UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍIRITO SANTO
COLEGIADO DO CURSO DE MATEMÁTICA
PROJETO NOVO INGRESSO – 2006
DISCIPLINA MATEMÁTICA BÁSICA II
Exercícios Complementares – Lista 3
Prof. Florêncio F. Guimarães Filho
1) Ache a equação da reta tangente à circunferência ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2 no ponto ( x 0 , y 0 ) da
circunferência.
2) Ache
os
valores
máximo
e
mínimo
da
função
ϕ( x , y ) = 2 x + 3y ,
sabendo-se
que
x 2 + y 2 + 2x + 4 y = 8 .
3) a) Ache a equação da reta tangente à elipse x 2 + 4 y 2 = 40 no ponto (2, 3) .
b) Ache o valores de b tais que a reta 2x + 3y = b seja tangente à elipse x 2 + 4 y 2 = 40 .
4) Ache o valores máximo e mínimo da função ϕ( x , y ) = 2x + 3y , sabendo-se que x 2 + 4 y 2 = 4 .
5) Ache o valor mínimo da expressão (u − v) 2 + ( 2 − u 2 − 9 / v) 2 para 0 ≤ u ≤ 2 e v > 0 .
6) Uma elipse de eixos 3 e 4 e uma circunferência se intersectam em
precisamente 3 pontos A , B , C . O segmento AB é um diâmetro da
circunferência, perpendicular ao eixo maior CD da elipse. Determine o raio
da circunferência.
B
C
D
A
7) a) Mostre que todas as retas da família (m 2 + 1) x + (2 − m) y − m 2 + 2m − 5 = 0 , m ∈ R , passam por
um mesmo ponto ( x 0 , y 0 ) . Determine ( x 0 , y 0 ) . b) Para que valor de m a reta da família é vertical?
c) Para que valor de m a reta da família é horizontal? d) Mostre que a reta y − ax = y 0 − ax 0 é
coincidente com uma reta da família se e somente se a sua declividade a ≤ 4 − 5 ou a ≥ 4 + 5 . e)
Faça um esboço da família de retas.
8) As casas A, B, C, D de Ana, Bruno, Carlos e Daniela, respectivamente, estão dispostas segundo os
vértices de um retângulo ABCD. Édson (E) mora no interior do retângulo a 500m de Ana, a 300m de
Bruno e a 400m de Carlos. Qual é a distância da casa de Édson até a casa de Daniela? (Veja a figura
abaixo.)
9) Uma escada AB escorrega apoiada numa parede. Uma pessoa está apoiada num ponto P da escada
tal que AP = a e BP = b . Ache as equações paramétricas do ponto P em função do ângulo t que a
escada faz com a horizontal. Elimine a variável t das equações paramétricas e descubra a equação
da trajetória do ponto P. Qual o lugar geométrico do ponto médio da escada?
A
B
b
D
P
E
a
t
A
B
C
10) Elimine o parâmetro t em cada uma das equações paramétricas abaixo e determine as equações das
trajetórias dos movimentos.
e t + e −t
e t − e −t
a) x = t 2 − t − 2 , y = t − 1
b) x = a(
) , y = b(
)
2
2
c) x = R sen 2t , y = 2R sen 2 t
d) x = cos 2 t , y = sen t
11) Dois lados de um paralelogramo estão sobre as retas x − y + 5 = 0 e 3x − 5 y + 19 = 0 e sua diagonal
está sobre a reta x − 3y + 13 = 0 . Determine os vértices do paralelogramo.
12) Seja P o ponto de interseção das retas 2 x − 3y = 5 e 4 x − 9 y = 3 . Sem determinar as coordenadas
de P , ache a equação da reta que passa por P e é perpendicular à reta x − 6 y = 8 .
13) O tesouro do pirata Barba Negra (Elon L. Lima, Geometria Analítica e Álgebra Linear, Coleção
Matemática Universitária, SBM, 2001)
Recentemente foi descoberto um manuscrito do pirata Barba Negra descrevendo a localização de um
tesouro enterrado por ele em certa ilha do Caribe. O manuscrito identifica perfeitamente a ilha e dá as
seguintes instruções. “... qualquer um que desembarque nesta ilha verá imediatamente dois grandes
carvalhos, que chamarei A e B e também uma palmeira, que chamarei C. Eu enterrei o tesouro em um
ponto X que pode ser encontrado assim:
Caminhe de C até A contando seus passos. Chegando em A gire para a esquerda e dê exatamente o
mesmo número de passos para chegar ao ponto M. Volte ao ponto C. Caminhe de C até B contando seus
passos. Chegando em B, vire para a direita e dê exatamente os mesmos números de passos para chegar
ao ponto N. O ponto X está na reta que liga M a N, e a mesma distância entre estes dois pontos”.
Com estas precisas informações, os exploradores chegaram à referida ilha, mas tiveram uma
desagradável surpresa. Os carvalhos (A e B) estavam lá na beira da praia, mas a palmeira tinha
desaparecido. O tesouro parecia perdido. Entretanto fazia parte da comitiva um matemático que, após
breves cálculos, conseguiu descobrir o tesouro. Como ele fez isso?
