Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Matemática A – 11º Ano
ACTIVIDADE INVESTIGATIVA
Tema: Funções inversas
Nome:______________________________ Turma: ___ Data: __/___/___
Funções Inversas
Objectivo:

Descobrir quais as funções que possuem inversa.

Relacionar os domínios e os contradomínios de uma função e da sua inversa.
Material:

Lápis, régua e borracha;

Calculadora gráfica;

Representação gráfica das funções: y = 2x + 1 , y = 1 +
1
e y = x2 .
x
Para resolver esta actividade, leia com atenção as indicações correspondentes a cada
parte. Deverá recorrer à respectiva representação gráfica para responder às questões.
Parte A
1. Preencha os espaços em branco:
Uma função f diz-se _____________ num intervalo I do seu domínio, quando para
dois valores quaisquer a e b de I:
Se a ! b "
Ou,
()
()
Se f a = f b ! a = b
2. Recorra à folha onde se encontra a representação gráfica correspondente à parte A
2.1. Classifique a função f (x ) = 2 x + 1 quanto à injectividade. Justifique.
1
2.2. Desenhe no referencial cartesiano a recta de equação y = x e dobre a folha de papel
segundo essa recta. Mantendo a folha de papel dobrada decalque a lápis (exercendo
alguma pressão) a reflexão do gráfico da função f (x ) = 2 x + 1 em relação à recta y = x
2.3. Desdobre a folha e marque a reflexão obtida com uma cor diferente.
2.4. Descreva a relação que existe entre o gráfico da função, f (x ) = 2 x + 1 e a sua
reflexão ao longo da recta de equação y = x .
2.5. A recta obtida pela reflexão do gráfico de f relativamente à recta y = x é o gráfico
de uma função. Denotemos essa função por
f !1 . Relacione os domínios e
contradomínios das duas funções.
2.6. Determine a expressão analítica da função f !1 resolvendo a equação y = 2x + 1 em
ordem a x.
Parte B
3. Recorra à folha onde se encontra a representação gráfica correspondente à parte B
3.1. Classifique a função g (x ) = 1 +
1
quanto à injectividade. Justifique.
x
3.2. Desenhe no referencial cartesiano a recta de equação y = x e dobre a folha de papel
segundo essa recta. Mantendo a folha de papel dobrada decalque a lápis (exercendo
alguma pressão) a reflexão do gráfico da função g (x ) = 1 +
1
em relação à recta y = x .
x
3.3. Desdobre a folha e marque a reflexão obtida com uma cor diferente.
3.4. Descreva a relação que existe entre o gráfico da função, g (x ) = 1 +
1
e a sua
x
reflexão ao longo da recta de equação y = x .
2
3.5. A reflexão do gráfico de g relativamente à recta y = x é o gráfico de uma função.
Denotemos essa função por g !1 . Relacione os domínios e contradomínios das duas
funções.
3.6. Determine a expressão analítica da função g !1 resolvendo a equação y = 1 +
1
em
x
ordem a x.
Parte C
4. Recorra à folha onde se encontra a representação gráfica correspondente à parte C
4.1. Classifique a função h (x ) = x 2 quanto à injectividade. Justifique.
4.2. Desenhe no referencial cartesiano a recta de equação y = x e dobre a folha de papel
segundo essa recta. Mantendo a folha de papel dobrada decalque a lápis (exercendo
alguma pressão) a reflexão do gráfico da função h (x ) = x 2 em relação à recta y = x .
4.3. Desdobre a folha e marque a reflexão obtida com uma cor diferente.
4.4. Descreva a relação que existe entre o gráfico da função, h (x ) = x 2 e a sua reflexão
ao longo da recta de equação y = x .
4.5. A reflexão do gráfico de h relativamente à recta y = x não é o gráfico de uma
função. Porquê? Confirme a afirmação anterior resolvendo a equação y = x 2 em ordem
a x.
4.6. A função h não admite função inversa, será que o facto de a função h não ser
injectiva condicionou essa situação? Justifique a sua resposta.
3
Conclusões:
 Quando dados dois quaisquer objectos diferentes do domínio da função
imagens são diferentes, isto é,
f as suas
!a, b " D f , diz-se que a função f é
injectiva, então é possível definir a função inversa de f;
 Uma função f admite função inversa se e só se f é____________;
 Quando as representações gráficas de duas funções são _____________ em relação
à recta de equação y = x , dizemos que as funções são inversas uma em relação à outra
e podemos dizer que se uma é a função f a outra pode-se representar por
 Que relação existe entre os domínios e contradomínios de uma função ( f )
e da sua
( )
inversa f !1 ? _________________________________________________________
A função reflexão é obtida trocando as ___________e as ____________da função
inicial.
4
Parte A
5
Parte B
6
Parte C
7