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Universidade Estadual de Santa Cruz
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Especialização em Matemática
Disciplina: Estruturas Algébricas
Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta
Operações Binárias
0.1 Definição. Seja A um conjunto. Uma operação binária
é uma aplicação de A A em
A, ou seja, é uma regra que associa a cada par ordenado de elementos de A, algum elemento
em A:
:A
A !A
(a; b) 7 ! a b
Observe que a operação binária num conjunto A é uma regra de…nida para todos os
pares ordenados de elementos de A. Observe também o seguinte : uma operação binária
em
A é uma regra que associa a cada par de elementos em A algum elemento que também está em
A. Esta exigência de que o elemento associado ou resultante pela regra também esteja em A é
conhecida como condição de fechamento. Dizemos assim que A é um conjunto fechado sob
a operação binária . E a operação binária é também chamada lei de composição interna.
Exemplos e Contraexemplos
Exemplo 0.1. A operação usual de adição no conjunto dos números reais, R (e também
em C ou Z) é uma operação binária.
Exemplo 0.2. A operação usual de multiplicação no conjunto dos números reais, R
é uma operação binária.
Exemplo 0.3. Seja M (R) o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A
operação
+ : M (R)
M (R) ! M (R)
2
(A; B) 7 ! A + B
não é uma operação binária.
Exemplo 0.4. Seja M = Mm
n (R)
o conjunto das matrizes de tamanho m
n com
elementos reais, então a adição usual de matrizes é uma operação binária.
Exemplo 0.5. Seja M = Mn (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n com
elementos reais, a operação multiplicação de matrizes é uma operação binária.
Exemplo 0.6. A subtração em Z (e também em Q,R e C) é uma operação binária.
Exemplo 0.7. A subtração em N não é uma operação binária.
Exemplo 0.8. Consideremos
+:R
!R
R
(a; b) 7 ! a + b:
Agora, analisemos se esta é uma operação binária.
Exemplo 0.9. Consideremos
:N
! N dada por (a; b) 7 ! ab , a operação de
N
potenciação em N é uma operação binária em N :
Consideremos os exemplos abaixo, analisando se apresentam uma operação binária:
Exemplo 0.10. A operação de potenciação em Z:
Exemplo 0.11. A operação de potenciação em Q:
Exemplo 0.12. A operação de potenciação em R:
Exemplo 0.13. A operação de divisão em Q e em R .
Exemplo 0.14. A operação de divisão em N, Z, Q, R, N e em Z
Exemplo 0.15. Seja F = F (R) o conjunto das funções de R em R. Para cada par
ordenado de funções (f; g) 2 F
F , de…nimos as seguintes operações binárias:
ADIÇÃO DE FUNÇÃO
+:F
F
!F
3
(f; g) 7 ! f + g
MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO
:F
F
!F
(f; g) 7 ! f g
SUBTRAÇÃO DE FUNÇÃO
:F
!F
F
(f; g) 7 ! f
g
COMPOSIÇÃO DE FUNÇÃO
:F
F
!F
(f; g) 7 ! f
g
Exemplo 0.16. Vamos de…nir em Z+ uma operação * por
: Z+
Z+ ! Z+
(a; b) 7 ! a b
onde a b é igual ao menor valor de a e b ou o valor comum se a = b.
Exemplo 0.17. Seja
0
: Z+
Z+ ! Z+
(a; b) 7 ! a
onde a
0
b = (a b) + 2 e
0
b
é a operação de…nida no exemplo anterior.
Exemplo 0.18.
00
: Z+
Z+ ! Z+
(a; b) 7 ! a
onde a
00
00
b
b = a.
0.2 Definição. Uma operação binária em A é comutativa se a b = b a para todo a; b 2 A
4
Exemplo 0.19. Analisando os exemplos anteriores, temos operações comutativas em
...(responder).
0.3 Definição. Seja
a1
a2
:A
A ! A uma operação binária sobre um conjunto A. O elemento
a3 é o elemento obtido determinando primeiramente (a1
a2 ) e daí (a1
a2 )
a3 .
