O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
[Assignment Problem]
Assignment Problem - bibliografia
Sattinger (1975) – Econometrica
Sattinger (1993) – JEL
Rosen (1978) – Economica
Gibbons & Waldman (1999). HBLE (cap. 36)
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O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
Um outro problema que se apresenta para a
firma refere-se a designação de tarefas a um
determinado trabalhador.
As firmas têm um estoque de trabalhadores que
deve ser alocado à várias posições dentro da
firma.
Assumimos aqui que cada trabalhador tem uma
vantagem comparativa na realização de uma
determinada tarefa.
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O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
A firma pode ganhar alocando os
trabalhadores as tarefas as quais eles têm
ou se saem comparativamente melhor,
contudo, nem sempre é fácil descobrir aos
talentos dos trabalhadores.
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O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
Para descobrirmos os talentos dos trabalhadores
requer-se um período de observação e
monitoração e, portanto, um gasto pela firma.
Contudo, o maior custo é que o trabalhador deve
ser testado em ambas as tarefas. Isto significa
ensinar ao trabalhador duas tarefas ao invés de
uma.
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O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
Suponha que existam 30 trabalhadores na
empresa, que possui dois setores de produção P
e H;
Cada trabalhador possui uma produtividade
diferente em cada setor de produção.
A empresa pode discriminar cada trabalhador
cuidadosamente antes de alocá-lo a uma divisão
ou setor, ou pode, simplesmente alocar os
trabalhadores sem screening de qualquer modo.
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O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
O custo de filtrar os trabalhadores é assumido
ser igual a $ 700/ por trabalhador.
Quais serão os ganhos com a filtragem?
Isto como veremos depende da tecnologia de
produção.
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O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
Caso # 1
Suponha que, inicialmente, o número de
trabalhadores em cada divisão da firma seja
completamente variável. Assim, a firma pode
colocar todos os 30 trabalhadores em P ou H,
ou pode alocá-lo de qualquer modo sem afetar a
produtividade de qualquer trabalhador.
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O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
Os dados da tabela abaixo mostram a
produtividade estimada mensal de cada
trabalhador em duas divisões da firma.
A coluna MAX (P,H) mostra a produtividade
máxima em qualquer das duas divisões da
firma.
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O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
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O problema da alocação quando os
trabalhadores não são filtrados [screened]
Se os trabalhadores não são screened, eles
podem ser alocados as divisões nas quais eles
são mais produtivos.
Por exemplo, o trabalhador 1001 seria alocado
ao setor H e o trabalhador 1002 ao setor P.
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O problema da alocação quando os
trabalhadores não são filtrados [screened]
Se os trabalhadores não são filtrados, então as
firmas não têm informações sobre eles. Sob
estas circunstâncias, é melhor alocar cada
trabalhador a divisão H, pois o trabalhador
médio produz mais em H do que em P, e a
firma não tem informação sobre qual se basear
sua alocação.
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O problema da alocação quando os
trabalhadores não são filtrados [screened]
Média de H = $ 8,910
Média de P = $6,012
Média Max (P,H) = $9,963
Se todos são alocados em H o produtos será:
30 x 8,910 = $ 267.300
Se todos são alocados em P
30 x 6,012 = $ 180.360
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As implicações da filtragem
[screening] para a firma
A firma pode filtrar cada trabalhador ao custo
de $ 700 por trabalhador e alocar cada
trabalhador a sua atividade mais produtiva.
Se a firma decidir filtrar cada trabalhador, a
firma irá receber Max (H,P) de cada
trabalhador, menos $ 700.00 por trabalhador.
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As implicações da filtragem
[screening] para a firma
Assim, a firma aloca os trabalhadores - 02, 09,
15, 16, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30 em P e os
demais em H.
Todos os trabalhadores para cuja diferença
entre P e H é positiva deveriam ser alocados em
H porque eles valem mais do que em P.
