Trabalhos X EGEM
Comunicação Científica
X Encontro Gaúcho de Educação Matemática
02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS
DIFICULDADES NO CÁLCULO DE DIVISÃO NA 5ª SÉRIE DO
ENSINO FUNDAMENTAL
GT 01 – Educação Matemática nos Anos Iniciais e Ensino Fundamental
AGRANIONIH, N. T. ([email protected])
ENRICONE, J. R. B ([email protected])
ZATTI, F. ([email protected])
RESUMO: O trabalho apresenta um relato parcial das dificuldades observadas em 34 alunos da 5ª série do
ensino fundamental de 17 escolas públicas da cidade de Erechim/RS na resolução de cálculos envolvendo o
algoritmo tradicional da divisão, em uma pesquisa realizada a partir da aplicação do subteste de aritmética do
TDE (Teste de Desempenho Escolar) de Lílian Milnitsky Stein e da observação dos padrões de erros cometidos
pelos alunos. A pesquisa de análise qualitativa baseia-se na metodologia de análise de conteúdo proposta por
Bardin (1979) e de análise de erros conforme Cury (2007), com utilização de estatística descritiva. Emergiram,
da análise dos erros no algoritmo tradicional da divisão, nove categorias de análise: ausência de respostas,
reprodução errada da proposta, não domínio do algoritmo, erros de tabuada, erros estranhos, desistência, cálculo
mental, reprodução errada da resposta e erro de subtração durante o cálculo. As mais significativas no contexto
da pesquisa foram, nesta ordem: ausência de respostas, reprodução errada da proposta e não domínio do
algoritmo.
Palavras- chave: Divisão. Análise de erros. Dificuldades de cálculo. TDE.
Introdução
O presente trabalho relata e analisa parcialmente os dados obtidos em uma
pesquisa qualitativa mais ampla, em andamento: “Aprendizagem matemática: desvendando
dificuldades de cálculo dos alunos”, realizada com 34 alunos de 5ª série do Ensino
Fundamental da rede estadual de ensino do município de Erechim-RS, que visa investigar as
dificuldades apresentadas nos cálculos de adição, subtração, multiplicação e divisão através
do algoritmo tradicional. Especificamente, apresenta as dificuldades identificadas no
desenvolvimento do algoritmo da divisão.
Os dados publicados pela Secretaria Estadual de Educação sobre o SAERS
(Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Rio Grande do Sul) demonstram que em
2007, 40,7% dos alunos de 5ª série apresentaram desempenho abaixo da média estadual,
sendo que 63,5% destes alunos ficaram abaixo da média desejável em matemática (Zero Hora,
25 de abril de 2008). Muito contribui para estes índices as dificuldades de cálculo. O cálculo
da divisão tem sido considerado pelos professores como um dos mais difíceis de ser
assimilado pelos alunos, fato que gera preocupações e buscas por estratégias de ensino mais
eficazes para a aprendizagem. Com este trabalho buscamos contribuir com este processo.
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Partimos da perspectiva de Cury (2004, 2007) de que, a partir da identificação e análise de
erros no desenvolvimento do algoritmo tradicional da divisão, pode-se investigar a fundo a
natureza dos erros, fazer hipóteses sobre possíveis causas, buscar estratégias para remediá-los
e também utilizá-los em sala de aula, para que os alunos possam construir novos saberes a
partir da análise dos resultados errados.
O erro não é necessariamente um indício de fracasso, observa Carvalho (1997) e o
seu aparecimento não obrigatoriamente indica que não ocorreu a aprendizagem, ou que houve
fracasso do ensino. O erro pode ser compreendido como parte do processo de aprendizagem,
como afirmam vários autores. Numa abordagem psicogenética o erro é entendido como
constitutivo do mecanismo funcional do processo de construção do conhecimento
(MACEDO, 1990,1994; LA TAILLE, 1997). Muitas vezes são as únicas janelas pelas quais
podemos ver a mente dos alunos, enfatiza Rivière (1995). Geralmente não são ilógicos, diz o
autor, mas estão relacionados ao uso de algumas regras que embora não sejam corretas,
indicam a apropriação de certa competência lógico-matemática (RIVIÈRE, 1995). Neste
sentido, Teixeira (2006) assinala que a análise de erros como método de investigação tem
colaborado significativamente na compreensão da natureza dos erros referentes ao processo
de ensino e aprendizagem da matemática.
Método
A pesquisa envolveu 34 alunos de 5ª série do Ensino Fundamental de 17 escolas
da rede pública estadual de Erechim (RS). Foram selecionados dois alunos de cada escola
com dificuldades de aprendizagem na matemática, mas sem diagnóstico de déficit cognitivo,
por indicação do professor de matemática.
