UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Interação do Átomo com o Campo Submetido aos
Processos de Amplificação Linear e Paramétrica
Fernando Rogério de Paula
2002
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Interação do Átomo com o Campo Submetido aos
Processos de Amplificação Linear e Paramétrica
Fernando Rogério de Paula
Dissertação apresentada ao departamento
de Física da Universidade Federal de
São Carlos (UFSCar) como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do
título de Mestre em Física.
Orientador: Prof. Dr. Miled Hassan Youssef Moussa
São Carlos
2002
Banca Examinadora
Prof. Dr. Miled H. Y. Moussa - Orientador
Departamento de Física - UFSCar
Prof. Dr. Norton G. de Almeida
Departamento de Matemática e Física - UCG
Profa. Dra. Kyoko Furuya
Instituto de Física Gleb Wataghin - UNICAMP
Esta dissertação é dedicada à Sandra Maria Job
i
Agradecimentos
No desenvolvimento deste trabalho, gostaria de agradecer as passoas que contribuíram para
minha formação acadêmica.
Ao Prof. Dr. Miled H. Y. Moussa por seu apoio neste dois anos; as pessoas que contribuíram
de algum modo para a realização deste trabalho. São elas: Celso, a quem devo grande parte
do meu aprendizado neste dois anos, Mickel, por seu apoio e amizade, Roberto, Marcos, dentre
outros. Finalmente agradeço ao CNPq pelo suporte …nanceiro desta pesquisa.
ii
Resumo
Tratamos nesta dissertação da interação de um átomo de dois níveis com o campo em uma
cavidade de alto fator de qualidade submetido aos processos de ampli…cação linear e paramétrica.
Apresentamos uma técnica para a preparação e controle de estados do tipo gato de Schrödinger
do campo na cavidade. Os processos de ampli…cação são utilizados para a manipulação do estado
do campo após a interação deste com o átomo. Neste trabalho inauguramos a possibilidade de
obtenção de grandes taxas de compressão do campo em eletrodinâmica quântica em cavidades.
iii
Abstract
In this work we consider the process of interaction of two-level atom with a cavity …eld which
is subjected to linear and parametric ampli…cation. We present a technique to prepare and to
control Schrödinger gat-like states of the cavity …eld. The processes of linear and parametric
ampli…cation are used to manipulate the cavity-…eld state after the atom-…eld interaction. This
work opens the possibility to obtain high rates of squeezing of the …eld in cavity quantum
electrodynimics.
iv
Conteúdo
1 Introdução
1
2 Eletrodinâmica Quântica de Cavidade (EQC)
5
2.1
Átomos de Rydberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Zonas de Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Detectores Seletivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4
Campo Armadilhado em Cavidade de Alto Fator de Qualidade . . . . . . . . . .
8
2.5
Ampli…cações Linear e Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3 Estados do Campo Eletromagnético e suas Representações
12
3.1
Quantização do Campo Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Estados do Campo Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2.1
Estado de Número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2.2
Estado Coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2.3
Estado Coerente Comprimido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2.4
Estados de Gato de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Representações dos Estados do Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3
4 A Interação do Átomo com o Campo Sujeito à Ampli…cação Linear e Paramétrica
27
4.1
Interação Átomo-Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Resolvendo a Equação de Schrödinger Via Invariantes Dependentes do Tempo (DT) 30
4.3
O Hamiltoniano Transformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
27
32
4.4
O Operador Evolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.5
Evolução do Estado Átomo-Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.6
Soluções das Equações Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.7
A Função de Wigner e as Flutuações das Quadraturas . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.8
Análise dos Resultados - Análise das Características Essenciais dos Estados Prepara-
4.9
dos Associados aos Processos de Ampli…cação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Protocolo para a Geração de Estados do tipo “Gato de Schrödinger” . . . . . . .
58
5 Estados Mesoscópicos Robustos
63
6 Conclusão
67
A O
69
Hamiltoniano de Interação Átomo-Campo
A.1 Quantização do Campo Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
A.1.1 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
A.2 Interação dos Átomos com um Campo Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . .
74
A.3 A aproximação de Dipolo e o Hamiltoniano Hi = ¡¹ ¢ A . . . . . . . . . . . . . .
75
A.4 Quantização do Campo de Elétrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
A.5 Hamiltoniano de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
A.6 Hamiltoniano de Interação Dispersiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
A.7 Zonas de Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
B Óptica Não-Linear
86
C Decomposição da Equação de Schrödinger
90
D Transformações
93
D.1 Transformação Unitária do Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
D.2 Transformação Unitária da Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
E O Hamiltoniano Transformado
95
F Soluções das Equações Diferenciais
100
F.1 Caso ressonante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
vi
F.2 Caso fora da ressonância: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
G A Função de Wigner
104
H Estimativa do Tempo de Decoerência
107
vii
Lista de Figuras
2-1 Níveis de energia para átomos de Rydberg (En ), em que a freqüência do campo (!)
é ressonante com a transição atômica (! ± ): O campo seleciona os níveis atômicos
jgi e jei, ocorrendo transições apenas entre eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
(!) é diferente da freqüência de transição atômica (! 0 ): . . . . . . . . . . . . . .
10
2-2 Níveis de energia para átomos de Rydberg (En ), na qual a freqüência do campo
3-1 Representação de um estado coerente, onde as variâncias nas quadraturas apresentam o mesmo valor (1/2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3-2 Representação de um estado coerente comprimido, onde a elipse representa a
compressão do ruído na quadratura Y1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3-3 Arranjo experimental para a construção de estados de “gato de Schrödinger” do
campo em cavidades supercondutoras. Neste arranjo, B representa uma fonte de
átomos de Rydberg preparados no estado jei pelo feixe de laser, C uma cavidade
de alto fator de qualidade, R1 e R2 constituem zonas de Ramsey. Dg e De são os
detectores dos estados atômicos. As cavidades C, R1 e R2 são alimentadas por
uma fonte de microondas F.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3-4 Função de distribuição de Wigner para o estado de número, n = 1: . . . . . . . .
25
3-5 Função de distribuição de Wigner para o estado coerente, ® = 1: . . . . . . . . .
25
3-6 Função de distribuição de Wigner para o estado coerente comprimido, com ® = 1
e fator de compressão r = 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3-7 Função de distribuição de Wigner para o estado de superposição tipo “gato de
Schrödinger” , com ® = 5: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
26
4-1 O esquema para o processo de engenharia de estados do campo em uma cavidade.
Neste esquema, B representa uma fonte de átomos de Rydberg excitados para o
estado jei pelo feixe laser, C uma cavidade de alto fator de qualidade, R1 e R2
constituem zonas de Ramsey e Dg e De são detectores dos estados atômicos. S é
a fonte de ampli…ca ção linear e P a fonte de ampli…cação paramétrica. . . . . . .
29
4-2 Função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.46) com amplitudes de
p
probabilidade c1 = c2 = 1= 2; na ausência de ampli…cação linear e paramétrica.
Neste caso temos ausência de ampli…cação linear (F = 0) e de squeezing (¢X1 =
1 e ¢X2 = 10).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4-3 Função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.46) com diferentes
p
p
amplitudes de probabilidade c1 = 0:7 e c2 = 0:3; na ausência de ampli…cação
linear e paramétrica. Assim como na Fig. 4.2 , temos ausência de ampli…cação
linear (F = 0) e de squeezing (¢X1 = 1 e ¢X2 = 9:2). . . . . . . . . . . . . . .
48
4-4 Função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes
p
de probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…cação linear ({ = Â).
Obtivemos F = 0:8, ¢X1 = 10:8 e ¢X2 = 10:5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4-5 Função de Wigner em t2 para o mesmo caso apresentado na Fig. 4.4, mas com
relação aos eixos Y1 e Y2 Temos ¢Y1 = 1 e ¢Y2 = 15 e, evidentemente, o mesmo
fator de ampli…cação da Fig. 4-4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4-6 Função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…caç ão paramétrico (· = Â=20).
Temos F = 0:74, ¢X1 = 14:6 e ¢X2 = 13:3. O fator de compressão em t2 é
r(t2 )= 1:0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4-7 Função de Wigner em t2 para o mesmo caso apresentado na Fig. 4.6, mas com
relação aos eixos Y1 e Y2 . Temos ¢Y1 = 0:6 e ¢Y2 = 19:7 e evidentemente
F = 0:74 e r(t2 )= 1:0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
tivemos F = 0:96, r(t3 )= 2:0, ¢Y1 = 0:2 e ¢Y2 = 53. . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4-8 Função de Wigner para o mesmo caso apresentado na Fig. 4.7, mas em t3 . Ob-
ix
4-9 Função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.46) com diferentes
p
p
amplitudes de probabilidade c1 = 0:7 e c2 = 0:3, sob o efeito da ampli…cação
paramétrica (· = Â=20). Temos F = 0:74, ¢X1 = 13:4 e ¢X2 = 12:2 e r(t2 )= 1:0. 54
4-10 Análogo à Fig 4.9, mas com relação aos eixos Y1 e Y2 . Temos F = 0:74, r(t2 )= 1:0,
¢Y1 = 0:5 e ¢Y2 = 18:1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4-11 Função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.46) com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob os efeitos das ampli…cações linear ({ = Â=20) e
paramétrica (· = Â=20). Temos F = 0:72, r(t2 )= 1:0, ¢X1 = 13:6 e ¢X2 = 13:2.
56
Y1 e Y2 . Temos F = 0:72, r(t2 )= 1:0, ¢Y1 = 0:7 e ¢Y2 = 19. . . . . . . . . . . .
57
4-12 Função de Wigner em t2 para o mesmo caso da Fig 4.11, com relação aos eixos
4-13 Função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…cação paramétrica. Fixamos
j'1 =2 ¡ '2 =2j = 0 através do ajuste de t2 = 1:668£10¡4 s e · = Â=20. Obtivemos
F = 0:9, ¢X1 = 21:5 e ¢X2 = 23:7 e r (t2 ) = 1:5. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
valores para as variâncias: ¢Y1 = 0:31 e ¢Y2 = 32: . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4-14 Análoga à Fig. 4.14, mas com relação aos eixos Y1 e Y2 . Temos assim diferentes
4-15 Função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…cação paramétrica. Fixamos
j'1 =2 ¡ '2 =2j = ¼=2 através do ajuste de t2 = 1:706 £ 10¡4 s e · = Â=20.
Obtivemos F = 0:9, ¢X1 = 6:8 e ¢X2 = 20:7 e r (t2 ) = 1:452. . . . . . . . . . . .
61
4-16 Função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…cação paramétrica. Fixamos
j'1 =2 ¡ '2 =2j = ¼=2 com o ajuste de t2 = 1:706 £ 10¡4 s e · = Â=20. Obtivemos
F = 1, ¢X1 = 2:6, ¢X2 = 2:6 e r (t2 ) = 1:452. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
62
Capítulo 1
Introdução
Os avanços que ocorreram na eletrodinâmica quântica de cavidade (EQC), tanto no que se refere ao desenvolvimento teórico quanto às realizações experimentais, possibilitaram um grande
domínio das técnicas de preparação de estados do campo eletromagnético em cavidades através
da interação átomo-campo, o que constitui um passo crucial no que diz respeito a aplicações
em óptica quântica.
Os experimentos que envolvem engenharia de estados, tipo “gato de
Schrödinger[1]”, possibilitaram, por exemplo, a observação do processo de decoerência de superposições mesoscópicas envolvendo campos eletromagnéticos com fases clássicas distintas através
da interação átomo-campo [2]. Estes avanços também contribuiram para a demonstração experimental da geração e deteção de estados de Fock do campo de radiação [3]. Também foi possível
observar as oscilações de Rabi de átomos circulares de Rydberg no vácuo e em campos coerentes
fracos em cavidades de alto fator de qualidade (alto-Q) [4]. Conseqüentemente, esses avanços
permitiram um melhor entendimento da natureza quântica do campo de radiação [5].
Paralelamente às realizações em EQC, o domínio na manipulação dos estados eletrônicos e
vibracionais dos íons aprisionados através de campos clássicos tem permitido um controle dos
fenômenos quânticos fundamentais, oferecendo possibilidades para uma nova fase em tecnologia.
Vale citar a demonstração da operação de uma porta lógica quântica (controlled-NOT ) de dois
qubits (bits quânticos), que foi demostrada experimentalmente utilizando, para codi…car os
qubits, os graus de liberdade externos (vibracional) e internos (eletrônicos) de um íon aprisionado
[6]. Deve-se mencionar também a geração de uma superposição de estados coerentes harmônicos
tipo “gato de Schrödinger” espacialmente separados [7], bem como de outros estados não clássicos
1
de um único átomo [8]. Além disso, encontra-se na literatura a reconstrução da matriz densidade
e a função de Wigner de vários estados quânticos do movimento harmônico de um íon aprisionado
[9].
No domínio da Óptica Quântica observou-se também um grande desenvolvimento no que
tange ao domínio de ondas propagantes. Este desenvolvimento deve-se, entre outras coisas, a
necessidade de preparação de estados quânticos de referência para medir propriedades do campo
sinal [10], o que foi possível graças às realizações de processos não-lineares tais como, conversão
paramétrica ascendente (parametric up-conversion) e conversão paramétrica descendente (downconversion). Com estes avanços tornou-se realidade o desenvolvimento de esquemas de medidas
quânticas não demolidoras (QND) do número de fóton do campo sinal, empregando o efeito
Kerr ótico [11]; além disso, possibilitou o desenvolvimento de processos paramétricos que são
responsáveis pela obtenção de estados comprimidos do campo eletromagnético [12]. Estas mesmas medidas quânticas não demolidoras (QND) do número de fótons também foram realizadas
no domínio de EQC [13].
As realizações que ocorreram em processos não-lineares possibilitaram a produção de emaranhados quânticos em um processo paramétrico tipo “down conversion”. Através dessas
realizações também foi possível demonstrar a violação da desigualdade de Bell com dois fótons
com visibilidade de franjas superior a 97% [14]; também houve a produção de emaranhados
de Greenberger-Horne-Zeilinger de três fótons [15] e a realização experimental de processos de
teleportação [16]. A teleportação realizada no domínio de ondas propagantes deve-se à facilidade
na preparação tanto do canal quântico como dos estados a serem teleportados e também à
facilidade na aquisição de dados a partir das medidas do tipo Bell.
No que diz respeito, ao grande avanço experimental em EQC, pode-se dizer que ele possibilitou um controle mais preciso na geração de estados quânticos, despertando um interesse
crescente nos processos quânticos, tais como, a comunicação e a teleportação de estados. No
entanto, um dos maiores obstáculos à realização experimental de tais processos quânticos está
relacionado ao fenômeno da perda de coerência dos estados quânticos. Isto se deve ao inevitável
acoplamento com o meio ambiente [17, 18, 19] ou às ‡utuações nos parâmetros de interação
[20, 21].
Motivados pelo atual domínio experimental, esquemas teóricos têm sido sugeridos para a
2
preparação de estados arbitrários do campo em EQC através de interações átomo-campo a
partir de uma cavidade inicialmente vazia [22], por exemplo, ou por escultura de um estado
coerente previamente injetado na cavidade [23]. Além desses esquemas, uma variedade de outras propostas para preparar estados de movimento arbitrários de íons armadilhados tem sido
apresentadas [24], mesmo levando em consideração as in‡uências dos erros que surgem devido
às ‡utuações das intensidades dos pulsos de laser [21]. Estratégias para a engenharia de estados
quânticos arbitrários de campos propagantes [25] e para estados ópticos truncados [26, 27] têm
sido desenvolvidas empregando apenas elementos ópticos lineares. Um dispositivo de …ltro de
Fock, baseado no efeito de não linearidade Kerr, que permitiu produzir estados de número e
superposições de poucos estados de número, bem como medir a distribuição de fótons e a matriz
densidade de um sinal genérico, foi também relatado [28].
Mediante estes avanços tanto no desenvolvimento teórico como experimental, apresentaremos
neste trabalho uma técnica para manipulação de estados quânticos do campo de radiação aprisionado em uma cavidade, via interação dispersiva (não ressonante) átomo-campo juntamente
com as ampli…cações linear e paramétrica do campo. A manipulação desses estados quânticos será realizada através do controle da interação átomo-campo, assim como das ampli…cações
linear e paramétrica.
No desenvolvimento dessa técnica, utilizaremos inicialmente um átomo de Rydberg de dois
níveis, preparado em uma zona de Ramsey em um estado de superposição (c1 j1i + c2 j2i). Em
seguida, este átomo interagirá com um campo eletromagnético inicialmente injetado em uma
cavidade de alto-Q que será continuamente ampli…cada por campos clássicos. Após a interação
com o campo na cavidade o átomo cruza uma outra zona de Ramsey e logo após é detetado,
projetando o estado do campo na cavidade. A resolução desse problema será realizada pela
diagonalização do Hamiltoniano do sistema através do método dos Invariantes proposto por
Lewis e Riesenfeld [29]. Esta técnica possibilitará a obtenção do operador de evolução temporal
associado à equação de Schrödinger.
Para alcançar e compreender questões relacionadas ao objetivo proposto, no capítulo 2 apresentaremos os sistemas físicos envolvidos neste trabalho, assim como uma breve introdução
sobre ampli…cação linear e paramétrica. Já no capítulo 3 realizaremos uma breve revisão da
quantização do campo eletromagnético e introduziremos alguns dos estados dentro deste forma-
3
lismo, tais como estado de número, estado coerente e estado coerente comprimido. Neste mesmo
capítulo ressaltaremos as diferentes representações desses estados: a distribuição de Wigner, a
distribuição de Glauber-Sudarshan ou função-P e a função generalizada de Husimi ou função-Q.
Também faremos uma revisão sobre a geração e detecção de estados de superposição tipo “gato
de Schrödinger” do campo em cavidades. No capítulo 4, alvo desse trabalho, encontra-se a descrição dos processos de preparação e controle do campo na cavidade, assim como da técnica de
Invariantes para a resolução do problema proposto. Finalmente no capítulo 5 apresentamos as
conclusões gerais e no …nal do volume os apêndices.
4
Capítulo 2
Eletrodinâmica Quântica de
Cavidade (EQC)
As pesquisas realizadas em Óptica Quântica são voltadas para o estudo do campo elétromagnético e sua interação com a matéria. Trata-se de uma linha de pesquisa que tem permitido a
observação experimental de alguns efeitos quânticos fundamentais. Entre estes, pode-se citar o
paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) em medidas de desigualdade de Bell, experiências
de complementariedade e medidas não demolidoras (para estes ver Ref [30]). Atualmente a
Óptica Quântica compreende diversos tópicos de pesquisas fundamentais, tais como a espectroscopia de alta resolução e espectroscopia não-linear, a produção de átomos altamente excitados
(átomos de Rydberg [31]), o resfriamento de átomos por laser, as armadilhas de átomos, a geração de radiação com baixo ruído quântico (estados comprimidos) e a eletrodinâmica quântica
de cavidades. Essas pesquisas resultaram em aplicações tecnológicas em diferentes áreas, como
comunicação (…bra óptica), medicina, computação, entre outros. Grande parte deste desenvolvimento foi propiciado pela invenção do laser em dezembro de 1.960 [32]. Essa fonte de luz produz
radiação com características extremamente diferentes das lâmpadas incandescentes ou a gás, no
que se refere à monocromaticidade, direcionalidade, intensidade e propriedades estatísticas.
Dentro da Óptica Quântica, a Eletrodinâmica Quântica de Cavidade (EQC) estuda, entre
outras coisas, fenômenos envolvendo o acoplamento de um átomo com um modo do campo
eletromagnético e suas aplicações em processos quânticos tais como a teleportação e a engenharia
5
de estados, computação e criptogra…a quânticas.
Neste capítulo abordaremos especi…camente os elementos fundamentais envolvidos no problema proposto neste trabalho: 1) Átomos de dois níveis em estados de Rydberg; 2) Zonas
de Ramsey; 3) Detectores seletivos; 4) Cavidade de alto fator de Qualidade; 5) Ampli…cações
Linear e Paramétrica.
2.1
Átomos de Rydberg
Átomos de Rydberg, em geral, são elementos alcalinos que possuem o número quântico principal
n elevado (n > 15 é bastante satisfatório). São átomos com propriedades incomuns: podem ser
10 mil vezes maiores que átomos no estado fundamental e sua vida média pode vir a ser maior
que 10¡2 segundos [31]. As energias dos níveis internos seguem o comportamento En ¼ ¡1=n2
e o momento de dipolo de transição entre dois estados de Rydberg n ¡! n ¡ 1 [31] é igual a:
d»
= n2 ea0
(2.1)
com e sendo a carga do elétron e a0 o raio atômico.
Uma classe especial desses átomos é constituida pelos “átomos circulares” que possuem o
momento angular orbital l; cuja projeção no eixo z, m, tenha valores máximos: m = l = n ¡ 1.
Sendo assim, pela regra de seleção de dipolo elétrico ¢l = §1, esses estados só podem se acoplar
aos estados circulares imediatamente superiores (n + 1) ou inferiores (n ¡ 1) e por possuirem
um momento de dipolo elevado permitem um forte acoplamento com o campo eletromagnético.
Conseqüentemente, experimentos em eletrodinâmica quântica de cavidade (EQC), na maioria
das vezes, utiliza-se de átomos de Rydberg com números quânticos principais adjacentes n = 50
(estado fundametal jgi) e n = 51 (estado excitado jei), dessa forma, esses átomos são conside-
rados átomos de dois níveis, uma vez que a cavidade é projetada de forma que um dado modo
interaja apenas com estes níveis, sendo os outros níveis transparentes para o campo de radiação.
