ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
Ano lectivo de 2014/2015 – 2º Semestre
Exercício 6 - Método dos Deslocamentos
Problema 1 (12 de Janeiro de 2000)
Considere o pórtico e a acção representados na figura 1.
1.a) Indique o grau de indeterminação cinemática da estrutura e os deslocamentos
independentes.
1.b) Trace a deformada associada a cada um dos deslocamentos independentes, indicando os
valores de todos os deslocamentos considerados dependentes.
1.c) Obtenha a equação do Método dos Deslocamentos.
2. Sabendo que os deslocamentos nodais obtidos utilizando o programa POR_PLAN (com
EI0 = 1 kNm2) são:
No
1
2
3
4
Rotacao
0.00000E+00
-8.05254E-01
0.00000E+00
0.00000E+00
Deslocamento X
0.00000E+00
0.00000E+00
1.77824E+00
1.61051E+00
Deslocamento Y
0.00000E+00
0.00000E+00
0.00000E+00
0.00000E+00
trace os diagramas de esforços (M,V,N) na estrutura.
2 kN
3
4
EI = EI0 (kNm2)
3m
EA = 5 EI0 (kN)
1
2
2m
2m
Figura 1
Problema 2 (7 de Fevereiro de 2006)
Considere o pórtico plano e o carregamento representados na figura 2.
10 kN/m
EI constante (kNm2)
3,0 m
4,0 m
EA = 10 EI (kN)
3,0 m
4,0 m
Figura 2
a) Trace as deformadas associadas a cada um dos deslocamentos independentes da estrutura,
indicando os valores de todos os deslocamentos nodais não nulos.
b) Calcule uma coluna, associada a uma translação, da matriz de rigidez da estrutura.
c) Trace a deformada associada à solução particular, indicando os valores de todos os
deslocamentos nodais não nulos, e o correspondente diagrama de Esforço Normal.
d) Calcule os vectores de forças nodais aplicadas, QN, e de forças nodais de fixação, Q0.
Problema 3 (22 de Janeiro de 2008)
Considere a estrutura articulada representada na Figura 3:
a) Indique os deslocamentos independentes a considerar para a análise pelo Método dos
Deslocamentos;
b) Trace as deformadas associadas aos deslocamentos independentes do nó A e caracterize aí
as deformações de cada barra;
c) Determine a equação do sistema resolvente do método dos deslocamentos que define a
condição de equilíbrio da força vertical no nó A;
d) Determine o diagrama de momentos flectores na estrutura devido ao carregamento
indicado.
EI = const. (kNm2)
EA = const. (kN)
3m
A
10 kN/m
4
4
Figura 3
Problema 4 (16 de Junho de 2009)
A viga contínua representada na Figura 4
foi resolvida pelo método dos
deslocamentos, tendo-se obtido a
seguinte expressão para a equação
resolvente ( K * q + Q0 = Q ):
 1,3
EI 
 0,5
0,5   q1  −20   0 
 +
= 
1,75 q2   0  15
2,4 kN/m
4m
5
4
q2
q1
1,5 EI
15 kNm
EI
a) Represente graficamente o significado
Figura 4
físico dos coeficientes da matriz K * e dos vectores Q0 e Q ;
b) Explique a condição imposta pela primeira equação do sistema.
EI
Problema 5 (16 de Junho de 2009)
Para a estrutura e o carregamento definidos
na Figura 5:
a) Defina a equação resolvente do método
dos deslocamentos;
b) Determine o deslocamento δ;
c) Determine os diagramas de esforços
(M, V, N) na barra BC.
1,5kNm
C
B
EI = const.
δ
EABD = 4 2 EI
EAABC = 8 EI
4m
A
D
2
Figura 5
2
Problema 6 (27 de Maio de 2011)
Considere a análise da estrutura representada na figura 6 pelo Método dos Deslocamentos.
a) Para a acção das forças, trace os diagramas de esforços (M, V, N) e a deformada
aproximada. Não necessita de indicar os valores dos deslocamentos dependentes;
b) Para a acção da variação de temperatura, trace a deformada aproximada correspondente à
solução particular. Não necessita de indicar os valores dos deslocamentos dependentes.
∆TL > 0
36 kN
E constante
Secção constante
α constante
32 kN
3m
1m
1,5 m
1,5 m
Figura 6
Problema 7 (26 de Maio de 2012)
Considere a análise da estrutura representada na figura 7 pelo Método dos Deslocamentos.
a) Para a acção de uma carga vertical uniformemente distribuída de 1 kN/m apenas no
vão BC, trace os diagramas de esforços (M, N) e a deformada aproximada;
b) Para a acção de um assentamento vertical ∆ no apoio A, calcule os vectores das forças
nodais e das forças nodais de fixação.
B
A
6m
D
C
6m
6m
Figura 7
E, I, A uniformes
Problema 8 (5 de Junho de 2013)
1,2 kN/m
EI = const.
Considere a análise pelo Método dos
EA =const.
Deslocamentos da viga biencastrada
2m
2
Figura 8
representada na Figura 8. Sem recorrer a
simplificações de simetria:
a) Determine a equação resolvente;
b) Represente o significado físico de uma coluna da matriz de rigidez e dos coeficientes do
vector das forças nodais de fixação;
c) Calcule o diagrama de momentos flectores.
Problema 9 (5 de Junho de 2013)
Resolva a viga contínua representada na Figura 9 para o carregamento indicado (rotação
imposta θ = 1 rad) e confirme as rotações que caracterizam a deformada definida na mesma
figura.
θ = 1rad
6
EI, EA = const.
6m
1 rad
6
0,2857
Figura 9
0,1429