.1.
• FOLHA Nº 01 – EXERCÍCIOS •
01) As letras O, B e M representam números inteiros. Se O x B x M = 240, O x B + M = 46 e O + B x M = 64, quanto vale
O + B + M?
a) 19
c) 21
e) 36
b) 20
d) 24
02) Quantos inteiros da lista 100, 101, 102, ..., 999 não possuem algarismos iguais a 2, 5, 7 ou 8?
a) 160
c) 180
e) 200
b) 170
d) 190
03) Quatro números inteiros positivos a < b < c < d são tais que o mdc entre quaisquer dois deles é maior do que 1, mas
mdc (a, b, c, d) = 1. Qual é o menor valor possível para d?
a) 10
c) 15
e) 105
b) 12
d) 30
04) Esmeralda foi escrevendo os quadrados dos números inteiros positivos um em seguida ao outro formando o número
149162536... e parou quando chegou no centésimo algarismo. Qual foi o último algarismo que ela escreveu?
a) 9
c) 7
e) 5
b) 8
d) 6
05) Carlinhos escreve números inteiros positivos diferentes e menores do que 1000 em várias bolas e coloca-as numa caixa,
de modo que Mariazinha possa pegar ao acaso duas dessas bolas. Quantas bolas no máximo Carlinhos irá colocar na
caixa se os números das duas bolas deverão ter um divisor comum maior do que 1?
a) 500
c) 498
e) 496
b) 499
d) 497
06) Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior
do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2.
Quantos números de três algarismos detonam 314?
a) 120
c) 360
e) 600
b) 240
d) 480
N8
07) Seja N = 8 8
, em que aparecem 2009 números 8. Marcos Paiva ficou de castigo: ele deve escrever a soma dos dígitos
de N, obtendo um número M; em seguida, deve calcular a soma dos dígitos de M; e deve repetir o procedimento até
obter um número de um único dígito. Vamos ajudar Marcos Paiva: esse dígito é
a) 1
c) 3
b) 2
d) 7
e) 8
08) Determine a quantidade de números n = a1a2a3a4a5a6, de seis algarismos distintos, que podemos formar utilizando os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de modo que as seguintes condições sejam satisfeitas simultaneamente:
II) a1 + a6 = a2 + a5 = a3 + a4;
II) n é divisível por 9.
a) 240
c) 220
b) 230
d) 210
e) 200
09) Edmilson, Carlos e Eduardo ganharam um total de R$150,00 lavando carros. Eles ganharam quantidades diferentes de
dinheiro. Como eles são muito amigos decidiram dividir o dinheiro ganho em partes iguais. Para isto, Edmilson deu metade
do que ganhou para dividir em partes iguais entre Carlos e Eduardo, porém, Carlos tinha muito dinheiro e, portanto, deu R$
10,00 a cada um dos outros dois. Finalmente, para que cada um tivesse a mesma quantidade de dinheiro, Eduardo deu R$
2,00 a Edmilson. Quanto Eduardo ganhou antes da divisão?
a) R$ 76,00
c) R$ 23,00
b) R$ 51,00
d) R$ 50,00
e) R$ 100,00
.2.
10) Um certo número inteiro positivo, quando dividido por 15 dá resto 7. Qual é a soma dos restos das divisões desse
número por 3 e por 5?
a) 2
d) 5
b) 3
c) 4
11) Sejam p(x)
e) 6
= 2x2010 –
5x2 –
13x + 7 e q(x) = x2 + x + 1. Tomando r(x) como o resto da divisão de p(x) por q(x),
o valor
de r(2) é:
a) –8
d) –3
b) –6
c) –4
e) –2
24 + 22 + 1)( 4 4 + 4 2 + 1)( 64 + 6 2 + 1) ... ( 324 + 322 + 1)
(
12) Calcule
(14 + 12 + 1)( 34 + 32 + 1)( 54 + 52 + 1)( 314 + 312 + 1)
a) 1055
d) 1054
b) 1056
c) 1057
e) 1053
(
13) Quantos pares ordenados (x, y) de números reais satisfazem a equação x – y 2
a) 0
)
2
2
+ ( x – y – 2) = 0
d) 3
b) 1
c) 2
e) infinitos
14) O número de pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação x 8 + 3y 4 = 4x 2 y 3 , com 1 £ y £ 2007, é igual a:
a) 40
d) 43
b) 41
c) 42
e) 44
15) Os números x e y são distintos e satisfazem x –
a) 4
1
1
= y – . Então xy é igual a
x
y
d) –4
b) 1
c) –1
e) é preciso de mais dados
16) Os números a e b são reais não negativos tais que a3 + a < b – b3. Então
a) b < a < 1
d) a < b < 1
b) a = b = 1
c) a < 1 < b
17) Para quantos inteiros n o número
a) 1
e) 1 < a < b
n
é também inteiro?
