Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 3º Ano
Volume da esfera
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio
Volume da Esfera
Objetivos:
•calcular o volume de uma esfera e a área de uma
superfície;
•reconhecer um fuso esférico e calcular sua área;
•reconhecer uma cunha esférica e calcular o seu volume;
•explorar o sólido em 3D com o apoio do software de
apresentação Impress/BrOffice.
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Volume da Esfera
Conteúdos
• Esfera
• Volume da Esfera
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Volume da Esfera
ESFERA
Imagem: Andrevuras/ GNU Free
Documentation License.
Imagem: Higor
Douglas / Creative
Commons Attributio
n-Share Alike 3.0
Unported license.
Imagem: Geek3 / GNU Free Documentation
License.
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Volume da Esfera
Na estrutura do grafite…
Imagem: Ben Mills / Public domain.
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Imagem Slashme / GNU Free Documentation License.
Podemos ver várias esferas em algumas estruturas de
moléculas de compostos químicos.
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ESFERA
• É A UNIÃO DE TODOS
OS PONTOS DO
ESPAÇO EM QUE A
DISTÂNCIA AO
CENTRO DADO É A
MESMA.
Imagem: Autor desconhecido /Disponibilizada por
OgreBot/ Public domain.
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ÁREA DA ESFERA
• EXPERIMENTALMENTE,
PODE-SE CONSTATAR QUE
UMA ESFERA TEM O
EXATO “PESO” DE QUATRO
CÍRCULOS CUJO RAIO É O
MESMO QUE GEROU A
ESFERA, SENDO DO
MESMO MATERIAL.
Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por
Marcelo Reis/GNU Free Documentation License.
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AESFERA  4R
2
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VOLUME DA ESFERA
4R
VOLUME 
3
Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por
Jynus/GNU Free Documentation License .
3
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Podemos tentar
demonstrar as
fórmulas.
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Consideremos um cilindro de raio da base r
(a altura é 2r) e tendo como S o ponto médio do
eixo do cilindro.
Tomemos dois cones, tendo como bases as
do cilindro e S como vértice comum (a reunião
desses dois cones é um sólido chamado
Clépsidra).
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h=2r
S
S
S
S
r
Cilindro
equilátero
Cilindro
Equilátero e
Os dois
cones
Reunião dos
Dois cones
Sólido X,
Cilindro menos
Os dois cones
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Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois
cones, vamos chamar de sólido X (este sólido X é chamado
anticlépsidra).
esfera
r
clépsidra
anticlépsidra
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Consideremos agora uma esfera de raio r e o
sólido X descrito acima.
s
o
s
p
ß
α
s
r
Q
Suponhamos que a esfera
seja tangente a um plano α, que o
cilindro (que originou o sólido X)
tenha base em α e que os dois
sólidos, esfera e sólido X, estejam
num mesmo semiespaço dos
determinados por α.
Qualquer plano secante β,
paralelo a α, distando d do centro
da esfera (e do vértice do sólido X),
também secciona o sólido X.
Temos, portanto:
d
Área da secção na esfera = πs² = π(r² - d²) círculo
Área da secção no sólido X = πr² - πd² = π(r² - d²) coroa circular
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As áreas das secções na esfera e no sólido X
são iguais. Então, pelo Princípio de Cavalieri, a
esfera e o sólido X têm volumes iguais.
Vesfera = Vsólido X
Mas:
Vsólido X = Vcilindro - 2Vcone = πr² . 2r – 2 . (π r² . r/3 )= πr² . 2r – 2πr³/3 = 4πr³/3
Conclusão: O volume de uma esfera de raio r é de 4πr³/3
V= 4πr³/3
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Área da superfície esférica
r+
x
Então, para x = 0, vem:
Referência bibliográfica
Gelson Iezzi; Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 10 – Geometria Espacial – Parte 2
A= 4 πr²
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Noção intuitiva
Se considerarmos uma superfície limitada de
área A e sobre ela formarmos um sólido, de altura x,
de bases “paralelas”, teremos, indicando com V, o
volume do sólido de base A e altura x.
V=Ax
A= V/x
Esta igualdade é verificada para qualquer x.
Intuitivamente, uma superfície é imaginada
como uma “placa sólida” de “espessura infinitamente
pequena”.
Por isso, se uma “placa sólida” de volume Vp
e espessura x for tal que a expressão (função) Vp/x
tem sentido para x = 0, então:
Vp/x ( para x = 0 ) será definida como a área da placa.
Assim podemos deduzir as expressões das
áreas laterais da superfície esférica.
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Área do fuso
Note que quanto maior for o ângulo,
maior será o fuso correspondente; a área do
fuso é diretamente proporcional a α.
.
Fuso esférico
r
Arco equatorial
α
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Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:
Para α em graus:
Para a em radianos:
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CUNHA ESFÉRICA
Se um semicírculo com o diâmetro num eixo
gira a graus (0°< α ≤ 360°) em torno do eixo, ele
gera um sólido que é chamado de CUNHA
ESFÉRICA.
Cunha esférica
r
Arco equatorial
α
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Volume da cunha
Note que quanto maior for o ângulo, maior será o volume
da cunha correspondente; o volume da cunha é
diretamente proporcional a α.
.
Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:
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Exercícios
• Considerando as interações anteriores, é possível partir para os cálculos
mais comuns envolvendo esferas, que são a determinação da área e do
volume. O professor pode propor alguns desafios para que sejam
utilizadas as expressões abaixo.
1) Uma esfera tem raio 15 cm. Calcule:
a) seu volume;
b) sua área;
c) a área da secção feita a 9 cm do centro.
r
15
9
15
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsf
eras2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
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http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsf
eras2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
2) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12 cm e
ângulo central de 60°.
A
60°
12 cm
B
72 m 2
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http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsf
eras2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
3) Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a
144 m2.
4) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3 m do seu centro,
obtém-se uma secção de área de 72π m2, determine o volume dessa esfera.
r
3
R
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http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsf
eras2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
5) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm2.
B
C
M
A
D
R
a
R = a/2
G
F
Q
E
N
M
N
P
a
H
Q
P
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Recursos:
•livro didático;
•laboratório de informática;
•representações gráficas;
•data show;
•no laboratório de matemática: 1 esfera, 1
cone e 1 cilindro de acrílico;
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• duração das atividades: 2 aulas de 50 minutos;
• conhecimentos prévios trabalhados pelo
professor com o aluno: conceitos de ângulo,
diâmetro, raio e medidas. Noções de plano
cartesiano.
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Desenvolvimento
Primeira Etapa
• Exposição dialogada, seguida de tempestade de
ideias, visando à construção do conhecimento. Será
explicado pelo professor que a esfera é um
importante sólido da geometria, que aparece em
inúmeras aplicações importantes da vida cotidiana.
• Nessa aula, também apresentamos uma forma de
manipular o sólido em 3D, usando o programa de
apresentações do BrOffice, o Impress:
(http://www.broffice.org).
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Segunda Etapa
• O professor poderá apresentar uma imagem de uma
esfera, como a apresentada abaixo, no Laboratório de
Informática ou mostrar aos alunos a esfera de acrílico,
no Laboratório de Matemática da escola.
Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por
Kieff/ Public domain.
Recurso disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera
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• Sempre que possível, é importante relacionar o conteúdo com
a vida cotidiana.
• Eis um exemplo que pode ser usado: os rolamentos são
formados por esferas que permitem que ocorra o giro de uma
roda em um eixo, como nas rodas dos carros. Não deixar de
mostrar aos alunos a animação.
Imagem: PlusMinus / GNU
Free Documentation License.
Fonte e Animação:http://pt.wikipedia.org/wiki/Rolamento
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• Sugerimos que o professor proponha que os
alunos conheçam melhor a esfera através da
criação das suas próprias esferas.
• Para isso, o BrOffice/Impress (http://www.broffice.org)
oferece um excelente recurso de desenho de
objetos em 3D. Vamos ver como isso pode ser
feito. É simples.
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Terceira Etapa
• Manuseio do BrOffice, o Impress (http://www.broffice.org).
Acesse o link:
http://www.broffice.org
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• O primeiro passo é exibir a barra de
ferramentas de desenho para objetos em 3D.
• Basta seguir o caminho indicado na figura do
slide anterior: Exibir > Barra de ferramentas >
Objetos3D
• Clicando no ícone da esfera, pode-se
desenhar, girar, redimensionar e alterar a cor
da esfera em 3 dimensões.
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Observe o exemplo abaixo:
Acesse o link:
http://www.broffice.org
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• Uma vez que os alunos já tenham
manipulado e conhecido um pouco mais
sobre a esfera, pode-se partir para um
aprofundamento do estudo da esfera.
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Extras
• Com os recursos apresentados até aqui, é possível
partir para um trabalho que envolva a aplicação do
que foi estudado.
• O professor pode pedir aos alunos que procurem
outras aplicações da esfera na vida cotidiana, como
também realizar cálculos de área e volume.
• A continuidade do trabalho com o programa de
apresentações Impress pode tornar a aula mais
interessante para os alunos.
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• Também pode-se trabalhar com os alunos a
criação de um mapa conceitual, no papel ou
no computador
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Mapa_conceitual).
• Integrar no mapa outros sólidos da geometria
espacial, além das aplicações da esfera,
permitirá aos alunos construírem relações
mais elaboradas da geometria e suas
aplicações.
Referências
•
•
http://matcal.wordpress.com/
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0
CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsferas2010.doc
&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3
VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
Tabela de Imagens
n° do
slide
4a
4b
4c
5
6
7
8
10
30
31
direito da imagem como está ao lado da
foto
Andrevuras/ GNU Free Documentation
License
Higor Douglas / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0
Unported license
Geek3 / GNU Free Documentation License
link do site onde se consegiu a informação
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Ben Mills / Public domain.
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Slashme / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ATBC_Mo
lecular_Structure_Spacefill.png
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http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Poincare_
OgreBot/ Public domain
sphere.png
Autor desconhecido / Disponibilizada por http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steradian
Marcelo Reis/GNU Free Documentation
.png
License
Autor desconhecido / Disponibilizada por http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steradian
Jynus/GNU Free Documentation License
.svg
Autor desconhecido / Disponibilizada por http://commons.wikimedia.org/wiki/File:BlueKieff/ Public domain
sphere.png
PlusMinus / GNU Free Documentation
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:BallBearing.gi
License
f
19/08/2012
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