O Experimento fatorial Fracionado: 2k-p
Capítulo 8
• Motivação: a medida que o número de fatores
“interessantes” torna-se suficientemente grande, o
tamanho do experimento cresce rapidamente.
• Ênfase deve ser dada à técnica factor screening
(filtragem, peneiramento de fatores) para
identificar os fatores com grandes efeitos
• Quase sempre os experimentos fatoriais são
realizados sem replicação.
Chapter 8
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Por que os Experimentos Fatoriais
Fracionados funcionam?
• Princípio dos efeitos esparsos
– Podem existir muitos fatores, mas poucos são
importantes.
– Sistema é dominado por efeitos principais e interações
de baixa ordem.
• Propriedade da projeção
– Todo fatorial fracionado contém fatoriais completos
em menos fatores.
• Experimentação sequencial
- Permite adicionar realizações a um fatorial fracionado
para resolver dificuldades de interpretação.
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A meia fração (1/2) do 2k:2k-1
• Como o experimento tem 2k/2 realizações, ele é referido
como um 2k-1 .
• Vamos considerar uma situação bem simples: o 23-1
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A meia fração do 23
Observe que a relação que define a fração é I=ABC (as vezes esse termo é
chamado “palavra”).
Fração principal: o contraste para estimar o efeito principal A é exatamente o
mesmo contraste usado para estimar o efeito de interação BC .
Esse fenômeno é chamado aliasing e ele ocorre em todo experimento
fracionado.
Aliases podem ser encontrados diretamente das colunas na tabela de sinais +
and -
Aliasing na meia fração do
A  1 a  b  c  abc
2
B   1 b  a  c  abc
2
C   1 c  a  b  abc
2
BC  1 a  b  c  abc
2
AC  1 b  a  c  abc
2
AB  1 c  a  b  abc
2
Chapter 8
3-1
2
Não é possível diferenciar entre A e
BC entre B e AC e entre C e AB.
Na prática, quando estimamos A, B ou C
estamos estimando
A+BC, B+AC, C+AB, respectivamente.
Dois ou mais efeitos com essa propriedade
são chamados aliased.
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Aliasing na meia fração do 23-1
A = BC, B = AC, C = AB
Aliases podem ser encontrados a partir da relação de
definição I = ABC por multiplicação:
A.I = A.(ABC) = A2BC = BC
B.I =B.(ABC) = AC
C.I = C(ABC) = AB
Notação do livro para efeitos aliased:
[ A]  A  BC, [B]  B  AC, [C ]  C  AB
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A fração alternativa do 23-1
• I = -ABC é a relação de definição
• Implica em aliases ligeiramente diferentes:
A = -BC,
B= -AC, and C = -AB
• Nesse caso valerá
A  A  BC B  B  AC C   C  AB
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Aliasing na meia fração do 23-1
• Ambos planos pertencem à mesma família, definida por
I = ABC.
• Suponha que depois de rodar a fração principal, a fração
alternativa também seja rodada
• Os dois grupos de realizações podem ser combinados para
forma um fatorial completo – exemplo de experimentação
sequencial.
• Na prática não importa que fração é de fato usada. Ambas
pertencem à mesma família I=ABC, isto é, as duas juntas
formam um fatorial 23 completo.
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Resolução do Planejamento
• Planejamentos de resolução III:
– “Main effect = two-factors interaction “
– Notação: 2 k 1
III
31
– O exemplo apresentado é de resolução III e pode ser denotado por 2 III
• Planejamentos de resolução IV:
– “Two-factor interaction=two-factors interacion “
k 1
– Notação: 2 IV
• Planejamentos de resolução V:
– “Two-factors interaction = three factors interaction”
– Notação: 2 k 1
V
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Construção de uma meia fração
• Uma meia fração do experimento 2k de maior resolução
pode ser construída escrevendo-se um planejamento básico
consistindo de corridas para um fatorial completo 2k-1 e
então adicionando o k-ésimo fator identificando seus níveis
+ ou – da interação de maior ordem.
• Portanto, o fatorial fracionado 23-1 de resolução III é obtido
escrevendo-se o fatorial completo 22 como o planejamento
básico e então igualando o fator C à interação AB.
• A fração alternativa poderia ser obtida igualando o fator C
à interação – AB.