6
2.2
Zonas de Ramsey
Para a manipulação dos estados internos de um átomo utilizam-se campos eletromagnéticos
aprisionados em cavidades de baixo fator de qualidade (Q » 103 ) denominadas Zonas de Ramsey
[33]. O baixo fator de qualidade faz com que ocorram perdas substanciais para as paredes da
cavidade, sendo necessário uma contínua ampli…cação do campo eletromagnético na cavidade,
mantendo assim as propriedades puramente clássicas do campo mesmo para um número médio de
fótons baixo (da ordem de um ou dois fótons). O efeito que ocorrerá na interação átomo-campo
na zona de Ramsey pode ser descrito pelo operador de rotação [33]
¤
£
UzR (Á; ') = cos(Á=2)I ¡ i sin(Á=2) e¡i' ¾+ + ei' ¾¡ ;
(2.2)
sendo Á o angulo da rotação desejada, I a matriz identidade e ¾+ e ¾ ¡ são os operadores de
Pauli, análogo aos operadores de spin,
¾+ = jei hgj ;
(2.3)
¾¡ = jgi hej :
(2.4)
Com isto, se um átomo cruzar tal campo seus níveis internos serão transformados segundo:
2.3
UzR (Á; ') jgi = cos(Á=2) jgi ¡ ie¡i' sin(Á=2) jei ;
(2.5)
UzR (Á; ') jei = cos(Á=2) jei ¡ iei' sin(Á=2) jgi :
(2.6)
Detectores Seletivos
A detecção dos estados atômicos dá-se através de detectores seletivos que são constituídos por
duas placas metálicas nas quais se aplica um campo elétrico. Aqui são utilizados dois detectores,
devido a sua baixa e…ciência e pela necessidade de discriminar entre dois estados atômicos, jei
e jgi. A deteção dos estados atômicos dá-se pela aplicação, no primeiro detector, de um campo
elétrico capaz de ionizar o átomo se este se encontrar no estado excitado (jei), mas insu…ciente
para ionizá-lo caso se encontre no estado fundamental (jgi). Para o segundo detector, colocado
7
após o primeiro, um campo elétrico mais intenso é aplicado, su…ciente para ionizar o átomo no
estado fundamental.
2.4
Campo Armadilhado em Cavidade de Alto Fator de Qualidade
Em cavidades de alto fator de qualidade o tempo de vida do campo eletromagnético será tanto
maior quanto maior for o fator de qualidade da cavidade, o que pode ser determinado pela
equação
Q = ¿ v !;
(2.7)
onde Q é o fator de qualidade, ¿ v o tempo de vida e ! a frequência do campo armadilhado.
Quando resfriadas a temperaturas de aproximadamente 0; 5 K por meio de um criostato de
3H ,
e
cavidades supercondutoras de Nióbio apresentam baixo número médio de fótons térmicos,
da ordem de 0; 15, em frequências da ordem de 20 GHz e fator de qualidade Q » 108 [34]. Este
fator de qualidade permite fazer com que os campos de radiação com freqüências na região de
¡
¢
microondas ! c » 1010 Hz possuam um tempo de vida da ordem de 10¡3 a 10¡2 segundos [34].
As freqüências do campo e das transições atômicas podem ser ajustadas de modo a obter
dois tipos de interações radiação-matéria: interação ressonante e dispersiva.
Na interação ressonante a frequência do campo é igual à frequência de transição atômica (veja
Fig 2-1). Isto é possível quando se ajusta o modo dentro da cavidade com uma freqüência igual
à transição atômica jgi Ã! jei. Obtendo-se, desta forma, uma interação com troca de fótons
entre o campo e o átomo. Este tipo de interação átomo-campo é descrito pelo Hamiltoniano de
Jaynes-Cummings [35]
¡
¢
HJC = }g a+ ¾¡ + a¾ + ;
(2.8)
onde } é a constante de Planck dividida por 2¼, g a freqüência de Rabi, a+ e a são, respectivamente, os operadores de criação e de aniquilação de fótons do campo eletromagnético e
¾¡ = jgi hej e ¾+ = jei hgj são os operadores de abaixamento e levantamento dos níveis atômi-
cos, respectivamente. Desta forma, a interação átomo-campo leva à evolução dos estados je; ni
8
e jg; ni segundo
¡ p
¢
¡ p
¢
U(¿ ) je; ni = e¡iHJC ¿ =} je; ni = cos g¿ n + 1 je; ni ¡ i sin g¿ n + 1 jg; n + 1i ;
p
p
U(¿ ) jg; ni = e¡iHJC ¿ =} jg; ni = cos (g¿ n) jg; ni ¡ i sin (g¿ n) je; n ¡ 1i ;
(2.9)
em que ¿ indica o tempo de interação átomo-campo.
Níveis
transparentes
ao campo.
Níveis
de
Energia
|e〉
ω0 = ω
|g〉
Níveis
transparentes
ao campo.
Figura 2-1: Níveis de energia para átomos de Rydberg (En ), em que a freqüência do campo
(!) é ressonante com a transição atômica (! ± ): O campo seleciona os níveis atômicos jgi e jei,
ocorrendo transições apenas entre eles.
Pode-se obter também uma interação fora da ressonância (veja Fig 2-2) através do Efeito
Stark. Para isso, aplica-se um campo elétrico nas paredes da cavidade, obtendo-se um alargamento entre os níveis de energia do átomo, o que faz com que a freqüência de transição atômica
seja diferente da do campo na cavidade, tornando possível a obtenção de uma interação dispersiva entre o átomo e o campo. Neste tipo de interação não há troca de fótons entre o átomo
e o campo, porém o átomo pode ganhar fases em seus níveis internos que depende do número
de fótons dentro da cavidade. Esse tipo de interação é utilizada para medidas quânticas nãodemolidoras e para a geração de superposição de estados quânticos do campo na cavidade. Nesta
interação, a freqüência do modo na cavidade é ajustado apropriadamente de modo que somente
transições virtuais ocorram entre os níveis jei e jgi. Nesse caso, o Hamiltoniano de interação é
9
descrito por (veja Apêndice A)
b ef = }Âay a¾z ;
H
(2.10)
sendo ay e a, respectivamente, os operadores de criação e aniquilação de fótons do campo, ¾z =
jeihej¡jgihgj e  = 2g 2 =± a constante de acoplamento átomo-campo, em que g indica a freqüência
de Rabi e ± = ! 0 ¡ ! a dessintonia entre as freqüências do átomo (! 0 ) e do campo (!).
Níveis
transparentes
ao campo.
Níveis
de
Energia
ω
δ
|e〉
|g〉
ω0 ≠ ω
(ω0=ω+δ)
Níveis
transparentes
ao campo.
Figura 2-2: Níveis de energia para átomos de Rydberg (En ), na qual a freqüência do campo (!)
é diferente da freqüência de transição atômica (! 0 ):
2.5
Ampli…cações Linear e Paramétrica
Quando a luz se propaga através de um meio transparente o campo eletromagnético oscilante
exerce uma força sobre os elétrons do meio, agindo como uma perturbação. Com fontes de luz
ordinárias o campo de radiação é muito menor que o campo inter-atômico e assim age como
uma pequena pertubação e as cargas do meio comportam-se como osciladores harmônicos e a
polarização induzida P tem um comportamento linear, sendo função da amplitude do campo
elétrico E. Porém, com o laser foi possível observar que, na presença de altas intensidades de
luz, ocorrem mudanças nas propriedades ópticas do meio. A luz que provoca mudanças nas
10
propriedades do material também tem suas propriedades afetadas de um maneira não-linear.
Nesta situação, quando a intensidade de luz é alta, de tal forma que o campo de radiação tornase comparável com os campos internos atômicos, as cargas do meio atuam como osciladores não
harmônicos e a polarização induzida exibe comportamento não-linear em função da amplitude
do campo. Isto equivale a dizer que a suscetibilidade elétrica é uma função do campo [36], ou
seja:
P =Â (E) E:
(2.11)
Em um sistema em que não há perda de energia do campo para o reservatório térmico (inevitavelmente acoplado ao campo), a ampli…cação linear adiciona fótons inde…nidamente ao
campo dentro da cavidade. Esta ampli…cação linear pode ser implementada através de um guia
de onda acoplada à cavidade. O Hamiltoniano efetivo que representa esta ampli…cação linear é
dado por
³
´
HI = ~z e¡i' ay + ei' a ;
onde z e ' representam, respectivamente, a intensidade e a fase da ampli…cação linear.
Na ampli…cação paramétrica a cavidade é alimentada em um processo envolvendo dois fótons
de mesma frequência (caso degenerado em que ! a = ! b ). Esta ampli…cação possui sensibilidade
à fase do campo, o que pode gerar compressão de uma de suas quadraturas [37]. O Hamiltoniano
efetivo que representa esta ampli…cação (veja apêndice B) é dado por
³
´
VI0 = ~¸ e¡iÁ ay2 + eiÁ a2 ;
(2.12)
onde ¸ e Á estão relacionados, respectivamente, à amplitude e a fase do campo de ampli…cação.
11
Capítulo 3
Estados do Campo Eletromagnético
e suas Representações
Diversos fenômenos envolvendo efeitos luminosos, tais como efeito fotoelétrico [38], efeito Compton [39] e Lamb shift [40] podem ser explicados por um modelo puramente clássico, onde a luz
é descrita como radiação eletromagnética obedecendo às equações de Maxwell e possuindo fase
e amplitude bem determinadas. Mesmo após a quantização do campo eletromagnético realizada por P. A. M. Dirac [41] em 1927, o modelo semi-clássico continuou a fornecer explicações
satisfatórias para os efeitos luminosos conhecidos. Entretanto, com o trabalho de Kimble, Dagenais e Mandel [42], em 1977 …cou claro que certos fenômenos não poderiam ser explicados
em termos semi-clássicos. O efeito detectado por Kimble, Dagenais e Mandel foi o de antiagrupamento de fótons (anti-bunching) que pode ser de…nido como separação espacial apresentada
pelos fótons. Um outro fenômeno que necessita de uma teoria não-clássica é o chamado efeito de
compressão [43, 44] que consiste na obtenção da incerteza em uma das quadraturas do campo
eletromagnético menor que aquela permitida pelo estado coerente, sem contudo violar a relação
de Heisenberg.
Este capítulo propõe-se a realizar uma breve revisão da quantização do campo eletromagnético e introduzir alguns dos estados do campo dentro deste formalismo, tais como o estado de
número, o estado coerente e o estado coerente comprimido.
12
3.1
Quantização do Campo Eletromagnético
Em uma cavidade podem existir in…nitos modos normais de vibração das ondas estacionárias e o
campo eletromagnético pode ser expandido em termos desses modos. Utilizando as equações de
Maxwell, pode-se mostrar que cada um dos coe…cientes dessa expansão obedece à equações diferenciais idênticas às equações de osciladores vibrando harmonicamente com a mesma freqüência
do modo normal. A quantização do campo eletromagnético é realizada quantizando esses osciladores hamônicos associados aos vários modos normais da cavidade. Um modo do operador
associado ao campo eletromagnético, em termos de suas freqüências, positiva e negativa, pode
ser escrito como [45]
h
i
1
i(!t¡k¢r)
E (r; t) = p E0 ae¡i(!t¡k¢r) + ay e
2
(3.1)
q
onde E0 = i "~!
é a amplitude do operador do campo em que V indica o volume da cavidade.
0V
k é o vetor associado à direção de propagação da onda, r é a posição de um ponto da frente de
onda, ! é a freqüência de oscilação da onda e a (ay ) é o operador de aniquilação (criação) do
campo. Os operadores a e ay satisfazem a seguinte relação de comutação
[a; ay ] = aay ¡ ay a = 1
(3.2)
O operador Hamiltoniano de um modo do campo é o de um oscilador harmônico quantizado
(veja apêndice A), dado por
µ
¶
1
y
H = ~! a a +
2
(3.3)
onde ~ é a constante de Planck dividida por 2¼:
De…nindo dois operadores Hermitianos X1 e X2 , como
1
X1 = (a + a+ )
2
e
X2 =
pode-se determinar pela Eq. (3.2) que
[X1; X2 ] = i:
13
1
(a ¡ a+ );
2i
(3.4)
Em termos destes operadores a Eq. (3.1) pode ser reescrita como
E = E0 [X1 cos (!t ¡ k ¢ r) + X2 sin (!t ¡ k ¢ r)] :
Os operadores Hermitianos X1 e X2 são denominados operadores de quadratura do campo.
3.2
Estados do Campo Eletromagnético
A geração de estados quânticos da luz, tais como o estado de número, o estado coerente e o
estado coerente comprimido são de extremo interesse, tanto pelas suas aplicações tecnológicas em
processos de informação quântica como pelo desenvolvimento teórico sujeitado pela proposição
de esquemas factíveis de engenharia de estados. Nesta seção de…niremos alguns estados do
campo eletromagnético.
3.2.1
Estado de Número
Os estados de número de fótons, também conhecidos como estados de Fock, são estados com um
número bem de…nido de fótons do campo. Os estados de Fock formam uma base completa para
o espaço de estados do campo
1
X
jni hnj = 1;
(3.5)
hnj mi = ± n;m :
(3.6)
n=0
e são ortogonais
Os estados de número são, por de…nição, auto-estado do operador número de fótons n =ay a,
ou seja
n jni = n jni ;
(3.7)
onde n = 0; 1; 2 : : : são inteiros não negativos e são autovalores do operador n. O operador de
criação ay e o de aniquilação a atuando no estado de número realizam as seguintes transformações
p
n + 1 jn + 1i
p
a jni =
n jn ¡ 1i
ay jni =
14
(3.8)
(3.9)
Utilizando a Eq. (3.8) e aplicando o operador de criação n vezes no estado de vácuo (n = 0),
pode-se obter a relação
por
¡ y ¢n
a
j0i
jni = p
:
n!
(3.10)
Seguindo a de…nição de distribuição de número de fótons para um estado jÃi qualquer, dado
Pn = jhnj Ãij2
(3.11)
vê-se que a distribuição de número de fótons para um estado de número (jÃi = jmi) é dado por
(3.12)
Pn = ± n;m :
Em um campo eletromagnético a variável canonicamente conjugada ao operador número é a
fase, portanto, para que não ocorra violação do princípio de incerteza, uma completa de…nição
no número de fótons implica em uma completa inde…nição na fase do campo associado.
As propriedades estatísticas da luz permitem determinar se um estado é puramente clássico
ou se pode apresentar efeitos quânticos. Essas propriedades estatísticas podem ser dadas pelo
parâmetro Q de Mandel [46], de…nido em termos da variância (¢n)2 e do número médio de
fótons hni:
Q=
com
D
E
2
(¢n) ¡ hni
hni
;
D
E - ®
(¢n)2 = n2 ¡ hni2 :
(3.13)
(3.14)
Utilizando esta de…nição, pode-se estabelecer a seguinte classi…cação para a estatística do
campo:
Q < 0
Q = 0
Q > 0
³D
E
´
(¢n)2 < hni =)
³D
E
´
(¢n)2 = hni =)
³D
E
´
(¢n)2 > hni =)
Estatística Subpoissoniana;
Estatística Poissoniana;
(3.15)
Estatística Superpoissoniana.
Por esta de…nição o estado de número tem estatística subpoissoniana com Q = ¡1; caracterizando15
o como um estado não clássico.
3.2.2
Estado Coerente
Introduzido por Glauber [47] e Sudarshan [48], os estados coerentes (veja Fig 3-1) possuem
o número de fótons inde…nido, por isso, uma fase razoavelmente de…nida. Estes estados são
de…nidos como auto-estados do operador de aniquilação de fótons, isto é:
(3.16)
a j®i = ® j®i :
Como a não é hermitiano, o autovalor ® é um número complexo, ® = j®j eiµ : Este estado é
obtido atuando-se o operador de deslocamento de Glauber [47],
y ¡®¤ a
D (®) = e®a
;
(3.17)
no estado de vácuo:
j®i = D (®) j0i :
(3.18)
Pela Eq. (3.10) pode-se ver que a expressão de um estado coerente em termos de uma base
de número é dada por
j®i =
1
X
m=0
Cm jmi ;
(3.19)
onde
m
2 ®
1
Cm = hm j®i = e¡ 2 j®j p
m!
(3.20)
é o coe…ciente da expansão associado a transformação da representação de estado de número
para o estado coerente. Então, pode-se reescrever a expansão como:
¡ 12 j®j2
j®i = e
1
X
®m
p jmi :
m!
m=0
(3.21)
As variâncias nas quadraturas calculadas em um estado coerente são iguais e o produto tem
o menor valor permitido pelo princípio de incerteza (~ = 1),
1
¢X1 ¢ ¢X2 = ;
4
16
(3.22)
portanto, não exibem o efeito de compressão de ruído em quadraturas.
O número médio e a variância do número de fótons em um estado coerente são iguais e dados
por
hmi = (¢m)2 = j®j2 :
(3.23)
Pelas Eqs. (3.15), Q = 0 e portanto a estatística desse estado é poissoniana.
X2
Y2
Y1
∆Y2
ϕ
∆Y1
θ/2
X1
Figura 3-1: Representação de um estado coerente, onde as variâncias nas quadraturas apresentam o mesmo valor (1/2).
3.2.3
Estado Coerente Comprimido
Além dos estados com número de fótons bem de…nidos e os estados quase clássicos, como os
estados coerentes, há os estados puramente quânticos. A exemplo de estados puramente quânticos têm-se os estados coerentes comprimidos, também conhecidos como estados coerentes de
dois fótons [44]. Estes são estados que se caracterizam pelo fato de possuirem o ruído, em uma
das variáveis canonicamente conjugada, menor que o ruído correspondente ao estado coerente
ou de vácuo. Neste caso, a relação de incerteza não é violada, de tal modo que a redução na
incerteza de uma quadratura é sempre acompanhada de um aumento na incerteza da sua variável conjugada. Os estados coerentes comprimidos são gerados através de processos não-lineares,
¡
¢
envolvendo termos quadráticos dos operadores de criação e aniquilação a e ay :
17
Particularmente, o estado coerente comprimido é obtido quando se atua, além do operador
de deslocamento, o operador de compressão no estado de vácuo
j®; ³i = D (®) S (») j0i ;
(3.24)
onde D (®) é dado pela Eq. (3.17) e o operador de compressão S (») é dado por [44]
S (») = e1=2»
¤ a2 ¡1=2»ay2
;
(3.25)
com » = reiµ , r é o fator de compressão e µ é o ângulo de rotação no espaço de fase. S (») é
unitário, ou seja,
S (») S y (») = S y (») S (») = 1;
e produz as seguintes transformações [44]
S y (») aS (») = a cosh r ¡ ay eiµ sinh r;
(3.26)
S y (») ay S (») = ay cosh r ¡ ae¡iµ sinh r:
(3.27)
De…nindo as novas quadraturas Y1 e Y2 , rotacionadas em um ângulo de µ=2
Y1 + iY2 = (X1 + iX2 ) e¡iµ=2 ;
(3.28)
S y (») (Y1 + iY2 ) S (») = Y1 e¡r + iY2 er :
(3.29)
obtém-se, a partir da Eq. (3.26),
Pela substituição da Eq. (3.4) na Eq. (3.28), obtém-se:
Y1 + iY2 = ae¡iµ=2 ;
18
(3.30)
de tal forma que se pode determinar a variância nas amplitudes rotacionadas Y1 e Y2 :
- 2®
Y1 ¡ hY1 i2
D¡
¢2 E 1 ¡- ¡iµ=2
®¢2
¡ 4 ae
+ ay eiµ=2
= 14 ae¡iµ=2 + ay eiµ=2
®
¡®¢2
= 41 a2 eiµ + ay2 eiµ + aay + ay a ¡ 14 ae¡iµ=2 + ay eiµ=2
(¢Y1 )2
=
(¢Y2 )2
=
1 ¡2r
;
4e
=
1 2r
4e ;
¢Y1 ¢ ¢Y2 =
(3.31)
1
4:
Para Y1 observa-se a possibilidade de uma variância menor que o ruído do vácuo (= 1=4) e, ao
mesmo tempo, a variância na quadratura Y2 pode ser maior que o ruído do vácuo, variando de
acordo com o parâmetro r (veja Fig 3-2).
X2
Y2
Y1
∆Y2
ϕ
∆Y1
θ/2
X1
Figura 3-2: Representação de um estado coerente comprimido, onde a elipse representa a compressão do ruído na quadratura Y1 :
3.2.4
Estados de Gato de Schrödinger
Uns dos pontos mais importantes sobre teoria da medida em mecânica quântica refere-se a
ausência de observações de estados de superposição para objetos macroscópicos ou mesoscópico,
19
usualmente denominados estados do tipo “gato de Schrödinger”.
No contexto da mecânica quântica os estados dos sistemas evoluem deterministicamente de
acordo com a equação de Schrödinger, ou seja, dadas as condições iniciais para a função de onda
do sistema e seu Hamiltoniano, pode-se determinar seu estado em um tempo posterior arbitrário.
Assim, considerando a evolução do estado de um sistema quântico S e de seu aparato de medida
D em um processo de medição, se inicialmente o estado do sistema S encontra-se em um estado
de superposição, então a evolução quântica unitária prediz que o aparato de medição D evolui
para uma superposição de estados emaranhados de S e D, de tal forma que cada auto-estado
de um observável O de S …que correlacionado com o estado de D. Schrödinger [49] ilustrou este
problema substituindo o aparelho de medição por um gato sujeito à realidade da superposição
de estados e cuja vida dependeria do decaimento de um átomo radioativo. Este arranjo levaria,
antes da observação (quando ocorre a redução da função de onda), a uma superposição de gato
vivo e gato morto. Uma situação de difícil aceitação, pois a noção intuitiva de um objeto clássico
é de que este não existe em tais superposições e que seu estado macroscópio não é afetado pelo ato
de observação. Conseqüentemente, discussões do que realmente seria um processo de medida
persiste até os dias atuais. Contudo, há um intenso estudo sobre a possibilidade de se gerar
estados quânticos do tipo de “gato de Schrödinger”, onde um número considerável de partículas
possa existir em uma superposição quântica de estados.
