Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 25
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelo Prof. Christiano
Cantarelli Rodrigues
Aula 25

Análise de Regressão

Correlação
Introdução
Existe relação entre o tempo em sala de aula e o
salário?
Existe relação entre a temperatura e o nível de
oxigênio dissolvido em um rio?
Existe relação entre a fração de área impermeável
em um lote e a vazão gerada após uma chuva?
Existe relação entre o nível de fibra de carbono em
um material em que é fabricada uma estrutura e a
resistência desta ao impacto?
Existe relação entre as vazões médias mensais de 2
postos de monitoramento próximos?
Existe relação entre o no de motos vendidas e o no de
acidentes de trânsito?
Análise de Regressão
Técnica estatística usada para modelar e investigar a
relação entre 2 ou mais variáveis a partir de dados
amostrais
1) Pode ser usada para construir um modelo para
prever um fenômeno  exemplo: ano que vem, se
forem vendidas x motos, teremos y acidentes ...
2) Pode ser usado também para otimizar um
processo, determinar as variáveis que melhoram
resposta de um processo ou para controlar um
processo  exemplo: modificar a temperatura num
experimento não modifica em nada os resultados, mas
se for modificado tal composto, o efeito é o
desejado
Análise de Regressão
Suponha que um engenheiro esteja interessado em
saber se a porcentagem de hidrocarbonetos
presente em um condensador principal de uma
unidade de destilação tem relação com a pureza do
oxigênio produzido em um processo químico
Chamando de x a pureza (%) e y a quantidade de
hidrocarboneto (reagente, também em %)  traçarse primeiramente um diagrama de dispersão
A seguir os dados e o gráfico
Análise de Regressão
Pureza
X(%)
Y(%)
1
0,99
90,01
2
1,02
89,05
3
1,15
91,43
4
1,29
93,74
5
1,46
96,73
6
1,36
94,45
7
0,87
87,59
8
1,23
91,77
9
1,55
99,42
10
1,40
93,65
11
1,19
93,54
12
1,15
92,52
13
0,98
90,56
14
1,01
89,54
15
1,11
89,85
16
1,20
90,39
17
1,26
93,25
18
1,30
93,41
19
1,43
94,98
20
0,95
87,33
Diagrama de dispersão
100
Pureza (%)
Reagente
Observação
95
90
85
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
Reagente (%)
Embora não vejamos uma curva, mas
sim pontos dispersos, há forte
indicação de que eles repousam
aleatoriamente em torno de uma reta
Análise de Regressão
Tomando x = 1,2, esperaríamos que
seu valor de y caísse na reta
Análise de Regressão
esperaríamos que y(1,2) caísse aqui
Mas caiu
aqui
Isto ocorre porque Y é uma v.a.
Análise de Regressão
Se Y é uma v.a.  possui uma distribuição de
probabilidade  possui valor esperado e possui
variância
Para um dado valor de x (tal como x = 1,2), Y possui
valor esperado ou média que é aquele que
esperaríamos que caísse bem na reta
Então a média da v.a. Y está relacionada com x pela
relação linear seguinte:
E(Y | x)  Y x  0  1x
Análise de Regressão
E(Y | x)  Y x  0  1x
Análise de Regressão
Coeficientes de Regressão
Y x  0  1x
Interseção da reta
Inclinação da reta
A média de Y é uma função linear de x
Mas um valor real qualquer observado y não cai
exatamente na reta
Análise de Regressão
y
y = (Y|x) + 