14) (Distância mínima entre corpos em movimento.) Um menino corre a 100 m/min em linha reta na
direção de um balão que está parado no solo. No instante em que o menino está a 200m do balão este é
solto e sobe verticalmente a uma velocidade de 50 m/min. Em que instante a distância do balão ao
menino é mínima? Qual é esta distância?
15) Um carro sai do instante t = 0 do ponto A = (0,0) de uma estrada reta a um velocidade constante e
no tempo t = 1 chega no ponto B = (3,1) dessa estrada. Um segundo carro sai do ponto C = (0,2) em
t = 0 e viaja em linha reta a uma velocidade constante e chega em t = 1 no ponto D = (2,0) . Em que
instante a distância entre os dois carros será mínima? Qual a distância mínima entre os dois carros?
Sugestões e Respostas
1) Leve o centro da circunferência para a origem. A tangente à circunferência é perpendicular ao raio. Mostre que a tangente à
circunferência é dada por ( x − x 0 )( x 0 − a) + ( y − y 0 )( y 0 − b) = 0 . Some e subtraia a em ( x − x 0 ) e some e subtraia b em
( y − y 0 ) e mostre que a equação da tangente fica na forma
2)
A curva representa a circunferência
(2,3) ,
ao longo da reta
( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 13 . A função ϕ cresce no sentido da origem para o ponto
y + 3 = 3( x − 2) / 2 .
Faça um esboço da circunferência e das linhas de nível da função
interseção da reta com a circunferência. O máximo é
3)
Faça a interseção da reta
uma raiz. Encontre m = −1 / 6 .
( x − a)( x 0 − a) + ( y − b)( y 0 − b) = r 2 .
y = 2 + m( x − 3)
ϕ(1,1) = 5
e o mínimo
ϕ.
Ache a
ϕ(−3,−5) = −21 .
com a elipse obtendo uma equação do segundo grau em
x
que só pode ter
4) Ache a linha de nível y = −2x / 3 + m que é tangente à elipse x 2 + 4 y 2 = 10 . Sug: resolva o sistema e ache os valores para que
∆ = 0 . Faça um esboço dessas curvas. Resposta: O máximo
é ϕ(8 / 5, 3 / 5) = 5 e o mínimo ϕ(−8 / 5, − 3 / 5) = −5 .
5) Verifique que o valor da expressão é o quadrado da distância entre dois pontos de duas curvas. Faça um esboço dessas curvas e
descubra o mínimo. Prove o que você observou. R: 8, quando u = 1 e v = 3 .
6) Passe um sistema de coordenadas pelos eixos da elipse e obrigue o ponto (4 − r , r ) pertencer à elipse. R: r = 3,6 .
7) a) Tome dois valores particulares de
m
e ache o ponto ( x 0 , y 0 ) = (1,2) , em seguida mostre que (1,2) pertence a todas as
retas, para todo m. b) m = 2 . c) Não há reta horizontal na família. d) Use o critério de proporcionalidade para mostrar que a reta
y − ax = y 0 − ax 0 é coincidente com uma reta da família se, e somente se, a equação do segundo grau m 2 + am + 1 − 2a = 0 tem
raízes reais e daí encontre a condição sobre a.
8) Considere um sistema de eixos ortogonais com origem B e que passa em A e C. Ponha E = (x , y ) e calcule
d = d(E ,D) .
R:
d = 400 2m .
9) Uma elipse de eixos a e b.
10) a) Uma parábola. b) Uma hipérbole. c) Uma parábola. d) Uma circunferência de raio
11) R:
R centrada em (0, R ) .
(−3, 2) , (2, 5) , (4 , 7) e (−1, 4) .
12) Determine o parâmetro
m
para que a reta do feixe m(2 x − 3y − 5) + (4 x + 9 y − 8) = 0
seja perpendicular à reta
x − 6y = 8 .
13) Considere um sistema ortogonal de coordenadas com a origem em A e o eixo x passando em B. A palmeira desconhecida
coloque em C = (x,y). Ache as coordenadas do ponto onde está o tesouro seguindo o mapa.
Mapa do Tesouro
C ( Palmeira )
d2
d1
B ( Carvalho )
( Carvalho ) A
d2
d1
.X
N
( Tesouro )
M
14) Considere um sistema de eixos ortogonais
para a origem pelo eixo
OX .
menino ao balão no instante t. Então
a distância
d
tal que o balão sai da origem e sobe pelo eixo
OY e o menino se desloca
d = d (t ) a distância do
d 2 = 50 2 t 2 + (200 − 100t ) 2 , isto é, d 2 = 50 2 (5t 2 − 16t + 16) . Observando que
é mínima se e somente seu quadrado
atingida no instante
15)
OXY
Seja t o tempo, em minutos, transcorrido após o balão ser solto e seja
d2
é mínimo, concluímos que a distância mínima do menino ao balão é
t = 1,6 min e d min = 40 5m .
d 2 (t) = 10 t 2 − 6 t + 4 atinge o mínimo no instante t = 0,3 min e d min = 3,1m .