Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
UnED Petrópolis - Curso de TELECOMUNICAÇÕES/TV Digital
Disciplina: Matemática para Telecomunicações
Prof. Felipe Henriques
Data: 07/08/2012
2012-2
AULA 3
ROTEIRO:
1.
2.
3.
Operações com Frações;
MMC, MDC;
Aplicações → eletricidade – cálculo de resistência equivalente.
Operações com frações:
Em uma fração do tipo
A
, chamamos A de numerador, e B de denominador.
B
Simplificação de frações:
Um dos motivos de simplificarmos uma fração, além de expressar melhor uma determinada
característica, é podermos fazer contas com números menores, reduzindo assim nosso trabalho. Por
87
3
87 3
=
exemplo, as frações
e
são equivalentes, o que significa que
. Se dissermos que
116
4
116 4
3
87
dos alunos do primeiro período irão passar dá mais ideia de quantidade do que dizer que
dos
4
116
alunos irão passar, mesmo que as duas frases signifiquem a mesma coisa.
Uma das formas simples de encontrarmos uma fração irredutível, ou seja, que não pode ser mais
simplificada (por exemplo, no caso de ¾), é calcularmos o MDC (Máximo Divisor Comum) do
numerador e do denominador da fração.
MDC (Máximo Divisor Comum):
Pode-se calcular o MDC de dois números por suas decomposições em fatores primos. O MDC
entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos menores
expoentes.
Ex.: calcular o MDC entre 96 e 360.
→ decompondo os dois números em fatores primos, temos:
96 = 2.2.2.2.2.3; 360 = 2.2.2.3.3.5. Os fatores comuns são 2 e 3, elevados aos menores expoentes, ou seja,
2.2.2 e 3 ( 23 e 31 ). Logo, MDC (96 e 360) = 2.2.2.3 = 24.
Ex.: calcule o MDC entre 100, 180 e 840.
→ decompondo em fatores primos:
2
2
2
2
3
100=2 .5 , 180=2 .3 . 5 , 840=2 . 3 .5 . 7 . Os fatores comuns são 2 e 5, elevados aos menores
expoentes → 2 2 . 51 . Logo, MDC (100,180,840) = 2.2.5 = 20.
87
, calculamos o MDC entre 87 e 116. Como
116
MDC (87,116) = 29, dividimos o numerador e o denominador da fração por 29, resultando em:
87 : 29 3
= .
116 : 29 4
Para simplificar a fração do exemplo anterior,
Exercícios:
1) Simplifique as frações a seguir, através do calculo do MDC do numerador e do denominador;
a)
24
→ Solução:
78
24 :6 4
=
.
78: 6 13
1
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Disciplina: Matemática para Telecomunicações
Prof. Felipe Henriques
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AULA 3
b)
42
→ Solução:
48
c)
210
→ Solução:
315
42 :6 7
= .
48 :6 8
210 :105 2
= .
315:105 3
Soma e subtração:
1) se os denominadores das parcelas forem iguais:
Mantém-se os denominadores, e somam-se (e/ou subtraem-se) os numeradores, da seguinte forma:
A1 A2 A3 A1+ A2−A3
+ − =
.
B B
B
B
Ex.
10 7 5 10+7−5 12
+ − =
= =6 ;
2 2 2
2
2
9 1 10 9+ 1−10 0
+ − =
= =0.
10 10 10
10
10
2) se os denominadores das parcelas forem diferentes:
Uma opção é realizar as frações individualmente e depois somar (ou subtrair) as parcelas.
Ex.:
10 27 2
+ − =5+ 3−1=7 .
2 9 2
A opção mais usual é calcular o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) dos denominadores. O MMC
entre dois ou mais números é dado pelo produto entre todos os fatores primos, comuns e não comuns,
elevados aos maiores expoentes.
Ex.
10 27 2 10−2 27 8 27 4 3
+ − =
+ = + = + =4+3=7 .
2 9 2
2
9 2 9 1 1
10 27 2 10−2 27
8
27 72+54 126
+ − =
+ =
+
=
=
=7 .
2 9 2
2
9 2/9 9 /2
18
18
Ex. MMC (24,50):
3
2
3
2
24=2 . 3 ; 50=2 .5 . Logo, o MMC(24,50) = 2 . 3. 5 =600 .
Exercícios:
2) Calcule as seguintes frações, utilizando o cálculo do MMC dos denominadores.
a)
1 3 10
+ +
→ 2,53.
2 5 7
b)
13 1 21
+ −
→ 7,78.
4 3 5
Aplicações do uso do MMC em Eletricidade:
Em eletricidade, para realizar o cálculo da resistência equivalente (uma resistência que substitui
todas as outras) em paralelo de um circuito, pode-se precisar do MMC.
2
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AULA 3
A resistência elétrica é um elemento do circuito que se opõe à passagem da corrente elétrica, e é
medida em ohms, representado pela letra grega ômega [Ω]. logo, podemos ter um resistor de 1 Ω, 100 Ω,
227 Ω, por exemplo. O resistor pode representar uma lâmpada, por exemplo. O resistor, em um circuito é
representado pelo seguinte elemento:
Abaixo, temos um exemplo de um circuito elétrico, com um resistor e uma fonte de tensão
contínua, em que temos uma fonte de 1 Volt (1 V), um resistor de 1 ohm (1 Ω), e é gerada uma corrente de
1 Ampére (1 A).
Porém, em muitos casos, podemos ter mais de um resistor, dificultando os cálculos. Quando isso
ocorre, pode-se calcular uma resistência equivalente,que irá substituir as outras, tornando o circuito mais
simples, como o da figura acima.
Em um circuito, podemos ter resistores em série e resistores em paralelo. As figuras abaixo
mostram, a da esquerda um circuito com resistores em série, e a da direita, resistores em paralelo.
Cálculo da resistência equivalente:
1) Em série:
Quando os resistores estão em série, basta somar o valor de cada resistência. Assim,
Req= R1+ R2 + R3 . No caso do exemplo da figura anterior (esquerda), Req=1+ 2+3=6Ω .
2) Em paralelo:
Quando os resistores estão em paralelo, podemos calcular a resistência equivalente do circuito
1 1 1
1 1 1
usando a seguinte equação: Req= + +
. No caso da figura acima (direita), Req= + +
.
R1 R 2 R 3
1 2 3
Nesse caso, podemos calcular o MMC dos denominadores, e resolver a fração da seguinte forma:
1 1 1 6+3+ 2 11
= =1,83 Ω .
MMC(1,2,3) = 6. Logo, Req= + + =
1 2 3
6
6
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2012-2
AULA 3
Exercícios:
3) Calcule a resistência equivalente dos seguintes circuitos, dado que R1 = 100 Ω, R2 = 225 Ω, R3 =
3000 Ω, e R4 = 50 Ω.
a) →
Req= R1+ R2 + R3 + R4=100+ 225+3000+50=3375Ω .
b) →
Req=
c)
R34=
1 1 1
1
1
1
90+ 40+3
+ + =Req=
+
+
=
=0,0148 Ω
R1 R 2 R3
100 225 3000
9000
1 1
1
1 1+60
+ =
+ =
=0,02 Ω ;
R3 R4 3000 50 3000
Req= R1+ R2 + R34 =100+ 225+ 0,02=325,02 Ω .
REFERÊNCIAS
http://www.matematicamuitofacil.com/mdc.html , acessado em 05/08/12 às 15:00h.
http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoSimplificacao.aspx , acessado em 05/08/12 às 15:20h.
4