- Decomposição de Reynolds Equações Básicas dos Termos Médios e Flutuações
Fluido com Propriedades Constantes
Processos de Média
Média Temporal - apropriada para turbulência estacionária,
isto é as propriedades médias não variam com o tempo
(escoamento numa tubulação impulsionado por uma bomba
de rotação constante)
1 t T
FT x   lim
 f x, t dt
l
T T t
• Média Espacial - pode ser utilizada para turbulência
homogênea que possui propriedades médias uniformes
para todas as direções.
1
FV x   lim
 f x, t dV

V V V
Processos de Média
• Média
de Conjunto (ensemble) - aplica-se para
escoamentos que variam com o tempo.
• Exemplo: N experimentos idênticos com condições de
contorno que diferem por pertubações aleatórias. fn(x,t) é a
medida de f do nth experimento, e sua média de conjunto é:
1 N
FE x   lim
 fn x, t 

N N n1
Para um escoamento estacionário e homogêneo as três
médias são coincidentes. Esta é conhecida como hipótese
ergótica.
Decomposição de Reynolds
Média temporal p/ turbulência estacionária
u(x,t)
U(x,t)
Tu
T
t
•A
velocidade instantânea é dada pela soma da velocidade
média e flutuações:
ui x, t   Ui x   ui' x, t 
Decomposição de Reynolds
•A
velocidade média é estimada considerando-se que o
período da flutuação, Tu é muito menor que o tempo T
de aquisição:
1 t T
Ui x  
 ui x, t dt ,
T t
Tu  T
•A
média da média é a própria média; a barra superior
indica média temporal
1 t T
Ui x  
 Ui x dt  Ui x 
T t
• A média da flutuação é nula:
1 t T
'
u i x  
 ui x, t   Ui x  dt 
T t

 Ui x   Ui x   0

Propriedades da Média de Reynolds
O processo de média de
Reynolds sobre
operações envolvendo as
variáveis instantâneas é
decorrente das definições
da média:
f
v alo
r
instantâneo

f
v alor
medio

f'
v alor
f lutuante
f f
f'  0


f  g  f  f'  g  f  g
f'g  0
 
f  f  f ' f


f  g  f  f '  g  g'  f  g
x
x


x
 f dx   f  f ' dx   fdx
Correlações (I)
A média do produto de duas variáveis, f e y tem a forma:
fy    f'    y'    
y'  
f'  f' y'    f' y'


0
0
• A média do produto entre uma quantidade média e outra
flutuante é zero porque a média da flutuante é nula!
• A média do produto de duas flutuações não é
necessariamente nula. As quantidades f e y estão
correlacionadas se f' y'  0 . Elas não apresentam
correlação se f' y'  0 .
Correlações (I)
• Para produtos triplos encontra-se, de forma similar:
fy    f'   y'   '    f' y'  y' '  f' '  f' y' '
• Os termos lineares em f’, y’ e ’ tem média zero.
Termos de flutuação quadráticos e cúbicos não
apresentam razões a priori para serem nulos.
Correlações (II)
Considere um escoamento 2D no plano (x,y):
se f’ = y’ = ui’ tem-se o valor médio quadrádico da
flutuação,
u ' u '  v' v'  0
se f’ = u’ e y’ = v’ tem-se a correlação de
velocidades, ela expressa o grau de associação
entre as variáveis.
Correlações (II)
Representação instantânea das ocorrências de u’ e
v’ num gráfico (x,y)
(a) v’
u'v'  0
(b)
v’
(c) v’
u'v'  0
u’
u'v'  0
u’
u’
(a) u’ e v’ não estão correlacionados
(b) u’ e v’ correlacionados; se u’ aumenta, v’ diminui e vice versa;
(c) u’ e v’ correlacionados; se u’ aumenta, v’ aumenta e vice versa;
Desigualdade de Schawrz:
Coeficiente de correlação:
2
u' v '  u'  v '
Ruv 
2
u' v '
2
u'  v '
2
,
 1  Ruv  1
Definição das Variáveis Instantâneas, Médias e
FlutuantesPara as Equações de Transporte
Instantânea
Média
Flutuante
Velocidade
ui
Ui
u’i
Pressão
p
P
p’
Temperatura
t
T
t’
Energia Cinética
q
K
k’
Deformação
s
S
s’
Tensor Tensões
t
T
t’
Equações Médias de Reynolds - Massa
Equação da conservação da massa para um fluido
incompressível :
'
ui Ui u i


