O estudo de inequações através do software GEOGEBRA
Autor e Coautor(es)
Autor Nayara da Silva Castro
JARAGUARI - MS EE JOSE SERAFIM RIBEIRO
Título da aula original:
O estudo de inequações no GeoGebra
Autor(es) Original(is):
ANIELLE GLORIA VAZ COELHO, Lara Martins Barbosa, Antomar Araújo Ferreira e Angela Cristina
dos Santos
Coautor(es)
Lara Martins Barbosa, Antomar Araújo Ferreira e Angela Cristina dos Santos
Estrutura Curricular
MODALIDADE / NÍVEL DE ENSINO
COMPONENTE
CURRICULAR
TEMA
Ensino Médio
Matemática
Análise de dados
probabilidade
Ensino Médio
Matemática
Geometria
Ensino Médio
Matemática
Álgebra/Geometria
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas
Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis
socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como
interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a
utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de
argumentação (H22) são propostos para esta aula os seguintes objetivos:
·
Resolver graficamente inequações.
·
Visualizar a solução de uma inequação de várias maneiras.
e
Duração das atividades
2 horas/aula de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
·
Resolução de equações e inequações.
·
Função afim.
·
Função Quadrática
·
Plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.
·
Noções básicas da utilização do software GeoGebra.
Estratégias e recursos da aula
Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em
que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, encontrar a
solução de inequações geometricamente.
Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se
o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de
conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um
computador com o referido software citado.
Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o professor poderá fazer o
seu download através do site http://www.geogebra.org/cms/pt_BR Versão em Português.
Para funcionar é preciso fazer a instalação do Java (1.4.2 ou superior), obtida gratuitamente
através do sítio: http://www.java.com/pt_BR
Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um
computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das
atividades pelos alunos.
O software GeoGebra – Apresentação:
Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um
software gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e
cálculo.O GeoGebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria
dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. E nele encontramos, também, equações
e coordenadas que podem ser inseridas diretamente.O software, com relação à forma de
abordagem, pode ser classificado como instrucionista ou contrucionista. Instrucionista quando
o professor o utiliza como ferramenta de apoio na transmissão do conhecimento e
construcionista quando o aluno pode manipular o software, internalizando alguns
conhecimentos
Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra
Fonte: Arquivo da autora
A AULA
Professor (a), para essa aula, espera-se que os alunos já saibam resolver uma inequação com
facilidade. Antes de iniciar, sugiro que acesse a aula Inequações do 1º grau com uma
incógnita,disponível no Portal do Professor em <http://migre.me/jTGk8>. Acesso em 25 jun.
2014.
Para iniciar a aula, proponha uma discussão, sobre como seria a resolução gráfica de
inequações. Ressalte que a visualização fornecida pelos gráficos facilita na observação da
solução e, junto com a resolução algébrica, contribui para uma compreensão mais completa na
resolução de inequações.
Comentário: Nessa proposta de aula trabalharemos alguns exemplos específicos de
inequações. Porém, o professor(a) pode adaptá-las de acordo com as inequações que deseja
propor aos seus alunos.
1. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 5 + 3x < 11
Professor (a), inicialmente, solicite aos alunos que resolvam algebricamente em uma folha de
papel a inequação 5 + 3x < 11. Eles devem concluir que sua solução é um valor x pertencente
aos reais tal que x < 2.
Logo após, solicite que digitem no campo entrada do software GeoGebra, a inequação 5 + 3x <
11. Automaticamente, o software trará a solução (figura 2).
Figura 2 – Solução da inequação 5 + 3x < 11
Arquivo da autora
Proponha as seguintes questões:
· Qual o significado da região pintada de azul pelo GeoGebra?
· O que você observou em relação a solução algébrica que você encontrou, com a solução
apresentada pelo GeoGebra?
Padrão de resposta esperado:
“A região pintada em azul pelo GeoGebra é a solução da inequação 5 + 3x < 11. Nessa
inequação, x pertence aos reais tal que x < 2, que é a mesma solução encontrada quando
resolvemos o problema algebricamente”.
2. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 5 < 2x + 7 < 13
Neste exemplo, deve-se ressaltar que são inequações simultâneas, neste caso a solução deve
atender as duas ao mesmo tempo.
