FLAMBAGEM TÉRMICA DE DUTOS SUJEITOS À PRESSÃO INTERNA
Felipe Sant’Ana Castelpoggi
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Engenharia Oceânica, COPPE,
da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do título
de Mestre em Engenharia Oceânica.
Orientador: Murilo Augusto Vaz
Rio de Janeiro
Março de 2012
FLAMBAGEM TÉRMICA DE DUTOS SUJEITOS À PRESSÃO INTERNA
Felipe Sant’Ana Castelpoggi
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM
CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Júlio Cesar Ramalho Cyrino, D.Sc.
________________________________________________
Profª. Lavínia Maria Sanábio Alves Borges, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO DE 2012
Castelpoggi, Felipe Sant’Ana
Flambagem Térmica de Dutos Sujeitos à Pressão Interna / Felipe
Sant’Ana Castelpoggi. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2012
XII, 78p.:Il.; 29,7 cm.
Orientador: Murilo Augusto Vaz
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia
Oceânica, 2012.
Referências Bibiográficas: p. 76-78.
1. Duto Pressurizado. 2. Flambagem Térmica. 3. Pós-Flambagem
Térmica. I. Vaz, Murilo Augusto. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Oceânica. III. Título.
iii
É muito melhor arriscar coisas grandiosas,
alcançar triunfos e glórias, mesmo expondose a derrota, do que formar fila com os
podres de espírito que nem gozam muito
nem sofrem muito, porque vivem nessa
penumbra cinzenta que não conhece vitória
nem derrota.
Theodoro Roosevelt
A persistência é o caminho do êxito.
Charles Chaplin
Não se pode ensinar tudo a alguém, pode-se
apenas ajudá-lo a encontrar por si mesmo o
caminho.
Galileu Galilei
Dedico esse trabalho aos meus pais, que
me ensinaram a lutar pelos meus sonhos,
Miriam Sant’Ana Castelpoggi e
José Mauro Maggessi Castelpoggi
e à minha Esposa,
Juliana Pandini Castelpoggi
iv
AGRADECIMENTO
Ao orientador e amigo, professor Murilo Augusto Vaz, meus agradecimentos pela
paciência, por acreditar e apoiar o desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus pais, Miriam Sant’ana Castelpoggi e José Mauro Maggessi Castelpoggi, pelo
incentivo e apoio sempre com muito amor e carinho.
À minha esposa Juliana Pandini Castelpoggi, pelo seu apoio, carinho, compreensão e pela
força na fase final desta dissertação.
À minha irmã Danusa Maria Sant’ana Castelpoggi que demonstra sincera felicidade por
mais essa etapa vencida na minha vida.
Aos meus amigos da Interocean Engenharia & Ship Management: Bruno Ávila, Cosme,
Eduardo Craddock, Eduardo Peixoto, Genil, Jorge Poli, Julia, Larissa, Leonardo, Maxwell,
Ney Rosa, Raphael, Ricardo Assis, Roberto e Thiago pelo incentivo e amizade. E em
especial aos grandes professores: Adilson, Cesar Dinucci, Marcos Tadeu e Paulo
Lemgruber, me ensinaram na pratica de inúmeros projetos, como ser um Engenheiro Naval.
Ao gerente da Engenharia Naval da Petrobras, Gustavo, por permitir, e por muitas vezes
facilitar, a continuação ininterrupta do mestrado, bem como meus companheiros de
trabalho: Adelson, Andréia, Aratanha, Christino, Diego, Juliana, Leonardo, Luciano,
Luizão, Marçal, Marco, Paulão, Rafaella, Ribeiro, Rodrigo (Amigão), Sibeli, Silvia, Tadeu,
Teles e Werner, pelo incentivo e apoio.
A todos os companheiros do Mestrado em Engenharia Oceânica do laboratório NEO
(Núcleo de Estruturas Oceânicas): Aynor, Juan Carlos, Maximo, Miguel e Victor com
quem pude manter importantes momentos de descontração e troca de conhecimentos.
A todos os funcionários do laboratório NEO, em especial à Suely e Eliene.
v
E em especial pela ajuda, companheirismo, apoio e confiança aos amigos: Marcelo Caire,
Nicolau Rizzo e Sylvio Correia.
E a todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
FLAMBAGEM TÉRMICA DE DUTOS SUJEITOS À PRESSÃO INTERNA
Felipe Sant’ana Castelpoggi
Março/2012
Orientador: Murilo Augusto Vaz
Programa: Engenharia Oceânica
Neste trabalho é estudado o comportamento estrutural de dutos rígidos do tipo parede
simples, sujeitos a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura uniforme, que
podem ser empregados no transporte de gás, na exportação de petróleo e em vários outros
campos da indústria. Inicialmente é apresentada uma análise assumindo o duto como uma
viga elástica, esbelta, sujeita a uma pressão interna, a um gradiente de temperatura e com
extremidades bi-apoiadas impedidas de se deslocarem. Uma solução analítica para
flambagem e pós-flambagem inicial é apresentada, um modelo em elementos finitos (MEF)
é desenvolvido e uma comparação entre os modelos é realizada. Em seguida estuda-se a
resposta do duto comportando-se como uma casca cilíndrica elástica, esbelta, sujeita a uma
pressão interna, a um gradiente de temperatura e com extremidades bi-apoiadas impedidas
de se deslocarem. Para tal uma solução analítica para a flambagem é apresentada, um
modelo em elementos finitos (MEF) é desenvolvido e uma comparação entre os modelos é
realizada.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
THERMAL BUCKLING OF PIPELINES SUBJECT TO INTERNAL PRESSURE
Felipe Sant’ana Castelpoggi
March/2012
Advisor: Murilo Augusto Vaz
Department: Ocean Engineering
This paper examines the structural behavior of a single wall rigid pipeline, subject to
internal pressure and a uniform temperature gradient, which can be used to transport gas, to
export oil and in several other fields of industry. Initially, it presents an analysis assuming
the pipeline as an elastic slender beam, subject to internal pressure, a temperature gradient
and with its two ends supported and prevented from moving. An analytical solution for
buckling and initial post-buckling is presented, a finite element model (FEM) is developed
and a comparison between the models is performed. Next, it is studied the response of the
pipeline behaving like an elastic slender cylindrical shell, subject to internal pressure, a
temperature gradient and with its two ends supported and prevented from moving. An
analytical solution for the buckling is presented, a finite element model (FEM) is developed
and a comparison between the models is performed.
viii
SUMÁRIO
1
2
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO .................................................................................... 1
1.1
Considerações Iniciais ............................................................................................. 1
1.2
Objetivo ................................................................................................................... 8
1.3
Revisão Bibliográfica ............................................................................................ 10
CAPÍTULO II - FLAMBAGEM E PÓS-FLAMBAGEM ELÁSTICA DE VIGA...... 14
2.1
Modelo Analítico ................................................................................................... 14
2.1.1
2.2
3
4
5
Solução Analítica............................................................................................ 21
Modelo Numérico .................................................................................................. 34
2.2.1
Modelo Numérico para Temperatura Crítica de Flambagem ......................... 34
2.2.2
Modelo Numérico de Pós-Flambagem ........................................................... 38
CAPÍTULO 3 - FLAMBAGEM DE CASCA .............................................................. 42
3.1
Modelo Analítico ................................................................................................... 43
3.2
Modelo Numérico .................................................................................................. 55
CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DE RESULTADOS .......................................................... 62
4.1
Flambagem e Pós-Flambagem Tipo Viga. ............................................................ 62
4.2
Flambagem Tipo Casca. ........................................................................................ 68
4.3
Interface Viga e Casca. .......................................................................................... 71
CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS
FUTUROS ............................................................................................................................ 74
6
CAPÍTULO 6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................... 76
ix
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 – Sistema de produção submarina, [1]. ................................................................. 1
Figura 1.2 Duto flexível, [2]. .................................................................................................. 2
Figura 1.3 Duto pipe-in-pipe, [3]. .......................................................................................... 4
Figura 1.4 Duto sanduíche, [4]. .............................................................................................. 5
Figura 1.5 Duto de parede simples, [5]. ................................................................................. 6
Figura 1.6 Conceito de estabilidade do equilíbrio. (a) Estável. (b) Instável. (c) Neutro ou
indiferente, [7]. ....................................................................................................................... 6
Figura 1.7 Instabilidade bifurcacional (coluna de Euler). ...................................................... 8
Figura 1.8 Viga sujeita à pressão interna e à temperatura ...................................................... 8
Figura 1.9 Casca cilíndrica sujeita à pressão interna e à temperatura. ................................... 9
Figura 2.1 Esquema do duto pressurizado, com uma variação de temperatura.................... 14
Figura 2.2 Seção transversal do duto. ................................................................................... 15
Figura 2.3 Elemento infinitesimal de duto deformado. ........................................................ 15
Figura 2.4 Duto sujeito à Pi e ∆T . ...................................................................................... 17
Figura 2.5 Malha utilizada no modelo de viga. .................................................................... 35
Figura 2.6 Sistema global de coordenadas utilizado no modelo. ......................................... 35
Figura 2.7 Modelo flambado como viga após atingir a temperatura crítica usando a função
buckle. ................................................................................................................................... 38
Figura 2.8 Conector CONN2D2 ........................................................................................... 40
Figura 2.9 Modelo flambado como viga após atingir a temperatura crítica. ........................ 41
x
Figura 3.1 Casca cilíndrica sujeita a pressão interna e temperatura com extremidades biapoiadas. ............................................................................................................................... 42
Figura 3.2 Coordenada geométrica, [11]. ............................................................................. 43
Figura 3.3 Forças em um elemento de casca, [11]. .............................................................. 44
Figura 3.4 Momentos em um elemento de casca, [11]. ........................................................ 44
Figura 3.5 Duto com uma pressão lateral e uma variação de temperatura, [11]. ................. 52
Figura 3.6 Malha utilizada no modelo de casca. .................................................................. 57
Figura 3.7 Sistema global de coordenadas utilizado no modelo. ......................................... 57
Figura 3.8 Coupling utilizado no modelo. ............................................................................ 59
Figura 3.9 Conector CONN3D2 ........................................................................................... 60
Figura 3.10 Modelo flambado como casca após atingir a temperatura crítica usando a
função buckle. ....................................................................................................................... 61
Figura 4.1 Flambagem: Modelos numérico e analítico. ....................................................... 63
Figura 4.2 Coeficiente de esbeltez por temperatura crítica de flambagem. ......................... 64
Figura 4.3 Tensão de Von Mises por coeficiente de esbeltez .............................................. 65
Figura 4.4 pós-flambagem: Pressão interna e temperatura................................................... 65
Figura 4.5 Comprimento deformado por tensão de Von Mises. .......................................... 66
Figura 4.6 Deflexão máxima por temperatura. ..................................................................... 67
Figura 4.7 Deformadas no regime de pós-flambagem. ........................................................ 67
Figura 4.8 Flambagem de casca: Modelos numérico e analítico.......................................... 69
Figura 4.9 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico, β = 150 . ................ 69
Figura 4.10 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico, β = 200 . ............. 70
Figura 4.11 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico, β = 250 . ............. 70
xi
Figura 4.12 Fronteira entre casca e viga em relação os parâmetros λ2 e β ......................... 72
Figura 4.13 Fronteira entre casca e viga em relação os parâmetros ∆t e λ2 ....................... 73
ÍNDICE DE TABELA
Tabela 2.1 Propriedades do material e da seção do duto ...................................................... 36
xii
1
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO
1.1 Considerações Iniciais
Com o crescimento da indústria petrolífera, surgiu também a necessidade de
aprofundar os estudos dos dutos, que são usados para o transporte de vários tipos de
fluidos, como o petróleo, fluido de completação, água de injeção, gases (para gaslift ou
injeção) e produtos químicos, como mostrado na Figura 1.1, geralmente trabalhando à alta
pressão.
Risers
Gaslift
Flowlines
Figura 1.1 – Sistema de produção submarina, [1].
Para o transporte destes fluidos os dutos podem ser classificados de duas maneiras,
risers e flowlines. Os risers são utilizados para o escoamento vertical de fluidos onde a
1
resposta dinâmica deve ser considerada no seu dimensionamento. Os flowlines são usados
para dutos em aplicações estáticas, normalmente assentados no leito marinho. Exemplos
podem ser vistos na Figura 1.1.
Os risers e flowlines podem ser divididos em dois grupos, os dutos flexíveis e os
dutos rígidos, como descritos abaixo.
Dutos Flexíveis
Duto flexível é uma estrutura compósita tubular, consolidada pela disposição
concêntrica de várias camadas cilíndricas de diferentes materiais metálicos e poliméricos
como mostrado na Figura 1.2. Suas principais características são: Alta resistência à tração;
bom isolamento térmico; baixa rigidez à flexão e, por isso, passível de enrolamento em
carretéis sem emendas, podendo ser facilmente instalado e reaproveitado; e exibe
desempenho satisfatório sob diversas condições de operações.
Figura 1.2 Duto flexível, [2].
Dutos Rígidos:
Dutos rígidos podem ser considerados elementos tubulares esbeltos confeccionados
em aço, podendo, em alguns casos muito específicos, ser de titânio. São classificados como
2
rígidos, pois possuem maior resistência à deflexão que os dutos flexíveis. Quando
comparados aos flexíveis, os dutos rígidos possuem um menor custo e são capazes de
resistir a altas pressões, o que os tornam interessantes para utilização em águas profundas e
ultra-profundas. Porém, são mais suscetíveis à falha por fadiga quando submetidos a
carregamentos cíclicos devido às ondas, aos movimentos da unidade flutuante e à ação da
corrente marinha.
Os dutos rígidos podem ser nomeados de acordo com o produto transportado. São
chamados de oleoduto aqueles utilizados para transporte de óleo cru, ou para exportação de
óleo tratado; gasodutos são usados para injeção, gas-lift, ou mesmo para exportação de gás;
aqueduto para transporte de água tratada para injeção; além dos dutos utilizados para
transporte de produtos químicos como inibidores de compostos parafínicos e hidratos. Os
dutos rígidos também podem ser divididos em três tipos:
•
Duto Pipe-in-Pipe:
Os dutos pipe-in-pipe são compostos por dois tubos de aço montados
concentricamente com o espaço anular preenchido ou não por um material com boas
propriedades de isolamento térmico, conforme a Figura 1.3. O objetivo deste tipo de duto é
aumentar a capacidade de isolamento térmico para evitar problemas de escoamento por
perdas térmicas. O aumento de capacidade de isolamento é necessário para evitar
problemas de fluxo por bloqueamento do espaço interno do duto, por formação de
“hidratos” ou “parafinas” em condições específicas de pressão, temperatura e fase dos
fluidos transportados
3