100 – n
d) 18
b) 6
c) 10
e) 100
3
da
4
escada quando cruzou com Beatriz. No momento em que Ana terminar de descer, que fração da escada Beatriz ainda
terá que subir?
18) Ana começou a descer uma escada no mesmo instante em que Beatriz começou a subi-la. Ana tinha descido
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
12
d)
5
12
e)
2
3
.3.
19) Seja c a maior constante real para a qual x2 + 3y2 ³ c.(x2 + xy + 4y2) para todos x, y reais.
Determine o inteiro mais próximo de 2009.c.
a) 1339
d) 1342
b) 1340
c) 1341
e) 1343
1
17
4
4
20) Sejam x e y números reais positivos satisfazendo as equações x 2 + y 2 = 1 e x + y =
. Calcule o valor de xy .
18
a) 2
d) 8
b) 4
c) 6
e) 10
21) Os pontos P, Q, R, S e T são vértices de um polígono regular. Os lados PQ e TS são prolongados até se encontrarem
ˆ mede 140°. Quantos lados o polígono tem?
em X, como mostra a figura, e QXS
a) 9
b) 18
c) 24
d) 27
e) 40
22) Na figura abaixo, a = 18° e AB = AC = AD = AE. O valor do ângulo b é:
a) 18°
b) 36°
c) 15°
d) 20°
e) 30°
23) Na figura, o quadrado A’B’C’D’ foi obtido a partir de uma rotação no sentido horário do quadrado ABCD de 25 graus em
torno do ponto médio de AB. Qual é o ângulo agudo, em graus, entre as retas AC e B’D’?
a) 5
b) 25
c) 45
d) 65
e) 85
24) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, a e b são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão
a)
3
5
4
5
c) 1
b)
d)
5
4
e)
5
3
a
?
b
.4.
25) Dado o quadrilátero ABCD tal que ÐCAD = 25°, ÐACD = 45° e ÐBAC = ÐBCA = 20°, qual o valor do ângulo ÐDBC?
a) 40°
d) 55°
b) 45°
c) 50°
e) 60°
26) Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB são triângulos equiláteros. Se F e G são os pontos médios
de EA e AC, respectivamente, a razão
BD
é:
FG
1
2
b) 1
a)
3
2
d) 2
e) Depende das medidas dos lados de ABC.
27) Na triângulo ABC isósceles abaixo, I é o encontro das bissetrizes e H é o encontro das alturas.
Sabe-se que ÐHAI = ÐHBC = a. Determine o ângulo a.
a) 18°
b) 20°
c) 22°
d) 24°
e) 26°
c)
28) No triângulo ABC tem-se AB = 4, AC = 3 e o ângulo BÂC mede 60°. Seja D o ponto de intersecção entre a reta
perpendicular a AB passando por B e a reta perpendicular a AC passando por C. Determine a distância entre os ortocentros
dos triângulos ABC e BCD.
a)
2 39
5
b)
2 39
3
d)
2 39
9
2 39
2 39
e)
7
11
29) O canto de um quadrado de cartolina foi cortado com uma tesoura. A soma dos comprimentos dos catetos do triângulo recortado é igual ao comprimento do lado do quadrado.
Qual o valor da soma dos ângulos a e b marcados na figura abaixo?
a) 63°
b) 64°
c) 65°
d) 66°
e) 67°
30) Na figura, ABCDE é um pentágono regular e AEF é um triângulo equilátero. Seja P um
ponto sobre o segmento BF, no interior de ABCDE, e tal que o ângulo PÊA mede 12°,
como mostra a figura abaixo.
Calcule a medida, em graus, do ângulo PÂC.
a) 12°
b) 13°
c) 14°
d) 15°
e) 16°
c)