De…nimos por indução a1 a2 ::: an = (a1 ::: an 1 ) an : Costuma-se usar os parênteses para
enfatizar que vamos primeiro determinar a1
a2 (= a4 ) e então operar a4
a3 Esta convenção
para a notação é referida como associação à esquerda.
0.4 Definição. Uma operação binária em A é associativa se (a b) c = a (b c) para todo
a; b; c 2 A.
Se a operação binária
for associativa, quaisquer expressão do tipo a1
a2
:::
an
serão consideradas sem ambiguidade.
Qualquer modo de inserir parênteses para reduzir o cálculo a uma sequência com operações binárias resultará sempre no mesmo elemento de A. E nesse caso, não há necessidade
de usar os parênteses.
Exemplo 0.20. A operação de adição em Z é associativa
(a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo 0.21. A operação de subtração em Z não é associativa.
Exemplo 0.22. Analisemos os exemplos anteriores e veri…quemos quais apresentam
operação binária associativa.
Exemplo 0.23. Analisemos os exemplos anteriores e veri…quemos quais apresentam
operação binária não associativa.
0.5 Definição. Dizemos que e 2 A é um elemento neutro à esquerda para a operação
quando
e x=x
para todo x 2 A:
E dizemos que e 2 A é um elemento neutro à direita para a operação
x e=x
quando
5
para todo x 2 A:
Se e é um elemento neutro à direita e à esquerda para , então dizemos que e é elemento neutro para esta operação.
Exemplo 0.24. A subtração em Z admite 0 como elemento neutro à direita pois x 0 =
x; 8x 2 Z, mas não possui elemento neutro à esquerda pois não existe e tal que e x = x; 8x 2 Z
Exemplo 0.25. A divisão em R admite 1 como elemento neutro à direita pois x : 1 =
x; 8x 2 R mas não possui elemento neutro à esquerda pois não existe e tal que e : x = x; 8x 2
R:
Exemplo 0.26. Considerando a operação
:R
R !R
(x; y) 7 ! y;
percebemos que ela tem in…nitos elementos neutros à esquerda pois e y = y; 8y 2 R é satisfeita
por qualquer elemento de R, mas não existe e tal que x e = x; 8x 2 R
0.6 Teorema. Se a operação
0.7 Definição. Seja
tem um elemento neutro e, ele é único.
uma operação binária com elemento neutro e. Dizemos que x 2 A é
um elemento simetrizável se existe y 2 A tal que
x y = e = y x:
O elemento y é chamado simétrico de x para a operação .
Quando a operação é uma adição, +, o simétrico de x também é chamado oposto de
x e indicado por
x.
Quando a operação é uma multiplicação, , o simétrico de x é chamado inverso de x
e indicado por x 1 .
Exemplo 0.27. 2 é um elemento simetrizável para a adição em Z e seu simétrico é
2
pois 2 + ( 2) = 0 = ( 2) + 2:
Exemplo 0.28. 2 é um elemento simetrizável para a multiplicação em Q e seu simétrico
é
1
2
= 0; 5 pois 2 0; 5 = 1 =
1
2
2:
6
Exemplo 0.29. 0 não é simetrizável para a multiplicação em Q pois não há elemento
y 2 Q tal que 0 y = 1 = y 0
Exemplo 0.30. 2 não é simetrizável para a multiplicação em Z pois não existe y 2 Z
tal que 2 y = 1 = y 2:
0
@
0
1
Exemplo 0.31. @
2
4
2
1
0
A pois @
1 2
2 4
0
1 2
simétrico é @
0
@
1
2
3
5
1
5
2
3
1
0
A. Mas @
A é simetrizável para a adição em M2 2 (R) e seu simétrico é
2 4
1 0
A+@
Exemplo 0.32. @
0
1
1
1
2
3
0
A pois @
1 2
2 4
1
5
1
1
2
2
1
4
1
0
1
0 0
A=@
0
A=@
0 0
1
2
2
4
1
0
A+@
1 2
2 4
1
A
A é simetrizável para a multiplicação em M2 (R) e seu
3
2
5
1 0
A @
5
3
2
1
1
0
A = @
1 0
0 1
1
0
A = @
A não é simetrizável para a mesma operação.