Figura 1.3 Duto pipe-in-pipe, [3].
•
Duto sanduíche:
Sua geometria é muito similar ao do sistema pipe-in-pipe, porém, a diferença reside
no fato de a camada anular ser preenchida por uma camada sólida com função estrutural,
seja de polímero ou de material cerâmico. Outro aspecto que difere esta classe de dutos
com o conceito pipe-in-pipe é a função que a camada anular desempenhará em serviço:
Enquanto na concepção pipe-in-pipe, a função da camada anular é exclusivamente isolar
termicamente os hidrocarbonetos do meio externo, na concepção duto sanduiche, o objetivo
primário desta camada é contribuir na resistência estrutural do duto como um todo e ao
mesmo tempo fornecer um isolamento térmico satisfatório.
Outra característica importante para os dutos sanduíches (vide Figura 1.4) é a seleção
de materiais anulares de baixa densidade, essencialmente abaixo da densidade da água do
mar, reduzindo o peso submerso da linha e facilitando o processo de instalação através de
embarcações de lançamento.
4
Figura 1.4 Duto sanduíche, [4].
•
Duto de parede simples:
Diferente dos dutos pipe-in-pipe e sanduíche, esta concepção é composta de uma
única parede de aço (como mostrado na Figura 1.5) com a função única de resistir aos
carregamentos impostos. Com isso, devido ao aumento da profundidade, o peso por
unidade de comprimento aumenta muito e fica mais difícil sua aplicação em águas ultraprofundas. Outro aspecto negativo é a necessidade de uma camada isolante para evitar a
formação de “hidratos” ou “parafinas”.
5
Figura 1.5 Duto de parede simples, [5].
Todos esses dutos, quando sujeitos a condições ambientais e de operação, podem
sofrer algum tipo de instabilidade estrutural. Segundo os conceitos baseados em REIS E
CAMOTIM [6] a noção de estabilidade sempre é associada ao conceito de equilíbrio, e é
utilizada para classificar a “configuração de equilíbrio”. Admite-se que uma estrutura
sujeita a uma força externa exibe uma configuração de equilíbrio caracterizada pelos
valores dos deslocamentos dos seus pontos, cuja estabilidade pode ser avaliada através do
comportamento da estrutura após sofrer uma perturbação.
A estabilidade do equilíbrio é facilmente visualizada através de um problema clássico.
A Figura 1.6 mostra uma esfera rígida, sujeita ao peso próprio e em repouso. A Figura 1.6
(a) demonstra o equilíbrio estável, já a Figura 1.6 (b) representa o equilíbrio instável e por
sua vez a Figura 1.6 (c) o equilíbrio neutro ou indiferente.
Figura 1.6 Conceito de estabilidade do equilíbrio. (a) Estável. (b) Instável. (c) Neutro ou indiferente, [7].
6
O projeto de estrutura não se baseia somente no conceito de segurança à resistência e
deformação de seus elementos, principalmente em estruturas “esbeltas”. É fundamental
considerar fenômenos que envolvem o conceito de estabilidade estrutural, seja da estrutura
completa ou de elementos individuais. Esse fenômeno de instabilidade estrutural é
conhecido de forma geral como “flambagem”, independente da natureza e do tipo de
estrutura (barras, placas, cascas, etc.).
Instabilidade pode surgir pela ocorrência de uma bifurcação de equilíbrio
(instabilidade bifurcacional) ou pela ocorrência de um ponto limite (instabilidade por snapthrough).
Nesse trabalho será tratado da instabilidade estrutural tipo bifurcacional que tem as
seguintes características:
•
Uma trajetória de equilíbrio fundamental (linear ou não-linear), conhecida
também por caminho primário, que se inicia na origem do diagrama cargadeslocamento.
•
Uma trajetória de equilíbrio de pós-flambagem (caminho secundário) que
não passa pela origem do diagrama carga-deslocamento.
•
Um ponto de bifurcação que corresponde à interseção das duas trajetórias e
no qual as configurações de equilíbrio da trajetória fundamental passam de
estáveis para instáveis.
O exemplo mais simples de instabilidade por bifurcação é a flambagem elástica de
uma viga perfeita, bi-rotulada, sujeita à compressão axial, como pode ser visto na Figura
1.7.
7
Figura 1.7 Instabilidade bifurcacional (coluna de Euler).
1.2 Objetivo
Neste trabalho serão estudados os dutos rígidos do tipo parede simples sujeitos a uma
pressão interna e a um gradiente de temperatura. Primeiramente será feita uma análise
global, onde se considera o duto como uma viga, e em seguida será realizada uma análise
local, onde o duto é modelado com uma casca cilíndrica.
No capítulo 2, o duto será tratado como uma viga elástica, esbelta, sujeita a uma
pressão interna e a um gradiente de temperatura uniforme, com extremidades bi-apoiadas e
fixas conforme mostra a Figura 1.8. As seguintes etapas serão desenvolvidas:
Y
P
P
X
L
Figura 1.8 Viga sujeita à pressão interna e à temperatura
1. Formulação e solução analítica usando o método de perturbação para a
flambagem e pós-flambagem inicial. As equações para estas soluções
apresentarão uma relação entre a temperatura e a pressão interna, que por sua
8
vez é regida basicamente por parâmetros de natureza geométrica, como
espessura, raio e comprimento e pelo coeficiente de Poisson.
2. Formulação numérica utilizando o programa ABAQUS, versão 6.5. Com este
modelo numérico será encontrada a temperatura crítica de flambagem e o
comportamento de pós-flambagem do duto.
Para o problema descrito acima, será demonstrado, no capítulo citado, que tanto a
pressão interna quanto o gradiente de temperatura geram forças compressivas de
flambagem, ou seja, ambos os parâmetros contribuem para a instabilidade da viga.
No capítulo 3, o duto será tratado como uma casca cilíndrica elástica, esbelta, sujeita a
uma pressão interna e a um gradiente de temperatura uniforme, com extremidades biapoiadas e fixas conforme apresentado na Figura 1.9. As seguintes etapas serão
desenvolvidas:
Figura 1.9 Casca cilíndrica sujeita à pressão interna e à temperatura.
1. Descrição e desenvolvimento da solução analítica para flambagem proposta
por JONES [11], que levará a uma solução que relaciona a temperatura crítica
e pressão interna crítica de flambagem.
2. Formulação numérica utilizando o programa ABAQUS versão 6.5. Com este
modelo numérico será possível encontrar a solução para a temperatura crítica
9
de flambagem (autovalor) e o autovetor do problema de instabilidade da casca
cilíndrica.
No capítulo 4, serão apresentadas as análises dos resultados, primeiramente para
flambagem e pós-flambagem do tipo viga onde serão comparadas as soluções para os
modelos numéricos e analíticos, em seguida para a flambagem do tipo casca, onde também
será feita uma comparação entre os modelos numérico e analítico, e finalizando o capítulo a
fronteira entre a flambagem tipo viga e tipo casca, ou seja, dado alguns parâmetros
geométrico e do material será possível determinar previamente o tipo de flambagem do
duto.
Por fim, no capítulo 5, são apresentadas as conclusões e sugestões para
desenvolvimento de trabalhos futuros.
1.3 Revisão Bibliográfica
A análise de elementos estruturais como vigas e colunas é baseada nos princípios da
mecânica. Estes princípios foram fundamentalmente desenvolvidos no período de 1638–
1788. Neste período a teoria de corpos rígidos foi desenvolvida em proximidade com o
desenvolvimento de técnicas matemáticas, tais como as equações diferenciais, de acordo
com TIMOSHENKO [8].
A análise de viga teve seu início com GALILEO GALILEI que apresentou tensões
em vigas com seção transversal retangular, bem como descreveu analiticamente a flexão de
vigas elásticas. Em seguida, ROBERT HOOKE, considerando apenas flexão pura,
conseguiu obter experimentalmente a relação linear entre tensões e deformações. Já
JAMES BERNOULLI considerou o problema com grandes deformações e, fazendo
algumas simplificações, assumiu que as seções transversais inicialmente planas
permaneciam planas após a deformação e demonstrou que a curvatura de uma viga é
proporcional ao momento fletor. Em seguida, LEONARD EULER encontrou as equações
diferenciais que regem o fenômeno de deflexão de vigas. ANTOINE PARENT foi o
10
primeiro cientista a desenvolver a distribuição de tensões em uma viga e correlacionou-a
com o momento fletor. Já SAINT-VENANT foi o cientista que mais contribuiu para o
desenvolvimento da elasticidade. Um de seus principais trabalhos foi o desenvolvimento da
teoria de flexão e torção e também contribuiu para o desenvolvimento da teoria de
deformações (vide CAIRE [9]).
Antes de 1930, os problemas de flambagem eram associados apenas com colunas de
edifícios e chapas de casco de navios. Na década de 30, devido à estrutura externa dos
aviões, houve um incentivo para desenvolver as análises de flambagem de casca. Mais
recentemente devido a mísseis, aviões espaciais e plataformas de perfuração de poços de
petróleo, serviu como incentivo para inúmeras análises complexas de flambagens de placas,
vigas e casca. TIMOSHENKO E GERE [10] publicaram o livro theory of elastic stability
que foi a primeira e mais importante referência no assunto. Porém, devido à data da
publicação muitos assuntos contemporâneos não foram tratados (Vide JONES [11]).
Outros importantes autores contribuíram com o tema de casca cilíndricas como:
TIMOSHENKO e KREIGER [12], BRUSH e ALMROTH [13], GOULD [14] e JONES
[11], um resumo do trabalho de cada um destes autores será apresentado mais adiante.
A seguir são apresentados trabalhos que tratam da análise, projeto e características
gerais de dutos pressurizados, fornecendo base sólida para o desenvolvimento desta
dissertação. Uma intensa pesquisa sobre dutos sujeitos à pressão interna foi realizada e
dividida em duas partes, são elas:
•
Na primeira parte pesquisou-se a flambagem e a pós-flambagem global, do
tipo viga, de um duto sujeito á pressão interna e a um gradiente de
temperatura:
PALMER e BALDRY [15] determinaram a carga crítica de flambagem de um duto
pressurizado, conforme a equação (1.1), engastado nas duas extremidades, bem como
realizaram um experimento onde foi encontrada uma relação entre a pressão interna e a
11
deflexão lateral. Os resultados apresentados por PALMER e BALDRY [15] estão em
concordância com os apresentados neste trabalho.
Picrt = 2π 2 EDT /(1 − 2υ) L2
(1.1)
Onde E, D, T, L e υ são, respectivamente, o módulo de elasticidade, o diâmetro, a
espessura, o comprimento e o coeficiente de Poisson.
TANG et al [16] estudaram a instabilidade estática bi-dimensional analiticamente e
experimentalmente, bem como as oscilações naturais. TANG et al [16] compararam os
resultados analíticos e experimentais para uma melhor compreensão da influência da
pressão interna na flambagem e pós-flambagem.
MASSA et al [17] estudaram a freqüência natural de um pipeline sujeito à pressão
interna através de um modelo de elementos finitos e uma comparação com uma ensaio
experimental foi feito. Esta freqüência natural também foi comparada com uma fórmula
sugerida pelo DNV.
•
Na segunda parte pesquisou-se, a flambagem, do tipo casca, de um duto
cilíndrico, sujeito à pressão interna e a um gradiente de temperatura. Após
uma intensa pesquisa foram encontrados os seguintes estudos:
TIMOSHENKO e GERE [10] demonstraram as soluções de flambagem para diversas
configurações de carregamento para um duto de parede fina como: Pressão axial e pressão
lateral externa. Eles também realizaram um ensaio experimental para determinar a carga
crítica de flambagem, do tipo casca, de um duto cilíndrico com um carregamento axial.
Este foi o primeiro livro publicado tratando de placas, anéis e cascas cilíndricas, vide
JONES [11].
TIMOSHENKO e KREIGER [12] apresentaram as equações para uma casca
cilíndrica e alguns exemplos onde esses cilindros são utilizados.
12
HUTCHINSON [18] deduziu as equações para a carga crítica de flambagem de uma
casca cilíndrica sujeita à pressão interna e a carregamento axial.
BRUSH e ALMROTH [13] encontraram a solução para uma casca cilíndrica
submetida a diferentes carregamentos como: Pressão lateral uniforme, compressão axial,
momento torcional e um carregamento combinado com pressão lateral e compressão axial.
GOULD [14] deduziu as equações de uma casca cilíndrica sujeita à pressão interna e
a um gradiente de temperatura, e calculou a carga crítica de flambagem do tipo casca, para
o cilindro sob um carregamento axial.
FONSECA et al [19] fizeram uma comparação entre um modelo em elementos finitos
e um ensaio experimental, numa casca cilíndrica sob compressão, um critério para
impossibilitar a flambagem em colunas foi analisado.
JONES [11] fez um estudo completo sobre flambagem abordando vários objetos em
diferentes carregamentos, inclusive chegou à equação para a temperatura crítica de
flambagem em uma casca cilíndrica sujeita a uma pressão interna e a um gradiente de
temperatura. A formulação analítica proposta por ele servirá de base para esta dissertação.
KYRIAKIDES e CORONA [20] apresentaram um experimento de uma casca cilindro
com cargas combinadas de compressão axial e pressão interna. Uma fórmula para pressão
normalizada é apresentada além de gráficos comparando o experimento com a análise
numérica.
A proposta desta tese é desenvolver modelos analíticos e numéricos para viga e casca,
com a finalidade de obter a solução de flambagem e pós-flambagem de um duto quando
sujeito a uma pressão interna e a uma variação de temperatura. O material será considerado
como linear elástico. A viga e a casca serão consideradas esbeltas.
13
2
CAPÍTULO II - FLAMBAGEM E PÓS-FLAMBAGEM ELÁSTICA
DE VIGA
Neste capítulo o duto será assumido uma viga elástica, esbelta, sujeita a uma pressão
interna e a um gradiente de temperatura uniforme. Esses dois carregamentos geram cargas
compressivas de flambagem, o que será demonstrado ao longo do capítulo. Uma
formulação e uma solução analítica para flambagem e pós-flambagem inicial do duto com
extremidades bi-apoiadas e fixas serão apresentadas, bem como um modelo numérico será
desenvolvido servindo de base para comparação entre os modelos.
2.1 Modelo Analítico
A Figura 2.1 apresenta as configurações inicial e de flambagem de um duto
pressurizado submetido a uma variação de temperatura, onde (X, Y ) representam as
coordenadas cartesianas da linha neutra da viga. P é a carga compressiva que surge nos
apoios das extremidades, (L, L* ) e (S, S* ) são respectivamente os comprimentos e arco de
comprimento inicial e deformado do duto.
Y
EI
*
dS
P
P
X
dS
L
Figura 2.1 Esquema do duto pressurizado, com uma variação de temperatura.
A Figura 2.2 apresenta a seção de um duto com raio médio r e espessura t onde r >> t,
portanto serão usadas as relações para dutos de paredes esbeltas que são válidas para
14
r / t ≥ 10 . O raio e a espessura não são alterados quando a pressão interna ( Pi ) e a
temperatura ( ∆T ) são aplicadas ao duto.
t
Pi
2r
Figura 2.2 Seção transversal do duto.
A Figura 2.3 mostra um elemento infinitesimal do duto deformado, onde M é o
momento fletor e θ é o ângulo com o eixo X .
M+dM
P
dS*
dY
P
θ
θ
M
dX
Figura 2.3 Elemento infinitesimal de duto deformado.
Compatibilidade Geométrica
Aplicando relações geométricas no elemento infinitesimal do duto deformado
dS* conforme mostrado na Figura 2.3 tem-se:
dX
= cos θ
dS*
(2.1a)
15
dY
= sin θ
dS*
(2.1b)
Onde S* é o comprimento do arco deformado e θ é o ângulo entre a tangente à curva
deformada e o eixo X .
Definição de Curvatura
Segundo BEER e JOHNSTON [20] a curvatura Κ é definida como.
dθ
=Κ
dS*
(2.1c)
Equilíbrio de Forças e Momentos
Na direção X o equilíbrio de forças resulta numa carga P ao longo do duto, já na
direção Y as cargas não são consideradas.
dP
=0
dS*
(2.1d)
dM
= P.senθ
dS*
(2.1e)
Relações Constitutivas
Relações constitutivas dadas pela Lei de Hooke, assumindo materiais homogêneos,
linearmente elásticos e considerando o estado de flexão pura, resultam em:
16
M = −EI Κ
(2.1f)
Com isso, substituindo a equação (2.1f) em (2.1e) tem-se:
EI.
dK
= −P.senθ
dS*
(2.1g)
Onde E é o módulo de Young e I é a inércia da área seccional para um duto esbelto.
Relação da Deformação
Para um elemento infinitesimal, a deformação linear da linha neutra ε a é definida
como a razão entre o comprimento deformado e o comprimento inicial.
dS
1
=
*
1+ ε a
dS
(2.2a)
Quando um duto é submetido a uma pressão interna Pi e a uma variação de
temperatura ∆T , este tende a expandir-se, e conseqüentemente, uma força compressiva P
surge caso o movimento de expansão seja restringido como mostrado na Figura 2.4.
Figura 2.4 Duto sujeito à
Utilizando a lei de Hooke generalizada:
17
Pi e ∆T .
εa =
1
.[σ a − υσ θ ] + α∆T
E
(2.2b)
A tensão de membrana σ θ é dada por:
r
t
(2.2c)
r P cos θ
−
2t
2πrt
(2.2d)
σ θ = Pi
E a tensão de axial σ a é dada por:
σ a = Pi
Onde os termos relacionados à pressão interna ( Pi ) são as tensões para um cilindro de
parede fina, conforme POPOV [22]. Já no termo para força compressiva ( P ) a tensão é
calculada como a razão entre a força compressiva e sua área de aplicação. Com isso, a
deformação total sofrida pelo duto é dada pela relação:
εa =
1  Pi .r P cosθ Pi .r.υ