A coleta de dados foi realizada através da aplicação do subteste de aritmética do
TDE (Teste de Desempenho Escolar), de Lílian Milnitsky Stein. Trata-se de um instrumento
psicométrico que busca avaliar capacidades fundamentais para o desempenho escolar na
escrita, aritmética e leitura. A aplicação foi feita pelas pesquisadoras, individualmente com
cada aluno participante, com duração aproximada de 30 minutos. Foram considerados na
análise dos erros de divisão os cinco cálculos de divisão propostos no subteste. Durante a
aplicação do mesmo os alunos foram orientados a realizar os cálculos que sabiam fazer e
deixar os que não haviam aprendido ou não sabiam fazer.
A análise dos dados baseou-se na metodologia de análise de conteúdo proposta
por Bardin (1979) e da análise de erros, conforme Cury (2007). Os dados foram analisados a
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partir de um enfoque qualitativo com utilização de estatística descritiva. Na identificação e
análise dos erros nos cálculos de divisão emergiram os padrões de erros, considerados, no
trabalho, como categorias de análise. Buscou-se aproximações com categorias já descritas por
Batista (1995), em trabalho semelhantes sobre padrões de erros de cálculos e por Miranda,
Fortes e Gil (2000).
Apresentação dos dados obtidos
Os cálculos de divisão propostos no TDE aplicado aos 34 alunos foram: 6÷3=
(Cálculo 11 do TDE), 72÷7= (Cálculo 18 do TDE), 968÷6= (Cálculo 19 do TDE), 6630÷65=
(Cálculo 22 do TDE) e 4÷5= (Cálculo 30 do TDE). A Tabela 1 mostra o número de erros e
acertos nestas questões.
Tabela 1 – Número de erros e acertos nos cálculos
de divisão
Cálculos
TDE
11
18
19
22
30
Total
Cálculo
Erros
Acertos
6÷3=
72÷7=
968÷6=
6630÷65=
4÷5=
09 (26,5%)
17 (50%)
19 (55,9%)
29 (85,3%)
30 (88,2%)
104 (61,2%)
25 (73,5%)
17 (50%)
15 (44,1%)
05 (14,7%)
04 (11,8%)
66 (38,8%)
O maior número de erros foi observado nos cálculos 30 (88,2%) e 22 (85,3%),
sendo estes, portanto, os que ofereceram maior dificuldade aos alunos.
Os cálculos relativos às questões 11 e 18 produziram maior número de acertos,
podendo ser considerados mais fáceis para os alunos pesquisados. Já os demais cálculos
produziram maior número de erros do que de acertos. É possível observar também que do
total de cálculos de divisão realizados pelos alunos pesquisados houve maior número de erros
(61,2%) do que de acertos (38,8%).
Os erros identificados no algoritmo da divisão foram agrupados em nove
categorias de análise: erros de tabuada, reprodução errada da proposta, reprodução errada da
resposta, não domínio do algoritmo, erros de subtração durante o cálculo, erros estranhos,
ausência de respostas, desistência e cálculo mental, conforme pode ser observado no Quadro
1, que também indica a quantidade de erros cometidos em cada uma delas.
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Os maiores percentuais de erros correspondem às categorias: ausência de respostas
(29,8%), reprodução errada da proposta (26,6%) e não domínio do algoritmo (23,4%). As
demais representaram um índice menor em relação à quantidade de erros: erros de tabuada
(7,4%), erros estranhos (7,4%), cálculo mental (2,1%), desistência (1,1%), reprodução errada
da resposta (1,1%) e erro de subtração durante o cálculo (1,1%).
Estas categorias são caracterizadas e exemplificadas a seguir:
a) Ausência de respostas
Esta categoria corresponde às questões deixadas “em branco” pelos alunos. É
relevante, no contexto da pesquisa, o fato de que a ausência de respostas envolve todos os
cálculos de divisão propostos, mas, de forma mais significativa o Cálculo 19 (968÷6=),
seguido dos cálculos 18 (72÷7=), 30 (4÷5=) e 22 (6630÷65= ), conforme o Quadro 1.
