AA-220
AERODINÂMICA NÃO
ESTACIONÁRIA
Soluções elementares
Equação do Potencial Aerodinâmico
em regime supersônico
Prof. Roberto GIL
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Ramal: 6482
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Equação do potencial aerodinâmico
Equação do potencial, regime subsônico e supersônico:
E a solução elementar obtida é dada por:
Note que temos duas soluções na realidade. Busca-se portanto uma
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interpretação física para o entendimento destas soluções.
Solução elementar: regime subsônico
E o que representa esta solução?
Vamos supor uma frente de
propagação de uma perturbação em
um tempo t0=τ , de acordo
com o diagrama ao lado A onda esférica em um instante
de tempo t > τ possui o centro
da esfera em uma posição
correspondente ao trajeto
de convecção da onda de U(t -τ )
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Convecção das perturbações
A fonte colocada da origem gera um pulso em um determinado
instante de tempo t0 (ou τ).
Decorrido um intervalo de tempo, sendo o tempo final igual a t, a
onda gerada no instante inicial é convectada a uma velocidade U.
Como a velocidade do som é finita, a velocidade da onda no
sentido oposto à direção do escoamento será menor que a
velocidade da onda que se propaga na direção do escoamento U;
Resolvendo a equação para a esfera de perturbação :
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Tempo de retardo (Retarded time)
Resolvendo a equação:
Temos como solução:
Que representa o tempo de retardo das “informações”
aerodinâmicas devido ao efeito da compressibilidade, ou seja ao
fato que a velocidade do som é finita e invariante com relação ao
referencial. .
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Caso subsônico:
Observando a figura ao lado
nota-se que podemos
identificar que apenas uma
das raízes é válida para o
regime subsônico
Neste regime, M < 1, R > x
para que τ < t, o que
restringe escolher :
τ =t+
1
aβ
2
( Mx − R )
E a solução elementar poderá
ser escrita como:
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E no caso supersônico?
A equação governante é a mesma, entretanto, como O número de
Mach é maior que 1, deve-se usar uma transformação apropriada
para se chegar a uma forma da equação da onda convectada
conhecida como equação de Helmholtz.
Note que:
β = 1− M 2
, M > 1 , ⇒ β = −1( M 2 − 1)
β = i M 2 −1 ,
E a transformação de Lorentz-Galileu ficará na seguinte forma:
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Comparação entre os regimes
Veja que:
M>1
M<1
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Equações do potencial aerodinâmico:
Regime subsônico




2
U
1
β 2φxx + φ yy + φzz − 2∞ φxt − 2  φtt = 0
 a 
 a 
0
0
Regime supersônico
 2U 
 1 
β φxx − φ yy − φzz − 2∞  φxt − 2 φtt = 0
 a 
 a 
2
0
0
Onde os sinais negativos vem da derivada segunda com relação
às coordenadas cartesianas transformadas por Lorentz-Galileu.
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Obtenção da solução elementar
Partindo da equação transformada por Lorentz-Galileu:
Obtemos a for de Helmholtz, no domínio da frequência no espaço
e uma equação no domínio do tempo.
Chega-se exatamente a mesma solução elementar pois a equação
da onda transformada é a mesma:
No entanto, ao se transformar de volta para o sistema original,
observa-se que a solução elementar fica diferente do caso
subsônico:
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Obtenção da solução elementar
No regime supersônico, portanto temos:
Notando que:
Ao contrário do caso subsônico onde a onda sempre é de avanço e
a solução para uma onda que retrocede (como uma implosão) não
interessa pois sabe-se que o potencial emana da localização da
fonte para o infinito.
Todavia, agora o efeito de onda que retrocede surgirá pois é
sentido em um ponto ap;os a passagem da fonte que se move a
uma velocidade maior que a de propagação das perturbações em
um fluido, isto é, a velocidade do som.
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Fonte que se move
Graficamente podemos ver que um ponto no espaço percebe duas
vezes uma perturbação, uma de uma onda que avança e outra de
uma que retrocede:
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Interpretação física
Note que da mesma forma, a perturbação ocorreu em um instante
de tempo t0 = τ, e de tão rápido que se move, perturba um
determinado ponto no espaço de duas formas através de uma
frente de onda que avança a a frente da onda que passou, ou
seja, a que retrocede com relação a fonte que perturbou o meio
em dois instantes seguinte t1 e t2 .
É importante notar que o ponto deve estar dentro do espaço
perturbável, o qual se observa apresentar uma forma cônica.
Este cone é conhecido como cone de Mach é é delimitado por uma
superfícies de perturbação cônica conhecida também por onda de
Mach.
O ângulo deste cone a partir do seu vértice, onde a fonte se
localiza é dado por:
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O cone de Mach
O seu significado compreende a uma região perturbável pela fonte
que se move. Fora deste cone não existe perturbação até que a
onda de Mach atinja um determinado ponto, passado algum
tempo que a fonte se moveu.
Analisemos as equações das duas esferas circunscritas dentro do
cone:
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Solução elementar
Resolvendo as duas equações tem-se:
com
chegando a:
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Retenção dos dois termos de atraso
Comparado a solução elementar: (M>1)
Com a correspondente para M<1 :
Nota-se que se pode reter as duas
soluções que compreendem a formação de
duas ondas que se expandem.
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Forma final:
Substituindo na forma final as constantes
temporais na solução elementar tem-se:
 M ( x)




iωt −


φ0 iωτ1
2φ0 
ω R 
 aβ 2 
iωτ 2


cos  2 
φ ( x, y,z,t ) = (e + e ) =
e
 aβ 
R
R 




... e compare com o caso subsônico:
φ0 iωτ
φ0
φ ( x, y,z,t ) = (e ) = e
R
R
 M ( x)−R 

iωt +
2

aβ

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