Guia de Estudos sobre Entropia
GABARITO
GE 7.2) Teste sua compreensão!
GE 7.2.1) Marque V ou F. Justifique todas as suas respostas.
( F ) No zero absoluto a energia interna de um sistema é nula.
Comentário: Não, a física quântica mostra que mesmo no zero absoluto há uma energia interna
mínima.
(V)
dS =
dQ
é uma expressão quantitativa da 2ª Lei da Termodinâmica.
T
Comentário: Até agora a segunda lei havia sido expressa em termos de uma “impossibilidade”, Para
formulá-la em termos quantitativos usamos o conceito de entropia S, como expresso acima. A entropia
relaciona-se com a probabilidade de um sistema estar numa dada configuração em função do número
de possibilidades de configuração que esse sistema possa ter.
( F ) Quanto mais próximo de Zero Kelvin, mais fácil é abaixar a temperatura de um sistema.
Comentário: Pelo contrário, se torna mais difícil abaixar a temperatura de um sistema à medida que se
diminui a temperatura. Como mostra a 3ª lei da termodinâmica, é impossível atingir o zero absoluto
através de um número finito de processos cíclicos.
( F ) A variação de entropia depende do caminho.
Comentário: Não, entropia é uma variável de estado, e portanto depende apenas do estado inicial e
final do sistema.
( V ) A variação de entropia em um processo cíclico é igual a zero.
Comentário: Sim, a entropia só depende do estado final e inicial, portanto sua variação é nula em um
ciclo, pois o estado inicial e final coincidem.
( V ) Sabendo que a temperatura da fonte quente permanece inalterada, pode-se dizer que ∆U = 0
nesta fonte.
Comentário: A temperatura não varia, logo a energia interna também não varia. Mas a entropia
aumenta durante o ciclo, pois calor é retirado da fonte quente e entregue à fonte fria.
( V ) A entropia nunca diminui em um processo reversível.
Comentário: Variação TOTAL de entropia durante qualquer ciclo reversível é igual a zero
( V ) A entropia nunca diminui em um processo irreversível.
Comentário: A variação total de entropia é sempre positiva em processos irreversíveis, porque o que se
perde é a disponibilidade da energia (ou seja, a oportunidade de converter calor em trabalho
mecânico).
1
( V ) A entropia do universo sempre aumenta.
Comentário: Como todo processo natural é irreversível a entropia do universo sempre aumenta. A
energia disponível para produção de trabalho diminui e portanto o universo se torna mais caótico ou
“aleatório”, contribuindo para um aumento da entropia.
( V ) É impossível a ocorrência espontânea de um processo onde a entropia diminui.
Comentário: Como todo processo natural é irreversível, todo processo espontâneo sempre ocorre no
sentido de aumento da entropia.
( V ) Em processos irreversíveis as variações positivas de entropia sempre superam as negativas.
Comentário: em processos irreversíveis ocorrem variações positivas e negativas de entropia
simultaneamente, no entanto a variação total é sempre positiva
( V ) Quando a entropia aumenta a disponibilidade de energia diminui.
Comentário: Isso é uma conseqüência da segunda lei da termodinâmica. A transformação de energia
mecânica em calor é um processo irreversível, portanto a energia convertida se torna indisponível para
a realização de trabalho.
( F ) Entropia é uma grandeza que pertence a cada partícula individualmente.
Comentário: Não faz sentido falar de entropia de uma partícula. Entropia relaciona-se com a
probabilidade de um sistema estar numa dada configuração em função do número de possibilidades de
configuração que esse sistema possa ter.
( V ) Para um dado estado macroscópico podem haver vários estados microscópicos correspondentes.
Comentário: Sim, há várias formas de configuração microscópicas que resultam na mesma
configuração macroscópica.
GE 7.2.2) Sobre a entropia de um sistema, não é correto afirmar que:
a) Nunca pode ser negativa.
b) Nunca pode diminuir.(X)
c) Pode variar em um sistema isolado.
d) Sua variação independe do processo.
* ATENÇÃO: A entropia (S) de um sistema nunca pode ser negativa, no entanto a VARIAÇÃO DE
ENTROPIA ( ∆S ) pode ser negativa, em um sistema isolado ou em um processo reversível.
