INTRODUÇÃO AOS
EXPERIMENTOS FATORIAIS
• DEFINIÇÕES BASICAS
• VANTAGENS
• O MODELO A DOIS FATORES
IM, 07/10/2010
Chapter 5
Design & Analysis of Experiments
7E 2009 Montgomery
1
PRINCÍPIOS E DEFINIÇÕES BÁSICAS:
EXPERIMENTOS FATORIAIS
• São mais eficientes para experimentos com dois ou mais
fatores de interesse.
• Exige a replicação completa de todas as possíveis
combinações dos níveis dos fatores investigados.
• EFEITO DE UM FATOR: variação na resposta produzida
por uma variação no nível de um fator (efeito principal).
• INTERAÇÃO ENTRE FATORES: ocorre quando a
diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a
mesma para todos os outros níveis do outro fator.
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Vantagens dos FATORIAIS
• São mais eficientes que os experimentos um fator
de cada vez.
• São necessários quando interações podem estar
presentes para evitar conclusões enganosas.
• Permitem que os efeitos de um fator sejam
estimados nos vários níveis dos outros fatores
produzindo conclusões que são válidas sobre uma
variedade de condições experimentais.
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Experimento fatorial a dois fatores
• Os fatoriais mais simples envolvem apenas 2 fatores, a saber, um fator
A com a níveis e um fator B com b níveis.
• EXEMPLO: Uma engenheira está projetando uma bateria para usar em
um esquema que estará sujeito à variações extremas de temperatura. O
único parâmetro de projeto que ela pode selecionar nesse ponto é o
tipo de material usado na bateria, e ela tem três escolhas possíveis. A
engenharia, de sua experiência passada sabe que temperaturas
provavelmente afetarão a vida das baterias. Como as temperaturas
podem ser controladas no laboratório de desenvolvimento do produto,
um teste será realizado usando níveis de temperatura de 15, 70 e 125
graus Fahrenheit.
• Trata-se de um experimento a dois fatores do tipo 32.
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Questões
1.
2.
Que efeitos o tipo de material e a temperatura têm sobre
a vida da bateria?
Existe uma escolha de material que forneceria uma vida
uniformemente longa sem olhar a temperatura?
A segunda questão é particularmente importante: é
possível encontrar um material alternativo que não é
fortemente afetado pela temperatura?
Se existe esse material, a engenheira poderia tornar a
bateria robusta à variação de temperatura no campo.
Esse é um exemplo do uso de estatística experimental
para projetos robustos de produtos, um importante
problema de engenharia.
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Dados do Exemplo: The Battery Life
Experiment
A = Material type; B = Temperature (A quantitative variable)
1.
What effects do material type & temperature have on life?
2. Is there a choice of material that would give long life regardless of
temperature (a robust product)?
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The General Two-Factor
Factorial Experiment
a levels of factor A; b levels of factor B; n replicates
This is a completely randomized design
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Statistical (effects) model:
 i  1, 2,..., a

yijk     i   j  ( )ij   ijk  j  1, 2,..., b
k  1, 2,..., n

Other models (means model, regression models) can be useful
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O experimento a dois fatores: caso geral
 i  1, 2,..., a

yijk     i   j  ( )ij   ijk  j  1, 2,..., b
k  1, 2,..., n

- representa o efeito de média global
i – representa o efeito do i-ésimo nível do fator “linha” (A)
βj – representa o efeito do j-ésimo nível do fator “coluna” (B)
(β)ij – representa o efeito de interação entre i e βj
εijk – representa o componente de erro aleatório.
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Suposições básicas
• Supõe-se que os fatores são fixos e os efeitos de
tratamento são definidos como desvios da média global
tal que:
a
b

i 1
i
 0,

j 1
j
0
• Similarmente, os efeitos de interação são fixos e são
a
b
definidos de modo tal que:
 ( )
i 1
ij
  ( ) ij  0
j 1
• Para efeito de fazer inferências sobre os parâmetros do
modelo também supõe-se:
 ijk ~ NID(0, 2 )
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Testes de interesse
•
Nesse modelo a dois fatores, ambos os fatores linha e
coluna são de igual interesse. Especificamente, estamos
interessados em testar hipóteses sobre a igualdade entre os
efeitos dos níveis do fator linha:
H 0 :  1   2  ...   a  0 versus H1 : pelo menosum  i  0
e a igualdade entre os efeitos dos níveis do fator coluna:
H 0 : 1   2  ...  b  0 versus H1 : pelo menosum  j  0
Também será de interesse determinar se a interação
linha-coluna está presente ou não:
H 0 : ( ) ij  0 , i, j versus H1 : pelo menosum ( ) ij  0
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Extension of the ANOVA to Factorials
(Fixed Effects Case) – pg. 168
a
b
n
a
b
i 1
j 1
2
2
2
(
y

y
)

bn
(
y

y
)

an
(
y

y
)
 ijk ...
 i.. ...
 . j. ...
i 1 j 1 k 1
a
b
a
b
n
 n ( yij .  yi..  y. j .  y... ) 2   ( yijk  yij . ) 2
i 1 j 1
i 1 j 1 k 1
SST  SS A  SS B  SS AB  SS E
df breakdown:
abn  1  a  1  b  1  (a  1)(b  1)  ab(n  1)
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ANOVA Table – Fixed Effects Case
Design-Expert will perform the computations
Text gives details of manual computing (ugh!) –
see pp. 171
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fv
sq
linha
10683.72
2 5341.861
7.91
0.0020
coluna
39118.72
2 19559.36
28.97
<0.0001
interação
9613.778
4 2403.444
3.56
0.0186
erro
18230.75
27
total
77646.97
35
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gl
qm
f
P-valor
675.213
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