.
−
−
+ α.E.∆T 
E  2.t 2.π.r.t
t

(2.2e)
Supondo que o deslocamento axial seja zero ( ε a = 0 ) na equação (2.2e) encontra-se o
valor para a força de reação no apoio (P), que é sempre de natureza compressiva
independente dos valores da temperatura e da pressão interna:

P cos θ = 2πrt Pi


r1

 − υ  + Eα ∆T 
t2


18
(2.2f)
Então substituindo a equação (2.2f) em (2.2d), tem-se:
r
σ a = Pi υ − Eα∆T
t
(2.2g)
Com isso é possível notar que a tensão de membrana ( σ θ ) é sempre trativa (equação
(2.2c)) e a tensão axial ( σ a ) (equação (2.2g)) pode ser trativa ou compressiva.
Equações diferenciais
Determinam-se assim seis equações diferenciais:
dX
= cos θ
dS*
(2.2h)
dY
= sin θ
dS*
(2.2i)
dθ
=K
dS*
(2.2j)
dS
1
=
*
(1 + ε a )
dS
(2.2l)
dK
1
= − P sin θ
*
EI
dS
(2.2m)
dP
=0
dS*
(2.2n)
Condições de Contorno
Oito condições de contorno devem ser especificadas, quatro para cada extremidade:
19
X(0) = 0
(2.3a)
Y(0) = 0
(2.3b)
Κ(0) = 0
(2.3c)
S(0) = 0
(2.3d)
X(L* ) − L = 0
(2.3e)
Y(L* ) = 0
(2.3f)
Κ(L* ) = 0
(2.3g)
S(L* ) − L = 0
(2.3h)
Adimensionalização de Variáveis
Para permitir generalização dos resultados, as variáveis são adimensionalizadas
conforme as seguintes relações: L* = l* L , S = s .L , X = x .L , Y = y .L , S* = s * .L ,
Κ = κ/ L,
λ2 = 2.L2 / r 2 ,
β = r/t,
P = p.E.I / L2 ,
Pi = p i .E
e
∆T = ∆t / λ2 α ;
Conseqüentemente as equações de governo se transformam em:
dx
= cos θ
ds *
(2.4a)
dy
= sin θ
ds *
(2.4b)
dθ
=κ
ds *
(2.4c)
ds
1
=
*
(1 + ε a )
ds
(2.4d)
20
dκ
= −p sin θ
ds *
(2.4e)
dp
=0
ds *
(2.4f)
E a deformação axial torna-se:
εa =
1
λ2