GE 7.2.3) Em um processo de expansão livre de um estado a para um estado b é correto afirmar que:
a) a entropia e a energia interna não se alteram.
b) a variação da entropia é a mesma que ocorreria em uma expansão reversível, enquanto a
variação de energia interna é nula. (X)
c) As variações de energia interna e de entropia são positivas.
2
d) A variação de energia interna é menor que zero e a variação de entropia é maior que zero.
GE 7.2.4) A entropia pode diminuir:
a) Em um processo cíclico;
b) Apenas em um sistema submetido a um processo idealizado, para o qual a segunda lei não é válida;
c) Dentro de um sistema isolado submetido a um processo irreversível;
d) Dentro de um sistema submetido a um processo reversível. (X)
GE 7.2.5) Não violaria a segunda lei da termodinâmica, um processo de:
a) Compressão espontânea do ar em uma sala;
b) A água dentro de um copo sobre a mesa começar a congelar espontaneamente;
c) Fluir calor da Terra para o Sol;
d) Uma lata de Coca-Cola entrar em equilíbrio térmico com o gelo dentro de um recipiente
fechado de isopor. (X)
GE 7.3) Temperatura e a 3ª Lei da Termodinâmica
GE 7.3.1) A eficiência de um ciclo de Carnot não depende da natureza da substância operante, isto é:
| ∆QH | − ∆QC
| ∆QH |
Ou
= f (TH − TC )
∆QC
∆QH
= 1 − f (TH − TC )
| ∆QH |
1
=
= F (TH − TC )
∆QC
1 − f (TH − TC )
Em 1848, William Thompson, mais tarde, Lord Kelvin, propôs que F(TH, TC) fosse igual a
quantidades
ΘH
. As
ΘC
Θ são chamadas de temperaturas termodinâmicas e seriam independentes de qualquer
substância específica. As temperaturas termodinâmicas
Θ têm o mesmo significado que as
temperaturas T definidas pelos termômetros de gás à volume constante à baixas pressões.
3
a) Para o ciclo de Carnot usando um gás ideal,
como mostrado na figura ao lado, calcule
∆QH
para 1 mol de gás em função de VK, VL e TH.
VK
VL
∆QH = WKL = nRTH ln
b) Calcule
∆QC em função de VN, VM e TC.
V
V
= − nRTC ln M
VM
V
∆QC = WM = nRTC ln
c) Com auxílio da equação
prove que
Tf Vf
γ −1
= TiVi
γ −1
VL VM
=
VK V Como
TH V L
TH V K
VL
VK
γ −1
γ −1
d) Mostre que
=
γ −1
γ −1
VM
V
= TCVM
= TCV γ −1
γ −1
∴
γ −1
e
γ −1
V L VM
=
VK V ∆QH TH Θ H
=
=
, ou seja, que
∆QC TC Θ C
as temperaturas dos termômetros de gás a
volume constante à baixas pressões sejam as
mesmas que as temperaturas termodinâmicas de
Kelvin.
V < VM ∴ ∆QC < 0
∆QC = − ∆QC
VM
 TC  ln V ∆QC

= −
∆QH
 TH  ln VK
VL
∆QC
T
=− C
∆QH
TH
4
∆QC
∆QH
=
TC
TH
Portanto, como mostramos ser uma função só das
temperaturas
T
| ∆QH |
= F (TH − TC ) = C
∆QC
TH
Temos que
Θ C TC
=
Θ H TH
ENUNCIADO DA 3ª. LEI DA TERMODINÂMICA: O zero absoluto de temperatura é inatingível em
qualquer seqüência finita de processos.
Em termos de entropia pode-se dizer que a entropia do estado de equilíbrio de qualquer sistema tende
a zero quando a temperatura tende para o zero absoluto.
GE 7.3.2) Represente uma seqüência de ciclos de Carnot,
em um diagrama p x V e discuta o que aconteceria se você
fosse cada vez mais resfriando o sistema. Como isto se
relaciona com a 3ª. Lei da Termodinâmica.
Resp: Ao abaixarmos a temperatura o valor da área vai
ficando cada vez menor. No limite teríamos uma situação
onde seria retirado calor em um ciclo sem uma mudança de
temperatura.