A geração de um estado tipo “gato de Schrödinger” em campos armadilhados, pode ser obtido
(veja Fig 3-3) com um átomo de Rydberg preparado em B com número quântico principal em
torno de 50 [50, 51] que, após passar pela primeira zona de Ramsey R1 onde o estado atômico é
levado a uma superposição dos estados jei (excitado) e jgi (fundamental ) que, com uma escolha
apropriada da fase do campo R1 ; escreve-se
1
jÃa¶tomo i = p (jei + jgi) :
2
(3.32)
Em seguida, o átomo, neste estado de superposição, interage dispersivamente com o campo
(no estado coerente j®i) na cavidade C . Esta interação átomo-campo é descrita pelo Hamilto-
niano
HI = ~Âay a¾z ;
20
F
Laser
B
De
Dg
Átomos
R1
R2
C
Figura 3-3: Arranjo experimental para a construção de estados de “gato de Schrödinger” do
campo em cavidades supercondutoras. Neste arranjo, B representa uma fonte de átomos de
Rydberg preparados no estado jei pelo feixe de laser, C uma cavidade de alto fator de qualidade,
R1 e R2 constituem zonas de Ramsey. Dg e De são os detectores dos estados atômicos. As
cavidades C, R1 e R2 são alimentadas por uma fonte de microondas F.
sendo ay a o operador número de fótons e  = g2 =±, em que g indica a freqüência de Rabi e
± = ! 0 ¡ ! a dessintonia entre as freqüências do átomo (! 0 ) e do campo (!). Se o átomo cruza a
cavidade no estado jei (jgi) um deslocamento de fase no campo de ¡Â¿ (+¿ ) é induzido; onde
¿ representa o tempo de interação átomo-campo na cavidade. Ajustando esta defasagem através
de um seleção apropriada da velocidade atômica, pode-se obter uma defasagem ¼=2 de forma
que o campo coerente j®i seja transformado em j¡i®i (j+i®i) para o átomo no estado jei (jgi) :
E será este deslocamento especí…co de fase que servirá para gerar o estado de superposição em
C. O efeito da interação átomo-campo na cavidade C será representado por
1
1
p (jei + jgi) - j®i ! p (jei - j¡i®i + jgi - ji®i) ;
2
2
(3.33)
…cando os dois estados atômicos jei e jgi correlacionados com os dois estados do campo j¡i®i e
ji®i [52]. Após deixar a cavidade C, o átomo interage ressonantemente com a segunda zona de
Ramsey R 2 , sofrendo um pulso ¼=2, fazendo com que o estado jei seja transformado novamente
para
p1
2
(jei + jgi) e o estado jgi para
p1
2
(¡ jei + jgi) : Assim, após a passagem do átomo por
21
R2 , obtém-se:
1
p (jei - j¡i®i + jgi - ji®i)
2
·
¸
1
1
1
! p jei - p (j¡i®i ¡ ji®i) + jgi - p (j¡i®i + ji®i) :
2
2
2
(3.34)
Com o átomo detectado em D no estado jgi ou jei, o campo em C é projetado no estado
jà a¶tomo i =
1
(ji®i + cos ' j¡i®i) ;
N
(3.35)
com ' = 0 se r
for detectado em jgi e ' = ¼ se for detectado em jei e com a constante de norma³
´
2
lização N = 2 1 + cos 'e¡2j®j . Produz-se, no processo descrito acima, uma superposição
de dois estados coerentes com defasagem de fase de ¼ entre si.
Do estado obtido em (3.35), o operador densidade será dado por:
½C = jÃa¶tomo i hà a¶tomo j =
3.3
1
[ji®i hi®j + j¡i®i h¡i®j + cos ' (ji®i h¡i®j + j¡i®i h+i®j)] :
N2
(3.36)
Representações dos Estados do Campo
Na Mecânica Quântica a descrição de fenômenos pode ser dada em termos do operador densidade
(½). Por outro lado, a mesma descrição pode ser obtida através de funções de quase-distribuição
no espaço de fase, cuja idéia originou-se do trabalho de Wigner (1932) [53]. Essa idéia permite
que sistemas quânticos sejam analisados em termos quase-clássicos, tornando mais fácil a interpretação dos resultados físicos. Além disso, pode-se trabalhar com equações que envolvam
apenas “c-numbers ” e não operadores. Deve-se considerar que o termo quase-clássico deve-se ao
princípio da incerteza, uma vez que não se pode de…nir simultaneamente a posição e o momento
de uma partícula, tornando-se impossível de…nir uma verdadeira distribuição de probabilidade
no espaço de fase.
Dentre as representações de estados as mais comuns no espaço de fase são: (1) a distribuição
de Wigner (W ); (2) a distribuição de Glauber-Sudarshan ou função-P e a (3) função generalizada
de Husimi ou função-Q.
22
O operador densidade pode ser descrito na representação P de Glauber [37, 54] através da
determinação da função característica mas, para que isto seja possível a transformada de Fourier
da função característica associada ao operador deve existir. Feito isso, a descrição do operador
densidade pode ser dada por
½=
Z
d2 ®P (®; ®¤ ) j®i h®j
(3.37)
e a função característica normal ordenada (associada a este operador) será de…nida por
n
³ ´
o
XN (´; ´¤ ) = T r ½ exp ´ay exp (¡´ ¤ a) :
(3.38)
Esta função característica normal ordenada pode ser relacionada ao valor médio dos operadores
de aniquilação a e criação ay ; na forma normal ordenada, pela equação
D³ ´r E
ay as
=
N
@s
@r
XN (´; ´ ¤ ) j´=0 :
r
@ (´) @ (¡´¤ )s
(3.39)
É possível também relacionar a representação-P de Glauber à função característica normal ordenada por uma transformação de Fourier
1
P (®; ® ) = 2
¼
¤
Z
d2 ´ exp (®´¤ ) exp (¡®¤ ´) XN (´; ´¤ ) ;
(3.40)
por outro lado, XN (´; ´¤ ) relaciona-se a P (®; ®¤ ) pela transformada de Fourier inversa
1
XN (´; ´ ) = 2
¼
¤
Z
³ ¤ ´
d2 ® exp (´®¤ ) exp ¡´ ® P (®; ®¤ ) :
(3.41)
Já a função de distribuição de Wigner [53] pode ser obtida via transformada de Fourier complexa
da função característica simetricamente ordenada ;
1
W (®; ® ) = 2
¼
¤
Z
d2 ´ exp (¡´®¤ + ´¤ ®) XS (´; ´¤ ) ;
(3.42)
sendo XS (´; ´ ¤ ) de…nida por
n
³
´o
XS (´; ´ ¤ ) = T r ½ exp ´ay ¡ ´ ¤ a :
23
(3.43)
O valor médio dos operadores a e ay , na forma simetricamente ordenada, é dado por
D
E`
a + ay =
S
@`
`
@ (i´)
XS (´; ´ ¤ ) j´=0
(3.44)
Além dessas representações pode-se de…nir uma outra, a representação-Q associada com o ordenamento anti-normal dos operadores a e ay e que é de…nida como
Q (®; ®¤ ) ´
1
h®j ½ j®i
¼
(3.45)
e está relacionada com a função característica anti-normal pela transformada de Fourier complexa
n
³ ´o
XA (´; ´¤ ) = T r ½ exp (¡´ ¤ a) exp ´ay
=
1
¼
Z
=
Z
³
´
d2 ® exp ¡´ ¤ ® + ´®y Q (®) :
³ ´
d2 ® h®j exp ´ay ½ exp (¡´¤ a) j®i
(3.46)
Atráves desta função característica pode-se obter o valor médio dos operadores a e ay ; na forma
anti-normal, segundo a expressão
D ³ ´s E
ar ay
=
A
@s
@r
XA (´; ´ ¤ ) j´=0 :
@ (¡´ ¤ )r @ (´)s
(3.47)
Com relação às funções características, pode-se obter um conecção entre elas
2
2
XS (´; ´ ¤ ) = e¡1=2j´j XN (´; ´ ¤ ) = e1=2j´j XA (´; ´ ¤ ) ;
(3.48)
podendo então determinar qualquer uma sabendo-se uma delas.
A representação de Wigner é um instrumento matemático útil para visualizar a evolução
de um estado quântico. Nesta representação apresentamos a seguir os grá…cos dos estados de
número, coerente, comprimido e de superposição tipo “gato de Schrödinger”, respectivamente.
24
Figura 3-4: Função de distribuição de Wigner para o estado de número, n = 1:
Figura 3-5: Função de distribuição de Wigner para o estado coerente, ® = 1:
25
Figura 3-6: Função de distribuição de Wigner para o estado coerente comprimido, com ® = 1 e
fator de compressão r = 2:
Figura 3-7: Função de distribuição de Wigner para o estado de superposição tipo “gato de
Schrödinger” , com ® = 5:
26
Capítulo 4
A Interação do Átomo com o Campo
Sujeito à Ampli…cação Linear e
Paramétrica
Neste capítulo apresentamos uma técnica para a preparação e controle do campo eletromagnético aprisionado em uma cavidade. O campo é subitamente submetido a ampli…cação linear
e paramétrica e a interação dispersiva com um átomo de dois níveis. Estas ampli…cações serão
úteis para a manipulação do campo durante e após a passagem do átomo pela cavidade.
4.1
Interação Átomo-Campo
A con…guração proposta para a engenharia de estados do campo em uma cavidade (veja Fig 4-1),
consiste de um átomo de Rydberg de dois níveis que cruza um arranjo tipo Ramsey, onde uma
cavidade de microonda (com alto fator de qualidade) localizada entre duas zonas de Ramsey
R1 e R2 . Um estado coerente é previamente preparado na cavidade C por uma fonte clássica
de microondas S e submetida a processos de ampli…cação linear e paramétrica. O átomo de
dois níveis (estado fundamental j1i e excitadoj2i) é inicialmente preparado em um estado de
superposição em uma zona de Ramsey R1 , antes de atravessar a cavidade C e interagir com o
campo. Após a interação com o campo na cavidade, o átomo cruza a zona de Ramsey R2 e logo
após é detectado pela câmera de ionização D; projetando o estado do campo na cavidade C. A
27
transição entre os dois estados atômicos circulares j2i ! j1i é ressonante com os campos nas
zonas de Ramsey R1 e R2 , porém na cavidade C a interação é dispersiva (fora da ressonância).
Dado que além da interação com o átomo de dois níveis, o campo na cavidade C é submetido a
ampli…cações linear e paramétrica, o Hamiltoniano de nosso modelo é dado por (~ = 1)
H = !ay a+
!0
¾z + º a¶tomo¡campo + Hamplif: ;
2
(4.1)
em que ¾z = j2i h2j ¡ j1i h1j é o operador de pseudo-spin associado ao átomo de dois níveis; ay e
a correspondem, respectivamente, aos operadores de criação e aniquilação de fótons do campo
na cavidade de freqüência ! (situada entre os níveis de energia atômicos, separados por ! 0 ). A
dessintonia ± = j! ¡ !0 j é grande o su…ciente para que somente transições virtuais ocorram entre
os estados j2i e j1i : Por questão de simplicidade, deve-se supor que o acoplamento átomo-campo
é ligado (desligado) instantaneamente assim que o átomo entra na (sai da) cavidade. Com essas
considerações a interação átomo-campo é descrita como
º a¶tomo¡campo = Âa+ a¾z £ (t ¡ t1 ) £ (t2 ¡ t) ;
(4.2)
onde £ (t) é a função degrau com £ (t) = 1 para t > 0 e £ (t) = 0 para t < 0: Consideramos
aqui que o átomo preparado inicialmente em t0 pela zona de Ramsey R1 em um estado de
superposição c1 j1i + c2 j2i entra na cavidade C no tempo t1 e sai no tempo t2 : As ampli…cações
linear e paramétrica são ligados no tempo t0 e desligados no tempo t3 após a detecção do átomo
em D. O parâmetro de acoplamento átomo-campo dentro da cavidade é dado por  = -2 =±,
onde - é a freqüência de Rabi, este parâmetro torna-se nulo (Â = 0) quando o átomo estiver
fora da cavidade. Para que a Eq. (4.2) seja válida deve-se supor -2 n ¿ ±2 onde n é o número de
fótons na cavidade. Finalmente, a ação das ampli…cações clássicos sobre a cavidade é descrita
pelo Hamiltoniano
2
2
Hamplif: = ³ (t) ay + ³ ¤ (t) a + » (t) ay + »¤ (t) a;
(4.3)
onde ³ (t) e » (t) são funções dependentes do tempo levando em conta as ampli…cações paramétrica e linear, respectivamente. Sabe-se que para alguns valores especí…cos dessas funções os
auto-estados da equação de Schrödinger podem exibir compressão de variância em uma das
quadraturas [30, 55, 56, 57] .
28
S
B
De
Dg
Átomos
R1
R2
C
Laser
P
Figura 4-1: O esquema para o processo de engenharia de estados do campo em uma cavidade.
Neste esquema, B representa uma fonte de átomos de Rydberg excitados para o estado jei pelo
feixe laser, C uma cavidade de alto fator de qualidade, R1 e R2 constituem zonas de Ramsey e
Dg e De são detectores dos estados atômicos. S é a fonte de ampli…ca ção linear e P a fonte de
ampli…cação paramétrica.
O vetor de estado cuja evolução é governada pela equação de Schrödinger
i
d
jª (t)i = H jª (t)i ;
dt
(4.4)
pode ser expandido na bases dos estados coerentes do campo e dos estados de um átomo de dois
níveis, da forma
jª (t)i = ei! 0 t=2 j1i j©1 (t)i + e¡i!0 t=2 j2i j©2 (t)i ;
onde j©` (t)i =
R
d2 ®
¼ A` (®; t) j®i
(4.5)
com ` = 1; 2; ® sendo uma variável complexa e A` (®; t) =
h®; ` jª (t)i são os coe…cientes da expansão de j©` (t)i na base dos estados coerentes fj®ig :
Usando a ortogonalidade dos estados atômicos e as Eqs. (4.1) e (4.5), obtemos as seguintes
equações de Schrödinger desacopladas dependente do tempo (veja apêndice C):
i
d
j©` (t)i = H` j©` (t)i ;
dt
29
(4.6)
onde
2
2
H` = ! ` (t) ay a + ³ (t) ay + ³ ¤ (t) a + » (t) ay + » ¤ (t) a;
(4.7)
h
i
com ! ` (t) = ! + (¡1)` £ (t ¡ t1 ) £ (t2 ¡ t) . Portanto, a interação dispersiva átomo-campo
permitiu a decomposição da equação de Schrödinger (4.4), cujo Hamiltoniano (4.1) envolve
os operadores do átomo e do campo, em duas outras equações nas quais os operadores que se
encontram nos Hamiltonianos (4.7) são relativos apenas ao campo na cavidade e as ampli…cações.
Nota-se também que a freqüência ! é deslocada por ¡Â (+Â) quando da interação do campo
com o estado atômico j1i (j2i), durante o interavalo de tempo ¿ = t2 ¡ t1 :
Desta forma, resolvendo a Eq. (4.6) obtemos, a partir de um estado inicial do campo na
cavidade j©` (ti )i, o estado no tempo posterior t
j©` (t)i = U` (t; ti ) j©` (ti )i ;
(4.8)
que de…ne o operador de evolução que se procura. Evidentemente, os operadores de evolução
¡
¢
¡ +¢
U t¡
1 ; t0 e U t; t2 governam a evolução do vetor de estado do campo de radiação quando o
átomo encontra-se fora da cavidade, sendo independentes do estado atômico. Neste caso o índice
` torna-se desnecessário e além disso tem-se t§
` para t ? t` ; respectivamente. Por outro lado,
o operador U` (t2 ; t1 ) nos dá a evolução do estado do campo na cavidade durante a interação
¡
¢
com o átomo. Este operador depende do estado atômico e difere dos operadores U t¡
1 ; t0 e
¡
¢
U t; t+
2 somente por deslocar a freqüência ! (t) de §Â. A evolução total do sistema, de t0 à
t3 , poderá ser escrita então como U (t3 ; t0 ) = U (t3 ; t2 ) U` (t2 ; t1 ) U (t1 ; t0 ). A seguir, vamos obter
o operador de evolução U (tf ; ti ) para o sistema, descrito pelo Hamiltoniano (4.7), utilizando-se
para isso a técnica de Invariantes, desenvolvida por Lewis e Riesenfeld (LR) [29].
4.2
Resolvendo a Equação de Schrödinger Via Invariantes Dependentes do Tempo (DT)
O Hamiltoniano (4.7) foi bastante estudado no contexto da análise de estados comprimidos do
campo eletromagnético. Métodos de Teoria de Grupos [55, 59] e Invariantes DT [56] têm sido
usados para tratar o Hamiltoniano quadrático DT (4.7) que pode representar uma partícula
30
carregada imersa num campo magnético uniforme DT, sujeito a um movimento harmônico ou,
então, um único modo do campo de radiação propagando-se através de um meio não-linear e
ainda, como na presente situação, um modo da cavidade com freqüência deslocada, sob contínua
ampli…cação linear e paramétrica.
Neste trabalho pretendemos resolver a equação de Schrödinger (4.6) relativa ao Hamiltoniano
(4.7), considerando-se o método de diagonalização por Invariantes desenvolvido por Lewis e
Riesenfeld (LR) [29]. Por Invariante compreende-se um operador I (t) tal que
dI (t)
@I
=
+ i [H; I (t)] = 0:
dt
@t
(4.9)
É sempre possível associar um Invariante a um Hamiltoniano DT. Porém, ao invés de se propor
um Invariante associado ao Hamiltoniano (4.7) efetua-se uma transformação unitária representada pelo operador S ("` ) sobre a equação de Schrödinger (4.6), com o objetivo de reduzi-la a
uma forma que traga associada a ela um Invariante previamente conhecido [60] ("` entende-se
por um conjunto completo de parâmetros de grupo DT que pode, além disso, depender do estado
atômico `). Desta forma nós obtemos da Eq. (4.6)
i
¯
®
d ¯¯ S ®
©` (t) = HS` ¯©S` (t) ;
dt
(4.10)
onde o Hamiltoniano transformado, para o qual a solução da equação de Schrödinger é conhecida
[60], e o vetor de estado são dados por
HS` = S y ("` ) H` S ("` ) + i
dS y ("` )
S ("` )
dt
¯ S ®
¯© (t) = S y ("` ) j©` (t)i :
`
(4.11)
(4.12)
Quanto à obtenção da solução da equação de Schrödinger (4.6) através do método dos Invariantes é necessário introduzir dois teoremas:
i) O primeiro desses teorema, exposto em [56], a…rma que se I` (t) é um invariante associado
à H` , por exemplo,
31
@I`
dI` (t)
=
+ i [H` ; I` (t)] = 0;
dt
@t
(4.13)
então o operador transformado I`S (t) = S y ("` ) I` (t) S ("` ) é um invariante associado ao Hamiltoniano transformado HS` (veja apêndice D).
ii) O segundo teorema de Lewis e Riesenfeld [29] diz que uma solução da equação de
Schrödinger constitui-se de um auto-estado do Invariante Hermitiano I` (t) multiplicado por
um fator de fase dependente do tempo. Quanto a I` (t), Lewis e Riesenfeld asseguram que, se
este operador admite um conjunto completo de auto-estados jm; ti, os correspondentes autoval-
ores ¸ (que constituem funções reais) são independentes do tempo. Neste caso, a dependência
temporal é inteiramente associada aos auto-estados, conforme
I(t) jm; ti = ¸m jm; ti ;
(4.14)
sendo m inteiro e não nulo.
Portanto, dos teorermas i) e ii), as soluções de (4.6) são dadas por
¯
®
S
j©` (t)i = S ("` ) ¯©S` (t) = S ("` ) eiÁ`;m (t) jm; tiS ; m = 1; 2; : : : ;
(4.15)
onde as fases de Lewis e Riesenfeld [29] obedecem
ÁS`;m (t) =
Z
t
ti
dt0
S
µ
¶
¯
¯
®
@
m; t0 ¯ i 0 ¡ HS` ¯m; t0 S :
@t
(4.16)
Pode-se veri…car que sob a transformação unitária realizada pelo operador S ("` ), a fase DT é
invariante: ÁS`;m (t) = Á`;m (t) (veja apêndice D).
4.3
O Hamiltoniano Transformado
Com o objetivo de associar um Invariante previamente conhecido [60] ao Hamiltoniano (4.7),
efetuaremos uma transformação unitária representada pelo operador de compressão:
· ³
´¸
1
y2
¤ 2
S ("` ) =
"` a ¡ "` a
;
2
32
(4.17)
onde a função complexa "` (t) dependente do tempo é dada por
"` (t) = r` (t) ei'` (t) ;
(4.18)
sendo o parâmetro dependente do tempo r` (t) o fator de compressão e '` (t) o ângulo de compressão. A transformação unitária do operador de compressão sobre os operadores a e ay são
dados por
S y ("` ) aS ("` ) = a cosh r` ¡ ay ei'` sinh r` ;
(4.19)
S y ("` ) ay S ("` ) = ay cosh r` ¡ ae¡i'` sinh r` :
(4.20)
Os parâmetros dependentes do tempo das ampli…cações paramétrica e linear são escritos
como ³ (t) = · (t) ei´(t) e » (t) = { (t) ei$(t) ; respectivamente. Os parâmetros de compressão
(r` (t) e '` (t)); amplitude de ampli…cação (· (t), { (t)) e freqüências (´ (t), $ (t)), são funções
reais dependentes do tempo. Das considerações acima e após alguns cálculos (veja apêndice E),
o Hamiltoniano transformado torna-se
HS` = -` (t) ay a + ¤` (t) ay + ¤¤` (t) a + F` (t) ;
(4.21)
contanto que os coe…cientes dependentes do tempo satisfaçam
-` (t) = ! ` (t) + 2· (t) tanh r` (t) cos (´ (t) ¡ '` (t)) ;
(4.22)
¤` (t) = » (t) cosh r` (t) + » ¤ (t) ei'` (t) sinh r` (t) ;
(4.23)
F` = · (t) tanh r` (t) cos (´ (t) ¡ '` (t)) ;
(4.24)
onde os parâmetros de compressão r` (t) e '` (t) são determinados pela resolução das equações
diferenciais acopladas
r` (t) = 2· (t) sin (´ (t) ¡ '` (t)) ;
¢
(4.25)
'` (t) = ¡2!` (t) ¡ 4· (t) coth (2r` (t)) cos (´ (t) ¡ '` (t)) :
¢
(4.26)
33
Notamos destas relações que os parâmetros de grupo "` , de…nindo o operador unitário S ("` ) ;
dependem dos estados atômicos ` (1; 2); como suposto inicialmente.