b) Reprodução errada da proposta
O aluno realiza outros procedimentos de cálculo ao invés da divisão, ou utiliza
incorretamente os dados fornecidos no cálculo. Foram identificadas algumas subcategorias:
- inversão do dividendo e do divisor: ao armar o cálculo o aluno considera que
não é possível realizar a divisão de um número menor por um número maior. Por esta razão
inverte os valores do dividendo e do divisor buscando aproximar a situação de uma outra que
lhe é mais familiar, realizando o cálculo com facilidade. Foi a saída encontrada por 11 dos 34
alunos participantes da pesquisa para a realização do cálculo 30 (4÷5=);
CATEGORIA
SUBCATEGORIA
CÁLCULO (ALUNO)
18 (P16, P34, P 4, P21, P31)
19 (P34, P24)
Erros de
tabuada
Reprodução
Errada da
proposta
a) Inversão do
dividendo e do
divisor
b) atribuição de
zero ao resultado
c) multiplicação,
soma ou divisão
ao invés de
subtração.
30 (P22, P09, P11, P01, P25,
P31,P14, P15, P24, P03, P24)
30 (P05, P19, P26)
multiplica
ao invés
de dividir
-soma ou
subtrai ao
invés de
dividir
ERROS
Nº
%
07
7,4%
11
11,7%
03
3,2%
11 (P30, P06)
18 (P30, P11)
30 (P23, P16, P28, P27)
08
8,5%
30 (P06)
11 (P18, P29)
03
3,2%
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Reprodução
errada da
resposta
Não domínio do
algoritmo
Erro de
subtração
durante o
cálculo
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18 (P27)
18 (P07)
19 (P14, P30, P07, P05, P26, P29)
22 (P26, P04, P18, P29, P01,
P17, P19, P33, P14, P07,P10,
P34, P25, P22, P05)
18 (P15)
Desistência
11 (P07, P08)
18 (P14, P20)
19 (P10, P12)
30 ( P08)
11 (P28, P03)
18 (P08, P23, P28, P06, P09, P21)
19 (P21, P03, P06, P23, P08, P28,
P02, P09)
30 (P21, P20, P17, P33, P18, P02)
22 (P06, P28, P12, P03, P23, P24)
30 (P12)
Cálculo Mental
19 (P17, P25)
Erros estranhos
Ausência de
respostas
01
1,1%
22
23,4%
01
1,1%
07
7,4%
28
29,8%
01
1,1%
02
2,1%
Quadro 1 – Categorias de análise de erros da pesquisa
- atribuição de zero como resultado: embora avalie corretamente que não é possível
formar grupos de cinco unidades com quatro unidades, indicando esta impossibilidade com
zero no quociente, o aluno não avança no sentido de considerar a possibilidade de trabalhar
com casas decimais, obtendo um resultado menor que um inteiro. O zero, neste caso, também
pode ser um indicativo de uma suposta impossibilidade de realizar o cálculo, utilizado pelo
aluno. Esta também foi uma saída encontrada para a resolução do cálculo 30 (4÷5=) por três
alunos.
- ao invés de dividir o aluno multiplica, subtrai ou soma: estes erros podem ser devidos
ao fato de aluno ignorar ou desconhecer o sinal de divisão o que provoca a opção pela
realização de outro cálculo: multiplicação, subtração ou soma. A opção de multiplicar foi feita
por dois alunos diante do cálculo 11 (6÷3= ), dois alunos diante da cálculo 18 (72÷7= ) e por
quatro alunos diante do cálculo 30 (4÷5=). Já a opção por somar ou subtrair foi feita por um
aluno para o cálculo 30 e por dois alunos para o cálculo 11.
c) Não domínio do algoritmo
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Erros no procedimento de cálculo devido a não compreensão do algoritmo ou a não
automatização do processo, foram considerados nesta categoria. Foi significativo o fato de
que quinze alunos cometeram erros por não dominarem o algoritmo do cálculo 22
(6630÷65=). Possivelmente por se tratar de um cálculo de divisão com dois algarismos no
divisor, envolvendo assim um grau maior de dificuldade. Seis alunos demonstraram não
dominar o algoritmo da divisão no cálculo 19. No exemplo abaixo o aluno ignora o resto
obtido 36 e considera apenas o 6 para prosseguir o cálculo.
Cálculo 19 / P05
No cálculo 6630: 65, o aluno ignora o divisor 65 e realiza a divisão como se estivesse
dividindo apenas por 6. Não subtrai o valor obtido, indicando resto zero. Abaixa o 3.
Multiplica 1 x 65 obtém 6. Subtrai 6 de 3 e obtém 0. Demonstra não dominar vários passos do
algoritmo.
Cálculo 22/P10
Alguns destes erros envolvem o zero no quociente, como no exemplo abaixo, em
que se verifica um erro bastante comum na divisão: após “baixar” um número, diante do fato
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de o valor a ser dividido ser menor que o divisor, o aluno “baixa” outro número sem colocar o
zero no quociente.