(Y|x) = 0 + 1x
x
Modelo Linear Probabilístico  maneira mais
apropriada para generalizar
Y  0  1 x  
Erro aleatório
Modelo de Regressão Linear
Simples
Análise de Regressão
Y  0  1 x  
Modelo de regressão linear simples  possui apenas
uma variável independente x  regressor
v. a. Y:
Valor esperado
E(Y | x)  Y x  E(0  1x)  E( )
Variância
Var(Y | x)  Var(0  1 x)  Var( )
Análise de Regressão
Supondo que a v.a.  tenha valor esperado (média) 0
e variância s2
E(Y | x)  0  1x
Var(Y | x)  s
2
1) o modelo verdadeiro de regressão é uma linha de
valores médios
2) 1 é a mudança média de Y para uma mudança
unítária de x
Análise de Regressão
Supondo que a v.a.  tenha valor esperado (média) 0
e variância s2
E(Y | x)  0  1x
Var(Y | x)  s
2
3) A variabilidade de Y, em um valor particular de
x, é determinada pela variância do erro s2
4) Essa variância é a mesma para cada x 
distribuição de valores ao redor da média (Y|x)
Regressão Linear Simples
Possui apenas uma variável independente x 
regressor
Possui apenas uma variável dependente aleatória Y 
variável de resposta
Nosso objetivo é estimar os parâmetros
populacionais 0 e 1, ou seja, teremos estimativas
pontuais, vindas de amostras retirada de 2
populações
E(Y | x)  0  1x
Que populações?
Estimar
Regressão Linear Simples
As populações são de X e Y
A regressão linear
simples supõe ser possível
uma relação linear entre
as 2 populações
X
Y
0 e 1
Amostra
Amostra
x , x , ..., x
1 2
n
y , y , ..., y
1 2
n
ˆ0 e ˆ1
Estimativas pontuais de 0 e 1
A estimativa dos
parâmetros do modelo pode
ser feita pela estimativa
1 n
y    yi
dos mínimos quadrados:
n
1 n
x    xi
 n  i 1
  i 1
ˆ1 
Sxy
Sxx
ˆ0  y  ˆ1 x
Regressão Linear Simples


x


i
n
 xi2   i 1 
n
i 1
n
Fórmulas
n
n
S xx   (xi  x )
S xy   yi (xi  x )
2
i 1
 n  n 
  xi   yi 
n
 yi xi   i 1  i 1 
n
i 1
2
i 1
ˆ0  y  ˆ1 x
ˆ1 
S xy
S xx
Yˆ  ˆ0  ˆ1 x
Reta que melhor se ajusta aos pontos
2
Regressão Linear Simples
Modelo de Regressão Linear Simples
Y  0  1 x  
Resíduo do
Modelo de
Regressão Linear
Simples
 i  yi  yˆi
Yˆ  ˆ0  ˆ1 x
Amostras x,y
Regressão Linear Simples
Como se obtiveram estas fórmulas?
yi  0  1 xi   i
Para cada ponto xi, yi 
Logo, isolando o resíduo i 
 i  yi  0  1 xi
Criando a função abaixo, derivando em relação aos
estimadores de 0 e 1 e igualando a zero 
chagamos nas fórmulas
n
n
n
(
L      ( yi  yˆ i )  yi  ˆ0  ˆ1 xi
i 1
L
 0
2
i
ˆ0 , ˆ1
2
i 1
L
0e
1
i 1
0
ˆ0 , ˆ1
)
2
 método dos mínimos
quadrados
Aplicações
Exemplo da relação entre a
porcentagem de hidrocarbonetos e a
pureza do oxigênio produzido em um
processo químico
Reagente
Pureza
X(%)
Y(%)
1
0,99
90,01
2
1,02
89,05
3
1,15
91,43
4
1,29
93,74
5
1,46
96,73
6
1,36
94,45
7
0,87
87,59
8
1,23
91,77
9
1,55
99,42
10
1,40
93,65
11
1,19
93,54
12
1,15
92,52
13
0,98
90,56
14
1,01
89,54
15
1,11
89,85
16
1,20
90,39
17
1,26
93,25
18
1,30
93,41
19
1,43
94,98
20
0,95
87,33
Observação
Aplicações
Exemplo:
n  20
20
20
2
x
 i  29,29
 xi  23,92 x  1,20
1
20
y
i
1
 1843,21 y  92,16
1
2
20
20
x y
i
i
 2214,66
1
2
y
 i  170044,53
1


x


i
2
n
n
(
)
23
,
92
2
S xx   (xi  x )  xi2   i 1   29,29 
 0,68
n
20
i 1
i 1
 n  n 
  xi   yi 
n
n
(23,92)(1843,21)  10,18
2
S xy   yi (xi  x )  yi xi   i 1  i 1   2214,66 
n
20
i 1
i 1
S xy 10,18
ˆ
1 