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As implicações da filtragem
[screening] para a firma
Quando a screening é feita, o produto total seria
a soma do produto de cada trabalhador na
divisão relevante, menos $ 700 por custo de
screening de cada trabalhador. Assim, temos
que:
30 x (9.963 – 700) = 277.890 > 267.300
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As implicações da filtragem
[screening] para a firma
Como 277.890 > 267.300
 vale a pena para a firma realizar a filtragem dos
trabalhadores, mesmo que isto custe $ 700,00 para
obter esta informação, pois os ganhos de uma alocação
ótima dos trabalhadores dentro da empresa mais do que
cobrem os custos.
A filtragem irá aumentar o produto da firma em cerca de
$ 10.500 ou em cerca de 4%, o que é um ganho
significativo para a firma.
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O problema da alocação dos
trabalhadores as vagas
Caso # 2
Suponhamos agora que exista apenas um certo
número de vagas disponíveis em cada divisão,
tal como:
Número de vagas: 20 H e 10 P.
Quais os trabalhadores devem ser alocados em
H e quais devem ser alocados em P?
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O problema da alocação
dos trabalhadores as vagas
Sem screening, todos os trabalhadores se
parecem, de modo que a firma simplesmente
aloca os trabalhadores aleatoriamente. Deste
modo o produto esperado é dado por:
(20 * 8.910) + (10* 6.012) = $ 238.320
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O problema da alocação
dos trabalhadores as vagas
Se a firma fizer o screening temos que:
A regra ótima de alocação usa a diferença entre
o produto em P e H para cada indivíduo.
A diferença entre o produto em P e H é
chamado de vantagem absoluta do trabalhador
em H.
Os indivíduos com as 20 maiores vantagens
absolutas em H devem ser alocados em H e o
resto em P.
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O problema da alocação
dos trabalhadores as vagas
A lógica é que a firma deseja colocar as pessoas que são
as melhores em H as piores em P em H. Ao contrário,
aquelas que são os melhores em P e os piores em H
devem ir para P.
Classificando as pessoas por diferenças entre seu
produto nos dois setores e alocando-os de acordo
obtremos que a alocação ótima resulta em 10 em P e 20
em H.
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O problema da alocação
dos trabalhadores as vagas
A alocação de 10 em P e 20 em H resulta em que:
Produto total = $298.261 (?)
Custos do screening = 30*700 = 21.000
Produto líquido= 297.246 - 21.000 = 276.246(?)
276.246 > 238.380 [16% maior]
(?)
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O problema da alocação
dos trabalhadores as vagas –
conclusões e implicações
(i) Quando o número de vagas é variável,
os trabalhadores a serem alocados a uma
tarefa onde o seu produto é elevado, é
maior em termos absolutos;
(ii) Quando o número de vagas é fixado
devido a restrições tecnológicas, os
trabalhadores devem ser classificados
com base numa vantagem absoluta e
alocados a uma tarefa apropriada até que
todas as vagas sejam preenchidas;
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O problema da alocação
dos trabalhadores as vagas –
conclusões e implicações
(iii) a screening é mais valiosa ou é mais útil
quando os trabalhadores são heterogêneos, de
modo que suas habilidade não são similares em
cada emprego;
(iv) se há duas ou mais habilidades, os
trabalhadores dever ser alocados as tarefas
onde seu produto é mais elevado em termos
absolutos;
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O problema da alocação
dos trabalhadores as vagas –
conclusões e implicações
(v) quando o número de vagas é fixado,os
trabalhadores devem ser classificados (ranked)
baseados sobre sua vantagem absoluta e estão
alocados as tarefas apropriadas até que todas
as vagas seja preenchidas;
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O problema da alocação
dos trabalhadores as vagas –
conclusões e implicações
(vi) a separação (sorting) dos trabalhadores entre
vagas é mais importante, mais significativa para a
empresa quando os trabalhadores tem diferentes
habilidades; quando aqueles que são bons no emprego
H não são bons no emprego P e vice versa.
A screening é menos valiosa quando os trabalhadores
são homogêneos.
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O tratamento formal do problema da
alocação dos trabalhadores na firma
O problema da designação das tarefas apresentado
neste capítulo refere-se a um caso onde há um
determinado número de vagas a serem preenchidas.
A regra usada para resolver este problema foi o de
classificar as trabalhadores por sua vantagem absoluta
e alocá-los numa vaga de acordo com sua vantagem
absoluta.