Cálculo 22/ P01
d) Erros de tabuada
Os alunos dominam o algoritmo da divisão e erram na tabuada. No exemplo
abaixo o aluno equivocou-se em considerar 6 x 5 = 35 ao invés de 30 e também ao
desconsiderar que 6 x 6 = 36, o que provocou o erro.
Cálculo 19/ P24
No exemplo abaixo o erro foi devido ao fato de aluno pensar que 8 x 7 = 72 ao invés
de 56 e também ao desconhecimento do fato 9 x 8 = 72.
Cálcul o18 / P24
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Em ambos os exemplos os erros foram conseqüência da não memorização da
tabuada.
e) Reprodução errada da resposta
O aluno acerta o cálculo e indica o resultado incorretamente por desatenção ou não
interpretação do significado da operação.
Cálculo 18/P27)
f) Erros estranhos
Erros que não foram categorizados, uma vez que não foi possível identificar o
procedimento realizado pelo aluno ao desenvolver o cálculo, nem a origem do erro.
g) Erro de subtração durante o cálculo
O aluno domina o procedimento da divisão, mas erra na subtração.
h) Desistência
O aluno considera que não é possível resolver o cálculo e escreve como resposta a
expressão “não dá”
i) Cálculo mental
O aluno fez o cálculo mentalmente e reproduziu o resultado obtido, nem sempre
obtendo sucesso.
Discussão dos resultados
Os cálculos de divisão propostos no TDE e analisados na pesquisa fazem parte dos
conteúdos trabalhados nas séries iniciais do Ensino Fundamental, o que permite considerar
que já haviam sido trabalhados nas turmas em que a pesquisa foi realizada, desde as séries
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anteriores. Porém, este fato não pode ser considerado uma razão determinante da
aprendizagem dos mesmos pelos alunos.
O cálculo 30 (4:5=) e o cálculo 22 (6630:65=) apresentaram um maior percentual
de erros (88,2% e 85,3% respectivamente). Estes cálculos são trabalhados na 4ª série, mas são
mais enfatizados na 5ª série.
O cálculo 30 envolve divisão de números decimais onde o dividendo é menor que
o divisor, o que torna o quociente menor do que 1,ou seja, 0,8. A maior parte dos erros neste
cálculo enquadra-se nas categorias “reprodução errada da proposta” e “ausência de respostas”.
O fato de o dividendo ser menor que o divisor pode ter sido um fator de estranheza aos
alunos, ainda não muito familiarizados com operações com números decimais, o que levou à
grande parte dos mesmos a considerar o cálculo impossível ou a invertê-los, tornando o
cálculo mais familiar: 5: 4 = Outros consideraram um possível erro na proposta, resolvendo o
problema através da soma, subtração ou multiplicação do dividendo e do divisor. Alguns
atribuíram zero como resposta, o que pode ser considerado um sinal de impossibilidade ou
uma aproximação com o conceito de número decimal.
A maior parte dos erros de reprodução errada da proposta foi no cálculo 30. É
possível dizer que, diante da suposta impossibilidade de dividir um número menor pelo maior,
os alunos buscaram estratégias de resolução para o problema: inverter dividendo e divisor,
atribuir zero como resultado, multiplicar ou somar, ou seja, constrói um procedimento
alternativo de resolução, mesmo que não corresponda ao solicitado.
O cálculo 22, cujo quociente é 102, consiste em um dos “casos” da divisão em que
o resto da divisão juntamente com o valor “baixado” produz um valor a ser dividido menor
que o divisor, o que produz a necessidade de colocar zero no quociente. Muitos alunos
“esquecem” deste zero e “baixam” o próximo número, prosseguindo o processo. A
dificuldade pode estar na dificuldade de perceber a necessidade e o sentido deste zero no
quociente do cálculo e também na dificuldade de memorizar o algoritmo da divisão. É
significativo o fato de a maior parte dos erros neste cálculo enquadrarem-se nas categorias
“não domínio do algoritmo” e “ausência de respostas”.
O cálculo 19 (986:6= 164) apresentou um percentual de erros (55,9%) próximo ao
de acertos (44,1%). Os erros observados neste cálculo enquadram-se em várias categorias:
ausência de respostas, não domínio do algoritmo, erros de tabuada, erros estranhos e cálculo
mental. Dentre elas as mais significativas: ausência de respostas e não domínio do algoritmo.