 14,97
S xx 0,68
n
Yˆ  ˆ0  ˆ1x  74,20 14,97x
ˆ0  y  ˆ1x  92,16  (14,97)1,20  74,20
Aplicações
Experimento
Modelo
Linear (Modelo)
Pureza (%)
100
95
90
85
0,80
1,00
1,20
Reagente (%)
1,40
1,60
Aplicações
Reagente
Pureza
X(%)
Y(%)
1
0,99
2
Resíduo do Modelo de Regressão
Linear Simples
Modelo
Resíduo
90,01
89,02
0,99
1,02
89,05
89,47
-0,42
3
1,15
91,43
91,42
0,01
4
1,29
93,74
93,51
0,23
5
1,46
96,73
96,06
0,67
6
1,36
94,45
94,56
-0,11
7
0,87
87,59
87,22
0,37
8
1,23
91,77
92,61
-0,84
9
1,55
99,42
97,40
2,02
10
1,40
93,65
95,16
-1,51
11
1,19
93,54
92,01
1,53
12
1,15
92,52
91,42
1,10
13
0,98
90,56
88,87
1,69
-1,50
14
1,01
89,54
89,32
0,22
-2,00
15
1,11
89,85
90,82
-0,97
16
1,20
90,39
92,16
-1,77
17
1,26
93,25
93,06
0,19
18
1,30
93,41
93,66
-0,25
19
1,43
94,98
95,61
-0,63
20
0,95
87,33
88,42
-1,09
 i  yi  yˆi
2,50
2,00
1,50
Resíduo
Observação
1,00
0,50
0,00
-0,50
-1,00
Propriedades dos estimadores
Já vimos que Y e  são variáveis aleatórias
Vimos também que Var(Y) = Var() = s2, mas E(Y) =
Y/x (reta de regressão) e E() = 0
Propriedades dos estimadores
Os estimadores ˆ e ˆ também são variáveis
0
aleatórias
1
2


1
x
2
ˆ
ˆ

E( 0 )   0 e Var( 0 )  s  
 n S xx 
2
s
E(ˆ1 )  1 e Var(ˆ1 ) 
S xx
Pode-se mostrar que
SQ E
sˆ 
 Estimador não tendencioso de s2
n2
2
n
n
i 1
i 1
onde: SQE    i2   ( yi  yˆi ) 2  SQT  ˆ1S xy
n
n
i 1
i 1
SQT   ( yi  y ) 2   yi2  ny 2
SQ  soma dos quadrados, dos erros (SQE) e total (SQT)
Testes de hipóteses na regressão linear
O primeiro teste que veremos é para a significância
da regressão, ou seja, responder a pergunta: existe
evidência suficiente para afirmarmos que há uma
relação linear entre x e y?
Isto pode ser feito de 2 formas
Teste t
Tabela ANOVA  teste F
Suposições:
1) A componente do erro no modelo é uma v.a. que
segue uma distribuição normal com média 0 e
variância s2   ~ N(0, s2);
2) Quanto as demais v.a.  Y ~ N(o+1x, s2),
ˆ1 ~ N(β1,s 2/Sxx ) e ˆ0 ~ N( β0,s 2  (1/n  x 2/Sxx ) )
Testes de hipóteses na regressão linear
Usando o teste t para 1 :
H0: 1 = 1,0  a inclinação da reta é igual a um valor
constante 1,0
H1: 1 ≠ 1,0
ˆ1  1, 0
t
Estatística de teste:
sˆ 2
Sxx
Se as suposições estiverem certas esta estatística
segue a distribuição t com gl = n-2, sujeito a H0
acima.
Rejeitamos H0 se |t| > tc, onde tc = ta,n-2
Testes de hipóteses na regressão linear
Usando o teste t para 0 :
H0: 0 = 0,0  a inclinação da reta é igual a um valor
constante 0,0
H1: 0 ≠ 0,0
ˆ0   0,0
t
Estatística de teste:
2