4.4
O Operador Evolução
Com a obtenção do Hamiltoniano (4.21) retornamos à solução da equação de Schrödinger (4.10)
e aplicando o método dos Invariantes obtemos o vetor de estado [60]
¯ S ®
¯© (t) = eiÁ`;m (t) D [µ ` (t)] jmi ; m = 0; 1; 2:::;
`
onde
é o estado de número e
(4.27)
jmi = Dy [µ` (t)] jm; ti
(4.28)
h
i
D [µ` (t)] = exp µ` (t) ay + µ¤` (t) a
(4.29)
é o operador de deslocamento em que µ` (t) é a solução da equação [61]
¢
iµ` (t) = -` (t) µ ` (t) + ¤` (t)
dada por
µ` (t) = µ (t0 ) e
¡i¯ ` (t)
¡ ie
com
¯ ` (t) =
Z
¡i¯ ` (t)
Z
t
t0
t
t0
¡ ¢
0
¤` t0 ei¯ ` (t ) dt0 ;
¡ ¢
-` t0 dt0 :
(4.30)
(4.31)
(4.32)
Da substituição do Hamiltoniano (4.21) na fase de Lewis e Riesenfeld, de…nida na Eq. (4.16),
obtemos
Á`;m (t) = ¡
¾
¡ ¢ ¡ ¢
¡ ¢¤
¡ ¢ 1£ ¡ ¢ ¡ ¢
dt0 :
m-` t0 + ¤` t0 µ¤` t0 + ¤¤` t0 µ` t0 + F` t0
2
Z t½
ti
(4.33)
Portanto, a solução da equação de Schrödinger (4.6), é dada por
¯
®
j©` (t)i = S ["` (t)] ¯©S` (t) = U` (t) jmi ;
34
(4.34)
onde
U` (t) = ¨` (t) S ["` (t)] D [µ` (t)] R [-` (t)]
(4.35)
é um operador unitário, composto pelos operadores de compressão e deslocamento, pelo fator
de fase
½
·
¸¾
Z t
¡ ¤ ¡ 0¢ ¡ 0¢
¢ 0
i
¨` (t) = exp ¡ ¯ ` (t) ¡ !t +
¤` t µ` t + cc dt
2
t0
(4.36)
h
i
R [-` (t)] = exp ¡iay a¯ ` (t) :
(4.37)
e pelo operador de rotação (vindo do fator de fase DT de Lewis e Riesenfeld)
Portanto, retornando à Eq. (4.8), a solução da equação de Schrödinger (4.6) é
j©` (t)i = U` (t) U`y (ti ) j©` (ti )i ;
(4.38)
que …nalmente de…ne o operador de evolução
U` (t; ti ) = U` (t) U`y (ti ) :
4.5
(4.39)
Evolução do Estado Átomo-Campo
No processo de manipulação dos estados quânticos do campo de radiação, inicialmente supomos
que a cavidade C seja preparada no tempo t0 em um estado coerente j®i (campos clássicos de
microonda são injetados no interior da cavidade, de forma que a intensidade do estado j®i pode
ser ajustada pelo tempo de ampli…cação). Como mencionado acima as ampli…cações linear e
paramétrica são ligados em t0 e simultaneamente, o átomo é preparado na zona de Ramsey R1
em um estado de superposição c1 j1i + c2 j2i : O estado do sistema combinando átomo-campo no
tempo inicial t0 segue da Eq. (4.6) e será dado por
h
i
jª (t0 )i = ei!0 t=2 c1 j1i + e¡i!0 t=2 c2 j2i j®i :
35
(4.40)
De fato, com A` (®; t) = h®; `j (c1 j1i + c2 j2i) j®i conclui-se imediatamente que
j©` (t)i =
Z
d2 ¯
A` (¯; t) j¯i = c` j®i :
¼
(4.41)
Portanto, a evolução do estado inicial jª (t0 )i, de t0 a t1 , é dada por
¯ ¡ ¡ ¢®
¢
¡
¯ª t
= U t¡
1
1 ; t0 jª (t0 )i :
(4.42)
Durante o intervalo de tempo ¿ = t2 ¡ t1 o átomo passa pelo interior da cavidade C in-
teragindo dispersivamente com o campo. Neste caso, a evolução do sistema é governada pelo
operador U` (t2 ; t1 ) = U` (t2 ) Uy` (t1 ) que depende do estado atômico `: Sendo assim, o estado do
sistema átomo-campo é dado por
h
i ¡
¢
jª (t2 )i = ei!0 t=2 c1 j1i U1 (t2 ; t1 ) + e¡i!0 t=2 c2 j2i U2 (t2 ; t1 ) U t¡
1 ; t0 j®i :
(4.43)
Após atravessar a cavidade a evolução livre do átomo segue de t+
2 até a zona de Ramsey R2 :
Durante este intervalo de tempo o campo evolui livremente, sofrendo apenas a in‡uência das
¡
¢
ampli…cações e o estado completo do sistema evolui segundo o operador U t; t+
2 ; de forma que
i ¡
¡
¢ h i!0 t=2
¢
¡i!0 t=2
jª (t)i = U t; t+
e
c
j1i
U
(t
;
t
)
+
e
c
j2i
U
(t
;
t
)
U t¡
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1 ; t0 j®i :
(4.44)
Após o átomo cruzar a zona de Ramsey R2 onde um pulso de ¼=2 é aplicado o estado do
sistema átomo-campo emaranha-se da forma
jª (t)i =
i
1 nh i! 0 t=2
p
¡e
c1 U1 (t; t0 ) + e¡i!0 t=2 c2 U2 (t; t0 ) j1i
2
h
i o
+ ei!0 t=2 c1 U1 (t; t0 ) + e¡i!0 t=2 c2 U2 (t; t0 ) j2i j®i ;
(4.45)
onde de…nimos os operadores
¡
¢
¡¡ ¢
U` (t; t0 ) = U t; t+
2 U` (t2 ; t1 ) U t1 ; t0 :
36
(4.46)
Finalmente, a detecção do átomo em D projeta o campo na cavidade no estado do tipo “gato
de Schrödinger”
h
i
i!0 t=2
¡i!0 t=2
jª (t)iC = N§ §e
c1 U1 (t; t0 ) + e
c2 U2 (t; t0 ) j®i ;
(4.47)
onde o sinal + (¡) ocorre se o átomo for detectado no estado j2i (j1i), e N§ é a constante de
normalização.
Da Eq. (4.47) segue um ponto essencial da presente técnica: após medir o estado atômico,
utilizado para gerar o estado de superposição na cavidade, os experimentais são capazes de controlar o estado do campo através do controle das ampli…cações linear e paramétrica. Para isto
basta ajustar os parâmetros DT das ampli…cações · (t), Â (t), ´ (t) e $ (t). Estes ajustes possibilitarão manipular o estado do campo na cavidade de forma a obter amplitudes e propriedades
estatísticas desejadas.
4.6
Soluções das Equações Características
No que concerne às soluções das equações características (4.25, 4.26), esse trabalho procura
investigar o regime onde o modo da cavidade j®i é ressonante com as ampli…cações paramétri-
+
ca e linear durante o tempo em que o átomo estiver fora da cavidade (de t0 a t¡
1 e t2 a t):
A ampli…cação paramétrica opera no modo degenerado: as freqüências de saída são iguais à
freqüência do modo da cavidade de maneira que ´ (t) = ¡2!t. Para a ampli…cação linear ajus-
tamos $` (t) = !t: Entretanto, durante o intervalo de tempo (t1 a t2 ) no qual o átomo permanece
no interior da cavidade ele desloca a freqüência do modo na cavidade. Este deslocamento faz
com que o modo da cavidade …que fora da ressonância com os campos de ampli…cações. Desta
maneira, estabelece-se um regime dispersivo (fora da ressonância) do processo de ampli…cação.
A seguir, iremos obter as soluções das equações diferenciais acopladas (4.25, 4.26) para os regimes
ressonante e dispersivo.
I) Ampli…cação ressonante:
A solução das equações diferenciais acopladas (4.25, 4.26), para a ampli…cação ressonante,
quando o átomo encontra-se fora da cavidade, temos que $` (t) = !t e ´ (t) = ¡2!t: Para
37
obtermos as soluções de…niremos as seguintes relações:
¢
! = f (t) ;
(4.48)
' (t) = ¡2f (t) + g (t)
(4.49)
´ (t) = ¡2f (t) + u;
(4.50)
e
de forma a reescrevermos as equações diferenciais acopladas (4.25, 4.26) como
r (t) = ¡2· (t) sin (g (t) ¡ u) ;
¢
(4.51)
¢
(4.52)
g (t) = ¡4· (t) coth (2r (t)) cos (g (t) ¡ u) :
Considerando u constante, eliminamos a dependência temporal das Eqs. (4.51, 4.52) de forma
a restar apenas a equação diferencial de primeira ordem
dr
1
= tanh (2r) tan (g ¡ u) :
dg
2
(4.53)
Após a integração da Eq. (4.53) obtemos as constantes de movimento
cos (' (t) ¡ ´ (t)) sinh (2r (t)) = C1;3 ;
(4.54)
¡+
¢
em que C1 (C3 )refere-se ao intervalo t0 ! t¡
t2 ! t , que depende dos valores iniciais r (ti ),
1
' (ti ) e ´ (ti ) : Conseqüentemente, as soluções das Eqs. (4.51, 4.52) que se aplicam sob a condição
2
cosh2 (2r (t)) > 1 + C1;3
;
38
(4.55)
são dadas por (veja apêndice F):
0
3
2
1
q
[2r (ti )] A
2 + 1 cosh 4arccosh @ cosh
q
+ h (t)5 ;
cosh (2r (t)) =
C1;3
2
C1;3 + 1
cos (' (t) ¡ ´ (t)) = ¡ r³
R
com h (t) = 4 · (t) dt.
C1;3
;
´
2 + 1 cosh2 (h (t) ¡ 1)
C1;3
(4.56)
(4.57)
II) Ampli…cação Dispersiva:
A ampli…cação dispersiva ocorre durante o tempo em que o átomo encontra-se no interior
da cavidade. No decorrer deste intervalo de tempo ocorre um deslocamento da freqüência ! do
modo da cavidade de maneira que ! ` = ! § Â, com  = -2 =±. Evidentemente, a freqüência de
ampli…cação não é afetada pela passagem do átomo pelo interior da cavidade, de maneira que
´ (t) = ¡2!t e $` (t) = !t:
Para obtermos a solução das Eqs. (4.25, 4.26), para o caso fora da ressonância, vamos
inicialmente supor que o parâmetro · seja independente do tempo e de…nir as seguintes relações
'` (t) ¡ ´ (t) = f` (t)
(4.58)
e
¢
¢
´ (t) + 2!` (t) = g` (t) ;
(4.59)
de tal forma a reescrevermos as equações diferenciais acopladas Eqs. (4.25, 4.26) como
¢
r` (t) = 2· (t) sin (f` (t)) ;
¢
¢
f` (t) = ¡g ` ¡ 4· (t) coth (2r` (t)) cos (f` (t)) :
¢
(4.60)
(4.61)
Considerando g ` = (¡1)` 2Â constante, podemos resolver as Eqs. (4.60, 4.61) por quadratura,
39
para isso denomina-se s = 2r` (t) e ² = 4· (t), desta forma pode-se obter das Eqs. 4.60 e 4.61
¢
s = ¡² sin (f` (t))
¢
f` (t) = (¡1)` 2Â ¡ ² coth (s) cos (f` (t)) ;
(4.62)
(4.63)
de forma que, eliminando o tempo dentre estas equações, obtem-se
² sin (f` (t))
ds
=
:
`
df
(¡1) 2Â + ² coth (s) cos (f` (t))
(4.64)
Trocando a variável f (t) por u = ¡ ln (P` cos (f` (t))) onde P` = (¡1)` 2·=Â a relação 4.64
simpli…ca-se na forma
du
= eu + coth (s) :
ds
(4.65)
Numa última troca de variável, considerando que w = u (s) ¡ ln (sinh (s)), obtemos
dw
= ew sinh (s) ;
ds
(4.66)
integrando esta relação, obtem-se a constante de movimento
cosh (2r` (t)) + P` cos ('` (t) ¡ ´ (t)) sinh (2r` (t)) = C2 ;
(4.67)
que depende dos valores iniciais r (t1 ) ; ' (t1 ) e ´ (t1 ) : Apesar de supor que o acoplamento átomocampo é ligado (desligado) subitamente, estes valores iniciais devem ser calculados a partir das
soluções relativas ao regime de ampli…cação ressonante em t1 : Com este procedimento obtemos
as soluções da ampli…cação ressonante (r (t1 ) ; ' (t1 )) como um limite para o caso da ampli…cação dispersiva (r (t1 ) ; ' (t1 )) quando  ! 0: Portanto, para o regime dispersivo encontramos
três diferentes soluções (veja apêndice F) dependendo dos valores tomados pelo parâmetro de
acoplamento não-linear macroscópico P` = (¡1)` 2·=Â :
40
II.a) Para o acoplamento forte, jP` j > 1, as soluções são
cosh (2r` (t)) =
q
8
¡
¢
2 + 1 ¡ P2
<
¡C
2
C2
`
1 ¡ jP` j
(4.68)
C2
1 ¡ P2` :
q
0
2
39
1
2
=
1
¡
P
·
C2 jP` j
`
5 ;
A¡
£ sinh 4¡ arcsinh @ q
(t
¡
t
)
1
¡
¢
;
jP` j
¡C22 + 1 ¡ P2`
cos ('` (t) ¡ ´ (t)) = §
C2 ¡ cosh (2r` (t))
;
P` jsinh (2r` (t))j
(4.69)
com C2 = cosh (4·t1 ), ´ (t) = 2!t e P` = (¡1)` 2·=Â:
II.b) Para o acoplamento fraco, jP` j < 1; segue-se que
q
8
¡
¢
<
C22 ¡ 1 ¡ P2`
C2
(4.70)
cosh [2r` (t)] =
1 ¡ jP` j
C2
1 ¡ P2` :
q
2
0
1
39
2
=
·
1
¡
P
C2 jP` j
`
A¡
5 ;
£ sin 4arcsin @ q
(t
¡
t
)
1
¡
¢
;
jP` j
C22 ¡ 1 ¡ P2`
cos ('` (t) ¡ ´ (t)) = §
C2 ¡ cosh (2r` (t))
:
P` jsinh (2r` (t))j
(4.71)
II.c) Finalmente, para o acoplamento crítico, jP` j = 1, as soluções são dadas por:
1
cosh [2r` (t)] =
2C2
cos ('` (t) ¡ ´ (t)) = §
)
(·
¸2
q
h (t) C2 + 2C2 cosh ¡C22 ¡ 1 + C22 + 1 ;
C2 ¡ cosh (2r` (t))
;
jsinh (2r` (t))j
(4.72)
(4.73)
R
com h (t) = 4 · (t) dt:
A partir das soluções obtidas para as ampli…cações ressonante e dispersiva é direta a obtenção
do comportamento dos parâmetros de compressão DT a partir de t0 (quando os campos de
ampli…cações são ligados simultaneamente à preparação do estado atômico em R1 ) até um
41
tempo t qualquer após a detecção do estado atômico.
i) De t0 a t¡
1 os parâmetros de compressão seguem das Eqs. (4.51, 4.52) e, como mencionado
¡
¢
anteriormente, tais equações requerem a condição cosh2 (2r (t)) > 1 + C12 , que é sempre satisfeita para C1 = 0; um valor obtido das condições iniciais r (t0 ) ; ' (t0 ) e ´ (t0 ) : De fato, r (t0 ) = 0
para um estado coerente inicial injetado no interior da cavidade. Supondo que o parâmetro ·
seja independente do tempo juntamente com C1 = 0, segue das Eqs (4.56, 4.57), as soluções
simpli…cadas
r (t) = 2·t;
(4.74a)
' (t) = ¡2!t + ¼=2:
(4.74b)
ii) De t1 a t2 tem-se três possíveis soluções para os parâmetros de compressão, dependendo da
intensidade do parâmetro de acoplamento jP` j : Estas soluções seguem das expressões descritas
para os casos II.a, II.b e II.c, considerando a constante de movimento C2 = cosh (4·t1 ) calculada
da Eq. (4.67) e são dadas por:
a) crítico (jP` j = 1)
r` (t) =
1
arccosh
2
(
1
2C2
#)
"µ
¶2
q
;
h (t) C2 + 2C2 cosh ¡C22 ¡ 1 + C22 + 1
µ
¶
C2 ¡ cosh (2r` (t))
'` (t) = ´ (t) + arccos §
;
jsinh (2r` (t))j
42
(4.75)
(4.76)
b) fraco (jP` j < 1)
q
8
¡
¢
2 ¡ 1 ¡ P2
<
C
2
1
C2
`
r` (t) =
arccosh 4
1 ¡ jP` j
2
C2
1 ¡ P2` :
2
2
0
1
C2 jP` j
A
£ sin 4arcsin @ q
¡
¢ ¡
C22 ¡ 1 ¡ P2`
q
· 1 ¡ P2`
jP` j
·
¸
C2 ¡ cosh (2r` (t))
'` (t) = ´ (t) + arccos §
;
P` jsinh (2r` (t))j
(4.77)
393
=
(t ¡ t1 )5 5 ;
;
(4.78)
c) forte (jP` j > 1)
q
8
¡
¢
2 + 1 ¡ P2
<
¡C
2
C
1
`
2
arccosh 4
1 ¡ jP` j
r` (t) =
2
C2
1 ¡ P2` :
2
2
1
0
C2 jP` j
A
£ sinh 4¡ arcsinh @ q
¢ ¡
¡
¡C22 + 1 ¡ P2`
(4.79)
q
· 1 ¡ P2`
jP` j
·
¸
C2 ¡ cosh (2r` (t))
'` (t) = ´ (t) + arccos §
:
P` jsinh (2r` (t))j
393
=
(t ¡ t1 )5 5 ;
;
(4.80)
iii) De t+
2 a t os parâmetros de compressão outra vez são calculados pelas Eqs. (4.51, 4.52)
e a constante de acoplamento calculada das condições iniciais r (t2 ) ; ' (t2 ) e ´ (t2 ) ; dependendo
do regime de intensidade do acoplamento (forte, crítico ou fraco). Para o acoplamento fraco
jP` j < 1, temos as seguintes soluções
r` (t) =
8
93
2
2
3
<
=
q
+
1
2 )5
2 + 1 cosh arccosh 4 cosh(2r(t
q
+ h0 (t) 5 ;
arccosh 4 C3;`
:
;
2
C2 + 1
(4.81)
3;`
2
6
'` (t) = ´ (t) + arccos 6
4¡ r³
3
7
C1;3
7;
´
5
2 + 1 cosh2 (h0 (t) ¡ 1)
C1;3
(4.82)
0
com C2 = cosh (4·t1 ), C3 = C2;` + cosh (2r` t2 ), ` = 1; 2, P` = (¡1)` 2·=Â e h (t) = 4
43
Rt
t+
2
· (t) dt
4.7
A Função de Wigner e as Flutuações das Quadraturas
Analisaremos agora o estado do campo projetado na cavidade após a detecção do átomo, Eq.
(4.47), e o seu controle através dos processos de ampli…cação paramétrica e linear.
Determinado o estado (4.47), podemos obter a função característica anti-normal ordenada,
como de…nida no capítulo (3.3);
ÂA (´; ´ ¤ ; t) =
D ¤
E
h
³ ´i
y
e¡´ a e´a = T r ½ (t) exp (¡´ ¤ a) exp ´ay
(4.83)
³ ´
= hª (t)j exp (¡´¤ a) exp ´ay jª (t)i :
O cálculo detalhado e a expressão para essa função encontram-se no apêndice G. A partir dela,
podemos obter a função característica na forma simetricamente ordenada via relação
ÂS = e
j´j2
2
(4.84)
ÂA ;
com a qual podemos obter a função de Wigner do sistema através da integração:
1
W (®; ® ) = 2
¼
¤
Z
¤ ¡´ ¤ ®
d2 ´e+´®
ÂS (´; ´ ¤ ) :
(4.85)
Com a função de Wigner podemos observar as propriedades quânticas do estado jª (t)i (4.47).
O cálculo dessa função encontra-se no apêndice G. Na próxima seção, mostraremos o grá…co da
Função de Wigner para vários estados gerados através da técnica apresentada neste capítulo.
Também podemos obter, a partir da função característica anti-normal ordenada, a função
característica normal ordenada, via relação
2
ÂN (´; ´ ¤ ) = e¡j´j ÂA (´; ´¤ ) :
(4.86)
A determinação desta função possibilita o cálculo dos valores esperados de operadores na forma
normal ordenada, segundo
D³ ´n E
@n
@m
ay am = n
 (´; ´ ¤ ) j´=´¤ =0 ;
@´ @ (¡´¤ )m N
44
(4.87)
valores estes necessários para analisar as ‡utuações das quadraturas do campo na cavidade,
de…nidas por:
® - 2 ®
2
¢X1;2
= X1;2 ¡ hX1;2 i2 ;
com
(4.88)
X1 =
´
1³
a + ay ;
2
(4.89)
X2 =
´
1 ³
a ¡ ay :
2i
(4.90)
As ‡utuações das quadraturas seguem-se do cálculo das variâncias
- ®
- 2®
= a2 ¡ hai2 ;
¢a
4.8
(4.91a)
¿ ³ ´ À
¿³ ´ À D³ ´E
2
2
2
y
¢ a
=
ay
¡ ay
;
(4.91b)
D
E
D E D E
¢ay a = ay a ¡ ay hai .
(4.91c)
Análise dos Resultados - Análise das Características Essenciais dos Estados Preparados Associados aos Processos de
Ampli…cação
Nesta seção analisaremos a geração de alguns estados do tipo “gato de Schrödinger” descritos
pela Eq. (4.47). Consideramos que o tempo t1 , decorrido desde a preparação do estado atômico
(pela zona de Ramsey R1 ) até o momento em que o átomo adentra a cavidade, seja aproximadamente 10 vezes maior que o tempo de interação átomo-campo. Dessa forma, devemos
tomar t1 = 10¡4 s e, escolhendo ¿ = ¼=2, em que ¿ = t2 ¡ t1 e  = 105 s¡1 , decorre que
t2 = t1 + (¼=2) £ 10¡5 s. Vamos supor que o tempo decorrido desde t2 até a interrupção das
ampli…cações linear e paramétrica em t3 (arbitrário), seja também aproximadamente 10 vezes
45
maior que o tempo de interação átomo-campo, de forma que t3 = t2 + 10¡4 s.
Nas …guras que se seguem apresentaremos a função de Wigner contra as quadraturas X1 e
X2 , para estados do tipo “gato de Schrödinger” gerados a partir de um estado coerente ® = 5
previamente injetado na cavidade C. Nestas …guras apresentaremos as respectivas variâncias
¢X1 e ¢X2 , que indicam a ocorrência de squeezing devido a ampli…cação paramétrica. Apresentamos também o fator de ampli…cação linear, de…nido por
F =1¡
hnit0
;
hnit
(4.92)
em que hnit0 e hnit indicam os números médios de fótons nos tempos t0 e t. Evidentemente,
com ® = 5, hnit0 = 25.