Trata-se de um cálculo mais familiar para alunos de 5ª série, pois normalmente é trabalhado a
partir da 3ª série do Ensino Fundamental e não envolve particularidades ou dificuldades
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específicas no algoritmo, como zeros no quociente, por exemplo.Porém, os resultados
permitem considerar que trata-se, também, de um cálculo que oferece dificuldades aos alunos.
Como referimos, tanto os cálculos 30 e 22, quanto o cálculo 19, fazem parte dos
conteúdos trabalhados na 4ª e na 5ª séries do Ensino Fundamental, o que permite considerar
que já tenham sido trabalhados nas turmas em que a pesquisa foi realizada, desde a série
anterior. Se considerarmos as categorias em que se enquadram os erros nestes cálculos
podemos pensar que o tempo de interação dos alunos com esses conhecimentos ainda não
tenha sido suficiente para as aprendizagens. O que a pesquisa torna evidente é que oferecem
um alto grau de dificuldade aos alunos com dificuldades de aprendizagem na matemática,
entrevistados.
Foi significativa a ausência de respostas, para todos os cálculos, com exceção do
cálculo 11 (6:3=), fato que leva a considerar que muitos alunos não se consideram preparados
para a realização destes cálculos, ou que, de certa forma, não se desafiam no sentido de
realizá-los. Quando a operação é muito difícil, ou a possibilidade de fracasso é muito grande,
ocorre a desistência, dado que é comumente observado nas escolas, reforçando a idéia de
incapacidade para a matemática.
Outro aspecto a ser considerado, diz respeito ao fato de que os alunos indicados a
participar deste estudo não tinham déficit cognitivo, e, portanto, supõe-se que teriam
condições para aprender. Nos resultados gerais da pesquisa e da aplicação do TDE, 41% dos
alunos participantes obtiveram desempenho inferior, 38% desempenho médio, e 21%
desempenho superior. Verifica-se, portanto, que a maioria dos participantes (59%), obtiveram
desempenho médio e superior no teste. Esta classificação indica que estes alunos apresentam
desempenho esperado para a série no TDE, denotando que possivelmente têm as capacidades
fundamentais para a aritmética da 5ª série.
O fato de os alunos não apresentarem déficits, leva a pensar que são alunos que
poderiam ter o domínio das operações analisadas, mas que mesmo assim apresentam
dificuldades esperadas para alunos de séries iniciais, no âmbito da divisão. Leva a pensar,
também, na amplitude e complexidade dos fatores envolvidos nas dificuldades de
aprendizagem, que não dizem respeito somente a fatores intrínsecos ao aluno. Como diz
Teixeira (2006), ao analisar as possíveis causas dos erros e dificuldades dos alunos na
aprendizagem da matemática, há um conjunto de variáveis em jogo, que se referem à própria
natureza dos conceitos matemáticos, à forma de ensiná-los ou às condições do aluno para
aprender.
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Considerações finais
De modo geral, como referimos anteriormente, a maior parte dos erros de divisão
inseriram-se nas categorias: ausência de respostas (29,8%), reprodução errada da proposta
(26,6%) e não domínio do algoritmo (23,4%). As demais categorias foram erros de tabuada,
reprodução errada da resposta, não domínio do algoritmo, erro de subtração durante o cálculo,
erros estranhos, desistência, e cálculo mental.
As avaliações tradicionalmente realizadas na escola que valorizam mais o número
de acertos e erros não consideram os procedimentos realizados pelos alunos, que certamente
evidenciariam o desenvolvimento do seu raciocínio, o que possibilitaria uma avaliação mais
consistente assim como subsídios para trabalhar com as dificuldades encontradas.
Os erros e dificuldades que se evidenciaram na pesquisa levam a pensar na
importância de criar estratégias que favoreçam a superação destas dificuldades, uma vez que
o domínio e aplicação de alguns conceitos são fundamentais para que o aluno possa
prosseguir na construção dos conhecimentos matemáticos sem comprometimentos. Espera-se
que as informações obtidas através desta pesquisa possam gerar reflexões acerca das
dificuldades encontradas no ensino e na aprendizagem da matemática, assim como meios que
possam levar à sua superação, e principalmente a alternativas pedagógicas preventivas.
Referências
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um enfoque evolutivo.Málaga: Ediciones ALGIBE, 2000.
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TEIXEIRA, L. R. M. Dificuldades e erros na Aprendizagem da Matemática. In: VII EPEM
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Disponível em :<http:// www.sbempaulista.org.br/epem/anais_mesas/mr 14 - Leny.doc>.
Acesso em: 25 jul. 2008.