1
x
2

sˆ  
n
Sxx 
Se as suposições estiverem certas esta estatística
segue a distribuição t com gl = n-2, sujeito a H0
acima.
Rejeitamos H0 se |t| > tc, onde tc = ta,n-2
Testes de hipóteses na regressão linear
Usaremos o teste t para 1 para 1,0 = 0, ou seja:
H0: 1 = 0  a inclinação da reta é nula  não há
relação linear entre x e Y
ˆ1
H1: 1 ≠ 0
t
sˆ 2
Estatística de teste:
Sxx
Verificaremos a significância da regressão
Casos onde
H0: 1 = 0 não é
rejeitada
Testes de hipóteses na regressão linear
Verificaremos a significância da regressão
Casos onde
H0: 1 = 0 é
rejeitada
Aplicações
Continuação do exemplo
Reagente
Pureza
X(%)
Y(%)
1
0,99
90,01
2
1,02
89,05
3
1,15
91,43
4
1,29
93,74
ˆ1
5
1,46
96,73
6
1,36
94,45
sˆ 2
7
0,87
87,59
8
1,23
91,77
9
1,55
99,42
10
1,40
93,65
11
1,19
93,54
12
1,15
92,52
13
0,98
90,56
14
1,01
89,54
15
1,11
89,85
16
1,20
90,39
17
1,26
93,25
18
1,30
93,41
19
1,43
94,98
20
0,95
87,33
Observação
H0: 1 = 0
H1: 1 ≠ 0
t
Sxx
Calculados antes  ˆ1  14,97 S xx  0,68
SQ E
2
Precisamos agora sˆ 
n2
n
2
2
ˆ
SQE  SQT  1S xy SQT   yi  ny
i 1
Aplicações
Continuação do exemplo
n
SQT   yi2  ny 2  170.044,5 20  (92,16)  173,38
2
i1
SQE  SQT  ˆ1Sxy  173,38 14,97 10,18  20,985
Onde Sxy = 10,18 (calculado antes)
SQE 20,985
2
sˆ 

 1,17
n  2 20  2
14,97
t
 11,41
1,17
0,68
adotando a = 0,05 (2 caudas), com gl = n-2 = 18:
tc = 2,101  rejeita H0  há evidências suficiente
para a afirmação da relação linear entre x e y
ANOVA: testar a significância da regressão
Outra forma de fazer o mesmo teste é através da
tabela ANOVA
Col 1
Col 2
Col 3
Col 4
Col 5
Fonte de
variação
Soma dos
Quadrados
(SQ)
Graus de
liberdade
Média Quadrática
(MQ)
Estatística
de teste F
Regressão
SQR  ˆ1Sxy
1
Num = Col 2/Col 3
Den = Col 2/Col 3
Erro
SQE =SQT-SQR
n–2
Total
SQT
n–1
Num / Den
Aplicações
Continuação do exemplo
Col 1
Col 2
Col 3
Col 4
Col 5
Fonte de
variação
Soma dos
Quadrados
(SQ)
Graus de
liberdade
Média Quadrática
(MQ)
Estatística
de teste F
Regressão
152,395
1
152,395
Erro
20,985
18
1,17
Total
173,38
19
Fc = F0,05;1;18 = 4,4139  rejeita H0
130,25
ANOVA: testar a significância da regressão
Qual o significado de cada soma SQ da ANOVA?
n
2
(
)
SQT   yi  y
Soma Quadrática Total  variabilidade total
i 1
n
2
SQR   ( yˆ i  y ) Soma Quadrática da Regressão 
variabilidade devido à linha de regressão
i 1
n
SQE   ( yi  yˆ i )
i 1
2
Soma Quadrática dos Erros  variabilidade
residual sem explicação pela linha de
regressão
SQT  SQR  SQE
ANOVA: testar a significância da regressão
Qual o significado de cada soma SQ da ANOVA?
n
SQT   ( yi  y )
2
i 1
n
SQE   ( yi  yˆ i )
2
i 1
n
2
ˆ
SQR   ( yi  y )
i 1
SQT  SQR  SQE
Desvio ou variação explicada  é melhor a
estimativa 13 do que simplesmente a média 9
para o valor real 19
IC para a resposta média
Para um valor especificado de x, tal como x0, pode
ser construído um IC para a resposta média
E(Y| x0 )  Y x0  IC em torno da linha de regressão
No ponto x0, o valor
esperado é
E(Y| x0 )  Y x0  0  1x0
Já a estimativa do valor esperado é
ˆ Y x  ˆ0  ˆ1x0
0
IC para a resposta média
Nível de
confiança
x0
ˆY |x- Ex0 ˆY |x
0
x
0
ˆY |x + Ex0
0
ˆY |x  Estimador não tendencioso de Y |x
0
0
IC para a resposta média
Como temos ˆ
ˆ normalmente distribuídos:
e