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O tratamento formal do problema da alocação
dos trabalhadores na firma [Lazear (1998)]
Suponha que existam:
(i) z trabalhadores e z vagas;
(ii) m cargo do tipo H e (z-m) cargos do tipo P;
(iii) assim, m dos z trabalhadores devem ser alocados a H e (m-z)
devem ser alocados em P;
(iv) Hi – é o produto por trabalhador i em H e
Pi – produto do trabalhador i em P;
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O tratamento formal do problema da
alocação dos trabalhadores na firma
(v) A alocação ótima maximiza a soma de todos os
trabalhadores;
(vi) dando aos trabalhadores uma subscrição, tal que a
alocação ótima tenha trabalhadores 1 até m alocados
em H e (m+1) até z em P, temos que o produto
máximo é dado por:
(1) Max Qt* = H1+ H2+ ... + Hm + Pm+1 +...+ Pz
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O tratamento formal do problema da
alocação dos trabalhadores na firma
Mas se for verdade de Qt* é o produto máximo, então
deve ser verdade que uma mudança nos empregos
entre quaisquer dois trabalhadores irá resultar num
produto mais baixo:
H1+ ... + Hm + Pm+1 + ... Pz >
m
Hr +

Hj Pj +
j=1
jK

z
pq
q= m+1
qr
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O tratamento formal do problema da
alocação dos trabalhadores na firma
( 1  k  m , m+1  r  z) a qual pode ser escrita como:
Hk – Pk > Hr – Pr
(1  k  m , m+1  r  z)
Esta expressão nos diz que a diferença absoluta entre
as k’s produtividades em H e a sua produtividade em P
deve exceder a diferença entre as r’s produtividades em
H e as r’s produtividades em P.
Isto deve ser verdadeiro para todo o K e r onde k é
definido como o trabalhador cujo o nome está entre 1 e
m e r é o trabalhador cujo nome está entre (m+a1) e z.
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O tratamento formal do problema da
alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
Caso com o número
variável de vagas
O tratamento formal do problema
da alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
(i) há n trabalhadores para n vagas a serem
alocadas numa empresa no qual existem dois
setores H e S;
(ii) se a firma não filtra os trabalhadores, ela
deve estimar o valor da produção média em
ambos os setores; onde Hm e Sm são os valores
médios de produção em ambos os setores;
n
Hm = [i=1 Hi/n]
n
e Sm = [
i= 1
Si/n]
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O tratamento formal do problema
da alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
(iii) se os trabalhadores não são filtrados [screened] e o
número de vagas é variável, então o problema da
alocação deveria ser resolvido pela alocação dos
trabalhadores onde a produção média é maior, isto é:
Max (Hm, Sm)
se nós assumirmos que Hm > Sm, a produção total será
Qr = nHm
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O tratamento formal do problema
da alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
(iv) vamos assumir aqui que a firma pode filtrar os
trabalhadores ao um custo unitário $c, condicional a
filtragem, isto é, a firma é capaz de encontrar qual é a
vantagem absoluta do trabalhador na produção, isto é,
para um determinado trabalhador i, a vantagem
comparativa em termos absolutos é Max (Hi, Si), de
modo que o produto total sob screening será igual a:
n
Qscrening = {
i=1
Max [Hi, Si] – cn}
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O tratamento formal do problema
da alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
A filtragem [screening] será ótima somente se:
n
i=1
Max [Hi, Si] – cn  nHm
Assim, vemos que a filtragem [screening] é ótima
quando:
(a) $c é pequeno;
(b) quando os trabalhadores são muito heterogêneos,
de modo que quem é bom no setor H não é bom no
setor S.
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Exemplo – Job assignment – variable slots
N
S
H
Prob.
Max
Diferença
1 JOE
100
69
0.25
100
31
2 ROBIN
80
85
0.25
85
-5
3 ROBERT
60
90
0.25
90
-30
4 LOISE
30
100
0.25
100
-70
Produto total
270
344
Produto médio
67.5
86
Produto com o
indivíduo no seu
max.