2 1
− p. cos θ + p i .β.λ .( 2 − υ) + ∆t 
(2.5)
Onde λ é a razão de esbeltez do duto e β é a relação entre o raio e a espessura do duto.
As condições de contorno se tornam:
x (0 ) = 0
(2.6a)
y(0) = 0
(2.6b)
κ(0) = 0
(2.6c)
s(0) = 0
(2.6d)
x (l * ) − 1 = 0
(2.6e)
y( l * ) = 0
(2.6f)
κ (l * ) = 0
(2.6g)
s (l * ) − 1 = 0
(2.6h)
2.1.1 Solução Analítica
Supondo que a estrutura sofra apenas pequenas deformações, pode-se utilizar o
método da perturbação para resolver o problema analiticamente, expandindo as variáveis
em função de um parâmetro de perturbação.
21
Introdução ao Método da Perturbação
Conforme descrito em NAYFEH [23], este método busca uma solução aproximada de
uma equação diferencial, por exemplo, y ,, + ay , + by = 0 na forma:
N
y( x; ψ ) = ∑ ψ i y i ( x ) + O(ψ N +1 )
i=0
(2.7)
Onde y é expandido em uma série de potências de ψ e y i são funções que dependem
de x, mas são independentes do parâmetro da perturbação ψ . Uma seqüência de ψ n
formada por potências de ψ é um exemplo de uma seqüência assintótica. Uma expansão
como a da equação (2.7), onde o erro é da ordem do primeiro termo negligenciado, é
chamada de expansão assintótica (aproximação de primeira ordem). Se n termos são
apresentados, esta será chamada de uma aproximação de ordem n . Estas também são
chamadas de expansões assintóticas de Poincaré.
A solução da equação diferencial é obtida resolvendo-se seqüencialmente as equações
de governo em termos proporcionais a cada potência de ψ ( ψ 0 , ψ 1 , ψ 2 ..., ψ n ), aplicando-se
as condições de contorno nas equações para assim encontrar os termos obtidos com a
expansão assintótica.
Expansão das Variáveis
Sendo ψ o parâmetro da perturbação, as expansões das variáveis x (s * ) , y(s * ) ,
κ(s * ) , p , p i , ∆T e ε a são mostradas abaixo, onde os termos de ordem maior que ψ 3
foram desconsiderados.
x (s * ) = s * + ψ 2 x 1 (s * )
22
(2.8a)
y(s * ) = ψ y 0 (s * ) + ψ 3 y1 (s * )
(2.8b)
θ(s * ) = ψ θ 0 (s * ) + ψ 3 θ1 (s * )
(2.8c)
κ (s * ) = ψ κ 0 (s * ) + ψ 3 κ 1 (s * )
(2.8d)
p = a 0 + ψ 2 a1
(2.8e)
p i = b 0 + ψ 2 b1
(2.8f)
( )
ε = ε 0 + ψ 2 ε1 s *
(2.8g)
∆t = c 0 + ψ 2 c1
(2.8h)
Através da expansão da serie de Taylor pode-se determinar as funções seno e cosseno
como sendo:
senθ ≅ θ −
θ3
3!
(2.8i)
cos θ ≅ 1 −
θ2
2!
(2.8j)
Substituindo (2.8c) nas expansões de seno e cosseno:
3

θ0 

 + ...
senθ ≅ ψθ 0 + ψ θ1 −


6


3
cos θ ≅ 1 − ψ 2
θ0 2
+ ...
2
(2.9a)
(2.9b)
Substituindo as Equações (2.8a), (2.8b), (2.8c), (2.9a) e (2.9b) na equação (2.4e) e
sabendo que
dκ d 2 θ
, desprezando-se os termos proporcionais a ψ 5 , chega-se a:
=
ds * ds *2
23
ψ
2

 3
d 2 θ0
θ 30
3 d θ0

ψ
+
ψ
=
−
a
ψθ
−
a
θ
1
−
a
+
a
θ
0
0
0
0
1
0
*2
*2

6
ds
ds


(2.10)
Solução Seqüencial
Das equações (2.4a), (2.9b) e da derivada em relação à s* da equação (2.8a), tem-se:
2
dx
2 dx 1
2 θ0
=
1
+
ψ
=
1
−
ψ
2
ds *
ds *
(2.11a)
e, portanto:
s* θ 2
0
x 1(s*) = − ∫
0
2
ds *
(2.11b)
Das equações (2.4b), (2.9a) e da derivada em relação à s* da equação (2.8b), tem-se:
3

θ 0 
dy 0
dy
3 dy1
3
=
ψ
+
ψ
=
ψθ
+
ψ
θ
−
0
 1 6 
ds *
ds *
ds *


(2.12a)
Logo:
dy 0
= θ0
ds *
dy1
ds *
= θ1 −
θ0
6
(2.12b)
3
(2.12c)
24
Solução de Primeira Ordem
Separando da equação (2.10) os termos que são multiplicados pelo termo de primeira
ordem da perturbação ( ψ 1 ) verifica-se que:
d3y0
ds
*3
+ a0
dy 0
ds *
(2.13a)
=0
Derivando esta equação chega-se a:
d 4 y0
d 2 y0
+
a
=0
0
ds *4
ds *2
(2.13b)
A solução clássica para a linha elástica do duto nesta situação é:
 π s* 
y 0 (s * ) = sin  * 
 l 
(2.14)
Substituindo a equação (2.14), e suas derivadas em (2.13b), encontra-se a 0 que é:
π
a0 =  * 
l 
2
(2.15)
Já Substituindo na equação (2.5) os valores de (2.8e), (2.8f), (2.8h) e (2.9b) é obtido:
2
ε(s *) = ε 0 + ψ 2 ε11 + ψ 2 ε12
25
θ0
2
(2.16)
Onde:
ε0 =
β.λ2 .(0.5 − υ).b 0 − a 0 + c 0
λ2
(2.17)
ε 11 =
β.λ2 .(0.5 − υ).b1 − a 1 + c1
λ2
(2.18)
ε 12 =
a0
(2.19)
λ2
A partir da equação (2.4d) sabe-se que:
[
ds ≅ ds * 1 − ε(s * )
]
(2.20a)
Aplicando a equação (2.16) em (2.20a) e integrando esta de s * = 0 até s * = l * tem-se:
(
)
1 = l * − ε 0 + ψ 2 ε 11 l * − ε 12 (l * − 1)
(2.20b)
O termo ε 0 é igualado à zero, encontrando-se assim os valores de b 0 e c 0 :
b0 =
a 0 − c0
β.λ2 .(0,5 − υ)
(2.21)
Com isso tem-se uma relação entre os primeiros termos das equações (2.8e) e (2.8f),
pois a 0 , λ, β e υ são termos conhecidos da equação (2.21). Mais adiante será demonstrado
que esta é a equação da temperatura crítica e pressão crítica de flambagem.
26
Solução de Segunda Ordem
Separando da equação (2.10) os termos que são multiplicados pelo parâmetro de
terceira ordem da perturbação ( ψ 3 ), verifica-se que:
d 2 θ1
ds *2
+ a 0θ1 = −a1θ0 + a 0
θ0 3
6
(2.22a)
θ0 2 dθ 0
2 ds *
(2.22b)
Derivando-se a equação (2.22a) obtém-se:
d 3 θ1
ds *3
+ a0
dθ1
ds *
= − a1
dθ 0
ds *
+ a0
Substituindo a equação (2.14) e suas derivadas em (2.22b), é obtida uma equação
diferencial para y1(s*). Após algumas simplificações, chega-se a seguinte equação:
2
4
  πs *
d 4 y1
d 2 y1  π   -1  π 
+
a
0
=
+
a
    
1  sin 
 *
ds *4
ds *2  l *   8  l * 
  l
6
  - 9  π    3πs *
 +   *   sin  *
  8  l    l



(2.22c)
Contemplando sua expansão de primeira ordem verifica-se que a solução cresceria
indefinidamente, para evitar esta solução o primeiro termo do lado direito da equação
(2.22c) é igualado a zero, com isso esta equação torna-se:
6
 3πs * 
d 4 y1
d 2 y1
9 π 
 * 
+
a
0
1= − 
sin

8  l* 
ds *4
ds *2
 l 
Encontrando-se assim o valor da a 1 :
27
(2.22d)
1 π 
a1 =  * 
8l 
4
(2.23)
A solução particular para a equação (2.22d) é:
 3πs * 
y1 (s * ) = D sin  * 
 l 
(2.24)
Substituindo-se (2.24) e suas derivadas em (2.22d) encontra-se o valor de D que é:
1 π
D = . * 
64  l 
2
(2.25)
Desenvolvendo-se a equação (2.20b) com a alteração (2.21) é obtido a relação entre
b1 e c 1 :
2

1 π
b 1 = c 1 + a 1 +  *  λ 2 − a 0
4l 

(

). β.λ .(01,5 − υ)

(2.26)
2
Com isso tem-se uma relação entre os segundos termos das equações (2.8e) e (2.8f),
pois a 0 , a 1 , λ, β, l * e υ são termos conhecidos da equação (2.26). Para chegar-se nas
equações da temperatura e pressão interna para a pós-flambagem, falta apenas encontrar a
solução do parâmetro de perturbação, que será apresentado a seguir.
Solução do Parâmetro da Perturbação
Derivando-se a equação (2.8a) em relação à s * obtém-se:
28
θ0 2 *
ds
0 2
l*
dx = ds * − ψ 2 ∫
(2.27a)
Integrando-se a equação (2.27a) de s * = 0 até s * = l * , e acordo com as condições
iniciais do problema obtém-se:
θ0 2 *
ds
0 2
l*
1 − 0 = l* − ψ 2 ∫
(2.27b)
Aplicando a primeira derivada da equação (2.14) verifica-se que:
2
θ0 2 * 1  π  *
ds =  *  l
∫
4l 
0 2
l*
(2.28)
Retornando este valor em (2.27b) encontra-se uma expressão para ψ :
l* -1  l* 
ψ = 4 *  
l π
2
2
(2.29)
É possível observar na equação (2.29) que o parâmetro de perturbação é controlado
exclusivamente pelo comprimento deformado, logo todos os termos ( ψ , a 0 , a 1 , b 0 , b1 , c 0
e c1 ) necessários para a solução da pós-flambagem já foram determinados.
Solução Geral da Pressão Interna e temperatura
Finalmente, substituindo-se as equações (2.15), (2.23), (2.21), (2.26) e (2.29) em
(2.8a-h) tem-se:
29
π
p= *
l 
2
 (l * − 1) 

.1 +
2.l * 

 π 2

1
p i =   *  − c 0 . 2
+
 l 
 β.λ .(0.5 − υ)


2
2
4
l * -1  l *  
1 π 
1 π
+ 4 *   .c1 +  *  +  * 
8l 
4l 
l  π  
 2  π  2 
1
 λ −   .
*
2


 l   β.λ .(0,5 − υ)

(2.30a)
(2.30b)
Onde c 0 e c1 são termos de temperatura da equação (2.8h), no próximo tópico será
possível observar que o termo c 0 é a temperatura crítica de flambagem.
No capítulo 4 serão apresentados os resultados de pós-flambagem oriundos da
equação (2.30b)
Solução da Pressão Interna e Temperatura Crítica de Flambagem
Com isso fazendo l * = 1 nas equações (2.30a-b) encontra-se a carga crítica, e a
relação entre à pressão interna crítica e a temperatura crítica de flambagem:
p cr = π 2
(2.30c)
p icr β.λ2 .(0.5 − υ) + ∆t cr = π 2
(2.30d)
Na equação (2.30d) é possível notar que a pressão interna crítica e a temperatura
crítica de flambagem mantêm uma relação linear e dependem dos parâmetros β, λ que são
basicamente de origem geométrica e de υ.
No capítulo 4 serão apresentados os resultados relativos à temperatura crítica e a
pressão interna crítica de flambagem, para tal será utilizada a equação (2.30d).
30
Tensão de Von Mises para a Flambagem.
É importante estabelecer um critério para limitar as análises ao regime linear elástico.
Nesta dissertação a tensão de Von Mises, em uma forma adimensional, será utilizada para
comparação à tensão de escoamento do material.
As equações das tensões de membrana e axial (2.2c-d) quando normalizadas pelo
módulo de elasticidade, resultam nas equações adimensionais:
σθ
= p iβ
E
(2.31a)
σa
∆t
= pi β υ − 2
E
λ
(2.31b)
σθ =
σa =
Porém substituindo a equação (2.30d) em (2.31a) chega-se em:
σθ =
π 2 − ∆t cr
λ2 .(0,5 − υ)
(2.32a)
E substituindo a equação (2.30d) em (2.31b), tem-se
σa =
π 2 υ − 0,5 ∆t cr
λ2 .(0,5 − υ)
(2.32b)
Com isso aplicando o critério de Von Mises conforme BEER e JOHNSTON [21].
31
2
2
σ vm = (σ a − σ a σ θ + σ θ )
(2.32c)
Substituindo as equações (2.32a-b) em (2.32c) resulta no critério de tensão para a
flambagem:
σ vm
π2
1
2
= 2
υ2 − υ + 1 +
3∆t cr − 6π∆t cr
2
λ .(0.5 − υ)
2.λ .(0.5 − υ)
(2.33)
Tensão de Von Mises para a Pós-Flambagem.
Porém a equação (2.31b) é válida até a carga crítica de flambagem, pois se esta carga
continuar aumentando a viga irá fletir, aparecendo assim uma tensão de flexão:
σ flex = EKYmax
(2.34a)
Com isso, normalizando-se a tensão de flexão, chega-se á:
σ flex =
k 2
λ
(2.34b)
Logo a tensão axial de pós-flambagem será:
σ a = p i βυ −
∆t k 2
−
λ
λ2
(2.34c)
Logo, substituindo a equação (2.8f) em (2.31a) chega-se na tensão de membrana
normalizada:
32
(
)
σ θ = b 0 + ψ 2 b1 β
(2.35a)
Os termos b 0 , b1 e β são conhecidos na equação (2.35a).
E substituindo em (2.34c) as equações (2.8f-h) e fazendo s * = 1 / 2 em (2.8d) tem-se a
tensão axial normalizada com o efeito da flexão:
(
σa = b 0 + ψ
2
(c
b )β υ −
1
0
) (
( )
( ))
+ ψ 2 c 1  ψk 0 s * + ψ 3 k 1 s *
−