5
2
3
1
1
A
De um modo geral, toda matriz B 2 M2 (R)
0 cujo1determinante é igual a zero não é
a b
A, B é simetrizável e seu simétrico
simetrizável , enquanto, se det(B) 6= 0, para B = @
c d
0
1
d
b
A:
é dado por ad 1 bc @
c a
Exemplo
0 0.33. Todo elemento1é simetrizável para a adição em0Mm n (R). Seja A 2
a
a12 ::: a1n
a11
a12 :::
a1n
B 11
B
C
B
B
C
B a21 a22 ::: a2n C
B a21
a22 :::
a2n
B
B
C
Mm n (R); A = B .
e
seu
simétrico
é
B
=
(
A)
=
B
C
.
.
.
.
..
.
.
..
..
..
.. C
..
B ..
B ..
.
@
A
@
am1 am2 ::: amn
am1
am2 :::
amn
onde aij ; 1 6 i 6 m e 1 6 j 6 n é o simétrico de aij para a adição em R.
Exemplo 0.34. A função f (x) = 2x + 1 é bijetora de R em R , logo existe a função
inversa de f , f
1
(x) =
x 1
2
tal que f
1
f = id = f
f
1
; onde id é a função identidade de R
em R. Então f é um elemento simetrizável para a composição em F (R). Já a função g(x) = x2
não é uma bijeção e consequentemente, não é um elemento simetrizável para a mesma operação.
0.8 Teorema. Se a operação
em A é associativa, tem elemento neutro e, e um elemento
x 2 A é simetrizável, então o simétrico de x é único.
1
C
C
C
C
C
C
A
7
0.9 Teorema. Seja
uma operação em A com elemento neutro e.
(a) Se x 2 A é simetrizável, então x
(b)Se
1
também é e (x 1 )
1
= x:
é associativa, x; y 2 A são simetrizáveis, então x y é simetrizável e (x y)
0.10 Definição. Sendo
1
=y
1
x 1:
uma operação sobre A, com elemento neutro e, indica-se por
[ (A) = fx 2 A; 9x
1
2 A; x
1
x = e = x x 1g
o conjunto dos elementos simetrizáveis para esta operação em A.
Exemplo 0.35. [+ (N) = f0g
Exemplo 0.36. [+ (Z) = Z
Exemplo 0.37. [ (Z) = f1; 1g
Exemplo 0.38. [ (R) = R
Exemplo 0.39. [+ (Mm
n (R))
= Mm n (R)
0
1
a b
Ag; a; b; c; d 2 R e ad
Exemplo 0.40. [ (M2 2 (R)) = f@
c d
geral, [ (Mn (R)) = fA 2 Mn (R); det(A) 6= 0g:
bc 6= 0. De forma
Note que U (A) 6= ; pois e 2 U (A) uma vez que e e = e:
2 A é um elemento absorvente para uma operação
0.11 Definição. Um elemento
a=
=a
se
; 8a 2 A:
Exemplo 0.41.
= 0 é elemento absorvente em R com a multiplicação pois 0 a =
0 = a 0; 8a 2 R:
Exemplo 0.42. De…nindo
:R
R !R
(a; b) 7 ! a b = a + b
Temos
ab:
= 1 elemento absorvente.
0.12 Definição. Dizemos que um elemento a 2 A é regular (ou simpli…cável) em relação
à operação
se:
8
(1) a x = a y ) x = y; 8x; y 2 A e
(2) x a = y a ) x = y; 8x; y 2 A
Se temos apenas (1), dizemos que a é regular à esquerda.
Se temos apenas (2), dizemos que a é regular à direita.
Exemplo 0.43. 3 é regular para a adição em N pois 3 + x = 3 + y ) x = y; 8x; y 2 N
Exemplo 0.44. 3 é regular para a multiplicação em Z pois 3x = 3y ) x = y; 8x; y 2 N
Exemplo 0.45. 0 não é regular para a multiplicação em Z.