GE 7.3.3) Represente uma seqüência de ciclos de Carnot,
em um diagrama T x S e discuta o que aconteceria se você
fosse cada vez mais, resfriando o sistema.
Resp: Cada área corresponde ao calor Q retirado do
sistema. No limite de resfriamento teríamos um processo
isotérmico
sem
uma
correspondente
diminuição
da
entropia.
GE 7.3.4) Como os resultados dos dois itens anteriores levam à 3ª. Lei da Termodinâmica?
Resp: Não é possível atingir o zero absoluto através de um número finito de processos
termodinâmicos.
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GE 7.4) Variação de entropia em processos reversíveis e irreversíveis
GE 7.4.1) Liga-se um ar condicionado em uma sala e a temperatura cai de 30º para 17ºC. Responda:
a) A variação de entropia na sala é positiva?
b) Isso viola a 2ª Lei? Explique.
Resp:
a) A variação da entropia é negativa, pois foi retirada uma certa quantidade de calor da parte quente
(dentro da sala) e entregue para a vizinhança (lado externo).
b) Este fato não viola a 2ª lei porque a vizinhança tem uma variação positiva de entropia, sendo essa
maior que a variação de entropia no interior da sala.
GE 7.4.2)
Em um dia úmido, o vapor d’água se condensa em uma superfície fria. Durante a
condensação como varia a entropia da água? Explique com base na segunda lei da Termodinâmica.
Resp: A entropia da água diminui e da vizinhança aumenta, pois a mesma quantidade de calor que sai
do vapor é cedido à superfície fria. Considerando a variação total temos um aumento de entropia, como
prevê a segunda lei.
GE 7.4.3) Existe alguma variação de entropia em movimentos puramente mecânicos?
Resp: A variação de entropia ocorre sempre que existir transferência de calor.
GE 7.5) Variação de Entropia
GE 7.5.1) Qual é a variação sofrida por 1,0 kg de água ao se transformar em vapor a 100º C a uma
pressão de 1 atm.
Resp: Encontre o valor de Q pela expressão
(
Q = mLV já que se trata de um processo de vaporização.
)
Q = 1kg 2256 x10 3 J / kg.K = 2256kJ
Com esse valor e com a temperatura em Kelvin, pode-se calcular a variação de entropia envolvida no
processo:
∆S =
Q 2256 x10 3 J
=
= 6,05 x10 3 J / K
T
373K
GE 7.5.2) Um amostra de 1 kg de cobre, a 100ºC, é colocada num calorímetro com 4 litros de água a
0º C. A capacidade calorífica do calorímetro é desprezível. Calcule a variação da entropia:
a) do cobre;
b) da água;
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c) do universo.
Resp: Calcule a temperatura final do sistema:
Qcedido = Qrecebido
1x0,386(100 − t ) = 4 x 4,190(t − 0 )
t = 2,26º C = 275,4 K
Cobre
Universo
Água
∆S cobre = mcobre ccobre ln
TF
Ti
275,4
373
= −117 J / K
TF
Ti
∆S universo = ∆S agua + ∆S cobre
275,4
273,15
∆S universo = 137 − 117 = 20 J / K
∆S agua = magua c agua ln
∆S cobre = 0,386 ln
∆S agua = 4 (4,190) ln
∆S cobre
∆S agua = 137 J / K
∆S universo = ∆S agua + ∆S cobre
∆S universo > 0
Processo irreversível
GE 7.5.3) Se 500J de calor são transferidos de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300 K, responda:
a) Qual é a variação de entropia do universo?
b) Que parcela dos 500J pode ser transformada em trabalho?
Resp: A entropia do Universo é a soma das entropias da fonte quente com a da fonte fria
∆S universo = ∆S H + ∆S C
∆S universo =
−Q Q
+
TH TC
1 
 1
∆S universo = 500 −
+
 = 0,417 J / K
 400 300 
b) Calcule a eficiência da máquina usando
e = 1−
TC
TH
e = 1−
300
= 0,25
400
Por fim, calcule o trabalho usando a expressão:
W = eQH
W = 0,25(500) = 125 J
7
GE 7.5.4) Um sistema absorve 300 J de calor de uma fonte a 300 K e 200J de outra fonte a 400K.