λ
λ2

2



(2.35b)
Os termos b 0 , b1 , β, a 0 , a 1 , λ, θ 0 , k 0 , k 1 e ψ da equação (2.35b) são conhecidos.
Aplicando-se Von Mises, equação (2.32c), conforme BEER e JOHNSTON [21]
encontra-se um critério de tensão para o duto em pós-flambagem. Com isso dois critérios
de tensão foram determinados o primeiro é válido até a carga crítica de flambagem e o
segundo passa a ser válido na pós-flambagem onde o efeito da flexão é incorporado. No
capitulo 4 serão apresentados resultados que demonstram claramente se o duto está
sofrendo deformações elásticas ou plásticas.
Conclusão Sobre o Modelo Analítico.
Nesta primeira parte do capítulo 2, assumindo o duto como uma viga elástica, esbelta
sujeita a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura uniforme e usando o método
de perturbação foi possível determinar:
1. Uma relação entre a temperatura crítica de flambagem e a pressão interna
crítica de flambagem.
2. Equação de pós-flambagem que relaciona temperatura e pressão interna.
E aplicando-se a tensão Von Mises foi possível determinar os seguintes critérios:
33
1. Um critério de tensão válido até a temperatura e pressão interna crítica de
flambagem.
2. Um critério de tensão válido para a pós-flambagem.
Além do mais, resultados para a flambagem e pós-flambagem serão apresentados no
capítulo 4.
2.2 Modelo Numérico
2.2.1 Modelo Numérico para Temperatura Crítica de Flambagem
Um modelo não-linear baseado no MEF foi desenvolvido para simular a temperatura
crítica de flambagem de um duto (assumido seu comportamento como de uma viga)
esbelto, sujeito a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura e com extremidades
bi-apoiadas e fixas. Neste tópico serão descritas as seguintes etapas:
1. Geração dos nós dos elementos.
2. Geração dos elementos.
3. Definição das propriedades do material e seção do duto.
4. Condições de contorno.
5. Aplicação dos passos de carga.
Objetiva-se desenvolver uma modelagem numérica que represente “exatamente” o
problema analítico apresentado na primeira parte do capítulo 2.
Geração dos Nós dos Elementos
Um estudo de sensibilidade de malha foi feito, porém o modelo não apresentou
diferenças significativas no resultado e nem no tempo da análise com as diferentes malhas,
34
logo utilizou-se a malha com dimensão global aproximada de 15 milímetros conforme
Figura 2.5.
Figura 2.5 Malha utilizada no modelo de viga.
O ABAQUS permite que sejam usadas coordenadas, cartesianas, cilíndricas ou
esféricas. No modelo proposto será usado o sistema cartesiano conforme Figura 2.6.
Y
Z
X
Figura 2.6 Sistema global de coordenadas utilizado no modelo.
Geração dos Elementos
Após os nós terem sido criados, os mesmos são unidos formando os elementos de
duto. O elemento selecionado para representar o duto é o PIPE21, elemento de viga com
três graus de liberdade (dois de deslocamento e um de rotação) por nó. O elemento 1 é
definido ligando os nós 1 e 2, o elemento 2 é definido ligando os nós 2 e 3 e assim
sucessivamente, formando assim um duto com N elementos. O elemento PIPE21 é baseado
35
na teoria de Timoshenko, que permitem deformações por cisalhamento. Porém na prática,
os efeitos de cisalhamento são relevantes para estrutura espessas no caso de estruturas finas
a teoria de Timoshenko se aproxima da formulação de Euler-Bernoulli, onde as
deformações por cisalhamento não são consideradas.
Propriedades do material e seção do duto
Na Tabela 2.1 estão apresentadas as propriedades do material e a seção transversal do
duto. Os parâmetros, raio (r), espessura (t), pressão interna (Pi) e comprimento (L), que
estão apresentados na Tabela 2.1 não têm um valores específicos pois variam de acordo
com a análise desejada.
Tabela 2.1 Propriedades do material e da seção do duto
Parâmetros
Módulo de elasticidade (E)
Coeficiente de expansão térmica (α)
Coeficiente de Poisson (ν)
Raio Externo do duto (r)
Espessura da parede (t)
Pressão interna (Pi)
Comprimento do duto (L)
Valor
2.1E+11
1.10E-05
0.3
r
t
Pi
L
Unidade
Pa
1/°c
m
m
Pa
m
Condição de contorno.
Os nós que representam as extremidades do duto são apoiados, ou seja, ele é
impedido de deslocar-se nas três direções, porém sua rotação é permitida. Com isso:
1. Quando o duto é exposto a uma expansão térmica, surge uma força
compressiva.
2. Devido ao duto estar tamponado a pressão interna tende a expandir o duto,
surgindo assim uma força reativa de compressão.
36
Logo, o duto tende a expandir-se devido à pressão interna e à temperatura. Como
fisicamente isso não é permitido, tendo em vista que as condições de contorno assumidas
são fixas, surgem forças compressivas nos apoios.
Aplicação dos passos de carga
O modelo foi construído com dois passos de carregamento, são eles:
1. No primeiro passo aplica-se a pressão interna sob forma de uma função
rampa, ou seja, sua magnitude varia linearmente durante a aplicação do passo
de carga de um valor inicial nulo até o valor especificado no carregamento.
2. No segundo passo utilizou-se a função buckle, contemplada na biblioteca do
ABAQUS onde são permitidas no máximo 30 interações. A função buckle
consiste em encontrar os autovalores e autovetores, chegando à temperatura
crítica de flambagem, como mostra a Figura 2.7.
Com os dois passos aplicados a temperatura crítica e o modo de flambagem são
encontrados conforme Figura 2.7.
37
Figura 2.7 Modelo flambado como viga após atingir a temperatura crítica usando a função buckle.
2.2.2 Modelo Numérico de Pós-Flambagem
Um modelo não-linear baseado no MEF foi desenvolvido para simular a pós-flambagem de
um duto (assumido seu comportamento como de uma viga) esbelto, sujeito a uma pressão
interna e a um gradiente de temperatura e com extremidades bi-apoiados e fixas. Neste
tópico serão descritas apenas as seguintes etapas:
1. Condição de contorno.
2. Aplicação dos passos de carga.
As outras etapas são as mesmas descritas anteriormente para a flambagem. Estas duas
etapas serão escritas juntas para sua melhor compreensão.
Condição de contorno e passos de carga.
O modelo foi construído com três passos de cargas que serão demonstrados a seguir;
38
•
Primeiro passo de carga.
Neste passo o duto tamponado é submetido a uma pressão interna e uma pequena
força na direção lateral Y conforme Figura 2.6, para introduzir uma imperfeição geométrica
e permitir a progressão da pós-flambagem do duto nos passos seguintes.
Neste passo as cargas são aplicadas sob forma de uma função rampa, ou seja, sua
magnitude varia linearmente durante a aplicação do passo de carga de um valor inicial nulo
até o valor especificado no carregamento. As condições de contorno nesse passo são:
1. Em X = 0 as o duto é apoiado, ou seja, as rotações nas três direções são
permitidas e o deslocamento é restringido.
2. Em X = L o duto é livre para se deslocar apenas em X conforme Figura 2.6 e
suas rotações nas três direções são permitidas.
Assim quando o duto é pressurizado ele é livre para expandir-se na direção X
passando a ter um comprimento total de L + ∆L , onde ∆L é a parte expandida do duto.
•
Segundo passo de carga.
Neste passo utilizando-se um conector do tipo CONN2D2 como mostrado na Figura
2.8, força-se o duto a ter deslocamento zero, ou seja, ao duto é imposto um deslocamento
de ∆L na direção de X, levando o duto a retornar ao comprimento original L.
Em seguida, na posição X = L , a condição de contorno foi alterada passando a não
ser mais permitido o deslocamento da direção X, ou seja, as rotações nas três direções são
permitidas e os deslocamentos são restringidos.
Logo, neste passo de carga a pressão interna gera uma carga reativa compressiva.
Com isso, dependendo de sua magnitude três situações podem ocorrer:
39
1. A pressão interna não é suficiente para gerar carga reativa compressiva que
leve o duto a flambar.
2. A carga reativa compressiva devido a pressão interna é suficiente para chegar
na carga crítica de flambagem.
3. A pressão interna gera uma carga reativa compressiva, suficiente para atingir
a carga crítica de flambagem e chegar ao regime de pós-flambagem.
Figura 2.8 Conector CONN2D2
•
Terceiro passo de carga.
Neste passo de carga acrescenta-se a temperatura que aumenta uniformemente até
atingir a magnitude determinada. Desta forma a combinação da temperatura com a pressão
interna pode levar a três hipóteses:
1. Não alcança a carga crítica de flambagem.
40
2. Chega exatamente na carga crítica de flambagem, que é o objetivo do modelo
anterior, mas que também pode ser feito com o modelo em questão.
3. Passa da carga crítica de flambagem, ou seja, chega-se ao regime de pósflambagem, que é objetivo desde modelo, conforme ilustrado na Figura 2.9.
Figura 2.9 Modelo flambado como viga após atingir a temperatura crítica.
Conclusão do Modelo Numérico.
Nesta segunda parte do capítulo 2 foi possível criar dois modelos que representam
tanto a flambagem como a pós-flambagem. No capítulo 4 serão apresentados os resultados
das simulações de flambagem e pós-flambagem obtidos numericamente, que foram
realizados para uma série de parâmetros geométricos. Ainda no capítulo 4 esses resultados
serão comparados aos resultados do modelo analítico a partir das equações encontradas na
primeira parte do capítulo 2.
41
3
CAPÍTULO 3 - FLAMBAGEM DE CASCA
Neste capítulo o duto será assumido como uma casca cilíndrica elástica, esbelta,
sujeita a uma pressão interna ( Pi ) e a um gradiente de temperatura ( ∆T ) uniforme, com
extremidades bi-apoiadas e fixas conforme Figura 3.1.
Figura 3.1 Casca cilíndrica sujeita a pressão interna e temperatura com extremidades bi-apoiadas.
Ao longo do capítulo serão apresentados dois modelos para determinar a carga crítica
de flambagem, são eles:
1. Modelo analítico desenvolvido por JONES [11].
2. Modelo numérico utilizando o programa ABAQUS versão 6.5.
No decorrer da apresentação do modelo analítico desenvolvido por JONES [11], será
demonstrado que a pressão interna devido ao efeito de membrana gera na direção axial
apenas forças reativas de tração ou compressão, conforme discutido no capítulo 2.
No capítulo 4 será apresentada uma comparação entre os modelos analíticos e
numéricos.
42
3.1 Modelo Analítico
Para uma melhor compreensão do problema de casca cilíndrica nesta primeira parte
do capítulo 3 serão apresentadas as equações desenvolvidas por JONES [11] que
levam à equação de equilíbrio de uma casca cilíndrica. E posteriormente será
apresentada a equação que relaciona a temperatura crítica e a pressão interna crítica.
Descrição da equação de equilíbrio de uma casca cilíndrica segundo
JONES[11]
Para determinar a equação de equilíbrio de uma casca cilíndrica foi utilizado o
seguinte sistema de referências:
•
Geometria de uma casca cilíndrica circular, Figura 3.2.
Figura 3.2 Coordenada geométrica, [11].
Onde os domínios de X, Y e Z são respectivamente ( 0 , L ), ( 0 , 2 π ) e ( 0 , r )
43
•
Direção das forças na casca cilíndrica circular, Figura 3.3.
Figura 3.3 Forças em um elemento de casca, [11].
•
Direção dos momentos na casca cilíndrica circular, Figura 3.4.
Figura 3.4 Momentos em um elemento de casca, [11].
Com os sistemas de referência determinados o desenvolvimento da teoria pode ser
iniciado. Segundo a teoria de elasticidade as tensões σ x , σ y , τ xy (tensões normais e tensão
cisalhante) são descritas em função das deformações ε x , ε x , γ xy , como mostrado na
equação (3.1).
44
E
(ε x + υ ε y )
1− ν2
E
(ε y + υ ε x )
σy =
1− ν2
E
τ xy =
γ xy
2(1 + υ)
σx =
(3.1)
Porém, ε x , ε x , γ xy são as deformações em um ponto qualquer da chapa ou casca, mas
para este estudo será usada como referência a superfície média, logo estas deformações
nestas referências são:
ε x = εx + z κ x
ε y = εy + z κ y
(3.2)
γ xy = γ xy + z κ xy
Onde ε x , ε y e γ xy são as deformações na superfície média da casca e κ x , κ y e κ xy
são as curvaturas na superfície média da casca, que podem ser escritas em função dos
respectivos deslocamentos, equação (3.3), e z é a coordenada da espessura a partir da
superfície média (hipótese de casca adotada), conforme LOVE [24].
κ x = − w xx
κ y = − w yy
(3.3)
κ xy = −2 w xy
Onde
( )x , ( )y , ( )xx , ( )yy e ( )xy
são as diferenciais com respeito à respectiva
coordenada variável.
Portanto a equação (3.1) pode ser escrita em função das deformações dos pontos
médios conforme a equação (3.4).
45
E
(ε x + z κ x + υ(ε y + z κ y ) )
1− ν2
E
(ε y + z κ y + υ (ε x + z κ x ))
σy =
1− ν2
E
(γ xy + z κ xy )
τ xy =
2(1 + υ)
σx =
(3.4)
As deformações ε x , ε x , γ xy podem ser expressas através dos deslocamentos
conforme a equação (3.5).
1 2
wx
2
w 1
ε y = u y + + w 2y
r 2
γ xy = v x + v y + w x w y
εx = u x +
(3.5)
A energia potencial de deformação (U) pode ser escrita conforme a equação (3.6).
U=
1
t/2
2
2
2
∫∫ ∫− t / 2 σ x + σ y − 2 υ σ x σ y + (1 + υ) τ xy dz dx dy
2E
[ [
] ]
(3.6)
Porém, a energia potencial de deformação ( U ) é a soma da energia potencial de
deformação de membrana ( U m ) com a energia potencial de deformação de flexão ( U b ).
Substituindo (3.5) em (3.6) é possível determinar U m e U b , como mostrado nas equações
(3.7) e (3.8), respectivamente.
Um =
Ub =
Et
1− υ 2
 2
ε + ε y2 + 2 υ ε x ε y +
γ xy
2 ∫∫  x
2
2 (1 − υ ) 