0
1
1 2
A é regular para a adição em M2 2 (R):
Exemplo 0.46. @
3 4
0
Exemplo 0.47. @
0 0
0 1
1
A não é regular para a multiplicação em M2 (R):
0.13 Teorema. Se a operação é associativa, tem neutro e, e um elemento a 2 A é simetrizável,
então a é regular.
0.14 Definição. Sendo
uma operação sobre A, indica-se por
R (A) = fa 2 A; a x = a y ) x = y
e
x a = y a ) x = y; 8x; y 2 A:
o conjunto dos elementos regulares para esta operação em A.
Exemplo 0.48. R+ (N) = N
Exemplo 0.49. [ (Z) = Z
Exemplo 0.50. [+ (Mm
n (R))
= Mm
n (R)
Exemplo 0.51. Identi…quemos para a operação de potenciação em N , os elementos
regulares.
Note que se
disso, se
tem elemento neutro em A, então e 2 R (A); portanto, R (A) 6= ;: Além
é associativa, então [ (A)
R (A); conforme proposição 0.13.
9
e 4 duas operações sobre A. Dizemos que 4 é distributiva em
0.15 Definição. Sejam
relação a
se:
(1) x4(y z) = (x4y) (y4x)
(2) (y z)4x = (y4x) (z4x); 8x; y; z 2 A:
Se vale (1), dizemos que 4 é distributiva à esquerda de .
Se vale (1), dizemos que 4 é distributiva à direita de .
Se 4 é comutativa, então distributiva à esquerda e distributiva à direita são equivalentes.
Exemplo 0.52. A multiplicação em Z é distributiva em relação à adição em Z pois
para todos x; y; z 2 Z temos x(y + z) = xy + xz e (y + z)x = yx + zx
Exemplo 0.53. A multiplicação é distributiva em relação à adição em Mn (R):
Exemplo 0.54. A potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação em
N; mas não é distributiva à esquerda.
0.16 Definição. Seja
uma operação sobre um conjunto A 6= ;: Seja B um subconjunto não
vazio de A: Dizemos que B é uma parte fechada para a operação
B é fechado ), se a restrição de
aB
(ou simplesmente que
B é uma operação sobre B, isto é, se para todos
x; y 2 B temos x y 2 B.
Exemplo 0.55. O conjunto Q dos números racionais é fechado para a operação de
adição sobre R.
Exemplo 0.56. O conjunto dos números irracionais não é fechado para a operação de
adição sobre R.
Exemplo 0.57. Z+ = fx 2 Z; x > 0g; o conjunto dos números inteiros estritamente
positivos é fechado sob a operação de adição e não é fechado sob a operação de subtração.
Exemplo 0.58. O conjunto dos números reais positivos, R+ , é fechado para multiplicação sobre R:
Exemplo 0.59. O conjunto R dos números negativos não é fechado para a operação
de multiplicação sobre R:
Exemplo 0.60. As funções bijetoras de R em R formam um subconjunto A fechado de
F para a operação composição.
10
Tábua de uma operação
Se A é um conjunto …nito, uma operação binária em A pode ser de…nida através de
uma tábua.
Vejamos como construir e analisar essa tábua para identi…carmos características e
propriedades da operação no conjunto apresentado.
Seja A = fa1 ; a2 ; :::; an g; (n > 1) um conjunto com n elementos. Cada operação sobre
A é uma aplicação
ai
:A
A ! A que associa a cada par (ai ; aj ); 1 6 i; j 6 n o elemento
aj = aij : Vamos apresentar esse elemento aij por meio de uma tabela de dupla entrada,
fazendo:
1o ) Chamando a 1a linha e a 1a coluna, respectivamente de linha fundamental e coluna fundamental, colocamos tanto nesta linha como na coluna, todos os elementos do conjunto A
ordenadamente. E chamamos de i-ésima linha aquela que começa com ai e de j-ésima coluna
aquela que começa com aj :
2o ) Dado um elemento ai na coluna fundamental e um elemento aj na linha fundamental, marcamos na interseção da linha i com a coluna j; o elemento correspondente aij :
a1
a2
:::
ai
:::
aj
:::
an
a1 a11 a12
a1i
a1j
a1n
a2 a21 a22
..
