INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA
CAp/UERJ – MATEMÁTICA – ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO SÁ
COMBINAÇÕES COMPLETAS OU COM REPETIÇÃO
I)
Questões iniciais (permutações com elementos repetidos)
1) Quantas são as sequências distintas, de 7 símbolos, que podemos formar com os
símbolos a seguir? ⌂ ⌂ ⌂ □ □ ♦ ♦
Solução: trata-se de determinar a quantidade de permutações de 7 elementos, com
três repetições de um tipo, duas de outro e mais duas de outro tipo. Logo, a solução
!
recai em: P,, = !.!.! = 210 sequências.
2) Quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação: x1 + x2 + x3 = 5?
Solução: Pode não parecer, mas esse tipo de questão recai no caso anterior. Basta
que imaginemos que são 5 balas a serem repartidas entre 3 crianças e desejamos
saber de quantos modos distintos poderemos fazer tal partilha. Podemos transformar
essa equação numa representação gráfica onde cada uma das balas será representada
por um ponto e usaremos duas barras verticais para separar as quantidades
correspondentes às 3 crianças, ou seja, as três soluções da equação. Vejamos uma
das possíveis soluções:
•  •
•  •
•
(verifique que essa solução corresponde a x1 =1, x2 = 2 e x3 =2)
Vejamos agora outra possível solução:
•
•
•  •
• 
(verifique que essa solução corresponde a x1 =3, x2 = 2 e x3 =0)
Será que você consegue perceber que esse tipo de problema recai em algo
semelhante ao que vimos na primeira questão? Veja que determinar a quantidade de
soluções inteiras e não negativas de uma equação desse tipo (linear) é o mesmo que
resolver uma questão de permutações com elementos repetidos.
!
No caso da partilha das 5 balas entre as três crianças, teremos P, = !.! = 21
Mas como poderíamos lembrar da formação das permutações, sem precisar fazer a
representação gráfica do problema? Observe que na parte superior do símbolo das
permutações completas teremos duas parcelas. A primeira é sempre igual ao número
que aparece após o sinal de igualdade na equação (no nosso exemplo, 5) e a segunda
parcela corresponde ao número de incógnitas do problema, menos 1 (no nosso
exemplo, 3 – 1 = 2).
Ou seja, a quantidade de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear do
tipo: x1 + x2 + x3 + ....+ xn = p, corresponde às permutações com repetição
,
P = II)
()!
!.()!
Combinações Completas ou com repetição
Responda a pergunta: De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em uma loja que
os oferece em 5 sabores?
Normalmente somos levados a responder que a solução é C5,3 = 10 . Esta resposta não
está correta. Ela estaria certa caso a pergunta fosse: De quantos modos podemos
escolher 3 sorvetes diferentes, em uma loja que os oferece em 5 sabores? Essas 10
possibilidades representam as combinações simples de 5 elementos, tomados 3 a 3.
Na questão apresentada, a resposta correta seria CR 5,3 , que são as combinações
completas de 5 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, nesse caso admitiríamos a hipótese da
pessoa escolher sabores repetidos. O cálculo das combinações completas, que veremos a
seguir, seguirá o mesmo raciocínio mostrado anteriormente, recaindo em permutações
com elementos repetidos.
Para que possamos entender melhor o nosso problema, vamos supor que a loja
oferecesse os sabores: manga, abacaxi, goiaba, cereja e limão. Nas combinações
simples, desses 5 sabores, tomados 3 a 3, só teríamos composições do tipo: manga,
abacaxi, goiaba ou goiaba, cereja, limão ou abacaxi, goiaba, limão, etc...Como se
pode perceber, essa opção das combinações completas dará um resultado maior que na
primeira, que gerou 10 possibilidades de escolha.
Podemos encarar a solução do problema das combinações completas da escolha de 3
sabores (distintos ou não), numa loja que oferece 5 opções de escolha, como sendo as
soluções inteiras e não negativas da equação:
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 3
Temos, portanto, 5 variáveis que representam a quantidade comprada, de cada um dos
sabores oferecidos. Verifique que recaímos exatamente no caso mostrado anteriormente,
ou seja, em permutações com elementos repetidos. Temos portanto que as combinações
7!
completas de 5 elementos, tomados 3 a 3, correspondem a CR 5,3 = P73,4 =
= 35.