0
xi xi xi
pode-se concluir então que:
u'i
Ui

0
x i
x i
isto é, a vazão do campo médio assim como a do campo
flutuante se conservam instante a instante. Em outras palavras,
o divergente do campo médio assim como o das flutuações são
nulos!
Equação de N.S. média
Tomando-se a média temporal da Equação da quantidade de
movimento instantânea:
ui 

t
 u jui 
x j
2

ui 
p


x i
x jx j





 u 'j u 'i 
2
Ui  U jUi  

Ui 


P






t
x j
x j
x i x j x j
Equação de N.S. média
A equação do momento em termos das variáveis médias é
idêntica aquela com variáveis instantâneas a exceção do termo
de correlação u' ui'
j
. Ele representa a média temporal do
fluxo de momento devido as flutuações.
Esta correlação constitui o problema fundamental em
turbulência! Para calcular todas as propriedades médias do
escoamento é necessário prover equações constitutivas
(modelos) para o termo de correlação das flutuações. Aqui
começa a ciência e a arte da modelagem.
Tensor de Reynolds (I)
•O
fluxo de momento devido às flutuações é conhecido como o
tensor de Reynolds;
• Ele é também reconhecido como a tensão exercida no fluido
pelas flutuações turbulentas;
• Ele é simétrico e possui seis componentes independentes
entre si;
 u' u'

TiT, j  ui'u 'j    u' v '

w ' u'

v ' u'
v ' v '
w ' v '
w ' u' 

w ' v ' 

w ' w '

Tensor de Reynolds (I)
•A
soma dos elementos da diagonal principal é a
energia cinética turbulenta específica, (energia por
unidade massa), freqüentemente denominada por
energia cinética somente;

1 ' ' 1 2
k  u i u i  u'  v'2  w '2
2
2

 J 
 
 kg 
• Por conveniência, a correlação de velocidades
passará a ser expressa por:
 iT, j  u i' u 'j 
TiT, j

Tensor de Reynolds (III)
 O tensor das tensões no fluido é decomposto na sua
componente média e outra devido à turbulência (flutuações
das velocidades).
Ti, j   Pi, j  2Si, j


Tensões
CampoMédio
ui'u'j




Tensões
Campo Flutuações
 A forma mais popular da equação média do momento é
transportando o termo de fluxo de momento das
flutuações para o lado direito da equação e
reconhecendo-o como a contribuição do movimento
turbulento ao campo das tensões:
 Ui   U jUi 
P




t
x j
x i x j

' ' 
2

S


u
u
i, j

j i 

Tensor de Reynolds (III)
 O tensor de Reynolds introduz mais 6 variáveis além de
(U,V,W e P). Portanto existem mais incógnitas que equações
para o problema! Se for tentado obter eq. para as tensões
turbulentas aparecerão incógnitas do tipo u i' u 'ju 'j que serão
geradas pelos termos não lineares da inércia. Tornando o
processo de fechamento recursivamente não solucionável.
Equação das Flutuações de Velocidade
 Ela pode ser obtida a partir da equação do momento da
flutuação que é obtida subtraindo-se a equação N.S da
velocidade instantânea da eq. N.S em termos da média
temporal:


  Ui  ui'
t
 Ui 
t
  U j  u'j Ui  ui' 
x j

 
  U jUi  u 'j u 'i
 
x j



     
 
 ' '  
'
'
' '


U
u

U
u

u
u

 u ju i   
  i j
j i
j i
'
 ui

 


