Enunciado
Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de h metros. A
bola eleva-se aproximadamente a 1/(b + 2) da altura após cada
queda. Use séries geométricas para calcular o percurso total feito
pela bola até atingir o repouso. O valor de h é o 1o dı́gito do seu
número de aluno e b é a soma dos outros três dı́gitos. Por exemplo,
para o aluno com o n.o 3657 seria h = 3 e b = 6 + 5 + 7 = 18.
Métodos Matemáticos I
Resolução do 2o trabalho de casa
2006/2007
1
Resolução
2
Note que só é possı́vel calcular o numérico valor da soma da série
anterior porque a série dada é convergente. Essa convergência
deve-se ao facto de
1
0 < |r | =
< 1.
20
Como o percurso da subida é igual ao da descida excepto o valor
da altura inicial (pelos motivos já indicados anteriormente) então o
percurso total feito pela bola é:
Para começar vamos determinar o valor de h e de b:
Consideremos, por exemplo, o seguinte n.o de aluno: 3657. Então
h = 3 e b = 6 + 5 + 7 = 18. Temos então uma bola a cair
1
1
inicialmente de 3 metros de altura e a elevar-se a b+2
= 20
da
altura atingida no momento anterior de cada vez que sobe. A bola
irá cair n + 1(= n − 0 + 1) vezes e elevar-se apenas n vezes uma
vez que da primeira vez ela só cai. Como o objectivo é calcular o
percurso total então temos que ter n → +∞. Para o percurso da
descida, e fazendo uso dos conhecimentos de séries geométricas, o
valor percorrido é dado por:
n n
+∞ +∞ 1
1
+
h
−h
h
b+2
b+2
n=0
n +∞ +∞ 1
1 n
3
60
h
=
3
=
=
1
b+2
20
19
1 − 20
n=0
n=0
n=0
+∞ +∞ 1 n 1 n
60 60
63
3
+
3
−3=
+
−3=
=
20
20
19 19
19
n=0
3
n=0
4