Capítulo 3
Derivada
3.1
Retas tangentes e normais
Vamos considerar o problema que consiste em traçar a reta tangente e a reta
normal a uma curva y = f (x) num determinado ponto (a, f (a)) da curva. Por
isso vamos determinar a equação da reta tangente considerando em primeiro
lugar a sua inclinação dada pelo número derivado de f em a.
3.1.1
Número derivado
Lembramos que se y = mx + n é a equação cartesiana de uma reta, o número
real m representa a inclinação da reta. Ele é dado pela razão incremental ou
taxa de variação
m=
y1 − y 2
x1 − x2
onde (xi , yi ) são pontos quaisquer da reta.
A técnica para determinar a inclinação da reta tangente a uma curva num ponto
dado é considerar uma seqüência de retas secantes que se aproximam cada vez
mais da reta tangente.
Seja y = f (x) uma curva denida num intervalo I (ver gura). Fixamos
p(x0 , f (x0 )) um ponto da curva e escolhemos q um ponto próximo de p. Podemos
escrever q(x0 + h, f (x0 + h)) considerando |h| a distância entre as abscissas de p
e q (x0 e x0 + h pertencem a I e h pode ser positivo como negativo dependendo
da posição de q ). A reta Sp,q que contem os pontos p e q é uma reta secante
a curva, ela corte transversalmente a curva. A inclinação de Sp,q é a razão
incremental
f (x0 + h) − f (x0 )
y q − yp
=
.
xq − xp
h
17
3.2.
19
FUNÇÃO DERIVADA
3.1.2
Equação da reta tangente
Além da inclinação podemos calcular a equação de Tp dependendo se f ′ (x0 ) é
nito ou não.
Proposição. Seja
f uma função e x0 ∈ Df , a equação de Tp a tangente de
y = f (x) ao ponto p(x0 , f (x0 )) é:
(i) Tp : y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − a) se f ′ (x0 ) é nito;
(ii) Tp : x = x0 se lim
h→0
Exercício 3.2.
f (x0 + h) − f (x0 )
= ±∞.
h
1. Trace a reta tangente a f (x) = x2 no ponto de abscissa
x0 = 1.
2. Calcúle o número derivado de f (x) = 1 +
3.1.3
√
3
x − 2 em x0 = 2.
Reta normal
A reta normal a uma curva num ponto p a reta perpendicular à reta tangente
que passa por p. Lembramos que se y = mx + n é a equação cartesiana de uma
reta, m 6= 0, então uma reta perpendicular tem por equação y = − m1 x + c. Se
m = 0, uma reta perpendicular teria por equação x = c.
Exercício 3.3. Verique que a reta perpendicular a
1
(x − x0 ).
p0 (x0 , y0 ) tem por equação y − y0 = − m
Proposição. Seja
y = mx + n no ponto
f uma função derivável em x0 , tal que f ′ (x0 ) 6= 0. A reta
normal de f em x0 tem por equação
y − f (a) = −
Exemplo.
y=
− 41 x
3.2
+
1
(x − x0 ).
f ′ (x0 )
f (x) = x2 , a reta normal a f no ponto p(2, 4) tem por equação
9
4
Função Derivada
Quando uma função f é derivável em cada ponto dum intervalo I ∈ Df , podemos
denir a função f ′ dos números derivados:
f′ :
I
→
R
x
7→
f ′ (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Dizemos que a função f é derivável em I e que f ′ é a derivada de f em relação
a x.
20
CAPÍTULO 3.
DERIVADA
Observação. Existe outras notações para a derivada de f em relação a x:
df
Dx f ,
...
dx
dx f ,
Além da notação funcional (acima) nós usaremos também a notação diferencial:
df
(x0 ) = f ′ (x0 )
dx
Exemplos. Sejam P (x) = 5x2 + 6x − 1 e f (x) =
denição encontre P ′ (x) e f ′ (x).
3.3
x−2
, usando diretamente a
x+3
Regras de derivação
3.3.1
Tabela de derivadas das funções usuais
Função f
Função derivada f ′
Intervalo de denição
f (x) = k (constante)
f ′ (x) = 0
R
f (x) = ax + b
f ′ (x) = a
R
1
x
√
f (x) = x
1
x2
1
f ′ (x) = √
2 x
f (x) = xn (n ∈ Q)
f ′ (x) = nxn−1
n ∈ Z: R se n ≥ 0 ; R∗ se n < 0
f (x) = ex
f ′ (x) = ex
R
f (x) =
f (x) = log x
f ′ (x) = −
f ′ (x) =
R∗
R∗+
1
x
R∗+
f (x) = cos x
f ′ (x) = − sen x
R
f (x) = sen x
f ′ (x) = cos x
R
f (x) = tan x
f ′ (x) = 1 + tan2 x =
1
cos2 x
R \ { kπ
2 ; k ∈ Z}
3.3.
21
REGRAS DE DERIVAÇÃO
3.3.2
Derivada de função composta, regra da cadeia
Conhecendo as derivadas de f e g , como podemos usá-las para encontrar a
derivada da composição f ◦ g ?