 

t
x j
 

 2 Ui  ui'
P  p'
 

x i
x j x j

 P 

x i
 p'


x i


 2 Ui 

x j x j

 2 ui'

x j x j
O operador Navier-Stokes (N(*))
 Definindo o operador Navier-Stokes das flutuações de
velocidade, N(u’i):
     
 
'
'
' '  ' '  
  Uiu j  U jui  u jui   u jui  
'
 ui
 2 ui'

  p'


'
N ui 


-
0
t
x j
x i
x j x j




Equação das Tensões de Reynolds (I)
 Equação de transporte para o tensor de Reynolds, i,j , por
meio da média temporal do produto entre o operador NavierStokes e a com a flutuação de velocidade
 
ui'  N u 'k
 
 uk'  N u 'i  0
 A operação é detalhada termo a termo a seguir.
Considerando o termo transiente:
 

 


'
'
' '
  i ,k


u


u


u
'
'
k
i
iuk
ui
 uk


t
t
t
t

 O termo convectivo:


 Uiu 'j  U jui'  u 'jui'  u 'jui' 
  u '
uk' 
i
x j


 U j ui'uk' 


x j


 U j i,k
x j


Ui
u 'juk'
x j

Ui
 j,k
x j


 Uk u 'j  U juk'  u 'juk'  u 'juk' 


x j
Uk
ui'u 'j
x j


Uk
 i, j
x j



ui'uk' u 'j
x j


ui'uk' u 'j
x j
Equação das Tensões de Reynolds (II)
 O termo de pressão:
ui'
   
p'
p'
 uk'


-p'
x k
x i
x k
x i
x k
 ui'p'
 uk' p'
ui'




 ui'p'   uk' p' 
 
 - p's '
 
i,k
x i
x k
x i
uk'
-p'
 O termo viscoso:
2 '
'  uk
ui
x j x j
 2 ' ' 
  2 
'
'
'
'

u
u

u

u

u

u
i
,
k
'
i
k
i
k
i
k
  2
  2
 uk
 
  
 x j x j 
 x j x j 
x j x j
x j x j
x j x j




 2ui'
 Lembrando-se que Ti,jT representa o tensor turbulento.
Para expandir e simplificar os termos convectivos foi
utilizado relações da eq. continuidade: (Ui/ xi= u’i/ xi
= 0)
Equação das Tensões de Reynolds (III)
 Coletando-se os termos transiente, convectivo, pressão e
difusivo e considerando  conste, chega-se a:
 i,k
t

U j  i,k
x j



Transporte
Tensor pelo
Campo Médio


Ui
Uk
   i,k 




Ci,k , j   k , j
  k ,i

x j  x j  x j
x j
x j
 


  

Dif usão
Molecular

Dif usão
Turbulenta
ProduçãoTensor
pelo Campo médio
 i,k


Dissipação
(destruição)
Tensor
 i,k

Correlação:
Pressão
Def ormação
onde as definições dos termos:
i,k  ui'uk'
 i,k
u i' u 'k
 2ν
x j x j


Ci , k , j
 ' ' ' p' '

'
  u i u k u j  u k  j,k  u i  j,i 



 i ,k
p'  u i' u 'k 
  2  p'si' ,k
  

  x k x i 


Equação das Tensões de Reynolds (IV)
 A equação do tensor de Reynolds possui (6) componentes,
uma para cada tensor;
 Apesar de se ter criado 6 novas equações, foram também
geradas 22 novas incógnitas:
ui'uk' u 'j  10 incógnitas
ui' uk'
 i,k  2
 6 incógnitas
x j x j
ui'
p'
 p'
 uk'
 6 incógnitas
x k
x i
Equação das Tensões de Reynods (V)
 Devido a não-linearidade da Eq. N.S nota-se que a tentativa de
se obter equações de ordem estatística superiores
(correlação uiuk) são gerados novas incógnitas.
 Se fosse produzido novas equações para os termos
incógnitos novas variáveis desconhecidas seriam geradas!
 Isto ocorre pq o processo de média é matemático e não físico.
 A geração de incógnitas revela que o processo de média de
Reynolds é uma brutal simplificação da eq. N.S. Se os termos
incógnitos não são modelados adequadamente significa que a
eq. N.S modelada está perdendo informação.
Equação da Energia Cinética Turbulenta (I)
 A energia cinética turbulenta específica (J/kg) é obtida a
partir da diagonal principal (traço) do tensor turbulento do
fluido:
'
'
i ,i   u i ,i u i ,i  2k
 A equação da energia cinética turbulenta é constituída
tomando-se o ‘traço’ da equação do tensor de Reynolds, isto
é, fazendo-se os índices i=k
1,1
t
 2, 2
t
 3,3
t