Solicite aos alunos que encontrem a solução algébrica dessa inequação em uma folha de papel
e posteriormente a encontre no GeoGebra.
Padrão de resposta esperado:
“Nesse caso, teremos que dividir a inequação simultânea em duas novas
inequações/situações, quando 5 < 2x +7 e quando 2x + 7 < 13. Algebricamente, deve-se
resolver as duas inequações separadamente e encontrar o valor de x que as satisfaça
simultaneamente. Assim, temos que, x > -1 e x < 3. Já no GeoGebra, deve-se desenhar
graficamente essas duas situações (figura 3 e 4) e encontrar a interseção das soluções, (figura
5). Assim, a solução será -1 < x < 3”.
Figura 3 – Solução da inequação 5 < 2x + 7
Fonte: Arquivo da autora
Figura 4 – Solução da inequação 2x + 7 < 13
Fonte: Arquivo da autora
Figura 5 – Solução da inequação 5 < 2x + 7 < 13
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: O GeoGebra resolve a inequação sem precisar dividi-la em dois casos, pode-se
utilizar o conectivo ∧(e) da seguinte forma: 5 < 2x + 7 ∧ 2x + 7 < 13 (figura 6) ou simplesmente
digitar no campo entrada a inequação completa 5 < 2x + 7 < 13.
Figura 6 – Solução direta da inequação 5 < 2x + 7 < 13
Fonte: Arquivo da autora
3.
RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 2x + 1 < 3 - x < 3x + 5
Novamente, solicite aos alunos que encontrem a solução algébrica dessa inequação em uma
folha de papel e posteriormente a encontre no GeoGebra.
Padrão de resposta esperado:
“Nesse caso, também teremos que dividir a inequação simultânea em duas novas
inequações/situações, quando 2x + 1 < 3 – x, e quando 3 - x < 3x + 5. Algebricamente
encontramos que x < 2/3 e x > -1/2. No GeoGebra, pode-se desenhar o gráfico dessas duas
situações e encontrar a solução na interseção. Porém, é mais simples digitar a inequação
completa no campo de entrada, que o software automaticamente utilizará o conectivo ∧ e
apresentará a solução graficamente (Figura 7)”.
Figura 7 – Solução direta da inequação 2x + 1 < 3 - x < 3x + 5
Fonte: Arquivo da autora
4.
RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: x² < 5x - 6
Esse exemplo pode ser resolvido como o anterior. Porém, proponha aos alunos que façam o
processo inverso, isto é, que primeiro encontrem a solução direta no GeoGebra e depois a
solução algébrica, no caderno. Além disso, ao usar o GeoGebra, peça-lhes que utilizem a
entrada x² - 5x + 6 < 0 (Figura 8) para desenhar a função f(x) = x² – 5x + 6 e destacar suas raízes
(Figura 9) e, em seguida, que desenhem os gráficos das funções x² e 5x - 6, separadamente,
encontrando a interseção entre elas (figura 10).
Figura 8 – Solução da inequação x² - 5x + 6 < 0
Fonte: Arquivo da autora
Figura 9 – Raízes da função f(x) = x² – 5x + 6
Fonte: Arquivo da autora
Figura 10 – Solução da inequação x² < 5x – 6 separadamente
Fonte: Arquivo da autora
Promova uma conversa entre os alunos analisando qual seria a relação entre essas quatro
formas de encontrar a solução de inequações desse tipo.
Padrão de resposta esperado:
“Tem-se que, quando desenhamos os gráficos de cada lado da inequação e encontramos suas
interseções, estamos resolvendo a inequação geometricamente, já nos outros casos, estamos
indiretamente/diretamente resolvendo algebricamente, uma vez que manipulamos a
inequação. O software GeoGebra pode ser utilizado sempre que desejarmos conferir os
resultados ”.
5.
RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: x² + 1 < 3x - 1
Como nos exemplos anteriores, proponha que os alunos encontrem a solução dessa inequação
no GeoGebra e algebricamente em uma folha de papel.