 dx dy

Et 3
2
2
2
∫∫ w xx + w yy + 2 υ w xx w yy + 2(1 − υ) w xy dx dy
2 4(1 − υ 2 )
[
]
46
(3.7)
(3.8)
A energia potencial da força externa é composta de quatro partes:
1. A energia potencial de força externa devido à força lateral.
Ω p = + ∫∫ p w dx dy
(3.9)
2. A energia potencial de força externa devido às forças na superfície.
Ω F = − ∫ (N x u + N yx v )dy
(3.10)
3. A energia potencial de força externa devido aos momentos.
Ω M = + ∫ M x w x dy
(3.11)
4. A energia potencial de força externa devido aos esforços cortantes.
Ω K = − ∫ K x w dy
(3.12)
A energia potencial total (V), equação (3.13), é a soma da energia potencial de
deformação mais a energia potencial de força externa.
V = Um + Ub + Ωp + ΩF + ΩM + Ωk
(3.13)
E pode ser representada pelo funcional (F), que é mostrado na equação (3.14) do
cálculo variacional.
47
V = ∫∫ F(u , u x , u y , v, v x , v y , w , w x , w y , w xx , w yy , w xy )
(3.14)
R
Das equações (3.5), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11) e (3.12) tem-se:
F=
2
A 
1 2 
w 1 2
1 2 
w 1 2 

 u x + w x  +  v y + + w y  + 2υ u x + w x  v y + + w y  +
2 
2
r 2
2
r 2
 




 D 2
A  1 − υ 
2
2

(v x + u y + w x w y ) + w xx + w yy + 2 υ w xx w yy + 2(1 − υ)w xy + pw

2  2 
 2
[
(3.15)
]
Onde A é a rigidez extensional e D é a rigidez de flexão.
A=
D=
Et
1− ν2
Et 3
12 1 − ν 2
(
(3.16a)
(3.16b)
)
De acordo com o princípio da energia potencial mínima, as equações de equilíbrio
podem ser obtidas fazendo δV = 0 .
∂F ∂  ∂F

−
∂u ∂x  ∂u x
 ∂  ∂F
 − 

 ∂y  ∂u y

=0


(3.17a)
∂F ∂  ∂F

−
∂v ∂x  ∂v x
 ∂  ∂F
 − 

 ∂y  ∂v y

=0


(3.17b)
48
∂F ∂  ∂F

−
∂w ∂x  ∂w x
 ∂  ∂F
 − 

 ∂y  ∂w y


 + ∂  ∂F
2
 ∂x  ∂w
xx



∂
 + 2
 ∂y
 ∂F

 ∂w
yy



 + ∂  ∂F
 ∂x∂y  ∂w
xy



=0


(3.17c)
Resolvendo as equações (3.17a-c) chega-se nas equações diferenciais de equilíbrio
estático (3.18a-c) para u, v e w.
∂ 
1 2
w 1 2  1 − υ ∂

(v x + u y + w x w y ) = 0
 u x + w x  + υ v y + + w y  +

∂x 
2
r 2
2 ∂x



(3.18a)
1− υ ∂
(v x + u y + w x w y ) + ∂  v y + w + 1 w 2y  + υ u x + 1 w 2x  = 0
2 ∂x
∂y 
r 2
2



(3.18b)

w 1
1



A  v y + + w 2y  + υ u x + w 2x  / r + p +
r 2
2




−A

∂  
1 2
w 1 2  1 − υ

w y (v x , u y , w x w y )
 w x  u x + w x  + υ v y + + w y  +
∂x  
2
r 2
2





∂  
w 1
1


 1 − υ
− A  w y  v y + + w 2y  + υ u x + w 2x  +
w x (v x , u y , w x w y )
∂y  
r 2
2
2




(3.18c)
 ∂2

∂2
∂2
+ D  2 ( w xx + υw yy ) + 2(1 − υ)
w xy + 2 (w yy + υw xx ) = 0
∂x∂y
∂y
 ∂x

Integrando as equações (3.4) em relação à z determinam-se os esforços N x , N y , N xy
conforme equação (3.19a).
N x = ∫− t / 2 σ x dz = A(ε x + υ ε y )
t/2
N y = ∫− t / 2 σ x dz = A(ε y + υ ε x )
t/2
t/2
N xy = ∫− t / 2 τ xy dz =
1− υ
Aγ xy
2
49
(3.19a)
Multiplicando as equações (3.4) por z e integrando em relação à z determinam-se os
momentos M x , M y , M xy conforme equação (3.19b).
M x = ∫− t / 2 σ x z dz = D (κ x + υκ y )
t/2
M y = ∫− t / 2 σ x z dz = D (κ y + υκ x )
t/2
t/2
M xy = ∫− t / 2 τ xy z dz =
(3.19b)
1− υ
D κ xy
2
Com isso as equações de equilíbrio (3.18a-c) podem ser escritas em função das forças
(3.19a) e momentos (3.19b).
∂N x ∂N xy
+
=0
∂x
∂y
∂N xy
∂x
+
∂N y
∂y
=0
∂ 2 M xy ∂ 2 M y
Ny
∂ 2M x
+
2
+
+ N y w xx + N y w yy + 2 N xy w xy −
=p
2
2
∂x∂y
r
∂x
∂y
(3.20a)
(3.20b)
(3.20c)
Aplicando o método de Donnell, as equações (3.20a-c) tornam-se:
r∇ 4 u = −υ
∂3w
∂3w
+
∂x 3 ∂x∂y 2
r∇ 4 u = −(2 + υ)
∂3w
∂3w
+
∂x 2 ∂y ∂y 3
50
(3.21a)
(3.21b)
D∇ 8 w +
Et ∂ 4 w
− ∇ 4 ( N x w xx + N y w yy + 2 N xy w xy ) = 0
2
4
r ∂x
(3.21c)
Onde:
∇4 =
∇8 =
∂4
∂4
∂4
+
2
+
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4
∂8
∂8
∂8
∂8
∂8
+
4
+
6
+
4
+
∂x 8
∂x 6 ∂y 2
∂x 4 ∂y 4
∂x 2 ∂y 6 ∂y 8
(3.21d)
(3.21e)
Chega-se assim na equação geral de equilíbrio para uma casca cilíndrica, que será
usada para determinar a carga crítica de flambagem ao longo deste capítulo.
Equação da carga crítica de flambagem segundo JONES [11].
JONES [11], ao longo de seu livro, encontrou a carga crítica de flambagem para casca
cilíndrica submetida a diversos carregamentos:
1. Carga axial.
2. Pressão lateral.
3. Pressão hidrostática.
4. Momento torcional.
5. Pressão lateral com um gradiente de temperatura.
Para esta dissertação será usado como base o modelo de casca com carregamento de
pressão lateral com um gradiente de temperatura e em seguida será modificada para o
objetivo da dissertação que é pressão interna.
51
A solução da equação (3.21c) para um duto bi-apoiado, sujeito à pressão lateral e à
variação de temperatura conforme a Figura 3.5, onde o termo cortante é zero ( N xy = 0 ),
com a condição de contorno (3.22), pode ser escrita na forma da equação (3.23):
Figura 3.5 Duto com uma pressão lateral e uma variação de temperatura, [11].
δw (0) = δw (L) = 0
D∇ 8 w +
Et ∂ 4 w
− ∇ 4 ( N x w xx + N y w yy ) = 0
2
4
r ∂x
(3.22)
(3.23)
Que é a equação de equilíbrio para um duto sujeito a pressão lateral e uma variação de
temperatura. Usando o deslocamento de flambagem, com amplitudes independentes,
equação (3.24), é possível encontrar a solução da equação (3.23):
~ sen m π x sen ny
δw = w = w
L
r
(3.24)
Substituindo a equação (3.24) em (3.23) é possível encontrar a solução para a carga
crítica de flambagem que relaciona a pressão lateral e a temperatura crítica de flambagem
de um duto sujeito a uma pressão lateral e um gradiente de temperatura, conforme
apresentado nas equações a seguir.
52
2
2
2T12 T13 T23 − T11T232 − T22 T132
 mπ
n
Nx 
+
N
=
T
+


y
33
T11T22 − T122
r
 L 
(3.25a)
Onde:
2
 mπ  1 − ν  n 
T11 = A
A 
 +
2
 L 
r
T12 =
2
(3.25b)
1 + ν  mπ  n 
A
 
2
 L  r 
(3.25c)
 ν  mπ 
T13 = A 

 r  L 
(3.25d)
1  n 
T23 =  A 
r  r 
(3.25e)
2
1 − ν  mπ 
n
T22 =
A
 + A 
2
 L 
r
2
2
2
4
 mπ  4
 mπ   n   n   A
T23 = 
+
2
+