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Exemplo da construção de uma meia fração
O planejamento básico; o planejamento gerador
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Projeção dos Fatoriais Fracionados
Todo fatorial fracionado
contem fatoriais
completos em menos
fatores
Uma meia fração
projetará num fatorial
completo em qualquer
subconjuntos de k – 1
fatores originais.
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Exemplo 6.2 de um Fatorial sem
replicação 2k
• A 24 factorial was used to investigate the
effects of four factors on the filtration rate of a
resin
• The factors are A = temperature, B = pressure,
C = mole ratio, D= stirring rate
• Experiment was performed in a pilot plant
The Resin Plant Experiment
Exemplo 8.1: dados do exemplo 6.2
(pfat2a4sr.txt)
Considere o experimento da taxa de filtragem no exemplo 6.2 que é
um 24 sem replicação.
Nesse exemplo vimos que os efeitos principais A, C e D e as
interações AC e AD são significativas.
Retornaremos a esse experimento e estudaremos o que
acontecerá se uma meia fração do 24 for realizada em vez do fatorial
completo.
Usaremos I=ABCD pois essa escolha de gerador resultará em um
experimento de maior resolução possível: resolução IV.
Para construir o planejamento, primeiro escrevemos o planejamento
básico (um 23 completo), como na tabela a seguir.
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Exemplo 8.1
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Exemplo 8.1
Interpretação dos resultados em geral leva a fazer algumas
suposições: Ockham’s razor
Confirmação do experimento pode ser importante. Uma
possibilidade é usar a fração alternativa.
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Ockham’s razor
• A Navalha de Ockham é um princípio lógico atribuído ao lógico e
frade franciscano inglês William de Ockham (século XIV). O princípio
afirma que a explicação para qualquer fenômeno deve assumir apenas
as premissas estritamente necessárias à explicação do fenômeno e
eliminar todas as que não causariam qualquer diferença aparente nas
predições da hipótese ou teoria. O princípio é costuma ser designado
como princípio da parcimônia: as entidades não devem ser
multiplicadas além da necessidade. Esta formulação é muitas vezes
parafraseada como "Se em tudo o mais forem idênticas as várias
explicações de um fenômeno, a mais simples é a melhor".
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Confirmação do experimento para esse
exemplo
Uma possibilidade é usar o modelo para prever a resposta em uma
combinação de interesse do planejamento.
Rode essa combinação – compare o valor previsto e o observado.
Para esse exemplo, considere o ponto +, +, -, +. A resposta estimada é
A resposta observada é 104.
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8.3 A FRAÇÃO ¼ DO 2k
Se P e Q representa os geradores escolhidos, então I=P e I=Q
são chamadas as relações de definição.
Os sinais de P e Q (+ ou -) determinam quais das frações ¼
é produzida. Quando ambos são positivos tem-se a fração principal.
A relação de definição completa do plano consiste de todas as
colunas que são iguais à coluna identidade.
Isso consistirá das colunas P, Q e PQ nas relações de definição.
Os aliases de qualquer efeito são produzidos pela multiplicação da
coluna por cada efeito da relação de definição.
Cuidado deve ser tomado para evitar que efeitos importantes sejam
aliased.
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8.3 A FRAÇÃO ¼ DO 2k
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The One-Quarter Fraction of the 26-2
Complete defining relation: I = ABCE = BCDF = ADEF
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The One-Quarter Fraction of the 26-2
• Uses of the alternate fractions
E   ABC, F   BCD
• Projection of the design into subsets of the
original six variables
• Any subset of the original six variables that is not
a word in the complete defining relation will result
in a full factorial design
– Consider ABCD (full factorial)
– Consider ABCE (replicated half fraction)
– Consider ABCF (full factorial)
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A One-Quarter Fraction of the 26-2:
Example 8.4, Page 305
• Injection molding process with six factors
• Design matrix, page 305
• Calculation of effects, normal probability
plot of effects
• Two factors (A, B) and the AB interaction
are important
• Residual analysis indicates there are some
dispersion effects (see page 307)
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8.4 O Planejamento Fatorial Fracionado Geral: 2k-p
• 2k-1 = meia fração, 2k-2 = um quarto, 2k-3 = um
oitavo, …, 2k-p = 1/ 2p
• Adicone p colunas ao planejamento básico;
selecione p geradores independentes;
• Importante: selecionar geradores de modo a
maximizar a resolução, veja tabela 8.14.
• Projeção – um planejamento de resolução R
contém fatoriais completos em quaisquer de R – 1
fatores
• Blocagem
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