Na presença de ampli…cação linear e/ou paramétrica apresentamos as funções de Wigner
também contra os eixos Y1 e Y2 de…nidos da forma
Y1 + iY2 = (X1 + iX2 ) e¡i¸=2 ;
(4.93)
em que ¸ será escolhido de forma a minimizar a variância ¢Y1 . Estes novos eixos foram de…nidos,
como é usual, de forma a evidenciar o efeito de squeezing.
Nos estados gerados a possibilidade de se obter uma quantidade menor que 1 (esta quantidade
foi normalizada e ~ = 1) para as variâncias relativas a X1 e Y1 , caracteriza a geração de um
estado comprimido.
46
Nas Figs. 4-2 e 4-3 temos a função de Wigner para o estado (4.47) em t2 para o caso em
p
que ambas as ampli…cações estão ausentes. Em 4-2 escolhemos c1 = c2 = 1= 2 e obtivemos a
função de Wigner para o estado do tipo “gato de Schrödinger” usual em que F = 0, ¢X1 = 1 e
p
p
¢X2 = 10. Em 4-3 escolhemos c1 = 0:7 e c2 = 0:3 de forma que estas diferentes amplitudes
de probabilidade acarretaram uma assimetria na função de Wigner, conforme esperado, além
dos valores ¢X1 = 1 e ¢X2 = 9:2.
0.6
W ( X1, X2 )
0.3
0.0
-0.3
2
-0.6
-6
X
X
0
1
0
-3
3
2
6
-2
Figura 4-2: Função de Wigner
p em t2 para o estado de superposição (4.46) com amplitudes de
probabilidade c1 = c2 = 1= 2; na ausência de ampli…cação linear e paramétrica. Neste caso
temos ausência de ampli…cação linear (F = 0) e de squeezing (¢X1 = 1 e ¢X2 = 10).
47
0.6
0.3
0.0
-0.3
2
-0.6
0
-6
-3
0
3
6
-2
Figura 4-3: Função de Wigner
p em t2 parapo estado de superposição (4.46) com diferentes amplitudes de probabilidade c1 = 0:7 e c2 = 0:3; na ausência de ampli…cação linear e paramétrica.
Assim como na Fig. 4.2 , temos ausência de ampli…cação linear (F = 0) e de squeezing (¢X1 = 1
e ¢X2 = 9:2).
48
Nas Fig. 4-4 e 4-5 apresentamos a função de Wigner para o estado (4.47) em t2 no caso em
p
que a ampli…cação linear é considerada ({ = Â ). Escolhemos c1 = c2 = 1= 2 e obtivemos, evidentemente um fator não nulo de ampli…cação F = 0:8. Temos, portanto, um estado semelhante
àquele da Fig. 4-2, mas deslocado da origem devido ao processo de ampli…cação linear, conforme
notamos na Fig. 4-5 através dos eixos Y1 e Y2 , girados em relação a X1 e X2 . Através dos eixos
girados, notamos que ¢Y1 = 1 e ¢Y2 = 15 o que indica que a variância do estado deslocado é
acrescida com relação aquela do estado na ausência da ampli…cação linear (Fig. 4-2).
0.3
W ( X1, X2 )
0.0
-0.3
15
10
-0.6
-16
X
1
5
0
-12
-8
-4
X
0
-5
2
Figura 4-4: Função de Wigner
em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…cação linear ({ = Â). Obtivemos F = 0:8,
¢X1 = 10:8 e ¢X2 = 10:5.
49
W ( Y1, Y2 )
0.4
0.0
-0.4
-6
-0.8
-10
-8
1
-5
Y
Y
0
5
2
10
-10
Figura 4-5: Função de Wigner em t2 para o mesmo caso apresentado na Fig. 4.4, mas com
relação aos eixos Y1 e Y2 Temos ¢Y1 = 1 e ¢Y2 = 15 e, evidentemente, o mesmo fator de
ampli…cação da Fig. 4-4.
50
Nas Figs. 4-6 e 4-7 apresentamos a função de Wigner para o estado (4.47) em t2 no caso
p
em que a ampli…cação paramétrica é considerada (· = Â=20). Escolhemos c1 = c2 = 1= 2
e obtivemos um fator não nulo de ampli…cação F = 0:74. Através da Fig. 4-7 notamos a
ocorrência do processo de squeezing na quadratura Y1 , já que ¢Y1 = 0:6 e ¢Y2 = 19:7. A Fig. 4-7
evidencia também que a ampli…cação paramétrica gera um estado do tipo “gato de Schrödinger”
assimétrico, uma vez que o ângulo de compressão ('i , i = 1, 2) depende do estado atômico
(j1i ou j2i). Na Fig. 4-8 apresentamos a função de Wigner para o mesmo caso apresentado na
Fig. 4-7, mas no tempo posterior t3 . Evidentemente, a ampli…cação paramétrica torna o efeito
de squeezing mais pronunciado, com ¢Y1 = 0:2 e ¢Y2 = 53.
W ( X1, X2 )
0.3
0.0
-0.3
-10
0
-5
0
X2
5
10
X1
10
-10
Figura 4-6: Função de Wigner
p em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…caç ão paramétrico (· = Â=20). Temos
F = 0:74, ¢X1 = 14:6 e ¢X2 = 13:3. O fator de compressão em t2 é r(t2 )= 1:0.
51
W ( Y1, Y2 )
0.4
0.0
-0.4
2
-10
Y
Y
10
1
1
0
0
2
20
Figura 4-7: Função de Wigner em t2 para o mesmo caso apresentado na Fig. 4.6, mas com relação
aos eixos Y1 e Y2 . Temos ¢Y1 = 0:6 e ¢Y2 = 19:7 e evidentemente F = 0:74 e r(t2 )= 1:0.
52
W ( Y1, Y2 )
0.5
0.0
-0.5
0.2
0.0
-40
-20
Y
Y
20
1
-0.2
0
-0.4
40
2
Figura 4-8: Função de Wigner para o mesmo caso apresentado na Fig. 4.7, mas em t3 . Obtivemos
F = 0:96, r(t3 )= 2:0, ¢Y1 = 0:2 e ¢Y2 = 53.
53
Nas Figs. 4-9 e 4-10 temos as funções de Wigner para o estado (4.47) em t2 no caso em
p
p
que a ampli…cação paramétrica é considerada, com a escolha c1 = 0:7 e c2 = 0:3. A
assimetria devida a ampli…cação paramétrica (já discutida no contexto da Fig. 4-7) soma-se aqui
a assimetria devida as diferentes amplitudes de probabilidade dos estados atômicos (discutida
no contexto da Fig. 4-3).
0.4
0.0
10
5
-0.2
0
-10
-5
0
X2
X1
W ( X1, X2 )
0.2
-5
5
10
Figura 4-9: Função de Wigner em
de superposição (4.46) com diferentes amp t2 para o estado
p
plitudes de probabilidade c1 = 0:7 e c2 = 0:3, sob o efeito da ampli…cação paramétrica
(· = Â=20). Temos F = 0:74, ¢X1 = 13:4 e ¢X2 = 12:2 e r(t2 )= 1:0.
54
W ( Y1, Y2 )
0.4
0.0
-0.4
2
-10
Y
Y
10
1
1
0
0
2
20
Figura 4-10: Análogo à Fig 4.9, mas com relação aos eixos Y1 e Y2 . Temos F = 0:74, r(t2 )= 1:0,
¢Y1 = 0:5 e ¢Y2 = 18:1.
55
Nas Figs. 4-11 e 4-12 temos as funções de Wigner para o estado (4.47) em t2 no caso em que
ambos os processos de ampli…cação, linear e paramétrico são considerados ({ = Â=20 e · = Â=20).
p
Escolhemos c1 = c2 = 1= 2 e veri…camos, conforme esperado, que a presença de ampli…cação
linear inibe a compressão da quadratura Y1 . Na Fig. 4-12 temos ¢Y1 = 0:7, ao passo que na
Fig. 4-7 em que temos ampli…cação paramétrica na ausência da linear, temos ¢Y1 = 0:6.
)
W ( X1, X2
0.3
0.0
10
5
0
-10
-5
X1
-0.3
-5
0
X2
5
10
Figura 4-11: Função de Wigner
em t2 para o estado de superposição (4.46) com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob os efeitos das ampli…cações linear ({ = Â=20) e paramétrica
(· = Â=20). Temos F = 0:72, r(t2 )= 1:0, ¢X1 = 13:6 e ¢X2 = 13:2.
56
W ( Y1, Y2 )
0.4
0.0
-0.4
2
Y
0
Y
1
1
-10
0
10
2
20
Figura 4-12: Função de Wigner em t2 para o mesmo caso da Fig 4.11, com relação aos eixos Y1
e Y2 . Temos F = 0:72, r(t2 )= 1:0, ¢Y1 = 0:7 e ¢Y2 = 19.
57
4.9
Protocolo para a Geração de Estados do tipo “Gato de
Schrödinger”
Nesta seção apresentamos um protocolo para a geração de estados do tipo “gato de Schrödinger”
que pretende sistematizar o processo de engenharia de estados aqui proposto. Este protocolo
consiste de 03 passos. 1) Primeiramente, deve-se ajustar os ângulos de compressão '1 e '2 ,
associados aos estados atômicos j1i e j2i e de…nidos pelo processo de ampli…cação paramétrica
e pelo tempo de interação átomo-campo. Dessa forma, pode-se preparar um estado cujo ângulo
relativo entre as direções de compressão, dada por ¥ = j'1 =2 ¡ '2 =2j seja ajustado através
dos parâmetros livres que de…nem '1 e '2 . Conforme dito acima, estes parâmetros são o
tempo de interação átomo-campo (t2 ¡ t1 ) e a amplitude da ampli…cação paramétrica ·. No
entanto, o ajuste do intervalo t1 ¡ t0 entre a zona de Ramsey R1 e a cavidade C é importante
para que se obtenha um fator de compressão signi…cativo. 2) Em seguida, pode-se ajustar a
intensidade do campo descrito pelo estado desejado. Esse ajuste é obtido tanto através da
preparação conveniente do estado coerente inicial injetado na cavidade como através da escolha
das amplitude do processo de ampli…cação linear. 3) Por …m, a amplitude dos picos que de…nem a
função do estado desejado pode ser ajustado através da preparação conveniente da superposição
atômica na zona de Ramsey R1 .
Nas Figs. 4-13, 4-14 e 4-15, ajustamos o intervalo t1 ¡ t0 = 1:5 £ 10¡4 s de forma a obtermos
um fator de compressão signi…cativo nestes casos. Além do que, nestas …guras partimos de um
estado coerente ® = 5 previamente injetado na cavidade C.
Na Fig. 4-13 apresentamos a função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.47),
p
considerando-se c1 = c2 = 1= 2 e ajustando '1 e '2 , tal que j'1 =2 ¡ '2 =2j = ¥ = 0. O ajuste
de ¥ = 0 foi obtido através da escolha de t2 = 1:668 £ 10¡4 s e · = Â=20. O mesmo estado
apresentado na Fig. 4-13 encontra-se na Fig. 4-14, mas em relação aos eixos Y1 e Y2 , do que
seguem os valores para as varâncias ¢Y1 = 0:31 e ¢Y2 = 32. Na Fig. 4-15, temos a função
p
de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.47), com c1 = c2 = 1= 2 e ajustando '1
e '2 , tal que j'1 =2 ¡ '2 =2j = ¥ = ¼=2. Para isso …xamos t2 = 1:706 £ 10¡4 s e · = Â=20.
Finalmente, na Fig. 4-16, temos a função de Wigner em t2 para o estado de superposição (4.47)
p ¢
¡
c1 = c2 = 1= 2 com j'1 =2 ¡ '2 =2j = ¼=2. Ajustamos t2 = 1:706 £ 10¡4 s e · = Â=20. Neste
58
caso partimos do estado de vácuo (® = 0).
0.4
W ( X1, X2 )
0.2
0.0
16
-0.2
8
X
1
0
-16
-8
-8
0
8
X2
16
-16
Figura 4-13: Função de Wigner
em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…cação paramétrica. Fixamos j'1 =2 ¡ '2 =2j =
0 através do ajuste de t2 = 1:668 £ 10¡4 s e · = Â=20. Obtivemos F = 0:9, ¢X1 = 21:5 e
¢X2 = 23:7 e r (t2 ) = 1:5.
59
W ( Y1, Y2 )
0.2
0.0
8
-0.2
4
-20
Y
1
0
-10
0
-4
10
Y
20
2
Figura 4-14: Análoga à Fig. 4.14, mas com relação aos eixos Y1 e Y2 . Temos assim diferentes
valores para as variâncias: ¢Y1 = 0:31 e ¢Y2 = 32:
60
W ( X1, X2 )
0.2
0.0
0
-10
X
-20
1
-0.2
0
10
20
X
1
30
-20
Figura 4-15: Função de Wigner
em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…cação paramétrica. Fixamos j'1 =2 ¡ '2 =2j =
¼=2 através do ajuste de t2 = 1:706 £ 10¡4 s e · = Â=20. Obtivemos F = 0:9, ¢X1 = 6:8 e
¢X2 = 20:7 e r (t2 ) = 1:452.
61
0.6
W ( X1, X2 )
0.3
0.0
5
-0.3
X
1
0
-4
-2
0
X2
2
4
-5
Figura 4-16: Função de Wigner
em t2 para o estado de superposição (4.46), com amplitudes de
p
probalidade c1 = c2 = 1= 2, sob o efeito da ampli…cação paramétrica. Fixamos j'1 =2 ¡ '2 =2j =
¼=2 com o ajuste de t2 = 1:706 £ 10¡4 s e · = Â=20. Obtivemos F = 1, ¢X1 = 2:6, ¢X2 = 2:6
e r (t2 ) = 1:452.
62
Capítulo 5
Estados Mesoscópicos Robustos
Um dos maiores problemas relacionados às realizações de experimentos em mecânica quântica
refere-se ao processo da perda de coerência dos estados quânticos, cuja causa tem origem no
inevitável acoplamento dos sistemas com o meio ambiente e nas ‡utuações inerentes às interações
envolvidas na realização de um processo quântico.
Neste capítulo abordaremos aspectos que possam minimizar os efeitos da perda de coerência
de estados quânticos. Para determinar o tempo de decoerência destes estados utilizaremos o
cálculo do defeito de idempotência do operador densidade reduzido do campo na cavidade,
como sugerido em [62] (veja apêndice H), que é dado por
1
2¿ 22
= ¡ (hÃS à R j H jà R à S i)2 + hà S j (hà R j H jà R i)2 jà S i +
+ hà R j (hÃS j H jÃS i)2 jÃR i ¡ hÃR ÃS j H 2 jà R à S i :
(5.1)
Porém, se considerarmos que os estados de superposição do campo na cavidade estão sob a ação
de um reservatório no estado de vácuo comprimido a expressão que obtemos para o tempo de
decorência é dada por (veja apêndice H).
¿=
¿R
¯
¯;
h ³
D
E´i
¯
¯
2
2
y
y
y
y
2 ¯(2N + 1) (ha i hai ¡ ha ai) + 2 Re M ha i ¡ (a )
¡ N¯
(5.2)
³»´
³ »´
³»´
»
»
onde ¿ R é o tempo de relaxação, N = sinh2 r , e M = ¡ exp i' sinh r Á2; r e ' são os
parâmetros de compressão do reservatório no estado de vácuo [63]. Os valores médios, nesta
63
equação, são obtidos a partir do estado de superposição gerado na cavidade (4.47). Uma vez que a
excitação inicial do estado coerente, ®, e os parâmetros de compressão (r (t2 ) ; '` (t2 )) do estado
de superposição tenham sido inicialmente …xados pelo protocolo de engenharia, observamos que
³» »´
a Eq. (5.2) depende apenas dos parâmetros r,' de compressão do reservatório.
p
¡
¢
Se considerarmos a situação em que ® é real e exp ¡2®2 ¼ 0 (implicando ® & 2), a
maximização do tempo de decoerência ¿ leva-nos a obter um conjunto de pares de parâmetros
¡
¢
= r + ln 1 + 4®2 =4;
'A = 0;
»
(5.3)
¢
¡
»
rB = r ¡ ln 1 + 4®2 =4;
'B = ¼;
»
(5.4)
»
rA
quando …xamos ¥ = 2n¼ (n inteiro), isto é, os estados que compõe a superposição (4.47)
estão comprimidos na mesma direção. Porém, quando fazemos ¥ 6= 2n¼, a maximização do
tempo de decoerência ¿ torna-se inferior à que obtemos quando ¥ = 2n¼, dada pelos pares
³» » ´
³» » ´
de parâmertros rA ; 'A ou rB ; 'B quando consideramos '` (t2 ) = (2m` + 1) ¼ ou '` (t2 ) =
2m` ¼ (m` inteiro), respectivamente (note que n = jm1 ¡ m2 j). Observe que as direções de
compressão de ambos os estados compondo a superposição (4.47), de…nidas pelos ânglos '1 (t2 )
ou '2 (t2 ), devem ser perpendiculares à direção de compressão do reservatório no estado de
vácuo.
Em seguida calcularemos a distância entre os centros das distribuições de quasi-probalidade,
no espaço de fase, de cada estado que compõe a superposição (4.47). Esta distância é de…nida
¡
¢
¡
¢
através das quadraturas do campo na cavidade X = ay + a =2 e Y = a ¡ ay =2i e é dada por
h
i1=2
D = (hXi2 ¡ hXi1 )2 + (hY i2 ¡ hY i1 )2
;
(5.5)
em que os índice (1; 2), referem-se aos dois estados que compõem a superposição. Porém, quando
consideramos '1 (t2 ) = '2 (t2 ) = (2m + 1) ¼ ou 2m¼, a distância torna-se
D = hXi2 ¡ hXi1 = 2® exp (r)
ou 2® exp (¡r) ;
(5.6)
respectivamente. Nós estamos interessados no caso em que '1 (t2 ) = (2m + 1) ¼, que resulta
64
em uma distância D maior entre os dois estados que compõe a superposição. Este é um ponto
fundamental, já que estamos interessados em uma superposição mesoscópica.
Considerando o caso em que r seja grande de modo que exp (¡2r) ¼ 0, juntamente com a
¡
¢
consideração inicial de que exp ¡2®2 ¼ 0, o tempo de decoerência e o número médio de fótons
³» » ´
do estado preparado, que segue dos valores rA ; 'A , são dados por
r ¼ rR =®;
D E
hni = ay a ¼ ®2 exp (2r) :
(5.7)
¡
¢
Um fato importante a se notar é que, com as aproximações exp (¡2r) ¼ 0 e exp ¡2®2 ¼ 0,
o tempo de decoerência para o estado de superposição preparado quando '1 (t2 ) = '2 (t2 ) =
»
(2m + 1) ¼ ¡ sob a ação de um reservatório no estado de vácuo comprimido na direção 'A = 0
¡ torna-se praticamente independente do parâmetro de compressão r e consequentemente de
sua própria intensidade (hni) e distância (D).
Do resultado obtido na Eq. (5.7) nós concluímos que é conveniente termos inicialmente
¡
¢
estados ® tão pequenos quanto possível (dentro do limite exp ¡2®2 ¼ 0) e ajustar o parâmetro
de acoplamento mesoscópico jP` j de forma que se possa obter um fator de compressão grande
e consequentemente altas intesidade do estado preparado. No que diz respeito a jP` j, nós
consideramos o regime de acoplamento fraco (jP` j < 1) e obtivemos, a partir das Eqs. (5.3) e
p
(5.4), grandes parâmetros de compressão. Para jP` j = 0:1, ® = 2, e um tempo de experimento
da ordem de 2 £ 10¡4 s, obtivemos um estado de superposição onde r ¼ 2 e hni ¼ 102 fótons.
No que diz respeito a robustez do estado de superposição, o mecanismo por trás do resultado
obtido é o grau de emaranhamento entre o estado preparado e os modos do reservatório, que
»
depende da direção relativa de suas compressões, de…nidas pelos angulos '1 (t2 ) = '2 (t2 ) e 'A .
Este argumento consolida-se em [64] onde se mostra que a introdução de dois modos do campo
de radiação em estados de vácuo, comprimidos em direções perpendiculares, em um divisores de
feixes (50=50) não gera um estado emaranhado. Uma análise mais cuidadosa da dependência do
grau de emaranhamento e a direção de compressão entre um estado preparado e os multi-modos
do reservatório ¡ uma coleção de divisores de feixes independentes ¡ é apresentado em [63].
Apesar do fato de que o mecanismo por trás do longo tempo de vida da superposição mesoscópica
é essencialmente a direção perpendicular entre a compressão do estado preparado e os modos
65
do reservatório, a magnitude do parâmetro r representa um papel crucial no presente esquema
para a produção de superposição mesoscópica. Ele introduz ampli…cações nas intensidade do
número médio de fótons hni e na distância D no espaço de fase.
Para uma análise do resultado apresentado acima, os valores que nós obtivemos para ¿ , hni, e
D devem se comparados com os valores obtidos para um estado de superposição não comprimido
¡
¢
(NC), hniNC = ®2 , DNC = 2® , sob a in‡uência de i) um reservatório comprimido, que resulta
em um tempo de decoerência de ¿ i ¼ ¿ R =®; ou ii) um reservatório não comprimido, em que foi
obtido ¿ ii ¼ ¿ R =2®2 .
Observamos que, para ambos os casos i) e ii) nós obtivemos as razões hni = hniNC ¼ exp (2r)
e D=DNC = exp (r) : Portanto, apesar do aumento exponencial na razão da excitação e da
distância, nós ainda obtemos ¿ ¼ ¿ i quando comparamos nossos resultados com esquemas
anteriormente propostos na literatuira, quando um reservatório comprimido é assumido para o
aumento do tempo de decoerência [65]; para estados do campo e reservatórios não comprimidos,
nós obtemos um resultado ainda melhor, ¿ ¼ ®¿ ii .
A implementação experimental do esquema proposto sustenta-se na possibilidade da engen-
haria de reservatórios comprimidos bem como da ampli…cação paramétrica do campo de radiação
na cavidade. Enfatizamos que a possibilidade da engenharia de reservatório tem recentemente recebido considerável atenção no domínio de íons armadilhados [66]. Recentemente apresentou-se
uma proposta para a engenharia de um reservatório comprimido para a proteção de um sistema
de dois níveis [67]. No que diz respeito a ampli…cação paramétrica de campos em cavidades,
sugeriu-se recentemente uma técnica baseada na excitação pulsada, via luz laser, de camadas
semicondutoras a…xadas nas paredes da cavidade [68]. Além do que, acreditamos ser possível
a realização da ampli…cação paramétrica de um campo na cavidade através de engenharia de
interação átomo-campo [63].