0
1
ˆ Y|x
0
2


(
x0  x )  


2 1
~ N Y|x0 , s  

Sxx  

n


Var(ˆ Y|x0 )
Usando sˆ 2 como estimativa de s 2
E  tc
2

(
x0  x )   Margem de erro da
2 1
sˆ  

predição em x0
Sxx 
n
tc = ta,n-2 (2 caudas)
Aplicações
Continuação do exemplo
Construir o intervalo de confiança para a resposta
média, adotando NC = 95%
Estimativa pontual para
qualquer x0
ˆ Y x  74,2 14,97x0
0
Margem de erro para qualquer x0
tc = 2,101
2

1 (x0  1,20) 
2
E  2,101 (1,17) 


0,68 
 20
Aplicações
Calculando a resposta média e a margem de erro
para vários valores de x0, surge o gráfico abaixo
Adequação do modelo de regressão
Ajustar um modelo de regressão requer várias
suposições
• A estimação dos parâmetros 0 e 1 requer que os
erros  sejam v.a. não correlacionadas com média
zero e variância s2 constante
• Testes de hipótese e construção de IC requerem
que os erros  tenham distribuição normal
A análise dos resíduos ou análise residual e o
coeficiente de determinação R2 nos ajudam a
verificar se o modelo é realmente adequado
Adequação  análise dos resíduos
A análise dos resíduos é útil para verificar se eles
seguem a distribuição normal
Histograma de frequência dos
resíduos
Pode-se construir
Gráfico de probabilidade
normal dos resíduos
Gráficos dos resíduos contra
valores de y ou x
Vamos ver nas aplicações
Aplicações
Continuação do exemplo
Reagente
Pureza
Pureza prevista
X(%)
Y(%)
(%)
1
0,99
90,01
87,22
2,786
2
1,02
89,05
88,42
0,628
3
1,15
91,43
88,87
2,559
4
1,29
93,74
89,02
4,720
5
1,46
96,73
89,32
7,410
6
1,36
94,45
89,47
4,981
7
0,87
87,59
90,82
-3,227
8
1,23
91,77
91,42
0,354
9
1,55
99,42
91,42
8,004
10
1,40
93,65
92,01
1,636
11
1,19
93,54
92,16
1,376
12
1,15
92,52
92,61
-0,093
13
0,98
90,56
93,06
-2,502
14
1,01
89,54
93,51
-3,971
15
1,11
89,85
93,66
-3,811
16
1,20
90,39
94,56
-4,169
17
1,26
93,25
95,16
-1,908
18
1,30
93,41
95,61
-2,197
19
1,43
94,98
96,06
-1,076
20
0,95
87,33
97,40
-10,074
Observação
Erro
Aplicações
Continuação do exemplo
Gráficos dos resíduos contra valores de y ou x
Adequação  análise dos resíduos
Que tipos de gráficos podem aparecer?
Crescendo com o
tempo ou com a
magnitude de y
ou x
Situação ideal
Variância crescendo
Testar outros
modelos
(parabólico, por
exemplo)
Variâncias desiguais
Modelo linear inadequado
Adequação  coeficiente R2
Lembrando ...
n
2
(
)
SQT   yi  y
Soma Quadrática Total  variabilidade total
i 1
n
2
SQR   ( yˆ i  y ) Soma Quadrática da Regressão 
variabilidade devido à linha de regressão
i 1
n
SQE   ( yi  yˆ i )
i 1
2
Soma Quadrática dos Erros  variabilidade
residual sem explicação pela linha de
regressão
SQT  SQR  SQE
Adequação  coeficiente R2
Dividindo a equação SQT  SQR  SQE por SQT
SQT SQR SQE