U j 1,1
x j
U j  2, 2
x j
U j  3,3
x j


x j
 1,1 

C1,1, j



x

x

j 
j



 1, j
U 1
U 1
 1, j
 1,1   1,1
x j
x j


x j
  2, 2 
U 2
U 2

C 2, 2, j   2, j
  2, j
  2, 2   2, 2



x

x

x

x

j 
j
j
j



x j
  3,3 
U 3
U 3

C 3, 3, j   3, j
  3, j
  3 , 3   3, 3


x j
x j
 x j  x j




Equação da Energia Cinética Turbulenta (II)
 Somando-se e contraindo-se as três equações chega ao
transporte da energia cinética turbulenta:
k  U j k 

t
x j

Transporte K
campo médio
U i
  i, j

x j



Produção

Dissipação


x j
 k 1 ' ' ' 1 ' ' 
 uiuiu j  p u j 


 x j 2




(1) Difusão:Molecular
(2) Transporte Turbulento
(3) Difusã o da Pressão
Equação da Energia Cinética Turbulenta (III)
 O tensor i,j é nulo quando i, j. Isto significa que a correlação
entre a flutuação de pressão e o tensor das deformações
flutuantes não produz energia mas redistribui!
 A produção de K, PK, representa a taxa com que a energia está
sendo transferida do campo médio para turbulência. Como Sij
é simétrico, PK pode ser re-escrito como: PK=:S;
 Dissipação  é a taxa com que a energia cinética turbulenta é
convertida em energia intena; escoamentos em equilíbrio a
taxa de produção é igual a de dissipação, PK = ;
 dk/dxj é o transporte por difusão molecular da energia
cinética turbulenta;
 A correlação tripla é o transporte da energia turbulenta (uiui)
no fluido pelas turbulência;
 A difusão da pressão é o transporte turbulento resultante da
correlação entre a flutuação de pressão e velocidade.
Equação da Energia Cinética Turbulenta (IV)
 A mesma equação também se chega a partir da média
temporal no operador:
 
ui'  N ui'  0
onde N(u’i) é o operador Navier-Stokes para as flutuações de
velocidade.
 ‘q’ é a energia cinética e sua
2
decomposição;
q  Ui  ui'   UiUi  2Uiui'  ui'ui'
q  U 2i  u 'i2
 
K
I
k
K
k
 o valor médio de q é o quadrado da
velocidade média (K) mais a média
do quadrado das flutuações, (k);
 Define-se intensidade de turbulência
como sendo a razão entre energias
cinéticas das flutuações com o as do
campo médio; tipicamente I < 5%
porém pode atingir até 60%.
Expressões para o termo de Dissipação,  I
ui' ui'

x j x j
 A quantidade , expressa a taxa de
dissipação de energia por unidade de
massa por unidade de tempo. Ela é
denominada por função dissipação deriva
do traço do tensor dissipação,i,j
 Ela difere da definição
da função dissipação,
(Hinze, Townsend), que
 d  2si', j : si', j ,
é proporcional ao
quadrado do tensor
deformação das
flutuações:
 u' u'j 
1

si', j 
 i 
2  x j x i 


Expressões para o termo de Dissipação,  II
 Reconhecendo-se que ambas expressões são sempre
positivas a dissipação real, d e o termo viscoso acima
estão relacionados por meio de:

' 

u
 2 ui'u'j
  ' j
  d 
 ui
  d  
x j 
x i 
x j x i


A equação acima tem direta relação com Eq.
(101)
na
apostila
‘Forma
Diferencial
das
Equações de Transporte’
 Nota-se que  não é a expressão completa para a função
dissipação a menos que as 2a derivadas das tensões de Re
são nulas ou desprezíveis em comparação com . Pode-se
afirmar contudo que para escoamentos com Re elevados, 
 d. Na prática, a diferença entre os termos é pequena
(< 2% Bradshaw) a exceção de regiões próximas às
paredes.
Expressões para o termo de Dissipação,  III
 A funções  d são coincidentes para turbulência isotrópica
(G.I.Taylor). O quadrado da média de todas derivadas parciais
pode ser expresso em função de apenas uma derivada.
u' 2  v ' 2  w ' 2
 Turbulência isotrópica:
em qualquer região do
espaço mas podem variar com o tempo. Se as flutuações são
aleatórias, não pode haver correlação cruzada: u'v'  0
  d  
 2 ui'u 'j
x j x i



   d
0
 u'   u' 
   d  15


 x   x 
Veja Warsi
Sumário Equação da Energia Cinética Turbulenta (I)
 Em notação tensorial cartesiana a equação de transporte
da energia cinética turbulenta é dada por:
k
k
  k 1 ' ' ' 1 ' '
' '  Ui


 Ui
 u j u j 


u
u
u

u
p
i
j
j
t
 xi
 xj
 x i   x i 2
 i 
Sumário Equação da Energia Cinética Turbulenta (II)
 Dado que o tensor de Reynolds é simétrico, o termo de
produção também pode ser expresso pelo produto dele
com o tensor médio da deformação :

 Uj 
k
k
' ' 1   Ui
 
 Ui
 u j u j 

t
 xi
2   x j  x i 
 xi
 k 1 ' ' ' 1 ' '


  x  2 u i u ju j   u i p 
i


 A função dissipação , coincide com a dissipação real do
fluido somente para escoamentos isotrópicos; e portanto
ela também é batizada por dissipação isotrópica,
ui' ui'

x j x j
Equação da Dissipação, 
 A equação para  é obtida
ui' 
'




2


N
u
0
i
tomando-se a média
x j x j
temporal do operador:
onde N(u’i) é o operador Navier-Stokes para as flutuações de
velocidade.
 Existe uma considerável álgebra para se chegar a forma final
da equação de e. As passagens algébricas para alguns termos
são mostradas:
 ui'    ui'  1   ui' ui'  1 



transiente :  



 x j  x j  t  2 t  x j x j  2 t







'
'
 ui' 
 ui'  1

u

u




 1
i
i
  Uk

  Uk
convectivo:  



U
 x x  2 k x
 x j 
 x j  2

x

x
k
k
j
j
k






 u i'  1   p '     p ' u i' 





pressão:  

 x   x  x   x  x x 
j 
j 
i 
i 
j
j 

Equação da Dissipação,  (II)
(I) variação temporal; (II) convecção; (III) difusão da dissipação
por efeitos molecular, pelas flutuações de pressão e pelas
flutuações de velocidade; (IV) geração devido a deformação do
campo médio; (V) geração de flutuação de vorticidade devido a
ação de auto-alongamento da turbulência; (VI) decaimento
(destruição) da taxa de dissipação devido a ação viscosa.
'
'