66
Capítulo 6
Conclusão
Neste trabalho nós apresentamos uma técnica para a preparação e controle de estados quânticos.
Consideramos a interação de um átomo de dois níveis com um campo numa cavidade de alto
fator de qualidade submetido aos processos de ampli…cação linear e paramétrica. Neste sistema
a equação de Schrödinger foi resolvida considerando o método de diagonização por Invariantes,
conforme desenvolvido por Lewis e Riesenfeld. Foi a partir deste método que obtivemos o
operador de evolução do sistema composto átomo-campo.
O processo de interação do átomo com o campo submetido à ampli…cação permitiu obter altas
taxas de compressão de um campo aprisionado numa cavidades. De fato, além do processo de
ampli…cação paramétrica, é sabido que a interação com o átomo também promove a compressão
do campo. Contudo, não abordamos este aspecto do nosso trabalho com maiores detalhes.
Outro aspecto importante do presente trabalho, foi a obtenção de estados de superposição
mesoscópicos robustos. Isto foi possível acoplando o estado de superposição comprimido a um
reservatório no estado de vácuo comprimido. Os longos tempos de coerência obtidos decorrem
do grau de emaranhamento entre o estado de superposição e os modos do reservatório, que
depende da direção relativa de suas compressões, de…nidas pelos ângulos '1 (t2 ) = '2 (t2 ) e
»
'A . A maximização do tempo de decoerência foi obtido quando a direção de compressão de
ambos os estados que compõe a superposição tornaram-se perpendiculares à direção de compressão dos modos do reservatório. Na obtenção destes estados mesoscópicos, a ampli…cação
paramétrica representou um papel crucial. Foi a partir do parâmetro de compressão r que foi
possível obter ampli…cações nas intensidade do número médio de fótons (hni) e na distância (D)
67
entre os centros das distribuição de quasi-probabilidade, no espaço de fase, de cada estado que
compõe a superposição: Estas ampli…cações não alteraram o tempo de decoerência dos estados
de superposição.
A preparação de emaranhados comprimidos entre estados de cavidades distintas pode também ser implementada bem como a investigação da estatística de contagem de fótons desses
estados. En…m, o processo de interação do átomo com campos submetidos ao processo de ampli…cação pode trazer elementos novos a processos em eletrodinâmica quântica de cavidades
atualmente investigados, tais como, portas lógicas para sistemas de computação e comunicação
quânticos.
68
Apêndice A
O
Hamiltoniano de Interação
Átomo-Campo
A.1
Quantização do Campo Eletromagnético
Em um cavidade re‡etora podem existir in…nitos modos normais de vibração das ondas estacionárias e o campo eletromagnético pode ser expandido em termos desses modos. Utilizando
as equações de Maxwell pode-se mostrar que cada termo desta expansão obedece às equações
diferenciais de osciladores harmônicos vibrando com a mesma freqüência do modo normal da
cavidade. O campo eletromagnético é equivalente a um conjunto de osciladores harmônicos independentes; dessa forma, a sua quantização será realizada através da quantização de cada um
desses osciladores.
A.1.1
Equações de Maxwell
As equações de Maxwell [69] para o campo eletromagnético no vácuo são dadas por
@D
;
@t
@B
r£E = ¡
;
@t
r ¢ B = 0;
r£H =
r ¢ D = 0;
69
(A.1)
(A.2)
(A.3)
(A.4)
com
B =¹o H;
(A.5)
D = "o E;
(A.6)
onde ²0 e ¹0 são, respectivamente, a permissividade e a permeabilidade magnética no vácuo.
Os campos eletromagnéticos E(r; t) e B(r; t) podem ser expressos em termos dos potenciais
eletromagnéticos (A, V ), de forma que
(A.7)
B = r £ A;
e utilizando a Eq. (A.7) em (A.2), obtém-se
r £ E = ¡r£
@A
@A
,E=¡
¡ rV;
@t
@t
(A.8)
onde o termo ¡rV aparece devido ao fato que r £ rV = 0: Essas equações são invariantes se
os potenciais forem transformados de acordo com as chamadas transformações de gauge:
A ! A0 + rÂ;
V
! V0 =V ¡
(A.9)
1 @Â
;
c @t
(A.10)
sendo Â(r;t) uma função escalar.
É sempre possível escolher o potencial vetor A de modo que r ¢ A = 0 (gauge de Coulomb)
e na ausência de cargas, em que V = 0; obtém-se
E=¡
@A
:
@t
(A.11)
As Eqs. (A.7) e (A.8) juntamente com a Eq. (A.1) conduzem à seguinte equação de ondas
para o potencial vetor A:
r2 A ¡
1 @2A
= 0:
c2 @t2
(A.12)
Para a formulação Hamiltoniana é conveniente primeiramente discretizar os modos de propagação do campo inserindo-o numa cavidade cúbica e aresta L e tomando condições de contorno
70
periódicas (ao …nal dos cálculos fazemos L ! 1, caracterizando o campo livre). Essa expansão
em série de Fourier será realizada em termos de um conjuto discreto de funções (modos normais)
ortogonais uk (r), isto é,
¶1=2
µ
1X
}
A(r; t) =
ck (t) uk (r);
2
j! k j ²0
(A.13)
k
onde os ck são coe…cientes que, quando da quantização do campo, tornar-se-ão operadores que
satisfazem regras de comutação especí…cas.
Com a substituição da Eq. (A.13) em (A.12), veri…ca-se que cada modo k satisfaz as
equações:
! 2k
uk (r);
c2
(A.14)
= §! 2k ck (t) ;
(A.15)
r2 uk (r) = §
@ 2 ck (t)
@t2
com ! k representando a freqüência de cada modo do campo eletromagnético. O sinal + nas Eqs.
(A.14) e (A.15) é eliminado, pois as condições de contorno exigem que o campo eletromagnético
seja limitado (a solução das equações com sinal + divergem). Na Eq. (A.15), ck (t) satisfaz a
relação
ck (t) = ak e¡i! k t + bk ei! k t ;
(A.16)
uk (r) =L3=2 ³eik¢r ;
(A.17)
e na Eq. (A.14) uk (r) satisfaz
em que o termo ³ é o vetor polarização.
Pode-se veri…car que na Eq. (A.17) uk (r) = u¤¡k (r) e que estas funções formam um conjunto
completo, ou seja:
I
IV
V
u¤k (r)uk0 (r)dr = ± k;k0 ;
(A.18)
u¤k (r)u¤k0 (r)dr = ± k;¡k0 ;
(A.19)
71
ou também
I
IV
V
uk (r)uk0 (r)dr = ± ¡k;k0 :
(A.20)
uk (r)u¤k0 (r)dr = ± ¡k;¡k0 :
(A.21)
Substituindo a Eq. (A.16) na Eq. (A.13), obtém-se:
¶1=2
µ
£
¤
1X
}
A(r; t) =
ak uk (r)k e¡i!k t + bk uk ei!k t :
2
j! k j ²0
(A.22)
k
Como A(r; t) deve ser real e assim ayk u¤k (r) = bk uk (r), pode-se reescrevê-la como
¶1=2 h
µ
i
1X
}
ak uk (r)k e¡i! k t + ayk u¤k (r)ei! k t :
A(r; t) =
2
j! k j ²0
(A.23)
k
Utilizando esta expressão na Eq. (A.7) e na Eq. (A.11), obtém-se:
µ
¶1=2 h
i
}
1X
ak r £ uk (r)e¡i!k t + ayk r £ u¤k (r)ei!k t
B =
2
j! k j ²0
k
µ
¶1=2
h
i
1X
}
E = ¡
i! k ¡ak uk (r)e¡i!k t + ayk u¤k (r)ei!k t :
2
j! k j ²0
(A.24)
(A.25)
k
A energia eletromagnética pode então ser escrita da seguinte forma [69]:
H0 =
1
2
I
V
¡
¢
"0 E2 + ¹0 B2 dr:
72
(A.26)
Substituindo as Eqs.(A.24) e (A.25) na Eq. (A.26) pode-se reescrevê-la como
H0
µ
¶
µ
¶1=2
} X
1
=
8²0
j! k j j! k0 j
k
I
f¡
! k !k0 ak ak0 uk (r)uk0 (r)e¡i(!k +!k0 )t dr+
I V
¡
! k ! k0 ayk ayk0 u¤k (r)u¤k0 (r)ei(!k +!k0 )t dr+
IV
+
! k ! k0 ak ayk0 uk (r)u¤k0 (r)e¡i(!k ¡!k0 )t dr+
IV
+
! k ! k0 ayk ak0 u¤k (r)uk0 (r)ei(!k ¡!k0 )t dr+
VI
1
! k ! k0 ak ak0 [r £ uk (r)] ¢ [r £ uk0 (r)] e¡i(!k +! k0 )t dr+
¡
¹0 V
I
1
¡
! k ! k0 ayk ayk0 [r £ u¤k (r)] ¢ [r £ u¤k0 (r)] ei(!k +! k0 )t dr+
¹0 V
I
1
! k ! k0 ak ayk0 [r £ uk (r)] ¢ [r £ u¤k0 (r)] e¡i(!k ¡! k0 )t dr+
¡
¹0 V
I
1
¡
! k ! k0 ayk ak0 [r £ u¤k (r)] ¢ [r £ uk0 (r)] ei(!k ¡! k0 )t drg:
¹0 V
(A.27)
As quatro primeiras integrais de volume são resolvidas utilizando as Eqs.(A.18), (A.19), (A.20)
e (A.21). As integrais restantes são resolvidas usando a relação
£
¤
(r £ A) ¢ (r £ B) = r¢ [A£ (r £ B)] + r (r ¢ B) ¡ r2 B ¢ A:
(A.28)
Pode-se escrever
I
V
(r £ uk ) ¢ (r £ uk0 ) dr =
e aplicando a relação
I
V
fr¢ [uk £ (r £ uk0 )]
(A.29)
+r (r ¢ uk0 ) ¢ uk ¡ r2 uk0 ¢ uk gdr;
I
r ¢ AdV =
V
I
^
A¢ns dS
(A.30)
S
sobre o primeiro termo, vemos que este se anula, pois uk (r) na superfície é nulo e por meio do
73
Gauge de Coulomb r ¢ A = 0 e V = 0, o segundo termo também se anula, restando
¡
I
r2 uk0 ¢ uk dr:
(A.31)
Substituindo as Eqs.(A.14) e (A.15) na equação acima, obtém-se:
¡
I
!2 0
r uk0 ¢ uk dr = k2
c
2
V
I
uk0 ¢ uk (r)dr =
V
! 2k0
0:
±
c2 ¡k;k
(A.32)
Os termos restantes são resolvidos pelos mesmos processos descritos acima. Assim, chega-se ao
resultado:
H0 =
Xµ
¶h
³
´
}
²0 ! 2k ak a¡k + ayk ay¡k + ak ayk + ayk ak
8 j! k j ²0
k
´¸
! 2k ³
y y
y
y
+
ak a¡k + ak a¡k + ak ak + ak ak :
¹0 c2
(A.33)
(A.34)
Utilizando a Eq.(A.23), pode-se mostrar que a¡k = ayk e considerando-os como operadores cuja
relação de comutação é
h
i
[ak ; ak ] = ayk ; ayk = 0
e
h
i
ak ; ayk = ayk ak ¡ ayk ak = 1;
reescreve-se o Hamiltoniano do campo eletromagnético na sua forma …nal
H0 =
A.2
X
k
µ
¶
1
} j! k j ayk ak +
:
2
Interação dos Átomos com um Campo Eletromagnético
Em um campo eletromagnético, uma partícula de massa m e carga e está sujeita à força de
Lorentz [70]
F = e (E + v £ B) ;
sendo v a velocidade da partícula.
74
(A.35)
A equação de movimento não relativística é, conforme a teoria clássica
¢¢
mr = F (r) :
(A.36)
Utilizando as Eqs.(A.7) e (A.8) na Eq.(A.35), obtemos para a componente de x
mÄ
x = e [Ex + yB
_ z ¡ zB
_ y]
·µ
¶
¸
@Ax
@U
¡
= e ¡
+ y_ (r £ A)z ¡ z_ (r £ A)y
@x
@t
µ
·
¶
µ
¶¸
@Ay @Ax
@Ax
@U
@Ax @Az
¡
+ y_
¡
¡
= e ¡
¡ z_
:
@x
@t
@x
@y
@z
@x
(A.37)
Essas equações podem ser deduzidas das equações de Lagrange [70]
d @L @L
¡
= 0;
dt @ q_i @qi
(A.38)
onde a Lagrangiana é:
L=
m 2
r_ + e_r ¢ A(r;t) ¡ eV (r;t):
2
(A.39)
O momento conjugado p é dado por
p=
3
X
@L
i=1
@ q_i
q^i = m_r + eA(r; t);
(A.40)
de tal forma que o Hamiltoniano para uma partícula interagindo com um campo eletromagnético
escreve-se da forma
H(r; p; t) = p ¢ r_ ¡L
1
=
[p ¡ eA(r; t)]2 + eU(r; t):
2m
A.3
A aproximação de Dipolo e o Hamiltoniano Hi = ¡¹ ¢ A
Vejamos agora a interação de uma partícula carregada, ligada a um núcleo atômico por um
potêncial V (r), com um campo eletromagnético: O Hamiltoniano que descreve esta interação é
75
dado por
H(r; p; t) =
1
[p ¡ eA(r; t)]2 + V (r; t);
2m
(A.41)
em que o potencial vetor pode ser escrito na aproximação de dipolo elétrico, k ¢ r ¿ 1; como
©
ª
0
A(r0 + r0 ; t) / q (t) u(r0 + r0 ) = q (t) eik¢(r0 +r ) = q(t)eik¢r0 1 + ik ¢ r0 +::: ' q(t)eik¢r0 : (A.42)
Com esta aproximação, a equação de Schrödinger pode ser escrita (utilizando o gauge r ¢ A = 0
e V (x;t) = 0), na forma
½
¾
@
1
2
0
[p ¡ eA(r0 ; t)] + V (r ) Ã(r0 ; t) = i} Ã(r0 ; t):
2m
@t
(A.43)
Para simpli…car a Eq.(A.43), de…ne-se uma nova função de onda Á(r0 ; t), como:
·
¸
ie
Ã(r ; t) = exp
A(r0 ; t)¢r Á(r0 ; t):
}
0
(A.44)
Inserindo a Eq.(A.44) na Eq.(A.43) obtém-se
¸
· 2 2
@
} r
0
0
+ V (r ) ¡ er ¢ E(r0 ; t) Á(r0 ; t) = i} Á(r0 ; t);
¡
2m
@t
(A.45)
equação esta que pode ser escrita na forma
fH0 + HI g Á(r0 ; t) = EÁ(r0 ; t);
com
H0 = ¡
}2 r2
+ V (r0 )
2m
(A.46)
(A.47)
e
HI = ¡¹ ¢ E(r0 ; t);
sendo ¹ =er0 o momento de dipolo elétrico.
76
(A.48)
A.4
Quantização do Campo de Elétrons
No formalismo da segunda quantização [71], o Hamiltoniano de um átomo em termo dos seus
níveis de energia pode ser dado por
Hel =
Z
ªy (r)H0 (r)ª(r)d3 r;
(A.49)
P
}2 2
r + V (r) e ª(x) um operador de campo dado por ª(x) = i ai Ái (x) (e
2m P
seu adjunto ªy (x) = i ayi Á¤i (x)). ai (ayi ) é o operador de destruição (criação) de partículas no
sendo H0 (r) = ¡
i-ésimo nível de energia com auto-função Ái (x), satisfazendo a relação de ortonormalidade
Z
Á¤i (x)Áj (x)dx = ±ij:
(A.50)
Reescrevendo a Eq.(A.49):
Z
ªy (r)H0 (r)ª(r)d3 r
¾X
½
Z X
X y
}2 2
r + V (r)
aj Áj (r)d3 r =
aj aj Ej :
=
ayi Á¤i (r) ¡
2m
j
j
Hel =
(A.51)
i
Os operadores ayj aj podem ser interpretados como operadores de número de ocupação de elétrons
no nível de energia j e obedecem as relações de anti-comutação:
n
o
ayj ; ak
= ayj ak + ak ayj = ± jk ;
n
o
ayj ; ayk
= ayj ayk + ayk ayj = 0;
faj ; ak g
(A.52)
= aj ak + ak aj = 0:
Em particular, para um átomo com dois níveis de energia, pode-se simpli…car a Eq.(A.51):
Hel =
2
X
ayj aj Ej = ay1 a1 E1 + ay2 a2 E2 = }! 1 ay1 a1 + }!2 ay2 a2 :
(A.53)
j=1
Assumindo que o ponto de energia zero esteja em } (! 1 + !0 ) =2 e utilizando o operador unitário
77
ay1 a1 + ay2 a2 na Eq.(A.53), obtém-se
Hel =
´ }!
}! 0 ³ y
0
¾z :
a2 a2 ¡ ay1 a1 =
2
2
(A.54)
onde !0 = ! 2 ¡ ! 1 : Considerou-se na equação acima a seguinte correspondência entre os opera-
dores fermiônicos e os operadores de “pseudo-spin”:
operadores de pseudo-spin
operadores eletrônicos
ay2 a1
¾+ = j2i h1j
(A.55)
ay1 a2
¾¡ = j1i h2j
¾z = j2i h2j ¡ j1i h1j
ay2 a2 ¡ ay1 a1 ;
sendo ¾+ (¾¡ ) o operador de levantamento (abaixamento) dos níveis atômicos internos. Em
geral, os dois níveis atômicos são identi…cados como: j1i ! estado “fundamental” jgi e j2i !
estado “excitado” jei.
A.5
Hamiltoniano de Jaynes-Cummings
O modelo Jaynes-Cummings [35] descreve a interação da radiação com a matéria. Em um
modelo simpli…cado um único modo do campo está acoplado a uma única transição atômica.
Este acoplamento pode ser ressonante ou quase-ressonante; em ambos os casos o sistema é
modelado por um átomo de dois níveis acoplado a um modo do campo descrito por um oscilador
harmônico.
O Hamiltoniano que descreve a interação entre o campo eletromagnético e um elétron é dada
por [72]:
H=
1
[p ¡ qA]2 + V (x) + Hcampo ;
2m
(A.56)
sendo m; e e p a massa, a carga e o momento do elétron, respectivamente. V (x) é o potencial
de Coulomb e Hcampo o Hamiltoniano do campo livre. Com a quantização do campo de elétrons,
78
o Hamitoniano é reescrito como:
(A.57)
H = Hel + HI + Hcampo ;
com
Hel =
X
ayj aj Ej
Hcampo = }
e
j
X
! l (byl bl + 1=2):
(A.58)
l
Na Eq.(A.58) os Hamiltonianos Hel e Hcampo referem-se, respectivamente, ao movimento livre
dos elétrons e do campo livre e HI descreve a interação entre o campo eletromagnético e os
elétrons. O Hamiltoniano de interação HI pode ser escrito (no formalismo da segunda quantização) em duas partes:
Z
n e
o
ªy (r) ¡ A ¢ p ª(r)d3 r;
m
¾
½
Z
e2 2
y
A ª(r)d3 r:
=
ª (r) ¡
2m
HI;1 =
HI;2
(A.59)
(A.60)
O termo em A2 , Eq.(A.60), só será importante nos processos não-lineares (que envolvem campos
intensos) e, por este motivo, não serão considerados. A seguir, expande-se os operadores do
campo eletrônico ª(x) como uma superposição das funções de onda não perturbada Áj (x) (Áj (x);
sendo auto-funções do Hamiltoniano Hel com auto-valores Ej ):
ª(x) =
X
aj Áj (x):
(A.61)
j
Usando o fato de que o potencial vetor do campo de radiação A(x;t) pode ser escrito como
uma combinação de A(+) (x; t) e A(¡) (x; t) (A(¡) (x; t) = [A(+) (x; t)]y ), expandidos nos modos
k, temos
(+)
A
(x; t) =
X
qk (t)uk (x) = }
k
e, portanto,
(+)
A(x; t) = A
(¡)
(x; t) + A
X
k
(x; t) = }
X
k
r
79
r
1
bk uk (x)e¡iwk t
2}! k ²0
¡
¢
1
bk uk (x)e¡iwk t + h:c: ;
2}!k ²0
(A.62)
(A.63)
Dessa forma pode-se reescrever a equação (A.59) como
Z
h e
i
ªy (x) ¡ A ¢ p ª(x)d3 x
m
r
Z
h³
´ i
X
e}
1
y
= ¡
aj al
Á¤j (x) bk (t)uk (x) +byk (t)u¤k (x) ¢ p Ál (x)d3 x
m
2}! k ²0
jlk
½
¾
¶r
µ
Z
X y
1
e}
¤
3
bk (t) Áj (x) [uk (x) ¢ p] Ál (x)d x + h:c:
aj al ¡
= }
m
2}! k ²0
jlk
o
X y n
¤
aj al bk (t)gjlk + byk (t)gjlk
:
(A.64)
= }
HI;1 =
jlk
na qual de…ne-se o fator de acoplamento átomo-campo gjlk como sendo
gjlk
r
½
¾
Z
1
1
¤
3
= ¡
e Áj (x) [uk (x) ¢ p] Ál (x)d x :
m 2}! k ²0
(A.65)
Pode-se simpli…car esta expressão para o fator gjlk fazendo-se a aproximação de dipolo elétrico
(A.42). Assume-se que uk (x) (a qual é do tipo uk (x) =
p1
V
eik:x+i' , V = volume, para uma
onda plana) tenha uma variação espacial muito mais lenta que as funções de onda eletrônicas,
de forma que podemos considerar uk (x) aproximadamente constante e tirá-la da integral em
(A.65), trocando-a por uk (x0 ), sendo x0 a posição do átomo. Esta aproximação é justi…cada no
regime óptico uma vez que, nesse regime, o comprimento de onda do fóton é muito maior que
±
±
a dimensão do átomo, ou seja, ¸f o¶ton = 1=jkj À rat^omico (¸f o¶ton » 103 A e rat^omico » 1 A), de
modo que
eik:x+i' = eik:(x0 +±x)+i' = eik:(x0 )+i' (1 + ik:±x¡
(k:±x)2
¢ ¢ ¢ ) ¼ei(k:x0 +') :
2
(A.66)
R
A integral e Á¤j (x)pÁl (x)d3 x pode ser escrita como o elemento de matriz de dipolo
imvjl
Z
Á¤j (x)exÁl (x)d3 x;
80
(A.67)
sendo m a massa do elétron e vjl = }1 (Ej ¡ El ). De fato,
Z
Z
im
Á¤j (x)[Hel ; x]Ál (x)d3 x
}
Z
im
(Ej ¡ El ) Á¤j (x)[x]Ál (x)d3 x
=
}
Z
= imvjl Á¤j (x)[x]Ál (x)d3 x;
Á¤j (x)pÁl (x)d3 x =
(A.68)
o que nos permite escrever o fator gjlk como
gjlk
r
½
ik:x0
= ¡ivjl e
1
2}! k ²0
Z
¾
Á¤j (x)[ex]Ál (x)d3 x
:
(A.69)
O Hamiltoniano de interação (A.64) pode ser simpli…cado considerando-se alguns casos particulares. Primeiramente, a fase da função pode ser escolhida de modo que gjlk seja real. Com
isto, a eq.(A.64) …ca
HI;1 = }
X
jlk
n
o
ayj al gjlk bk + byk :
(A.70)
Passando para a representação de interação e usando as relações entre os operadores nas
representações de interação e Schrödinger
(aj )I = (aj )S :e¡iEj t=} ;
(bk )I = (bk )S :e¡i!k t=} ;
(A.71)
obtém-se
HI = }
X
jlk
h
ih
i
gjlk (bk )S :e¡i!k t=} + (byk )S :e+i!k t=} byk (aj )S :e¡iEj t=} (ayl )S :e¡iEl t=} :
(A.72)
Nessa equação observa-se que somente termos da forma ei(!k +vjl )t e e¡i(!k ¡vjl )t ocorrem. Quando
! k ¼ vjl vê-se que o primeiro desses termos oscila rapidamente com o tempo. Pode-se desprezar
esses termos com respeito aqueles próximos da ressonância. Essa aproximação é conhecida como
aproximação de onda girante.