Teorema 3.1. Sejam duas funções deriváveis f e g com g(Dg ) ⊂ Df . Então a
função composta f ◦ g é derivável no seu domínio e
(f ◦ g)′ (x) = [f ′ ◦ g(x)].g ′ (x)
En notações diferenciais, se escrevemos u = g(x) e u0 = g(x0 ) a derivada de
f (u) em relação a x no ponto x0 é dada por
df
df
du
(u0 ) =
(u0 ). (x0 )
dx
du
dx
A derivada de f (u) é a derivada da função externa calculada na função
interna vezes a derivada da função interna.
Exemplos.
1. Seja f (x) = 4 cos(x3 ), ache f ′ (x). Denotamos u = x3 , assim
que y = 4 cos u. Pela regra da cadeia
(−4 sen u).(3x2 ) = 12x2 sen(x3 )
dy du
d
d
df
[y] =
.
=
[4 cos u]. [x3 ] =
dx
du dx
du
dx
dw
se w = tan u e u = 4t3 + t. Nesse caso, a regra da cadeia assume
dt
d
dw du
d
d
a forma [w] =
.
=
[tan u]. [4t3 +t] = (1+tan2 u).(12t2 +1) =
dt
du dt
du
dt
(1 + tan2 (4t3 + t)).(12t2 + 1).
2. Ache
3.3.3
Tabela das operações com derivadas
As funções u e v são denidas e deriváveis num intervalo I
Função
Derivada
u+v
u′ + v ′
ku (k constante)
ku′
uv
u′ v + uv ′
1
v
u
v
v′
v2
′
u v − uv ′
v2
v(x) 6= 0 por x ∈ I
un (n ∈ Q)
n.un−1 .u′
n ∈ Z: u(x) 6= 0 por x ∈ I se n < 0
−
Condições
v(x) 6= 0 por x ∈ I
22
3.4
3.4.1
CAPÍTULO 3.
DERIVADA
Aplicações da derivada
Monotonia e derivada
Considerando o sentido geométrico do sinal da função derivada podemos determinar os intervalos onde uma função cresce ou decresce. Temos a seguinte
proposição.
Proposição. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no
intervalo ]a, b[.
(i) Se f ′ (x) > 0 para todos x ∈]a, b[, então f é crescente em [a, b].
(ii) Se f ′ (x) < 0 para todo x ∈]a, b[, então f é decrescente em [a, b].
(iii) Se f ′ (x) = 0 para todo x ∈]a, b[, então f é constante em [a, b].
3.4.2
Máximos e mínimos
Denição 3.2. Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um
intervalo I , contendo c, tal que f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ I ∩ Df .
Denição 3.3. Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um
intervalo aberto I , contendo c, tal que f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ I ∩ Df .
Em ambos casos chamamos esses ponto de extremos relativos. Geometricamente vemos que são caracterizados por uma tangente horizontal. Por tanto, o
valor da função derivada dâ uma condição necessária para a existência de um
extremo relativo em c. Temos a seguinte proposição.
Proposição. Suponhamos que f (x) existe para todos os valores de x ∈]a, b[ e
que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f ′ (c) existe, então
f ′ (c) = 0.
Observação. Esta condição não é suciente.
Uma função denida num dado intervalo pode admitir diversos pontos extremos relativos. O maior valor da função num intervalo é chamado máximo
absoluto da função nesse intervalo. Analogamente, o menor valor é chamado
mínimo absoluto.
3.4.3
Concavidade
Embora o sinal da derivada de f revele onde o seu gráco é crescente ou decrescente, ele não revela a direção da curvatura. Esta pode ser caracterizada
em termos da monotonia das inclinações das retas tangentes, ou seja, se f for
derivável, da monotonia da função derivada.
3.4.
APLICAÇÕES DA DERIVADA
23
Teorema 3.2. Seja f duas vezes derivável em um intervalo I (f é derivável e
sua função derivada f ′ é derivável em I ).
(i) Se f ′′ (x) > 0 em I , então f tem concavidade para cima em I .
(ii) Se f ′′ (x) < 0 em I , então f tem concavidade para baixo em I .
Conseqüentemente podemos caracterizar os extremos relativos por meio do
sinal da derivada segunda. Com efeito,
Proposição (Teste da derivada segunda). Seja f duas vezes derivável no ponto
critico x0 (f ′ (x0 ) = 0).
(i) Se f ′′ (x0 ) > 0 então x0 é um mínimo relativo.
(ii) Se f ′′ (x0 ) < 0 então x0 é um máximo relativo.
Denição 3.4. Um ponto em que a derivada segunda se anula é chamado de
ponto de inexão.
Por exemplo, no gráco de f (x) = x3 , temos um ponto de inexão que é
x0 = 0.
Num ponto de inexão, o teste da derivada segunda não é conclusivo (f pode
ter um máximo ou um mínimo relativo ou nenhum dos dois em x0 como no caso
da curva acima).