     + 2
 L   r   r   r
 L 
(3.25f)
(3.25g)
Porém, JONES [11] diz, após encontrar as equações (3.25a-g), que esta equação
também é válida para dutos sob pressão interna tendo apenas que mudar a direção de
aplicação da pressão. Ou seja, a pressão lateral (p) é igual à pressão interna ( p i ) só
alterando-se o sinal ( p = − p i ). Isto é possível, pois foi usada a teoria de casca fina, com
53
isso a equação (3.32a) pode ser usada para ambos os casos. Inclusive, JONES [11]
apresenta gráficos demonstrando tal afirmação.
Com isso, conforme descrito no capítulo 2:
σ y = Pi
r
t
r
σ x = Pi υ − Eα∆t
t
(3.24)
(3.25)
Podendo ser expresso em termos de unidade de comprimento:
Ny = σy t
(3.26)
Nx = σx t
(3.27)
Substituindo as equações (3.24) e (3.25) em (3.26) e (3.27) respectivamente, tem-se:
N y = Pi r
(3.28)
N x = Pi r υ − E t α∆t
(3.29)
Com isso substituindo as equações (3.28) e (3.29) em (3.25a) chega-se na relação
entre a pressão interna crítica a temperatura crítica de flambagem de uma casca cilíndrica
54
sujeita a pressão interna e um gradiente de temperatura, conforme apresentado na equação a
seguir.
2
2
2
2T12 T13 T23 − T11T232 − T22 T132
 mπ 
 mπ 
n
Eαt∆T
−
υ
P
r
−
P
r
=
T
+