93.75
275
37
Exemplo – Job assignment – variable slots
Com custos de screening [c = 10] – 83.75
Com custos de screening [c = 5] – 88.75
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O tratamento formal do problema da
alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
Caso com o número fixo de vagas
O tratamento formal do problema
da alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
(i) suponha que existam n trabalhadores e n vagas, mas
que existam apenas h no setor H e s no setor S, sendo
que s + h = n;
(ii) o problema da alocação ótima maximiza a soma do
produto de todos os trabalhadores;
(iii) assumindo que os trabalhadores possam ser
denominados de 1 a h no setor H e h+1 no setor S, temos
que:
Q* = H1 + H2 + ... Hh + Sh+1 + ... Sn
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O tratamento formal do problema da
alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
Se Q* é ótimo, então deve ser verdade que mudando os
trabalhadores de setor nós não aumentamos o produto. Se
a alocação Q * é ótima, deve ser verdade que Q* > Q k – r.
Assim, temos que:
h
H1+H2 + Hh + Sh+1+ ... Sn >
 hj + Hr + 
j=1; jk
(h+1)  r  ni
n
Sj +Sk
j=h+1; jr
1  k  hi
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O tratamento formal do problema
da alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
Simplificando a expressão acima obtemos que:
Hk + Sr > Hr + Sk
ou que
Hk – Sk > Hr – Sr
(h+1)  r  ni
1  k  hi
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O tratamento formal do problema
da alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
Hk – Sk > Hr – Sr
(h+1)  r  ni
1  k  hi
A expressão acima nos diz que a diferença absoluta
entre k’s na produção nos setores H e S é maior do que
a diferença absoluta ente os r na produção de H e S.
Isto é, qualquer trabalhador alocado em H tem uma
diferença maior entre H e S do que qualquer outro
trabalhador alocado em S.
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Exemplo [O modelo de Garibaldi (2006)]
Vagas
Alocação #1
Alocação #2
S1
100 JOE
100 JOE
S2
80 ROBIN
60 ROBERT
H1
90 ROBERT
85 ROBIN
H2
100 LOISE
100 LOISE
TOTAL
370
345
Média
92.5
86.25
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O tratamento formal do problema
da alocação dos trabalhadores na firma
[O modelo de Garibaldi (2006)]
A regra geral para a obtenção da alocação ótima é a
seguinte:
Classifique os trabalhadores de acordo com sua
vantagem absoluta (diferenças absolutas de
produtividade) e aloque-os nas vagas abertas com base
na classificação (do maior ao menor) até que todas as
vagas em H sejam preenchidas.
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Informação Pública ou Privada
Cada trabalhador alocado em H possui uma grande
diferença entre H e P do que qualquer outro
trabalhador alocado em P.
Isto é exatamente a regra discutida no texto –
classificar os trabalhadores por sua diferença produtiva
absoluta entre H e P com base na classificação (da mais
alta diferença a mais baixa) até que todas as vagas
serem preenchidas.
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A filtragem e a capacidade
da firma de atrair candidatos
Porque um trabalhador insiste em passar por um
processo de seleção, se existe a possibilidade de
não ser efetivado no final e essa informação se
tornar pública?
Empresas que pagam acima do mercado têm que
selecionar, para evitar que candidatos não
produtivos sejam selecionados e efetivados.
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Principais Pontos e
Conclusões do Capítulo
(i) se houver duas ou mais habilidades e vagas de
emprego, então o problema se torna um de alocação de
tarefa:
a) quando o número de vagas é variável, o trabalhador
deveria ser alocado a tarefa onde seu produto é o mais
elevado em termos absolutos;
b) quando o número de vagas é fixo, os trabalhadores
deveriam ser classificados em termos vantagem absoluta
e então alocados a tarefa apropriada até que as vagas
fossem preenchidas;
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Principais Pontos e
Conclusões do Capítulo
c) a filtragem dos trabalhadores entre as vagas
é mais importante quando os trabalhadores têm
diferentes habilidades, isto é, quando aqueles
que são bons no emprego A e são maus no
emprego B e vice versa.
d) a filtragem (screening) é menos valiosa
quando os trabalhadores são homogêneos.
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Fim
Economia dos Recursos Humanos
Prof. Giácomo Balbinotto Neto