x + 3 = 10
No primeiro caso, apesar de termos uma frase afirmativa, não podemos
avaliar sobre quem está se afirmando ser campeão mundial de futebol. O sujeito é uma
variável que pode ser substituída por um elemento qualquer que transformará a
sentença em verdadeira ou falsa.
No segundo caso, a depender do valor atribuído para o “x”, a sentença será
verdadeira ou será falsa. Essas sentenças são denominadas sentenças abertas e pelo
fato de não podermos julgá-las em verdadeiras ou falsa, não são proposições.
www.concursoproinss2014.com.br
Assim, podemos classificar as sentenças em abertas e fechadas. A sentença
aberta é aquela em que existe uma variável que faz com que nós não consigamos
avaliar se são verdadeiras ou falsas. Já a sentença fechada é aquela que não possui
nenhuma variável, todas as informações são bem claras.
Por enquanto basta saber que mesmo as sentenças afirmativas e negativas
podem ser sentenças abertas e assim não serem consideradas proposições. Isso
ocorrerá sempre que houver uma variável e nós não conseguirmos atribuir um valor
lógico para elas.
PARADOXO. São frases que serão falsas se a considerarmos verdadeiras e
serão verdadeiras e a considerarmos falsas.
Vejamos um exemplo:
“eu sempre falo mentiras”
se eu realmente sempre falo mentiras, essa frase é verdadeira, mas
contradiz o que está escrito nela, já que eu estaria falando uma verdade, o que a torna
falsa. Por outro lado, se eu não falo mentiras, essa frase é falsa, mas contradiz o que
está escrito nela, o que a torna verdadeira. Portanto, uma frase como essa é chamada
de paradoxo e não é considerada proposição lógica.
RESUMINDO:





Sentenças abertas: Possuem uma variável e por isso não podemos atribuir um valor lógico
para elas. Não são proposições.
Frases interrogativas, exclamativas ou imperativas: Não conseguimos atribuir um valor lógico
para elas. Não são proposições.
Paradoxos: Não são considerados proposições.
Expressões sem sentido completo: Não são consideradas proposições.
Proposições: São sentenças as quais podemos atribuir um valor lógico Verdadeiro ou Falso.
www.concursoproinss2014.com.br
PRINCÍPIOS DA LÓGICA
Estes princípios são muito importantes para se entender esta matéria. Fixoos bem no seu entendimento!!!
1. Princípio da identidade
Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira.
"Cada coisa é aquilo que é." (Gottfried Leibniz)
2. Princípio do terceiro excluído
Toda proposição tem um dos dois valores lógicos: ou verdadeiro ou falso,
excluindo-se qualquer outro.
"Quem diz de uma coisa que é ou que não é ou dirá o verdadeiro ou dirá o
falso. Mas se existisse um termo médio entre os dois contraditórios nem do ser nem
do não ser poder-se-ia dizer que é o que não é." (Aristóteles)
3. Princípio de não contradição
Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa.
"Efetivamente, é impossível a quem quer que seja acreditar que uma mesma coisa seja
e não seja" (Aristóteles)
O princípio da identidade afirma que uma proposição não pode ser “mais”
verdadeira do que outra. Não existem patamares de verdade. Na Lógica Aristotélica,
todas as proposições verdadeiras, assim como todas as proposições falsas, estão em
um mesmo nível.
O princípio do terceiro excluído estabelece que só existem dois valores
lógicos. Assim, por exemplo, a proposição p (“Existe vida fora da Terra”) só pode
assumir uma das duas
possibilidades, V ou F, excluindo-se um hipotético valor lógico “talvez”, “não
lembro” ou “pode ser”.
O princípio de não contradição decreta que uma
proposição não pode ser simultaneamente V e F. Assim, se uma
proposição é verdadeira, já temos certeza de que ela não pode ser
falsa, e reciprocamente.
www.concursoproinss2014.com.br
O valor lógico de uma proposição p é indicado por V(p). Por exemplo, se a
proposição p for falsa, indicamos V(p) = F.
QUESTÕES DE CONCURSOS PARA EXERCITAR
................................................................................................................................
1. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma
característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
02. (BB2/2007/Cespe) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como
verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente
simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R, etc. Se a
conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente por
∧, então se obtém a forma P∧Q, lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem
V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada
usualmente por ∨, então se obtém a forma P∨Q, lida como “P ou Q” e avaliada como
www.concursoproinss2014.com.br
F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada
por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.
A partir desses conceitos, julgue o próximo item.
Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:
(I) O BB foi criado em 1980.
(II) Faça seu trabalho corretamente.
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.
(SEBRAE 2010/CESPE-UnB) Para os itens seguintes, serão consideradas como
proposições apenas as sentenças declarativas, que mais facilmente são julgadas como
verdadeiras — V — ou falsas — F —, deixando de lado as sentenças interrogativas,
exclamativas, imperativas e outras.
As proposições serão representadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C etc.
[...]
Sentenças como “x + 3 = 5”, “Ele é um político”, “x é jogador de futebol” são
denominadas
sentenças abertas; essas sentenças, como estão, não poderão ser julgadas como V ou
F, pois os sujeitos, no caso, são variáveis. Essas expressões tornam-se proposições
depois de substituída a variável por elemento determinado, permitindo o julgamento
V ou F.
[...]
Tendo como referência as informações do texto, julgue os itens de 04 a 06.
03. Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas
são proposições.
A: Pedro é marceneiro e Francisco, pedreiro.
B: Adriana, você vai para o exterior nessas férias?
C: Que jogador fenomenal!
D: Todos os presidentes foram homens honrados.
E: Não deixe de resolver a prova com a devida atenção.
www.concursoproinss2014.com.br
04. As frases “Transforme seus boletos de papel em boletos eletrônicos” e “O carro
que você estaciona sem usar as mãos” são, ambas, proposições abertas.
05. Considere a seguinte sentença aberta: “x é um número real e x2 > 5”. Nesse caso,
se x = 2, então a proposição será F, mas, se x = –3, então a proposição será V.
06. (TRT 17ª Região 2009/CESPE-UnB) Proposições são frases que podem ser julgadas
como verdadeiras — V — ou falsas — F —, mas não como V e F simultaneamente.
[...]
A partir das informações do texto, julgue o item a seguir.
A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições.
- A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica.
- Por que existem juízes substitutos?
- Ele é um advogado talentoso.
07. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. 5x + y é um número inteiro.
III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS:
a) I e II são sentenças abertas.
b) I e III são sentenças abertas.
c) II e III são sentenças abertas.
d) I é uma sentença aberta.
e) II é uma sentença aberta.
08 - (TCE/PB 2006 – FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a
respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na
relação seguinte há expressões e sentenças:
1. Três mais nove é igual a doze.
www.concursoproinss2014.com.br
2. Pelé é brasileiro.
3. O jogador de futebol.
4. A idade de Maria.
5. A metade de um número.
6. O triplo de 15 é maior do que 10.
É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números
A) 1, 2 e 6.
B) 2, 3 e 4.
C) 3, 4 e 5.
D) 1, 2, 5 e 6.
E) 2, 3, 4 e 5.
__________________________________________________
OBSERVAÇÃO: O gabarito será divulgado na próxima aula.
www.concursoproinss2014.com.br