i 
i 
33
T11T22 − T122
 L 
 L 
r
(3.30)
Conclusão do Modelo Analítico.
Nesta primeira parte do capítulo 3, usando as equações desenvolvidas por JONES
[11], foi possível determinar a equação de equilíbrio de uma casca cilíndrica e encontrar a
relação entre a pressão interna crítica e a temperatura crítica de flambagem de uma casca
cilíndrica elástica, esbelta, sujeita a uma pressão lateral e a um gradiente de temperatura.
3.2 Modelo Numérico
Um modelo não-linear baseado no MEF foi desenvolvido para simular a temperatura crítica
de flambagem de um duto (assumido seu comportamento como de uma casca) esbelto, sujeito
a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura e com extremidades bi-apoiadas e
fixas. Neste tópico serão descritas as seguintes etapas:
1. Geração dos nós dos elementos.
2. Geração dos elementos.
3. Condição de contorno e passos de carga.
A descrição das propriedades do material e seção do duto foi suprimida deste
capítulo, pois já foi definida no capítulo 2
55
Geração dos Nós dos Elementos
Para o modelo foi realizado um estudo de sensibilidade de malha, três diferentes
dimensões globais de malhas foram utilizadas, ou seja, o duto foi divido em pequenos
pedaços com as seguintes dimensões:
•
10 milímetros.
A temperatura crítica de flambagem, quando comparada com a solução analítica,
teve uma diferença apenas na segunda casa decimal, porém para isso o tempo
computacional foi relativamente alto.
•
15 milímetros.
Nesta malha o resultado foi muito bom também, mas ainda com um tempo
computacional elevado.
•
20 milímetros.
Já para esta simulação de malha o tempo computacional foi relativamente menor
com a mesma precisão no resultado das malhas anteriores, por isso esta foi a
malha adota para o modelo, conforme Figura 3.6.
56
Figura 3.6 Malha utilizada no modelo de casca.
O ABAQUS permite que sejam usadas coordenadas, cartesianas, cilíndricas ou
esféricas, No modelo proposto será usado o sistema cartesiano, conforme mostra a Figura
3.7.
Y
X
Z
Figura 3.7 Sistema global de coordenadas utilizado no modelo.
57
Geração dos Elementos
Após os nós terem sido criados, os mesmos são unidos formando os elementos de
casca. O elemento selecionado para representar o duto é o S4R, elemento de casca com seis
graus de liberdade (três de deslocamento e três de rotação) por nó.
Condição de contorno e passos de carga.
No modelo criado à expansão radial em Z = 0 e Z = L , ou seja, os extremos do
cilindro não acompanham a parte central do mesmo, ou seja o raio em seus extremos e
diferente do raio ao longo de seu comprimento.
O modelo foi construído com três passos de cargas que serão demonstrados a seguir;
•
Primeiro passo de carga.
Neste passo o duto é submetido a uma pressão interna e uma força axial concentrada
na direção Z conforme mostrado na Figura 3.7, a pressão interna e a força axial são
aplicadas sob forma de rampa, ou seja, sua magnitude varia linearmente durante a aplicação
do passo de carga de um valor inicial nulo até o valor especificado no carregamento. Neste
passo não são permitidas não-linearidades geométricas e o número de incrementos é
limitado a 100 passos de carga.
Esta força axial concentrada tem como finalidade representar a pressão interna na
tampa da casca cilíndrica, para isso foi necessário criar um coupling Figura 3.8, que tem
como finalidade representar todos os graus de liberdade da extremidade do duto em um
único ponto gerando assim um único ponto de aplicação da força axial.
58
Figura 3.8 Coupling utilizado no modelo.
As condições de contorno nesse passo são:
1. Em Z = 0 o duto é apoiado, ou seja, as rotações nas três direções são
permitidas e o deslocamento é restringido.
2. Em Z = L o duto é livre para se deslocar apenas em Z, conforme Figura 3.7, e
suas rotações nas três direções são permitidas.
Assim devido ao efeito de membrana, quando o duto é pressurizado, em Z = L ele é
livre para contrair-se na direção Z, passando a ter um comprimento total de L − ∆L , onde
∆L é a parte comprimida do duto.
•
Segundo passo de carga.
Neste passo, utilizando-se um conector do tipo CONN3D2 como mostrado na Figura
3.9, o duto foi obrigado a retornar à sua posição inicial, voltando a ter deslocamento zero,
ou seja, o duto teve um deslocamento de mais ∆L na direção de Z, levando o duto a ter o
comprimento original L. Em seguida, na posição Z = L , a condição de contorno foi
alterada passando a ser apoiada, ou seja, as rotações nas três direções são permitidas e os
59
deslocamentos são restringidos. Com isso, gera-se uma força de tração no cilindro, ou seja,
conclui-se então que a casca cilíndrica não flamba devido a uma pressão interna.
Figura 3.9 Conector CONN3D2
•
Terceiro passo de carga.
Neste passo utilizou-se a função buckle, contemplada na biblioteca do ABAQUS,
onde não é necessário incluir não-linearidades geométricas e são permitidas no máximo
3000 interações. A função buckle consiste em resolver um problema de autovalor e
autovetor como mostra a Figura 3.10.
60
Figura 3.10 Modelo flambado como casca após atingir a temperatura crítica usando a função buckle.
Conclusão do Modelo Numérico.
Na segunda parte do capítulo 3 foi possível criar um modelo que representasse a
flambagem de uma casca cilíndrica sujeita à pressão interna e a um gradiente de
temperatura. Para este modelo não será realizada uma análise de pós-flambagem.
Com isso, no capítulo 4, serão apresentados os resultados das simulações de
flambagem obtidos numericamente, que foram realizados para uma série de parâmetros
geométricos. Ainda no capítulo 4 esses resultados serão comparados aos resultados do
modelo analítico, para uma casca cilíndrica, apresentada na primeira parte do capítulo 3.
61
4
CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DE RESULTADOS
Neste capítulo serão apresentados os resultados obtidos a partir dos modelos descritos
nos capítulos 2 e 3. Estes resultados serão apresentados na seguinte ordem:
1. Flambagem e pós-flambagem para o modelo de viga.
2. Flambagem para o modelo de casca.
3. Fronteira entre os modelos de viga e de casca.
4.1 Flambagem e Pós-Flambagem Tipo Viga.
Para a flambagem tipo viga é possível notar na equação (2.30d) que a relação entre a
pressão interna crítica e a temperatura crítica é linear e inversamente proporcional, ou seja,
quanto maior a pressão interna, menor é a temperatura crítica de flambagem. Portanto, a
partir dos modelos desenvolvidos no capítulo 2 alguns resultados serão discutidos.
Usando a equação (2.30d) e o modelo numérico de viga descrito no capítulo 2 é
possível plotar um gráfico (Figura 4.1) que mostra a relação entre a pressão interna crítica e
a temperatura crítica de flambagem para diferentes relações de raio e espessura ( β ) e
coeficiente de esbeltez λ . Ainda na Figura 4.1 é possível observar a validade do modelo
numérico, pois nota-se a concordância dos resultados.
62
9.9
9.8
Analítico
Numérico
Numérico
Numérico
9.7
9.6
9.5
9.4
∆tcrit
9.3
9.2
β ,
9.1
λ
2
120 , 13889
9.0
100 , 20000
8.9
8.8
8.7
75 , 35556
8.6
8.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-6
pi x (10 )
Figura 4.1 Flambagem: Modelos numérico e analítico.
Usando a equação (2.30d) foi possível obter um gráfico da temperatura crítica de
flambagem em função do coeficiente de esbeltez, para um duto com pressão interna
adimensional 4,76 x 10 −7 , como era de se esperar quanto maior o índice de esbeltez (maior
o comprimento), menor a temperatura crítica de flambagem, conforme apresentado na
Figura 4.2. Na Figura 4.2, usando a equação (2.33) para um aço com a tensão de
escoamento adimensional de 2,3 x 10 −3 ( σ vm = 2,3 x 10 −3 ), é possível determinar a
fronteira entre os regimes, plástico e elástico.
63
9.86
pi=4.76E-07
Regime Plástico
9.85
Regime Elástico
∆tcrit
9.84
9.83
β
75
9.82
100
120
9.81
9.80
2x10
3
4x10
3
3
6x10
λ
3
8x10
10
4
2
Figura 4.2 Coeficiente de esbeltez por temperatura crítica de flambagem.
Com base nas equações (2.33) plotou-se um gráfico (Figura 4.3) que relaciona a
tensão de Von Mises e o coeficiente de esbeltez. É notável que quanto maior o
comprimento do duto menor é a tensão de Von Mises. Para este gráfico usou-se um aço
com a tensão de escoamento adimensional de 2,3 x 10 −3 ( σ vm = 2,3 x 10 −3 ) e foi possível
determinar a fronteira entre os regimes, plástico e elástico.
64
0.010
0.009
Regime
Plástico
0.008
Regime Elástico
0.007
β=100
σvm
0.006
0.005
0.004
0.003
Tensão de escoamento
0.002
0.001
0.000
10
3
10
λ
4
10
5
2
Figura 4.3 Tensão de Von Mises por coeficiente de esbeltez
A Figura 4.4 foi criada a partir da equação (2.30b) de pós-flambagem que relaciona e
temperatura e a pressão interna. Observa-se que o comportamento linear na relação p i − ∆t
é mantido no regime de pós-flambagem.
10.0
β=100
λ=2000
9.5
∆t
9.0
8.5
*
l
1.000
1.005
1.010
1.015
8.0
7.5
0
1
2
3
4
5
pi x (10-6)
Figura 4.4 pós-flambagem: Pressão interna e temperatura.
65
Ainda para a pós-flambagem, usando as equações (2.35a-b), foi possível relacionar a
tensão de Von Mises com o comprimento deformado ( l * ) para diferentes valores de β
conforme mostra a Figura 4.5. Para esta gráfico usou-se o mesmo aço das figuras
anteriores, e foi possível determinar a fronteira entre os regimes, plástico e elástico. Nota-se
que quanto maior o comprimento deformado maior é a tensão de Von Mises.
0.005
0.004
0.003
σvm= 2.27E-03
σVM
Reg. Plástico
0.002
Reg. Elástico
2
β , λ
120 , 13889
100 , 20000
75 , 35556
0.001
0.000
1.000
1.001
1.002
1.003
1.004
1.005
1.006
*
l
Figura 4.5 Comprimento deformado por tensão de Von Mises.
Usando os modelos, analítico e numérico foi possível plotar o gráfico de pósflambagem da deflexão máxima em função da temperatura (Figura 4.6), para diferentes
valores de β e λ , a temperatura foi normalizada a partir da temperatura crítica de
flambagem ( ∆t crit ) e, como esperado, após atingir a ∆t crit a viga sofre uma instabilidade.
Ainda na Figura 4.6 é possível notar a concordância entre os modelos, pois após atingirem
a ∆t crit os resultados encontrados se mostraram satisfatórios.
66
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
Analítico
∆t / ∆tcr
0.8
Numérico
0.7
2
β , λ
75 , 35556
100 , 20000
120 , 13889
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3
Ymax x (10 )
Figura 4.6 Deflexão máxima por temperatura.
Usando as equações (2.8a-b) e o modelo numérico foi possível plotar a deformada
para diferentes valores do comprimento deformado ( l * ), e como era esperado quanto maior
l * maior é a deflexão, conforme mostra a Figura 4.7.
Numérico
Analítico
0.10
*
l
1.001
1.0025
1.004
1.005
1.021
0.08
Y
0.06
β=100
λ=2000
0.04
0.02
0.00
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
X
Figura 4.7 Deformadas no regime de pós-flambagem.
67
1.0
4.2 Flambagem Tipo Casca.
Como ocorrido com o modelo de viga, para a flambagem tipo casca é possível notar
na equação (3.30) uma relação linear, mas no caso de casca a relação é diretamente
proporcional entre a pressão interna crítica e a temperatura crítica. Ou seja, quanto maior a
pressão interna, maior é a temperatura crítica de flambagem, logo é possível concluir que a
pressão interna ajuda a impedir a flambagem.
Portanto, a partir dos modelos desenvolvidos no capítulo 3 alguns resultados serão
discutidos. A equação (3.32a) é função de dois parâmetros n e m, então, para encontrar a
solução foi necessário desenvolver uma planilha em Excel utilizando a ferramenta solver,
disponível na biblioteca do mesmo. Esta planilha tinha como função procurar o valor de n e
m de forma a minimizar a temperatura para um dado valor de pressão interna previamente
determinada. Durante a procura do valor de n e m para diferentes valores de pressão interna
observou-se que n era sempre igual a 1 (um).
Usando a equação (3.32a) (com a função solver) e o modelo numérico de casca
descrito no capítulo 3 é possível plotar um gráfico (Figura 4.8) que mostra uma relação
entre a pressão interna crítica e a temperatura crítica de flambagem para diferentes relações
de raio e espessura ( β ). Ainda na Figura 4.8 é possível observar a validade do modelo
numérico, pois nota-se que os resultados quando comparado com o modelo analítico
tiveram seus resultados dentro do esperado.
68
0.40
0.35
Analítico
Numérico
b , l
0.30
250 , 32
200 , 50
∆t
0.25
150 , 89
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-6
pi x (10 )
Figura 4.8 Flambagem de casca: Modelos numérico e analítico.
Para os gráficos abaixo (Figuras Figura 4.9 a Figura 4.11), estão apresentados os
autovetores dos modelos analítico e numérico apresentando ótimos resultados. Vale
ressaltar que nas extremidades da casca ( X = 0 e X = 1 ), não existem efeitos de membrana,
apenas os efeitos de flexão, de caráter local. E que o modo de flambagem da direção X (m)
diminui à medida que β aumenta.
1.0
Analitico
Numerico
b= 150
l= 89
0.5
w
m = 15
0.0
-0.5
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X
Figura 4.9 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico,
69
β = 150 .
1.0
Analitico
Numerico
b= 200
l= 50
0.5
w
m = 14
0.0
-0.5
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X
Figura 4.10 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico,
1.0
β = 200 .
Analitico
Numerico
b= 250
l= 32
0.5
w
m = 13
0.0
-0.5
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
X
Figura 4.11 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico,
70
β = 250 .
4.3 Interface Viga e Casca.
Nesta parte será tratada a fronteira entre os modelos de casca e viga. Na Figura 4.12
estão representadas as fronteiras para diferentes valores de pressões internas, variando os
parâmetros λ2 e β . Para obter esse gráfico (Figura 4.12) foi necessário criar novamente um
solver em uma planilha Excel, porém desta vez usou-se o seguinte procedimento:
1. Determinam-se
os
parâmetros:
Raio,
espessura,
pressão
interna,
comprimento, n e m.
2. Em seguida, calcula-se a temperatura crítica de flambagem para casca usando
a equação (3.30) com os dados acima.
3. Com os mesmos dados, calcula-se a temperatura crítica de flambagem para
viga usando a equação (2.30d).
4. E, por último, faz-se um solver variar n e m com as seguintes restrições: l
mínimo e a temperatura crítica de flambagem para casca e viga têm que ser
iguais.
Com o raio e a espessura determinada encontra-se o valor de β e com o raio e o l
mínimo calculado pelo solver determina-se λ2 , com isso é possível obter a fronteira entre
viga e casca ponto a ponto para diferentes pressões internas, como mostra a Figura 4.12.
71
800
pi
700
0
-7
4,8 x 10
-6
1,4 x 10
-6
2,4 x 10
-6
4,8 x 10
-6
9,5 x 10
-5
4,8 x 10
600
500
CASCA
λ
2
400
300
200
VIGA
100
0
50
100
150
200
250
300
β
Figura 4.12 Fronteira entre casca e viga em relação os parâmetros
λ2 e β .
Para o gráfico abaixo (Figura 4.13), foram usadas as equações (2.30b) e (3.30) que
relacionam pressão interna e temperatura críticas de flambagem, com isso foi possível
determinar, para diferentes valores de λ2 , se o duto irá flambar como casca ou como viga.
Na Figura 4.13 a linha vermelha mostra a temperatura crítica de flambagem em função do
coeficiente de esbeltez, nota-se que a linha vermelha é o menor valor de temperatura, no
ponto, entre os modelos de casca e viga. Ou seja, de λ2 = 0 até o ponto de fronteira
marcado na figura o duto irá flambar como casca (temperatura crítica de flambagem é
menor para casca), do ponto de fronteira em diante o duto irá flambar como viga
(temperatura crítica de flambagem como viga é menor).
72
Casca
Viga
45
40
β = 150
-7
pi= 4,8 x 10
35
∆tcrit
30
25
20
Ponto de fronteira
entre viga e casca
15
10
5
0
0.0
2.0x10
2
2
4.0x10
6.0x10
2
λ²
8.0x10
2
3
1.0x10
3
1.2x10
1.4x10
3
Figura 4.13 Fronteira entre casca e viga em relação os parâmetros ∆t e
73
λ2 .
5
CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA
TRABALHOS FUTUROS
O objetivo deste trabalho foi estudar a flambagem do tipo casca e do tipo viga de um
duto elástico, esbelto, sujeito a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura
uniforme, com extremidades bi-apoiadas e fixas.
Primeiramente, encontrou-se analiticamente a equação de flambagem e de pósflambagem do tipo viga, e desenvolveu-se um modelo numérico que representasse o
modelo analítico. Uma comparação entre os modelos foi realizada encontrando-se ótimos
resultados.
Posteriormente, desenvolveram-se as equações analíticas de flambagem do tipo casca
baseado em JONES [11] e um modelo numérico que representasse o modelo analítico foi
criado. Uma comparação entre as soluções analítica e numérica foram feitas, obtendo-se
ótimos resultados validando assim o modelo numérico.
E para finalizar foi feito um mapeamento da fronteira entre a flambagem de viga e
casca, possibilitando pré-estabelecer se irá ocorrer uma flambagem tipo casca ou tipo viga,
a partir de parâmetros geométricos apenas.
Os resultados foram apresentados em gráficos adimensionais e normalizados em
função da razão de esbeltez ( λ2 ), da razão entre o raio e a espessura ( β ) e da pressão
interna Pi , possibilitando, assim, apresentar um gama de resultados para diferentes valores
de λ2 , β e Pi .
As temperaturas críticas de flambagem encontradas para os dois modelos (casca e
viga) foram relativamente baixas, não alterando as propriedades do material.
74
Como sugestão para trabalhos futuros:
1. Utilizar um modelo numérico que represente simultaneamente a flambagem
do tipo casca e do tipo viga, e que possa determinar a região de transição
observando os dois tipos de flambagem.
2. Realizar ensaios experimentais.
3. Incluir flambagem plástica.
75
6
CAPÍTULO 6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]
http://boelly.multiply.com/journal, acessado em fevereiro de 2012.
[2]
RUBIN, A., Gudme, J., "Qualification of Steel Wire for Flexible Pipes", In:
61st Annual Conference & Exposition - Corrosion, NAC Expo 2006, paper
n° 06149 , March 12-16, San Diego, Califórnia, USA, 2006.
[3]
http://www.itp-interpipe.com/products/subsea-cryogenic-pipelines/subseacryogenic-pipelines.php, acessado em fevereiro de 2012.
[4]
Estefen, S.F., Netto, T.A., Pasqualino, I.P., “Strength Analysis of Sandwich
Pipes for Ultra Deepwater”. 3rd Workshop on Subsea Pipelines.
COPPE/UFRJ, Ocean Engineering Department. Rio de Janeiro, Brazil, 2002.
[5]
http://www.steelpipeschina.com.pt, acessado em fevereiro de 2012.
[6]
REIS, A., CAMOTIM, D. S., 2001, Estabilidade Estrutural. 1nded., Portugal
McGraw-Hill de Portugal, Ltd.
[7]
BUFFONI, S., Resistência dos Materiais, Apostila, Universidade Federal
Fluminense.
[8]
TIMOSHENKO, S.P., 1953, History of Strength of Materials. 1sted., New
York, McGraw-Hill.
[9]
CAIRE, M., Análise de Enrijecedores a Flexão. Tese de M. Sc., UFRJ, Rio
de Janeiro, RJ, Brasil, 2005.
76
[10]
TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E., 1961, Theory of Elastic Stability.
2nded., McGraw-Hill Kogakusha, LTD.
[11]
JONES, R. M., 2006, Buckling of bars, Plate, and shells. 1sted., Bull ridge.
[12]
TIMOSHENKO, S. P., KREIGER, S. W., 1964, Theory of Plates and Shells.
2nded., McGraw-Hill Higher Education.
[13]
BRUSH, D. O., ALMROTH, B. O., 1975, Buckling of Bars, Plates, and
Shells. 1sted., McGraw-Hill Book Company.
[14]
GOULD, P. L., 1998, Analysis of Plates and Shells. 1nded., Prentice hall.
[15]
PALMER, A.C., BALDRY, J.A.S., “Lateral Buckling of Axial Constrained
Pipelines”. In: Journal of Petroleum Technology, pp. 1283-1284, 1974.
[16]
TANG, D.M., ILGAMOV, M.A., DOWELL, E.H. “Buckling and PostBuckling Behavior of A Pipe Subjected to internal pressure”. In: Journal of
Applied Mechanics, v. 62, pp. 595-599, 1995.
[17]
MASSA, A. L. L., GALGOUL, N. S., JUNIOR, N. O. G., FERNANDES,
A. C., COELHO, F. M., “Pipeline’s natural frequency response due to
internal pressure efect”, Rio Pipeline Conference and Exposition 2009.
77
[18]
HUTCHINSON,J., “Axial buckling of pressurized imperfect cylindrical
shells”, Aiia Journal 1965.
[19]
FONSECA, E. M. M., OLIVEIRA, C. A. M., MELO, F. Q., “Fenômenos De
Instabilidade Em Elementos Tubulares Submetidos À Compressão”, Revista
da APAET - Associação Portuguesa de Análise Experimental de Tensões,
ISSN-122922, v 11, pp.11-18, 2005.
[20]
KYRIAKIDES, S., CORONA, E., 2007, Mechanics of Offshore Pipelines
Vol.1 Buckling and Collapse. 1sted., Elsevier.
[21]
BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., 1989, Resistência dos Materiais. 2nded.,
McGraw-Hill.
[22]
POPOV, E.P., Engineering Mechanics of Solids. 1 ed., New Jersey, PreticeHill, 1990.
[23]
NAYFEH, A. H., 2000, “Nonlinear Interactions”, New York, John Wiley &
Sons, Inc.
[24]
LOVE, A. E. H., 1944, A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity.
1sted., Dover.
78