Retorna, então, ao estado inicial, efetuando 100J de trabalho e descarregando 400J de calor em um
reservatório na temperatura T.
a) Qual a variação da entropia do sistema em um ciclo completo?
b) Se o ciclo for reversível, qual a temperatura T?
Resp:
a) A entropia é uma função de estado, portanto ela será sempre nula em um processo cíclico
b) O calculo de TC pode ser feito lembrando que a variação da entropia do Universo é a soma das
variações de entropia nas três fontes.
∆S universo = ∆S H1 + ∆S H 2 + ∆S C
∆S universo = +
0=+
Q
Q
Q
+
−
TH1 TH 2 TC
300 200 400
+
−
300 400 TC
TC = 267 K
GE 7.5.5) Calcule a variação de entropia do universo em um processo em que 10 g de vapor de água
a 100ºC e a 1 atm são introduzidos em um calorímetro de capacidade calorífica desprezível contendo
150g de água e 150g de gelo a 0ºC.
Resp: Calcule as transferências de energia que ocorrem no calorímetro:
1ª) Calor necessário para derreter 150g de gelo:
Q = mLF Q1 = 0,150kg (334 x10 3 J / kg.K ) = 50,1kJ
2ª) Calor liberado pelo vapor na liquefação e o calor que reduz a temperatura de 10g de água de 100ºC
para 0ºC
Q = mLV + mc∆T
(
) [
]
Q2 = (10 x10 −3 ) 2.257 x10 3 + 10 x10 −3 x 4190 x100 = 26,76kJ
Se
Q2 = Q1 ∴ T final = 273K
Encontre a massa de gelo que derrete com o calor fornecido a ela:
∆Q = mLF ⇒ m =
26,75
= 0,0802kg = 80,2 g
333,5
Pode-se calcular agora as variações de entropia
8
Gelo
Vapor
T
Q2
= 26,75 J / K ∆S vapor = − mvapor LV / Tl + magua c agua ln i
273
Tf
∆S g = 98 J / K
∆S vapor = −22750 / 373 + 41,84 ln 0,732
∆S g =
∆S vapor = −74 J / K
Universo
∆S universo = ∆S gelo + ∆S vapor
∆S universo = 24 J / K
∆S universo > 0
Processo irreversível
GE 7.5.6) Construa o gráfico T x S de acordo com os gráficos p x V
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GE 7.6) VISÃO MICROSCÓPICA DA ENTROPIA
Suponha que duas moedas sejam lançadas num jogo de “cara” e “coroa”. Qual é a probabilidade de
que ambas exibam “cara”? Só há uma configuração possível para que isso ocorra (veja tabela). O
mesmo vale para se obter ambas com “coroa”. No entanto existem duas maneiras distintas de se obter
uma “cara” e uma “coroa”. Existem ao todo 4 possibilidades de configuração, em duas delas o sistema
exibe 1 cara e 1 coroa, é portanto esse deve ser o resultado mais provável.
Configuração
microscópica do
sistema “2 moedas”
Nº de possibilidades
Possibilidades
microscópicas para um
microscópicas
mesmo estado
macroscópico
2 caras
1
1 cara e 1 coroa
2
2 coroas
1
Siga o mesmo raciocínio para 3 moedas:
Nº de possibilidades
Configuração microscópica
do sistema “3 moedas”
Possibilidades microscópicas
microscópicas para um
mesmo estado
macroscópico
10
3 caras
1
2 caras e 1 coroa
3
1 cara e 2 coroas
3
3 coroas
1
GE 7.6.1) Qual é o resultado mais provável ao lançar 3 moedas?
Resp: Pela tabela acima, vemos que existem 3 possibilidades de se obter 2 caras e 3 possibilidade de
se obter 2 coroas. Essas duas configurações são as que tem a maior probabilidade de ocorrer quando
se lança 3 moedas.
GE 7.6.2) Em um jogo com seu colega, no qual fossem lançadas quatro moedas, você apostaria em:
a) todas exibindo cara
c) 1 cara e 3 coroas
b) todas exibindo coroa
d) 2 coroas e 2 caras
Qual a razão da sua escolha?