.
a2i
a2j
a2n
ai
..
.
ai1
ai2
aii
aij
ain
aj
..
.
aj1 aj2
aji
ajj
ajn
an an1 an2
ani
anj
ann
Montemos a tabela dos seguintes exemplos:
Exemplo 0.61. Seja A = f 1; 0; 1g com a operação de multiplicação usual.
Exemplo 0.62. Seja A = f1; 3; 5; 15g e
mdc(a; b):
:A
A ! A dada por (a; b) 7 ! a
b=
11
Exemplo 0.63. Seja A = ff1 ; f2 ; f3 g onde as fi ; 1 6 i 6 3 são funções assim descritas:
f1 = f(a; a); (b; b); (c; c)g; f2 = f(a; b); (b; c); (c; a)g e f3 = f(a; c); (b; a); (c; b)g:
Propriedades
Vejamos agora como se pode estudar as propriedades de uma operação binária
A = fa1 ; a2 ; :::; an g quando
sobre
é dada por meio de uma tábua.
COMUTATIVA
Chamamos de diagonal principal da tábua de uma operação o conjunto formado
pelos compostos a11 ; a22 ; a33 ; :::; ann :
Sabemos que uma operação é comutativa se: ai
aj = aj
ai ; isto é, se aij = aji para
todo i; j = 1; :::; n:
Mas aij e aji ocupam posições simétricas relativamente à diagonal principal, portanto
uma operação é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação à diagonal principal,
isto é, compostos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.
Exemplo 0.64. Observando as tabelas, temos que os 3 exemplos anteriores apresentam
operações comutativas.
Exemplo 0.65. Analisemos a tábua para a operação
no conjunto A = fa; b; cg
a b c
a a b c
:
b b c a
c c b a
ELEMENTO NEUTRO
Sabemos que um elemento e é neutro para a operação
quando:
(I) e x = x; 8x 2 A e
(II) x e = x; 8x 2 A
Da condição (I) decorre que a linha de e é igual à linha fundamental. Da condição (II)
decorre que a coluna de e é igual à coluna fundamental. Assim, uma operação
tem neutro
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desde que exista um elemento cuja linha e coluna são respectivamente iguais à linha e coluna
fundamentais.
Exemplo 0.66. Analisemos as tábuas dos últimos exemplos, observando que os elementos neutros são respectivamente 1; 15; f1 e a:
Exemplo 0.67. A tábua abaixo nos mostra uma operação sem neutro. Observe que a
é neutro à esquerda.
a b c
a a b c
:
b c a b
c b a c
ASSOCIATIVA
É a propriedade cuja veri…cação exige maior trabalho. Pode ser feita de dois modos:
1o ) Calcula-se todos os compostos do tipo ai
(aj
ak ) e (ai
aj )
ak com i; j; k 2
f1; 2; :::; ng e compara-os. Notemos que este método exige o cálculo de 2n3 compostos.
2o ) Encontra-se um conjunto F dotado de uma operação
que se sabe ser associativa,
de tal forma que exista f : A ! F com as seguintes propriedades:
(a) f é bijetora.
(b) f (x y) = f (x) f (y); 8x; y 2 A: Neste caso, a lei
também será associativa.
ELEMENTOS SIMETRIZÁVEIS
Sabemos que um elemento ai 2 A é simetrizável para a operação
que tem elemento
neutro e; quando existe um aj 2 A tal que
(I) ai aj = e(= aij );
(II) aj
ai = e(= aji ):
Da condição (I) decorre que a linha de ai deve apresentar ao menos um composto igual
a e:
Da condição (II) decorre que a coluna de ai deve apresentar ao menos um composto
igual a e:
13
Como aij = aji = e decorre que o neutro deve aparecer em posições simétricas relativamente à diagonal principal.
Assim, um elemento ai é simetrizável quando o elemento neutro aparece ao menos
uma vez na linha i e na coluna i da tábua ocupando posições simétricas em relação à diagonal
principal.