Pode-se também considerar um átomo de dois níveis somente (j; l = 1; 2) e um campo de um
único modo de freqüência !. Desse modo, o Hamiltoniano na representação de interação será
81
então dado por
em que o fator g aqui é dado por
n
o
HI = }g bay2 a1 + by a1 ay2 ;
(A.73)
r
g = ¡i
1
v21 u(x0 )d12 ;
2}! k ²0
(A.74)
Á¤2 (x)[ex]Á1 (x)d3 x;
(A.75)
com
d12 =
Z
sendo o momento de dipolo para a transição 1 ! 2 e x0 a coordenada do centro do átomo.
Finalmente, pelo uso das relações (A.55) obtém-se o Hamiltoniano de interação de um átomo
de dois níveis com um campo de um único modo
n
o
HI = }g b¾+ + by ¾¡ ;
(A.76)
conhecido como Hamiltoniano de Jaynes-Cummings.
A.6
Hamiltoniano de Interação Dispersiva
O Hamiltoniano de um sistema constituído de um átomo de dois níveis e de um campo eletromagnético monocromático é dado por
H = ~! c by b +
³
´
~! 0 ¾z
+ ~g by ¾ ¡ + b¾+ ;
2
(A.77)
onde g é a constante de acoplamento átomo-campo, ! é freqüência do campo e ! 0 é a freqüência
de transição atômica dos níveis internos do átomo.
Pode-se reescrever o Hamiltoniano (A.77) como:
H = H0 + Hint ;
82
(A.78)
sendo
H0 = ~! c by b +
~! 0 ¾ z
;
2
(A.79)
³
´
Hint = ~g by ¾ ¡ + b¾+ :
(A.80)
U0 (t) = e¡iH0 t=~ ;
(A.81)
Utilizando-se o operador
pode-se passar para a representação de interação. Nesta representação, o Hamiltoniano de
interação HI escreve-se como
³
´
HI = ~g by ¾¡ e¡i±t + b¾+ ei±t ;
(A.82)
onde de…ne-se ± = ! 0 ¡ !: Na Eq. (A.82) realiza-se uma transformação unitária para que se
possa eliminar a dependência temporal. Para esta transformação utiliza-se o operador unitário
U (t) = ei±¾z t=2 :
Através desta transformação unitária, o Hamiltoniano efetivo será dado por:
Hef
@U (t) y
U
@t
~±¾z
= U y HI U +
2
³
´
~±¾z
=
+ ~g by ¾¡ + b¾+
2
!
Ã
by ¾ ¡ + ¾y¡ b b¾+ + ¾ + b
~±¾z
=
+ ~g
+
:
2
2
2
= U y HI U ¡ i~
(A.83)
Determina-se agora as equações de movimento para jei hgj e jgi hej ; lembrando que as transições
83
d
jgi hej = 0: Dessa forma
dt
entre jei ! jgi ou jgi ! jei não ocorrem e, portanto,
i~
d¾¡
dt
= [jgi hej ; Hef ]
~±
(jgi hej + jgi hej) + ~g (jgi hgj ¡ jei hej) a = 0
2
g
= jgi hej = ¾z b
±
g
= jei hgj = ¾z by :
±
=
¾¡
¾+
(A.84)
(A.85)
Substituindo as Eqs. (A.84) e (A.85) na Eq. (A.83) obtém-se
´
~±¾z ~g 2 ¾ z ³ y
+
bb + by b + by b + bby
2
2±
~±¾z ~g 2 ¾ z y
~g 2 ¾z
=
+
b b+
2
±
±
0
y
= ~± ¾ z + ~Âa a¾z ;
Hef
com ± 0 =
³
±
2
+
g2
±
´
=
(A.86)
2
; Â = 2 g± ; sendo
HI = ~Âby b¾ z
(A.87)
o Hamiltoniano que representa a interação dispersiva.
A.7
Zonas de Ramsey
Tratamos aqui o Hamiltoniano que descreve a interação de um campo clássico com um átomo
de dois níveis de energia (veja por exemplo [33] e [37]). Para isso, considera-se o potencial vetor
A+ (x; t) dado pela Eq. (A.62) como sendo puramente clássico:
(+)
A
(x; t) =
X
qk (t)uk (x) = }
k
X
r
1
Fk uk (x)e¡i(!k t¡') ;
2}!k ²0
(A.88)
³
´
1
Fk uk (x)e¡i(! k t¡') + h:c: ;
2}!k ²0
(A.89)
k
de modo que
(+)
A(x; t) = A
(¡)
(x; t) + A
(x; t) = }
X
k
r
84
em que substituimos os operadores de destruição e de criação de fótons b e byk pela intensidade
do campo clássico F e F ¤ de cada modo.
Refazendo os passos da seção anterior, obtém-se o Hamiltoniano que descreve a interação
átomo-campo na zona de Ramsey:
¡
¢
HzR = }g jF j ¾ + e¡i' + ¾¡ e+i' ;
(A.90)
sendo g o fator de acoplamento átomo-campo, Eq. (A.74). O operador de evolução será dado
por
µ
¶
£
¡
¢¤
¡iHzR t
UzR (Á) = exp
= exp ¡ig jF j t ¾+ e¡i' + ¾ ¡ e+i'
}
= cos(Á=2)I ¡ isen(Á=2)[e¡i' ¾ + + e+i' ¾¡ ];
(A.91)
sendo Á = 2g jF j t a intensidade da rotação desejada, I a matriz identidade e ¾+ e ¾¡ são
operadores de Pauli, análogos aos operadores de spin, ¾ + = jeihgj e ¾¡ = jgihej:
85
Apêndice B
Óptica Não-Linear
Quando a intensidade de luz que incide sobre um determinado material é alta, de tal forma que
o campo da radiação se torna comparável com os campos internos atômicos, as cargas do meio
comportam-se como osciladores não harmônicos e a polarização induzida tem comportamento
não-linear em função da amplitude do campo. Isto equivale a dizer que a susceptibilidade elétrica
é uma função do campo [36], ou seja:
P =Â (E) E:
(B.1)
Geralmente, descreve-se esta situação sob um forma aproximada, através da expansão da polarização em série de potências do campo elétrico:
Pi = "0 Âij Ej +2Âijk Ej Ek +:::;
(B.2)
onde "0 é a constante dielétrica do meio e Âij ;Âijk ; : : : são os tensores de susceptibilidade de
primeira ordem (linear) e de segunda ordem (não-linear) que são caracterizados pelas propriedades de simetria do meio. A expansão (B.2) é geralmente válida para meios transparentes
onde a resposta não-linear é pequena.
As aplicações mais importantes desse fenômeno são: (1) a geração de segundo harmônico, em
que parte da energia de um campo óptico de freqüência !, propagando-se através de um cristal
não-linear, é convertida em um campo de freqüência 2!; (2) conversão paramétrica ascendente
86
(up-conversion), em que um sinal de baixa intensidade e freqüência ! b é convertido em um sinal
de maior freqüência ! a pela atuação de um campo de laser intenso º = !a ¡ ! b ; (3) e conversão
paramétrica descendente (parametric down-conversion), em que um campo de bombeamento
intenso de freqüência º causa simultaneamente a geração em um cristal não-linear de campos
de radiação nas freqüências ! a e ! b , sendo º = ! a + ! b :
Na situação em que as freqüências envolvidas estão su…cientemente acima das ressonâncias
iônicas (região de Restrahlen), a polarização ocorre apenas pelos deslocamentos eletrônicos,
porém se as freqüências envolvidas no processo estiverem bem abaixo da região de absorção
eletrônica, a polarização pode ser escrita como o gradiente de uma função densidade de energia
U (E) [36]:
P = ¡rE U (E) ;
(B.3)
com
U (E) = ¡
"0 Âij
2Âijk
Ei Ej ¡
Ei Ej Ek + : : : :
2
3
(B.4)
Para um tratamento quântico do acoplamento de modos distintos, há que se considerar o
caso de três campos interagentes [36, 58], E1 (r; t), E2 (r; t) e E3 (r; t), com freqüências ! a , ! b
e º; respectivamente. A densidade de energia (B.4) será dada apenas pelo termo de segunda
ordem na expansão de U (E) ;
U (E) =
2Â
E1 E2 E3 ;
3
(B.5)
onde  é um coe…ciente não-linear constituído da combinação linear das susceptibilidades Âijk ;
dependendo da escolha da classe de simetria do cristal, orientações e polarizações de E1 (r; t),
E2 (r; t) e E3 (r; t) : Como todos os experimentos de oscilação e ampli…cação paramétrica utilizam
um campo de bombeamento intenso, tratar-se-á E3 classicamente, mas quantizaremos os campos
em ! a (signal ) e ! b (idler). Deste modo, os campos serão dados por [36]
E1 (r; t) =
µ
~! a
"1
¶1=2
h
i
E1 (r) ay (t) + a (t) ;
E2 (r; t) =
µ
~! b
"2
¶1=2
h
i
E2 (r) by (t) + b (t) ;
87
(B.6)
e
E3 (r; t) = B3 E3 (r) cos (ºt + Á) ;
(B.7)
sendo B3 a amplitude e Á uma fase de controle do campo do bombeio. O Hamiltoniano de
interação entre os campos é dado pela integração, no volume do cristal V; da densidade de
energia (B.5):
H
0
=
Z
V
Z
p
³
´³
´
ÂB3 ~ ! a ! b
d rU =
d3 rE1 (r) E2 (r) E3 (r) cos (ºt + Á) ay + a by + b
p
3 "1 "2
V
3
³
´³
´
= 2~¸ cos (ºt + Á) ay + a by + b
³
´³
´³
´
= ~¸ ei(ºt+Á) + e¡i(ºt+Á) ay + a by + b
h
³
´
³
´i
= ~¸ ei(ºt+Á) ay by + ab + ay b + aby + e¡i(ºt+Á) ay by + ab + ay b + aby ;
onde se de…ne
¸´
Z
p
ÂB3 ! a ! b
d3 rE1 (r) E2 (r) E3 (r) ;
p
6 "1 "2
V
(B.8)
(B.9)
que é proporcional à amplitude de bombeamento B3 : As funções E1 (r), E2 (r) e E3 (r) são
normalizadas tal que
Z
V
d3 rEi2 (r) = 1; i = 1; 2; 3:
88
(B.10)
Na representação de interação o Hamiltoniano (B.8) é dado por
VI
= ei(!a a
y a+!
)t H 0 e¡i(!a ay a+!b by b)t
y
bb b
h
³
´
= ~¸ ei(ºt+Á) ei(! a +!b )t ay by + e¡i(!a +!b )t ab + ei(!a ¡! b )t ay b + e¡i(!a ¡!b )t aby
³
´i
+ e¡i(ºt+Á) ei(!a +!b )t ay by + e¡i(! a +! b )t ab + ei(!a ¡!b )t ay b + e¡i(!a ¡!b )t aby
h ³
´
= ~¸ eiÁ ei(º+!a +!b )t ay by + ei(º¡!a ¡! b )t ab + ei(º+!a ¡!b )t ay b + ei(º¡!a +!b )t aby
³
´i
+ e¡iÁ e¡i(º¡! a ¡!b )t ay by + e¡i(º+!a +!b )t ab + e¡i(º+! a ¡!b )t ay b + e¡i(º+! a ¡!b )t aby :
(B.11)
Como exemplo, consideraremos a conversão paramétrica descendente (parametric downconversion), em que um fóton de freqüência º ao atravessar um cristal não-linear é absorvido
e em seguida dois fótons de freqüências ! a e ! b são gerados, tal que !a + ! b = º: Neste caso, segundo a Eq. (B.11) o primeiro e o sexto termo oscilam rapidamente com a freqüência
2º, não contribuindo efetivamente para o processo. O segundo e o quinto termos escrevem-se
¡ ¡iÁ y y
¢
e a b + eiÁ ab ; o terceiro e o oitavo termos oscilam rapidamente com freqüência 2! a e o
quarto e o sétimo com 2!b e esses termos também não contribuindo efetivamente para o proces-
so. Assim, para ! a + ! b = º e considerando o caso degenerado em que ! a = ! b o Hamiltoniano
efetivo na representação de interação é dado por
³
´
VI0 = ~¸ e¡iÁ ay2 + eiÁ a2 :
(B.12)
onde ¸ e Á estão relacionados, repectivamente, à amplitude e a fase do campo de bombeio.
89
Apêndice C
Decomposição da Equação de
Schrödinger
O vetor de estadojª (t)i ; cuja evolução é governada pela equação de Schrödinger dependente do
tempo (} = 1)
i
d
jª (t)i = H jª (t)i ;
dt
(C.1)
pode ser expandido em função das bases dos estados coerentes do campo e dos estados de um
átomo de dois níveis. Desta forma, o vetor de estado associado com o Hamiltoniano (4.1) pode
ser descrito da forma
jª (t)i = ei! 0 t=2 j1i j©1 (t)i + e¡i!0 t=2 j2i j©2 (t)i ;
onde j©` (t)i =
R
d2 ®
¼ A` (®; t) j®i ;
(C.2)
em que ` = 1; 2; ® e A` (®; t) são coe…cientes da expansão
de j©` (t)i na base dos estados coerentes fj®ig : Substituindo a Eq. (C.2) no lado esquerdo da
90
Eq. (C.1), obtém-se
i
d jª(t)i
dt
= i
´
!±
d ³ i !± t
e 2 j©1 (t)i j1i + e¡i 2 t j©2 (t)i j2i
dt
!±
! ± !±
= ¡ ei 2 t j©1 (t)i j1i + iei 2 t
2
µ
¶
d
j©1 (t)i j1i
dt
!±
!±
!±
+ e¡i 2 t j©2 (t)i j2i + ie¡i 2 t
2
µ
¶
d
j©2 (t)i j2i .