Resp: Por existe mais chance de ocorrer a configuração “d” quando se tem 2 caras e duas coroas,
comparado com as demais possibilidades.
GE 7.6.3) Repita o mesmo procedimento das figura acima, mas agora considerando 4 moedas. Sua
resposta se confirma?
Resp: A resposta se confirma já que há seis configurações possíveis para se obter 2 caras e duas
coroas e para as demais configurações o número de possibilidades é menor (4 ou 1)
Configuração microscópica do
Possibilidades
sistema “4 moedas”
microscópicas
todas exibindo cara
Nº de possibilidades
microscópicas para um mesmo
estado macroscópico
1
11
três caras e uma coroa
4
Duas caras e duas coroas
6
Uma cara e três coroas
4
Quatro coroas
1
GE 7.6.4) Em um novo jogo seu colega lança 4 moedas , sendo que uma foi pintada de azul. Ele lhe
diz que obteve 4 caras, facilmente você pode dizer que a moeda azul saiu exibindo cara. Caso seu
colega lhe dissesse que a configuração é de 2 caras e 2 coroas, e lhe perguntasse: Como está a
moeda azul? Você poderia responder com certeza a essa pergunta?
Resp: Quando as moedas caem todas exibindo cara é evidente a configuração de cada moeda
individualmente. Isso não ocorre quando elas caem 2 caras e 2 coroas. A moeda azul pode estar entre
as duas que caíram exibindo cara ou entre as duas que caíram exibindo coroa; não há como afirmar
com certeza a posição de nenhuma das moedas individualmente.
GE 7.6.5) Se um determinado número de moléculas confinados num cilindro se expandem em uma
sala, o número de posições onde ela pode ser encontrada aumenta ou diminui?
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Resp: O número de posições aumenta, já que ela tem mais espaço para percorrer. A princípio uma
molécula poderia ser encontrada com certeza dentro do cilindro, em alguma posição daquele pequeno
espaço. Após a expansão ela poderá estar em qualquer posição dentro de todo o espaço da sala.
GE 7.6.6) Aumenta-se a temperatura de um certo gás confinado em um êmbolo. Como isso interfere na
distribuição de velocidades das moléculas? O que se pode afirmar sobre o número de posições
possíveis que as moléculas podem ocupar dentro do êmbolo antes e depois do aquecimento?
Resp: O aumento de temperatura, como já foi visto anteriormente, aumenta a energia interna do
sistema. Assim, tendo maior energia interna um maior número de moléculas poderá ocupar as
posições possíveis e disponíveis para o gás dentro do êmbolo depois do aquecimento.
GE 7.6.7) Seja
w o número de estados microscópicos possíveis para um dado estado macroscópico.
Podemos mostrar que a entropia S de um estado macroscópico é dada por S = k ln w . Onde k é a
constante de Boltzmann. Como entropia é uma variável de estado (ou seja, em qualquer processo a
variação da entropia é o que interessa) podemos dizer que
∆S = S 2 − S1
∆S = k ln w2 − k ln w1
∆S = k ln
w2
w1
Considere que n moles de um gás estão à temperatura T confinados em uma caixa termicamente
isolada e dividida por uma parede em dois compartimentos, cada um com volume V. Inicialmente em
um dos compartimentos foi feito vácuo. A seguir quebramos a parede e o gás se expande e preenche
completamente os dois compartimentos da caixa. Calcule a variação de entropia nesse processo de
expansão livre, usando a definição microscópica da entropia dada acima.
Resp:
Não há trabalho realizado, não há variação da energia interna, contudo as moléculas tem 2 vezes mais
espaço para se mover.
= n A é o número total de moléculas, assim , o número total de moléculas cresce de 2 , ou seja
w2 = 2 w1
∆S = k ln
w2
2 w1
= k ln
w1
w1
∆S = k ln 2 ∆S = k ln 2
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Como
= n A e k =
R
, obtemos
A
 ln 2 = nR ln 2 Este resultado é o mesmo que seria obtido se o cálculo fosse feito
∆S = (n A ) R

A

através da expressão:
∆S =
Q
T
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