SQT SQT SQT
SQE
SQR
1
SQT
SQT
SQE
SQR
 Coeficiente de determinação
R 
1
SQT
SQT
2
Frequentemente usado para julgar a adequação do
modelo  quantidade de variabilidade nos dados
explicada ou considerada pelo modelo de regressão
0 ≤ R2 ≤ 1
Adequação  coeficiente R2
O coeficiente de determinação deve ser utilizado
com cuidado
1) R2 sempre aumentará se adicionarmos uma
variável ao modelo, porém isso não significa
necessariamente que o modelo novo é melhor que
o antigo
2) Mesmo se x e y estiverem relacionados de
maneira não linear, R2 será frequentemente
grande
3) Mesmo com R2 grande, isto não implica que o
modelo de regressão forneça previsões exatas
para observações futuras
Adequação  coeficiente R2
Os 2 casos abaixo podem ter R2 grande, mas o caso 2
não é um caso de linearidade
Aplicações
n
Nosso exemplo SQT   ( yi  y )  173,37
2
i 1
n
2
ˆ
SQR   ( yi  y )  152,39
i 1
n
SQE   ( yi  yˆ i )  20,98
i 1
SQR
SQE
R 
 1
 0,8790
SQT
SQT
2
2
Correlação
Vimos que o engenheiro extrai dados para seus
estudos de duas maneiras:
experimental
x1, x2, ..., xn 
Sistema estudado
Entrada controlada
 y1, y2, ..., yn
saída não controlada
observacional
x1, x2, ..., xn 
Sistema estudado
Entrada não controlada
 y1, y2, ..., yn
saída não controlada
Correlação
Vimos que o engenheiro extrai dados para seus
estudos de duas maneiras:
experimental
Exemplo da Eng. Civil: de forma controlada e cuidadosa, altero a forma
como as formas são assentadas na construção  observo se a
velocidade no cronograma é alterada
observacional
Exemplo da Eng. Ambiental: realizo o monitoramento da quantidade de
enxofre lançado na atmosfera por indústrias  meço o pH da chuva na
mesma região
Correlação
Fazemos uma análise de regressão quando supomos
que a variável x seja uma variável matemática,
medida com erro desprezível e a variável Y seja
aleatória  caso típico de experimentos
Usamos o termo correlação quando as 2 variáveis x e
Y são aleatórias. Neste caso, elas são distribuídas
conjuntamente  caso típico de observações
Pode-se mostrar que o modelo matemático de
regressão com as variáveis X e Y aleatórias é
equivalente aquele mesmo modelo, considerando X
controlada ou matemática
Correlação
Mas isto somente ocorre se X e Y forem distribuídas
normal e conjuntamente
Para o caso linear, surge então o chamado coeficiente
de correlação R
Pode-se mostrar que ele é a raiz quadrada do
coeficiente de determinação que vimos antes
SQE
SQR
R 
1
SQT
SQT
2
Coef. de determinação
R  R2
Coef. de correlação linear amostral
O coeficiente R é, na verdade o estimador do
coeficiente de correlação populacional r  existe
teste de hipótese para verificar se r = 0 ou r ≠ 0
Casos não lineares redutíveis ao linear
Casos não lineares redutíveis ao linear
Erros comuns envolvendo regressão
1) Concluir que a correlação implica em causalidade:
podemos encontrar correlação entre o aumento de
mortes de motociclistas e a venda de motos, mas
não significa que mais motos vendidas causem mais
mortes;
2) Outro erro surge de dados que se baseiam em
médias: médias suprimem a variação individual e
podem aumentar o R;
3) Outro erro envolve a propriedade de linearidade:
pode existir uma relação entre x e y mesmo
quando não há correlação linear significativa
Resumo
Tudo que foi visto pode ser resumido nos passos:
1) Traçar diagrama de dispersão  verificar se o
modelo linear é o que deve ser buscado
2) se for modelo linear  passo 3, senão linearizar a
equação  passos adiante com x e y linearizados
3) Determinar a reta com o método dos mínimos
quadrados
4) Fazer o teste para o estimador do coeficiente
angular
5) Fazer o teste com a tabela ANOVA
6) Construir o intervalo de confiança
7) Verificar a adequação do modelo
Aplicações
Temos abaixo uma tabela com dados de densidade
habitacional e fração de área impermeável, acompanhada do
diagrama de dispersão. Podemos concluir que existe alguma
relação entre as variáveis? Se positivo, seria linear ou não
linear? Faça o estudo.
Densidade
Habitacional
(hab/ha)
25
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Fração da área
impermeável
(%)
11,3
26,7
36,7
46,6
49
53,4
57,2
60,4
63,2
65,8
Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 25
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelo Prof. Christiano
Cantarelli Rodrigues