'  u'



u

u


  
2
ν

p
j

i
i 
 u' 
 Uj








 j x x   x x
t
 xj  xj   xj
m
m
m
m




'
'
'
'
 '  u 'i   2 Ui
 Ui   u i  u j  u k  u k 
u

 2


2

k
 x  xx
 x j   x k  x k  xi  x j 
j 
j
k



2
'
  2 u'

 u 'i  u 'i  u 'k

u
2
i
i

 2
 2

  xk xm  xk xm 
 xk  xm  xm


Equação da Dissipação,  (III)
 A equação da dissipação é muito mais complexa que a
equação da energia cinética turbulenta;
 Ela envolve diversas novas e desconhecidas correlações
duplas e triplas das flutuações de velocidade, pressão e
gradiente de velocidade!
 As correlações duplas e triplas existentes são praticamente
impossíveis de se medir experimentalmente;
 Do ponto de vista experimental não se tem esperança de se
conseguir relações para fechamento das correlações que
envolvem a eq. ;
 Recentes simulações com DNS vem ajudando a se ganhar um
maior conhecimento sobre as correlações duplas e triplas
mas a base de conhecimento ainda é muito esparsa.
Equação da Dissipação,  (IV)
 A forma exata da equação da dissipação não é útil para ser o
ponto inicial de desenvolvimento de um modelo.
 Da teoria de Kolmogorov,  é visto como o fluxo de energia na
cascata dos turbilhões;
 O fluxo de energia é determinado pelos grandes turbilhões
num processo que não depende da viscosidade!
 Porém, a energia é dissipada nas pequenas escalas;
 A equação de  deveria se ater as pequenas escalas, porém o
processo de média introduz diversos produtos de correlações
que, de forma indireta, expressam a taxa de dissipação
 É praticamente impossível modelar fisicamente os termos da
equação de  uma vez que eles referem-se a produtos e
correlações das grandes escalas.
 Portanto, a forma modelada da eq. para  é vista como
empírica.
Equação da Energia Média em termos da Temperatura
A equação da energia aplica-se para escoamentos sem
dissipação, sem trabalho de compressão e propriedades
constantes.
A difusividade térmica é definida por a = k/Cp

 T  t '

t
 T 
t


 U j  u 'j  T  t '
x j


'
 U jT   u j t '

x j
x j
 

a
  T  t '
x j x j
 2 T 
a
x jx j
Fluxo de Calor Turbulento, q’
A média temporal do produto entre a flutuação de velocidade
e de temperatura pode ser interpretado como um fluxo de
calor transportado pelo campo médio.
q T   ρC p t'u'; ρC p t'v'; ρC p t'w'
De forma que ele pode ser transposto para os termos
difusivos da equação da energia!
 U jT 
 T 

t
x j

 

1   T
'
 C p u j t ' 
k
C p x j  x j

Equação das Flutuações de Temperatura
 Ela pode ser obtida a partir da equação do momento da
flutuação que é obtida subtraindo-se a equação N.S da
velocidade instantânea da eq. N.S em termos da média
temporal:
T  t '

t


 2 T  t '
 a
x j x j
x j

T 
t


 U j  u 'j T  t '

 U j T  u 'j t '



x j
   U t   T u   u t   u t
 t'
t
'
j
'
j
x j
' '
j
' '
j


 2 T 
a
x j x j
a
 
2 t'
x j x j
O operador da Equação da Energia E(*)
 Definindo o operador da equação da energia para as
flutuações de temperatura, E(t’):
E t '  
   U t   T u   u t   u t
 t'
'
j
t
'
j
' '
j
' '
j
x j

 a
 
2 t'
x j x j
0
 Relembrando o operador Navier-Stokes das flutuações de
velocidade, N(u’i):


 

 
 

 
 
'
'
' '
' '
'
2
'

U
u

U
u

u
u

u
u

u

u


1

p
'
i
j
j
i
j
i
j
i
i
i
N u i' 


-
0
t
x j
 x i
x j x j
Equação de Transporte do Fluxo de Calor Turbulento
O fluxo de calor turbulento q, é transportado pelo campo médio. A
equação de transporte para q é obtida tomando-se a média
temporal dos operadores N e E com t’ e u’ :
 
t' N u i'  u i' Et'  0
 
  
 u i' t '


U j u i' t ' 
t
x j


x j
'
 ' t '

u
1 ' ' 
'
' ' '
i
 t
 au i u j t  p t  i, j 
a u i
x j
x j



 
 