dt
(C.3)
A mesma substituição é realizada no lado direito da Eq. (C.1), de modo que
Hei
H jª(t)i
!±
t
2
¡ !2± ei
j©1 (t)i j1i + He¡i
!±
t
2
j©1 (t)i j1i +
!±
t
2
j©2 (t)i j2i
! ± ¡i !2± t
j©2 (t)i j2i
2 e
(C.4)
´
³
!±
!±
+Âa+ a ¡ei 2 t j©1 (t)i j1i + e¡i 2 t j©2 (t)i j2i ;
onde H= !ay a+Hamplif: . Então, pela substituição das Eqs. (C.3) e (C.4) na Eq. (C.1), obtém-se
iei
!±
t
2
Hei
¡d
!±
t
2
dt
¢
¢
!± ¡
d
j©1 (t)i j1i + ie¡i 2 t dt
j©2 (t)i j2i =
j©1 (t)i j1i + He¡i
!±
t
2
j©2 (t)i j2i
(C.5)
³
´
!±
!±
+Âa+ a ¡ei 2 t j©1 (t)i j1i + e¡i 2 t j©2 (t)i j2i :
Projetando a Eq. (C.5) em j1i e j2i, obtém-se
i
µ
d
j©` (t)i
dt
¶
= H` j©` (t)i ;
(C.6)
de forma que decompomos a equação de Schrödinger (C.1) em duas outras,
i
h
i
d
2
2
j©` (t)i = ! ` (t) ay a + ³ (t) ay + ³ ¤ (t) a + » (t) ay + » ¤ (t) a j©` (t)i ;
dt
91
(C.7)
nas quais a evolução será determinada pelos novos Hamiltonianos:
2
2
H` = !` (t) ay a + ³ (t) ay + ³ ¤ (t) a + » (t) ay + » ¤ (t) a
com ! ` (t) = ! § Â:
92
(C.8)
Apêndice D
Transformações
D.1
Transformação Unitária do Invariante
Segundo a transformação unitária representada pelo operador S ("` ), a forma I`S (t) = S y ("` ) I` (t) S ("` )
compreende ainda um invariante, entretanto associado ao hamiltoniano transformado:
dI`S
dt
=
=
=
=
=
£
¤
@I`S
+ i H`S (t) ; I`S (t)
@t
¡
¢
·
¸
@ S y I` S
dS y
y
y
+ i SH` S + i
S; S I` S
@t
dt
¸
h
i · dS y
dS y
y @I`
y dS
y
y
y
I` S + S
S + S I`
+ i S H` S; S I` S ¡
S; S I` S
dt
@t
dt
dt
dS y
@I`
dS
dS y
dS y
I` S + S y
S + S y I`
+ iS y [H` ; I` ] S ¡
I` S + S y I` S
S
dtµ
@t ¶
dt
dt ¶
dt
µ
@I`
dS
dS
Sy
+ i [H` ; I` ] S + S y I`
+ S y I` S ¡S y
=0
@t
dt
dt
93
(D.1)
D.2
Transformação Unitária da Fase
Invariância da fase sob transformação unitária:
ÁS`;m (t)
=
=
=
=
¶
µ
¯
¯
®
@
S ¯
0¯
dt S m; t i 0 ¡ H` m; t0 S
@t
ti
µ
¶
Z t
¯
¯
®
@
dS y
0¯
y
0
dt m; t S i 0 ¡ S H` S ¡ i
S S y ¯m; t0
@t
dt
ti
µ
¶
Z t
y
¯
®
dS y ¯¯
dS
0
0¯
y @
dt m; t iS 0 ¡ iSS 0 ¡ H` ¡ iS
m; t0
dt
@t
dt
ti
¶
µ
Z t
¯
¯
®
@
dt0 m; t0 ¯ i 0 ¡ H` ¯m; t0 = Á`;m (t) :
@t
ti
Z
t
0
94
(D.2)
Apêndice E
O Hamiltoniano Transformado
Ao Hamiltoniano 4.7, efetua-se uma transformação unitária, de…nida pelo operador de compressão S ("` )
HS` = S y ("` ) H` S ("` ) + i
dS y ("` )
S ("` ) :
dt
(E.1)
Para esta trasformação unitária, utiliza-se as seguintes transformações sobre os operadores a e
ay :
S y ("` ) aS ("` ) = a cosh (r` ) ¡ ay ei' sinh (r` ) ;
S y ("` ) ay S ("` ) = ay cosh (r` ) ¡ ae¡i' sinh (r` ) ;
³
´
1
S y ("` ) a2 S ("` ) = a2 + ei' sinh (2r` ) ay a + aay
2
³
´
1 i'
+ e (cosh (2r` ) ¡ 1) ei' ay2 + e¡i' a2 ;
2
³
´
1
S y ("` ) ay2 S ("` ) = ay2 + e¡i' sinh (2r` ) ay a + aay
2
³
´
1 i'
+ e (cosh (2r) ¡ 1) ei' ay2 + e¡i' a2 ;
2
³
´
³ ´
1
S y ("` ) ay aS ("` ) =
sinh (2r) ei' ay2 + e¡i' a2 + cosh (2r) ay a
2
1
+ (cosh (2r) ¡ 1) :
2
95
(E.2)
(E.3)
(E.4)
(E.5)
(E.6)
Da Eq. E.1, inicia-se pela resolução do segundo termo à direita
i
·
¸
y
y
dS y ("` )
¢ dS ("` )
¢ dS ("` )
S ("` ) = i r
+'
S ("` )
dt
dr
d'
³
´
³
´
y2
2
y2
2
y
y
y
y
¢
= ¡irei'a a ay2 ¡ a2 e¡r(a ¡a ) e¡i'a a ei'a a ay2 ¡ a2 er(a ¡a ) e¡i'a a +
³
´
¢
¡' S y ("` ) ay aS ("` ) ¡ ay a
¢
³
´ '¢
'
y
i' y2
i' 2
= ¡ir e a ¡ e a + (cosh (2r) ¡ 1) a a + (cosh (2r) ¡ 1) +
2
4
¢
³
´
'
+ sinh (2r) ei' ay2 + e¡i' a2 :
2
¢
(E.7)
Agora resolve-se o primeiro termo à direita
h
i
2
2
S y ("` ) HS ("` ) = S y ("` ) ! ` (t) ay a + ³ (t) ay + ³ ¤ (t) a + » (t) ay + »¤ (t) a S ("` )
³
´
³ ´
1
=
! ` (t) sinh (2r) ei' ay2 + e¡i' a2 + ! ` (t) cosh (2r) ay a
2
³
´
1
1
+ ! ` (t) (cosh (2r) ¡ 1) + ·ei´ ay2 + ·ei(´¡') sinh (2r) ay a + aay +
2
2
³
´
1 i(´¡')
+ ·e
(cosh (2r) ¡ 1) ei' ay2 + e¡i' a2 + ·e¡i´ a2 +
2
³
´
1
+ ·e¡i(´¡') sinh (2r) ay a + aay +
2
³
´
1 ¡i(´¡')
(cosh (2r) ¡ 1) ei' ay2 + e¡i' a2 + ·e¡i´ a2 +
+ ·e
2
+» cosh (r) ay ¡ »senh (r) e¡i' a + » ¤ cosh (r) a ¡ » ¤ senh (r) ei' ay : (E.8)
(E.9)
Da equação acima, isola-se o termo
³
´ 1
³
´
1 i(´¡')
·e
sinh (2r) ay a + aay + ·e¡i(´¡') sinh (2r) ay a + aay
2
³
´ 2
y
= · cos (´ ¡ ') sinh (2r) 2a a + 1
96
(E.10)
e o termo
1
1
·ei(´¡') ei' ay2 ¡ ·ei(´¡') ei' ay2 ¡ ·ei(´¡') e¡i' a2 +
2
2
1
1
+·e¡i(´¡') e¡i' a2 ¡ ·e¡i(´¡') ei' ay2 ¡ ·e¡i(´¡') e¡i' a2
2
2
i' y2
¡i' 2
= i· sin (´ ¡ ') e a ¡ i· sin (´ ¡ ') e a :
(E.11)
Finalmente obtém-se
S y ("` ) HS ("` ) = [! ` (t) cosh (2r) + 2· sinh (2r) cos (´ ¡ ')] ay a +
¸
·
i' 1
! ` (t) sinh (2r) + · cosh (2r) cos (´ ¡ ') + i· sin (´ ¡ ') ay2 +
+f e
2
£
¤
+ » cosh (r) + » ¤ senh (r) ei' ay + h:c: g +
·
¸
1
+ ! ` (t) (cosh (2r) ¡ 1) + · sinh (2r) cos (´ ¡ ') :
(E.12)
2
Portanto tem-se
HS` = S y ("` ) HS ("` ) + i
=
dS y ("` )
S ("` )
dt
"
#
¢
'
! ` (t) cosh (2r) + 2· sinh (2r) cos (´ ¡ ') + (cosh (2r) ¡ 1) ay a +
2
1
+fei' [ ! ` (t) sinh (2r) + · cosh (2r) cos (´ ¡ ') + i· sin (´ ¡ ') +
2
¢
£
¤
'
¢
¡ir + sinh (2r) ]ay2 + » cosh (r) + » ¤ senh (r) ei' ay + h:cg +
" 2
#
¢
1
'
+ ! ` (t) (cosh (2r) ¡ 1) + · sinh (2r) cos (´ ¡ ') + (cosh (2r) ¡ 1) : (E.13)
2
4
Pode-se reescrever o Hamiltoniano acima na forma
HS` = -` (t) ay a + ¤` (t) ay + ¤¤` (t) a + F` (t) ;
97
(E.14)
com os coe…cientes DT
-` (t) = ! ` (t) cosh (2r) + 2· sinh (2r) cos (´ ¡ ') +
¢
'
(cosh (2r) ¡ 1) ;
2
(E.15)
¤` = » cosh (r) + » ¤ senh (r) ei' ;
(E.16)
¢
1
'
! ` (t) (cosh (2r) ¡ 1) + · sinh (2r) cos (´ ¡ ') + (cosh (2r) ¡ 1)
2
4
1
=
(-` (t) ¡ ! ` (t)) :
2
F` (t) =
(E.17)
(E.18)
Requer-se que os termos a2 e ay2 anulem-se, de onde obtém-se
i'
e
"
e¡i'
"
#
¢
¢
r '
1
! ` (t) sinh (2r) + · cosh (2r) cos (´ ¡ ') + i· sin (´ ¡ ') ¡ i + sinh (2r) = 0
2
2 4
¢
¢
#
1
r '
! ` (t) sinh (2r) + · cosh (2r) cos (´ ¡ ') ¡ i· sin (´ ¡ ') + i + sinh (2r)
2
2 4
(E.19)
= 0:
(E.20)
Somando-se as Eqs. E.19 e E.20, obtém-se
¢
1
'
sinh (2r) + ! ` (t) sinh (2r) + · cosh (2r) cos (´ ¡ ') = 0
4
2
(E.21)
e subtraindo-as
¢
r ¡ 2· sin (´ ¡ ') = 0:
(E.22)
Substituindo-se a Eq. E.21 na Eq. E.15, obtém-se
-` (t) = ! ` (t) + · cos (´ ¡ ') tanh (r)
(E.23)
F` (t) = · cos (´ ¡ ') tanh (r) :
(E.24)
tal que
98
Portanto, pode-se reescrever os coe…cientes do Hamiltoniano transformado, Eq. E.14, nas formas
-` (t) = ! ` (t) + 2· (t) tanh r` (t) cos (´ (t) ¡ '` (t)) ;
(E.25)
¤` (t) = » (t) cosh r` (t) + » ¤ (t) ei'` (t) sinh r` (t) ;
(E.26)
F` = · (t) tanh r` (t) cos (´ (t) ¡ '` (t)) ;
(E.27)
sendo r` (t) e '` (t) soluções das equações diferenciais acopladas
r` (t) = 2· (t) sin (´ (t) ¡ '` (t)) ;
¢
(E.28)
'` (t) = ¡2!` (t) ¡ 4· (t) coth (2r` (t)) cos (´ (t) ¡ '` (t)) :
¢
(E.29)
99
Apêndice F
Soluções das Equações Diferenciais
F.1
Caso ressonante:
Integrando-se a equação diferencial (4.51), dada por
dr
1
= tanh (2r) tan (g ¡ u) ;
dg
2
obtemos
Z
e, portanto,
1
2
Z
dr
1
=
tanh [2r (t)]
2
Z
d (sinh [r (t)])
1
=¡
sinh [2r (t)]
2
(F.1)
tan [g (t) ¡ u] dg;
(F.2)
Z
(F.3)
d (cos [g (t) ¡ u])
:
cos [g (t) ¡ u]
Como g (t) ¡ u = ' (t) ¡ ´ (t) ; obtém-se
cos [' (t) ¡ ´ (t)] sinh [2r (t)] = C1;3
(F.4)
A substituição da Eq. (F.4) na equação
dr (t)
= ¡2· (t) sin ('` (t) ¡ ´ (t)) ;
dt
100
(F.5)
resulta na integral
Z
cuja solução é dada por
sinh [2r (t)]
q
dr = h (t) ;
2
sinh2 [2r (t)] ¡ C1;3
(F.6)
0
1
1
cosh
[2r
(t
)]
cosh
[2r
(t)]
i A
A ¡ arccosh @ q
= h (t) ;
arccosh @ q
2
2
C1;3 + 1
C1;3 + 1
0
R
com h (t) = 4 · (t) dt: Logo, obtemos
0
3
2
1
q
cosh
[2r
(t
)]
i A
2 + 1 cosh 4arccosh @ q
cosh [2r (t)] =
+ h (t)5 ;
C1;3
2
C1;3 + 1
cos (' (t) ¡ ´ (t)) = ¡ r³
C1;3
;
´
2
2
C1;3 + 1 cosh (h (t) ¡ 1)
(F.7)
(F.8)
com C3 = C2;` + cosh (2r` t2 ) e ` = 1; 2.
F.2
Caso fora da ressonância:
Com a obtenção da constante de movimento para o caso fora da ressonância
cosh (2r` (t)) + P` cos ('` (t) ¡ ´ (t)) sinh (2r` (t)) = C2 ;
(F.9)
isola-se o termo
cos ('` (t) ¡ ´ (t)) =
C2 ¡ cosh (2r` (t))
;
P` sinh (2r` (t))
(F.10)
onde C2 = cosh (4·t1 ), ´ (t) = 2!t e P` = (¡1)` 2·=Â:Substituindo esta expressão na Eq. (4.25),
obtém-se a integral
Z
P` sinh [2r` (t)] dr`
q
=
¡
¢
cosh2 [2r` (t)] P2` ¡ 1 + 2C2 cosh [2r` (t)] ¡ P2` ¡ C22
101
Z
2· (t) dt;
(F.11)
e considerando a nova variável R = cosh [2r` (t)], segue-se …nalmente que
jP` j
Z
dR
p = h (t) ;
R
(F.12)
R
onde R = cR2 + bR + a, com a = ¡P` ¡ C22 , b = 2C2 , c = P2` ¡ 1 e h (t) = 4 · (t) dt:
São duas as soluções possíveis da Eq. (F.12) segundo o vínculo estabelecido no ítem c,
quando jP` j < 1 ou jP` j > 1; porém acrescenta-se uma terceira solução como caso limite das
anteriores, quando jP` j = 1: Pela de…nição de ¢ = b2 ¡ 4ac, passa-se às soluções:
i) Para jP` j < 1, a solução da Eq. (F.12), apresenta-se na forma
¶
µ
jP` j
2cR + b
p
¡ p arcsin
= h (t) ;
¡c
¢
(F.13)
cujo desenvolvimento leva às relações
q
8
¢
¡
<
C22 ¡ 1 ¡ P2`
C2
1 ¡ jP` j
cosh [2r` (t)] =
(F.14)
C2
1 ¡ P2` :
q
1
39
2
0
2
=
·
1
¡
P
`
C2 jP` j
A
5
4
@
(t ¡ t1 )
;
£ sin arcsin q
¢ ¡
¡
;
jP` j
C22 ¡ 1 ¡ P2`
cos ('` (t) ¡ ´ (t)) = §
C2 ¡ cosh (2r` (t))
:
P` jsinh (2r` (t))j
(F.15)
ii) Quando jP` j > 1, tem-se para a solução da Eq. (F.12), a relação
µ
¶
jP` j
2cR + b
p arcsinh p
= h (t) ;
c
¡¢
102
(F.16)
da qual se obtém
cosh [2r` (t)] =
q
8
¡
¢
<
¡C22 + 1 ¡ P2`
C2
1 ¡ jP` j
(F.17)
C2
1 ¡ P2` :
q
0
2
1
39
2
=
·
1
¡
P
C2 jP` j
`
@
4
A
5
q
;
£ sinh ¡ arcsinh
(t ¡ t1 )
¡
¢ ¡
;
jP` j
¡C22 + 1 ¡ P2`
cos ('` (t) ¡ ´ (t)) = §
C2 ¡ cosh (2r` (t))
:
P` jsinh (2r` (t))j
(F.18)
iii) Para o caso em que jP` j = 1, tem-se para a solução da Eq. (F.11) a relação
Z
da qual se obtém
sinh [2r` (t)]
p
= h (t) ;
2C2 cosh [2r` (t)] ¡ 1 ¡ C22
1
cosh [2r` (t)] =
2C2
cos ('` (t) ¡ ´ (t)) = §
)
(·
¸2
q
2
2
h (t) C2 + 2C2 cosh ¡C2 ¡ 1 + C2 + 1 ;
C2 ¡ cosh (2r` (t))
:
jsinh (2r` (t))j
103
(F.19)
(F.20)
(F.21)
Apêndice G
A Função de Wigner
Neste apêndice será apresentado o cálculo da função de Wigner, para isso de…ne-se os seguintes
termos:
ai = µi (tf ) sech [ri (tf )] ;
(G.1)
1
bi = ¡ ei'i (tf ) tanh [ri (tf )] ;
2
(G.2)
® = X1 + iX2
(G.3)
¡i = exp (i¨i ) ( veja a Eq. (4.36) ),
(G.4)
¤i
µ
¶
1
1
2
2
= sech [ri (tf )] exp ¡ jµ1 j ¡ jµ2 j
2
2
µ
¶
1 i'1 (tf )
1 ¡i'2 (tf )
¤2
2
£ exp ¡ e
tanh [ri (tf )] µ1 (tf ) + e
tanh [ri (tf )] µ2 (tf ) ;
2
2
104
(G.5)
¢i =
¤
q
2
1 ¡ e¡i'1 (tf ) tanh[r(tf )] ei'2 (tf )
Ã
!
2 i'2 (tf )
¡ 12 µ¤2
(t
)
sech
[r
(t
)]
e
tanh
[r
(t
)]
i
i
f
f
f
1
£ exp
2
1 ¡ e¡i'1 (tf ) tanh[ri (tf )] ei'2 (tf )
£ exp
Ã
(G.6)
¡ 12 µ22 (tf ) sech [ri (tf )]2 e¡i'1 (tf ) tanh [ri (tf )] + µ¤1 (tf ) sech [ri (tf )] µ22 (tf )
2
1 ¡ e¡i'1 (tf ) tanh[ri (tf )] ei'2 (tf )
!
:
Agora passa-se ao cálculo da Normalização, que é dada por:
N=
s
1 + e¡i± c
1
:
1 c2 ¡i ¡j ¢ + cos (±) c1 c2 ¡i ¡j ¢ + i sin (±) c1 c2 ¡i ¡j ¢
(G.7)
Para o cálculo da função Característica, de…ne-se o termo
0
³
´2
³
´1
2 ¤
¤ ¡ ´¤
¤ ¡ ´¤
(a
¡
´)
b
+
a
b
+
(a
¡
´)
a
i
i
j
j
j
Bi;j
B i
C
Ai;j (´; ´¤ ) = q
exp @
A;
¤
1 ¡ 4bi bj
1 ¡ 4bi b¤j
(G.8)
onde
Bi;j = N 2 ei± ci c¤j ¡i ¡¤j sech [r (tf )]
(G.9)
µ
´¶
³
1
1
1
2
2
i'j (tf ) ¤2
¡i'i (tf ) 2
µj
µi + e
£ exp ¡ jµi j ¡ jµj j + tanh [r (tf )] e
2
2
2
Assim calcula-se a função Característica:
2
 (´; ´ ¤ ) = ej´j
2
X
i;j
105
Ai;j (´; ´ ¤ )
(G.10)
Para o cálculo da função de Wigner via função Característica, introduz-se os termos
Bi;j
Ci;j = q
exp
1 ¡ 4bi b¤j
Ã
¤ 2
¤
bi a¤2
j + bj ai + ai aj
1 ¡ 4bi b¤j
!
(G.11)
;
1
1
Di;j = ¡ +
;
2 1 ¡ 4bi b¤j
(G.12)
Ei;j = ¡
Ã
2ai b¤j + a¤j ¡ ®¤ + 4®¤ bi b¤j
¡4bi b¤j
Fi;j = ¡
Ã
!
2bi a¤j + ai
+® ;
¡4bi b¤j
!
(G.13)
;
(G.14)
Gi;j =
Ã
b¤j
¡4bi b¤j
!
;
(G.15)
Hi;j =
Ã
bi
¡4bi b¤j
!
:
(G.16)
Resultando na equação
W =
2
X
i;j
Ci;j
¼
q
exp
2 ¡ 4G H
Di;j
i;j i;j
Ã
2 H + F2 G + D E F
Ei;j
i;j
i;j i;j i;j
i;j i;j
2 ¡ 4G H
Di;j
i;j i;j
106
!
:
(G.17)
Apêndice H
Estimativa do Tempo de Decoerência
Consideramos o Hamiltoniano
H = HS + HR + HSR ;
(H.1)
em que HS representa o sistema, HR o reservatório e HSR o termo de interação entre o sistema
e o reservatório.O operador densidade ½ (t) evolui, na representação de Schrödinger, segundo
½SR (t) = e¡iHt=~ ½SR (0) eiHt=~ ;
(H.2)
onde ½SR (0) é o operador densidade inicial. O operador densidade reduzido do sistema, é dado
por
½S (t) = T rR f½SR (t)g ;
(H.3)
sendo T rR o traço sobre os graus de liberdade do reservatório.
Para estimar a decoerência do estado inicial do sistema, introduzimos a quantidade
©
ª
± (t) = 1 ¡ T rS ½2S (t) :
(H.4)
Dado que estamos interessados na estimativa da taxa de decoerência, podemos expandir a Eq.
(H.4) em série de Taylor, de forma a obtermos
·
¸
d½2S (0) t2 d2 ½2S (0)
2
± (t) = 1 ¡ T rS ½S (0) + t
+
+ ¢¢¢ :
dt
2! dt2
107
(H.5)
De…nindo os termos
± 0 = 1 ¡ T rS ½2S (0) ;
d½2 (0)
1
= T rS S
;
¿1
dt
1 d2 ½2S (0)
1
=
T
r
;
S
2! dt2
¿ 22
(H.6a)
(H.6b)
(H.6c)
podemos reescrever a Eq. (H.5), como
± (t) = ± 0 ¡
t
t2
¡ 2 ¡ ¢¢¢
¿1 ¿2
(H.7)
Desenvolvendo o termo 1=¿ 1 , segue-se que
1
¿1
d½2S (0)
dt
¸
·
d½S (0)
d½S (0)
½S (0) + ½S (0)
= T rS
dt
dt
³
X
¢
=
S hà k j ½S (0) jà l iS S hà l j ½S (0) jà k iS +S hà l j ½S (0) jà k iS
= T rS
k;l
= 2
X
k
S
¢
¢
S hà k j ½S (0) jà l iS
´
hà k j ½S (0) ½S (0) jÃk iS
·
µ
¶¸
d½SR (0)
= 2T rS ½S (0) T rR
dt
2i
=
T rS f½S (0) T rR [½SR (0) ; H]g
~
2i
hT rR [½SR (0) ; H]iS :
=
~
(H.8)
Assumindo o regime de acoplamento súbito, pela qual os operadores densidade do sistema e do
reservatório encontram-se inicilmente desacoplados, isto é, ½SR (0) = (½S (0) - ½R (0)), obtemos
1
¿1
2i
hT rR [½SR (0) ; H]iS
~
2i
=
T rS f½S (0) T rR [½S (0) - ½R (0) ; H]g
~
¡
¢
2i
=
T rSR ½R (0) ½2S (0) H ¡ ½2S (0) H½R (0)
~
= 0:
=
108
(H.9)
Desenvolvendo, agora, o termo 1=¿ 22 , decorre que
1
¿ 22
=
=
=
d2 ½2
1
T rS 2S (0)
2!
dt
µ
¶
1
d d½S (0)
d½S (0)
T rS
½S (0) + ½S (0)
2!
dt
dt
dt
³
´
2
1
¢¢
¢
T rS 2½S (0) ½S (0) + 2½S (0)
2! ½
¾
¢
¢¢
= T rS ½2S (0) + ½S (0) ½S (0)
½
³ ¢
´2
³ ¢¢
´¾
= T rS T rR ½SR (0) + ½S (0) T rR ½SR (0)
=
=
n
oo
1 n
2
¡T
r
T
r
([½
(0)
;
H])
¡
½
(0)
T
r
([[½
(0)
;
H]
H])
S
R
R
SR
S
SR
~2
1
fT rS fjÃS i hÃS j ([[½S (0) ; hHiR ] hHiR ] ¡ T rR ([½S (0) ½R (0) ; H]))gg : (H.10)
~2
Considerando que o operador densidade do reservatório seja puro, isto é, que ½R = jÃR i
hà R j, o que ocorre para um reservatório térmico a temperatura igual a zero, a expressão (H.10)
simpli…ca-se na forma (com ~ = 1):
1
2¿ 22
= ¡ (hÃS à R j H jà R à S i)2 + hà S j (hà R j H jà R i)2 jà S i +
+ hà R j (hÃS j H jÃS i)2 jÃR i ¡ hÃR ÃS j H 2 jà R à S i :
(H.11)
As equações (H.9) e (H.11) mostram que se o sistema e o resevatório não se encontram
inicialmente correlacionados, o processo de decoerência apresenta uma dependência quadrática
no tempo, no limite de tempos curtos.
Tratando, segundo o formalismo acima, o Hamiltoniano
H = ~!ay a + ~
X
! k byk bk + ~
k
´
X³
¸k abyk + ¸¤k ay bk ;
k
109
(H.12)
que descreve os mecanismos de perda numa cavidade, em que
HS = ~!ay a;
X
! k byk bk ;
HR = ~
k
HSR = V = ~
X³
k
´
¸k abyk + ¸¤k ay bk ;
(H.13)
(H.14)
(H.15)
obtemos
hà S j (hÃR j H jà R i)2 jà S i = hÃS j HS2 jà S i ;
hà R ÃS j H 2 jà R à S i = hÃS j HS2 jà S i + hà R ÃS j V 2 jà R ÃS i ;
hà R j (hà S j H jà S i)2 jà R i = hHS i2S + hÃR j hVS i2 jÃR i :
(H.16)
(H.17)
(H.18)
Com os resultados acima, é fácil veri…car que
1
= hÃR j hVS i2 jÃR i ¡ hÃR Ã S j V 2 jÃR ÃS i :
2¿ 22
(H.19)
Se considerarmos que o sistema está acoplado a um reservatório no estado de vácuo comprimido
e utilizando a Eq. (H.15), os termos à direita da igualdade em (H.19), são dados por:
hÃR ÃS j V 2 jÃR ÃS i = ~2
2
2
hÃR j hVS i jÃR i = ~
X
¸2k
k
X
k
¸2k
n- ®
D E
D E
o
a2 M ¤ + ay2 M + N ay a (2N + 1) ;
½
¾
D E2
D E
2
¤
y
y
hai M + a
M + hai a (2N + 1)
(H.20)
(H.21)
e, portanto,
1
2¿ 22
=
X
k
¸2k
·
D E2
D E
hai2 M ¤ + ay M + hai ay (2N + 1) +
D E
D E
i
- ®
¡ a2 M ¤ ¡ ay2 M ¡ ay a (2N + 1) ¡ N ;
(H.22)
³»´
³ »´
³»´
com N = sinh2 r , e M = ¡ exp i' sinh r Á2: Finalmente obtemos a equação para o
110
tempo de decoerência
¿ 22
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
¯
i ¯¯
= ¯ h
¯ 2¡ hai2 M ¤ + hay i2 M + hai hay i (2N + 1) ¡ ha2 i M ¤ ¡ hay2 i M ¡ hay ai (2N + 1) ¡ N ¯
=
onde
1
¯
¯;
h ³
D
E´i
¯
¯
y
y
2¡ ¯(2N + 1) (ha i hai ¡ ha ai) + 2 Re M hay i2 ¡ (ay )2
¡ N¯
¡=
X
k
representa o fator de relaxação.
111
j¸k j2
(H.23)
(H.24)
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