Exemplo 0.68. A tábua abaixo de…ne uma operação
sobre A = fe; a1 ; a2 ; a3 ; a4 g que
tem neutro e.
e
e
a 1 a2 a3 a4
e
a 1 a2 a3 a4
a1 a1 a2 a3 a4
e
Os elementos simetrizáveis são e; a1 ; a4 :
a2 a2 a3 a4 a1 a2
a3 a3 a4 a1 a2 a1
a4 a4
e
a 3 a4 a1
ELEMENTOS REGULARES
Sabemos que um elemento a 2 A é regular em relação à operação
quando
(I) x 6= y ) a x 6= a y
(II) x 6= y ) x a 6= y a
onde x e y são elementos quaisquer de A:
Isto signi…ca que a é regular quando, composto com elementos distintos (à esquerda
deles ou à direita), produz resultados distintos. Assim, um elemento a é regular quando na sua
linha não aparecem elementos iguais, ou seja, repetidos e também na sua coluna não aparecem
elementos iguais.
Exemplo 0.69. A tábua abaixo de…ne uma operação sobre A = fe; a; b; c; dg onde os
elementos regulares são e; a; c:
14
e a b c d
e e a b c d
a a b d e c
b b c c b b
c c d e a b
d d e b d b
Exemplo 0.70. Vamos analisar os exemplos 0.61 até 0.68.
Exemplo 0.71. Sejam P (A) o conjunto das partes de um conjunto qualquer A e consideremos a operação união de conjuntos, [; dada por B [ C = fx; x 2 B ou x 2 Cg; 8B; C 2
P (A):
Então
[ : P (A)
P (A) ! P (A)
(C1 ; C2 ) 7 ! C1 [ C2
é uma operação binária em P (A): Ela é associativa, comutativa, possui elemento neutro , não
possui elementos simetrizáveis além do neutro, e possui elemento absorvente.
Exemplo 0.72. De…namos agora,
\ : P (A)
P (A) ! P (A)
(C1 ; C2 ) 7 ! C1 \ C2 :
A interseção de conjuntos também é uma operação binária. Vamos analisar quais propriedades
ela possui.
Exemplo 0.73. Analisemos agora a operação diferença de conjuntos
: P (A)
P (A) ! P (A)
(C1 ; C2 ) 7 ! C1
C2 :
Exemplo 0.74. Analisemos agora a operação diferença simétrica
4 : P (A)
P (A) ! P (A)
(C1 ; C2 ) 7 ! C1 4 C2 :
15
Exemplo 0.75. Seja Zm = f0; 1; 2; :::; m
1g a classe residual dos inteiros módulo m:
E analisemos a operação binária de…nida por
: Zm
Zm ! Zm
(a; b) 7 ! a
b=a+b
Exemplo 0.76. Consideremos agora a operação binária de…nida por
: Zm
Zm ! Zm
(a; b) 7 ! a
b=a b
Grupóide, Semigrupo e Monóide
0.17 Definição. Um grupóide é um conjunto com uma operação binária.
0.18 Definição. Um semigrupo é um grupóide que satisfaz a propriedade associativa.
0.19 Definição. Um monóide é um semigrupo que possui elemento neutro.
Os conjuntos nos quais de…nimos uma operação binária são todos grupóides. Veri…quemos entre eles quais são semigrupo e quais são monóide.
OBS.: Esta apostila têm como objetivo orientar o decorrer da aula, onde os conceitos e resultados aqui descritos serão devidamente desenvolvidos, explicados e exempli…cados,
sendo portanto imprescindível o acompanhamento da aula para que esta apostila seja, de fato,
elucidativa.
Referência Bibliográ…ca:
Birkho¤ e Maclane. Álgebra Moderna Básica. Rio de Janeiro: Editora Guanabara,
1980.
Dean. Elementos de Álgebra Abstrata. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e cientí…cos
Editora S.A.,1974
Domingues e Iezzi. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 1982.
Fraleigh. A …rst course in Abstract Algebra. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1994(5a ed).