3!. 4!
Podemos então concluir, sobre as combinações completas de n elementos, p a p.
n −1, p
CR n, p = Pn −1+ p =
(n - 1 + p) !
(n − 1)! . p !
Exemplos:
1) De quantos modos podemos comprar 4 salgadinhos em uma lanchonete que oferece
7 opções de escolha de salgadinhos?
Solução: Pelo que vimos anteriormente, teremos que determinar a quantidade de
soluções inteiras e não negativas de uma equação do tipo:
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 4 . A solução, como mostramos, será dada por:
CR7 , 4 = P106,4 =
10 !
= 210
6!.4!
2) Podendo escolher entre 5 tipos de queijo e 4 marcas de vinho, de quantos modos é
possível fazer um pedido num restaurante, com duas qualidades de queijo e 3
garrafas de vinho?
Solução: temos que escolher os dois tipos de queijo, entre os 5 disponíveis (distintos
6!
ou não). Isto será igual a CR 5, 2 = P64,2 =
= 15. Em seguida, temos que escolher
4!. 2!
6!
3 garrafas entre os 4 vinhos disponíveis, ou seja, CR 4, 3 = P63,3 =
= 20. Logo, o
3!. 3!
número de pedidos de queijo e vinho, da acordo como proposto na questão, será
dado por 15 x 20 = 300.
Uma importante propriedade: As combinações com repetição podem também ser
transformadas em combinações simples equivalentes de acordo com a relação:
CRn,p = Cn+p -1, p
A demonstração dessa propriedade é simples, bastando lembrar que CRn,p =
Pnn−−11+, pp =
(n - 1 + p) !
(n − 1)! . p !
Por sua vez, C n+p -1, p vai gerar também esse mesmo resultado (verifique!).
Essa propriedade, com o auxílio do triângulo de Pascal, nos permite resolver de forma
mais rápida questões do tipo: “qual o número de soluções inteiras e não negativas de x +
y + z ≤ 6?”
Verifique que teremos os possíveis casos:
x + y + z = 0 ou x + y + z = 1 ou x + y + z = 2 ou x + y + z = 3 ou x + y + z = 4 ou
x + y + z = 5 ou x + y + z = 6.
Que, pelo que vimos em nosso estudo, corresponde a:
CR3,0 + CR3,1 + CR3,2 + CR3,3 + CR3,4 + CR3,5 + CR3,6 , que corresponde a:
C2,0 + C3,1 + C4,2 + C5,3 + C6,4 + C7,5 + C8,6
complementares, teremos:
C2,2 + C3,2 + C4,2 + C5,2 + C6,2 + C7,2 + C8,2 = ?
=
?. Lembrando as combinações
Uma sugestão: Procure esses valores no triângulo de Pascal que você terá uma
linda e rápida solução, sem precisar fazer todos os cálculos dessa soma.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
6
10
15
21
28
36
45
1
4
10
20
35
56
84
120
1
5
15
35
70
126
210
1
6
21
56
126
252
1
7
28
84
210
1
8
36
120
1
9
45
1
10
1
Verifique que esse resultado nos aponta para outra importante propriedade dos números
binomiais.
Veja: C2,2 + C3,2 + C4,2 + C5,2 + C6,2 + C7,2 + C8,2 = C9,3
Como você poderia generalizar essa propriedade?
Cn ,k + Cn+1,k + Cn+2,k + ... + Cn+p,k
=
Cn+p+1,k+1
Tente resolver:
Problema do Menino Guloso: Um menino encontra-se no balcão de uma sorveteria que
oferece 7 opções diferentes de sabores. Ele tem dinheiro para comprar 4 sorvetes e ele
também pode escolher sabores repetidos. De quantos modos ele poderá fazer a escolha
desses quatro sabores de sorvete?
Solução:
Pelo que vimos nas questões anteriores, esse problema recai na determinação do número
de soluções inteiras e não negativas da equação: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 4
Verifique que tal questão já foi resolvida anteriormente e recaímos em
10 !
CR7 , 4 = P106,4 =
= 210
6!.4!
Ou seja, o menino poderá escolher os quatro sorvetes de 210 maneiras diferentes.