'
'

t

t
u
T
1
 u 'j t '
 u 'j u i'
 a   
 p'
x j
x j
x j x j  x i
U j
'
i
Equação de Transporte do Fluxo de Calor Turbulento (II)
A equação de transporte do fluxo de calor turbulento é vetorial!
Uma interpretação física dos termos segue:
os termos do lado esquerdo representam o transporte de q;
o primeiro termo do lado direito (L.D.) é a difusão molecular ( e a)
, a difusão turbulenta e a difusão de pressão;
o segundo e terceiro termos do L.D. representam a produção pelo
gradiente do campo médio de velocidades e temperatura
O quarto termo do L.D. é a dissipação devido aos efeitos de
difusividade hidrodinâmica e térmica
O último termo do L.D. é uma correlação entre as flutuações de
pressão e o gradiente da flutuação de temperatura
Equações Reynolds & En. Cinética Turbulenta
Escoamentos 2-D
• Considera-se o fluido incompressível de propriedades constantes.
• O campo de escoamento é bi-dimensional em regime
permanente; sendo U e V as velocidades médias ao longo das
direções x e y
U
U
U
1 P 1   U

 1   U
V





uu




uv
 y


x
y
 x  x 

x


y










 xx
U
 yx
V
V
1 P 1   V

 1   V
V





vu




vv
 y


x
y
 y  x 

x


y










 xy
 yy
Equações Reynolds & En. Cinética Turbulenta
Escoamentos 2-D
1
1
A energia cinética
k  u '2  v'2  w '2 ; k '  u '2  v'2  w '2 
turbulenta, k
2
2



valor medio da en. cinética turbulenta
valor instantâneo de k
pu'    k 1 '
k
k   k '
pv' 
    v k '  
U  V    u k ' 
x
y x  x
  y  y 2
 




difusao turbulenta

U
U
V
V 
 u ' u '
 u ' v'
 v' u '
 v' v'   

x
y
x
y

 dissipaçao
produçao pelo grad. vel.media (P)
2
2
2 


u

u

u






 


 


 z 
 y 
  x 



Onde a dissipação das
2
2
2
flutuações é dada pela     u i  u i       v    v    v  
 x 
 z 
 y 
 x j x j 
expressão:



2
2
2

w

w

w




 
  

 








x
y
z  
Para campo 2-D, as flutuações w são


isotrópicas, dw/dx=dw/dy=dw/dz
Equações para um Canal/Tubo
y
x
0

1 P 1   U




uv

 x  y  y

0
1 P  vv

 y
y
• Nota-se que estas equações só podem ser resolvidas se for provido
equações constitutivas para o tensor de Reynolds
• Este problema é referido como problema de ´fechamento´em
turbulência. Só pode ser resolvido propondo modelos para os termos
do tensor de Reynolds
• Equação da Energia Cinética Turbulenta
d  dk
pv 
0


kv




dy  dy
 



difusao turbulenta
dU 

uv



dy 



produçao (P)
2
 u i 



x
 j 




dissipaçao (  )
Energia Cinética próximo a uma parede
d  dk
pv 
0


kv




dy  dy
 



difusao turbulenta
2
 u i 
dU 

 uv dy     x 

 j 






produçao (P)
dissipaçao (  )
Equações da Camada Limite
dU 0 1   U
U
U

U
V
 U0




uv

x
y
dx
 y  y




 yx
1 P  vv
0

 y
y
2
 u i 
k
k
  k
pv 
 U 
U V
     kv     uv    

x
y
y  y


y

x

 j 








difusao turbulenta
produçao (P)
dissipaçao (  )
Dados Experimentais em Tubos - Laufer
(1954) Flutuação de Velocidade Próximo
da Parede
Dados Experimentais em Tubos - Laufer
(1954)Energia Cinética & Tensão Turbulenta
Dados Experimentais em Tubos - Laufer (1954)
Energia Cinética & Tensão Turbulenta
Dados Experimentais em Tubos - Laufer (1954)
Balanço de Energia Próximo da Parede
Dados Experimentais em Tubos - Laufer (1954)
Balanço de Energia na Camada Externa