Padrão de resposta esperado:
“Nesse caso, teremos apenas uma situação, x² + 1 < 3x – 1. Como trata de uma função do 2º
grau sendo comparada com uma função do 1º grau, devemos encontrar o gráfico de ambas e
analisar suas interseções. Assim, a solução será 1 < x < 2 (figura 11). Sobre a solução algébrica,
devemos encontra um x que satisfaça a inequação do 2º grau
x² - 3x + 2 < 0, que pode
ser resolvida encontrando as raízes da equação x² - 3x + 2 = 0”.
Figura 11 – Solução da inequação x² + 1 < 3x - 1
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: O GeoGebra também resolve inequações desse tipo sem precisar encontrar o
gráfico de ambas. Porém, mostra apenas a solução desejada, não a interpretando
geometricamente (figura 12).
Figura 12 – Solução direta da inequação x² + 1 < 3x - 1
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: Professor (a), em inequações desse tipo discuta com seus alunos como seria a
resolução algébrica dessa inequação. No caso, se deve resolver a inequação x² - 3x + 2 < 0,
encontrando a mesma solução 1 < x < 2, veja o gráfico a seguir (figura 13):
Figura 13 – Solução da inequação x² - 3x + 2 < 0
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: Observe que o GeoGebra apresenta a solução da mesma forma como a
apresentada na inequação x² + 1 < 3x – 1 (Figura 12).
DESAFIO:
Proponha aos alunos que encontrem as soluções geométricas da desigualdade ax² + bx - c < ax
+ b, em que os valores de a, b e c são controles deslizantes com intervalos de -3 a 3 e
incremento 1. Nessas condições, deve-se alterar os valores de a, b e c e observar as diversas
soluções apresentadas pelo GeoGebra. Um exemplo é apresentado na Figura 14, em que os
valores de a, b e c são -1, 1 e 3, respectivamente.
Figura 14 – Solução da inequação (-x)² + x - 3 < -x + 1
Fonte: Arquivo da autora
Comentário: Professor (a), peça aos alunos que registrem essas soluções separadamente e
salvem as imagens em um arquivo do Word.
Para finalizar a aula, promova uma conversa com os alunos sobre o uso de softwares no
ensino da matemática. Vale ressaltar, que a inserção desses recursos tecnológicos durante as
aulas permite visualizar as soluções de diferentes inequações e estabelecer a relação entre a
álgebra e a geometria, que são campos tratados separadamente no ensino da matemática,
mas que estão entrelaçadas e se complementam.Observa–se que as tecnologias estão cada
vez mais presentes no cotidiano das pessoas, e como tal, não poderia ser diferente no
ambiente escolar. Neste contexto enfatizamos a importância do uso de Informática no Ensino,
em particular do software Geogebra no Ensino de Matemática, principalmente no ensino de
Geometria Euclidiana Plana. E importante salientar que o uso do software em si, não prova
nenhum dos teoremas, pois, a matemática, enquanto ciência utiliza–se do método dedutivo,
no entanto tal prática é de grande valia, pois, quando bem utilizada, facilita a internalização do
conhecimento exposto por parte do educando. Concluímos que a utilização da informática, em
particular de softwares, não é a solução para o ensino de matemática, porém deve ser visto
com bom olhos, pois de fato é uma importante ferramenta em oposição à prática da aula
tradicional.
Recursos Complementares
Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica.
Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação
de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e
explore suas inúmeras funções.
É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no
GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 25 jun. 2014.
O GeoGebra também resolve inequações, que não foram exemplificadas nessa aula, com
expoentes maiores, explore o GeoGebra e veja a facilidade de encontrar soluções de
inequações com outras características.
Avaliação
Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos
solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de
atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se, que o
professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula.
É interessante que a atividade avaliativa seja aplicada na sala de informática. Além disso, as
construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, assim, o
professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados
pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção
didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.
Referências
BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de
matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C.
(Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 2736. v. 1.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a
formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.
______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática.
Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.
ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e
suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 25 junho. 2014.
Contribuições do uso do Geogebra no estudo de funções disponivel no
site http://www4.pucsp.br/geogebrala/submissao/pdfs/20LUISHAVELANGE_APRES.pdf acesso
em 24/06/2014