i
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Pré-dimensionamento da armadura longitudinal de seções de pontes em
balanço progressivo, usando as expressões da NBR 6118-2003
Eduardo Maia Pan
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade
Federal de São Carlos como parte dos
requisitos para a conclusão da
graduação em Engenharia Civil
Orientador: Prof. Dr. Roberto Chust
Carvalho
São Carlos
2009
ii
DEDICATÓRIA
Dedico esta monografia aos meus pais, André e
Claudete, e ao meu irmão Anderson.
iii
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos a minha família, quem me apoiou durante toda minha
vida, principalmente nestes cinco anos de Universidade, e a quem eu devo tudo o que eu
conquistei e ao que sou.
Agradeço aos meus professores por terem me auxiliado durante todo o curso de
Engenharia Civil, em especial ao Prof. Dr. Roberto Chust Carvalho, quem me auxiliou neste
trabalho de conclusão de curso, com incentivo e sugestões.
Agradeço aos meus grandes amigos que conquistei nestes cinco anos em São Carlos,
por me incentivar e me ajudar em todas as horas que precisei, e pelos inúmeros momentos
de alegria que passamos juntos.
iv
RESUMO
RESUMO
Este trabalho apresenta um pré-dimensionamento detalhado da armardura longitudinal
de uma ponte em balanço progressivo, abordando os critérios descritos pela NBR-61182003, a partir de um exemplo numérico.
O objetivo é demonstrar as etapas de cálculo envolvidas no processo, descrevendo
passo a passo as verificações e o detalhamento, além de caracterizar os aspectos
construtivos da tecnologia de balanços progressivos, comparando os resultados obtidos com
os extraídos do exemplo real, comprovando a eficiência do método utilizado.
Palavras-chave: concreto protendido, pontes em balanço sucessivo, armadura longitudinal.
v
ABSTRACT
ABSTRACT
This paper presents a detailed pre-sizing of the longitudinal reinforcement of a
segmental prestressed concrete Box girder bridge, according to the criteria described by the
NBR-6118:2003, from a numerical example.
The goal is to demonstrate the calculation stages involved in the process, describing
step by step the details, and to characterize the constructive aspects of segmental
prestressed concrete box girder bridges, comparing the results achieved with the results
obtained from the real example, proving the efficiency of the method used.
Key-words: prestressed concrete, bridges, box-girder
vi
LISTA DE FIGURAS
Figura 2-1 - Esquema estrutural do sistema de balanços sucessivos .......................................... 4
Figura 2-2 - Tipos estruturais de pontes de acordo com a ligação ............................................. 5
Figura 3-1 - Esquema longitudinal da estrutura ....................................................................... 11
Figura 3-2 - Seção longitudinal (trecho em escoramento direto) ............................................. 12
Figura 3-3 - Seção longitudinal (trecho em balanço progressivo)............................................ 12
Figura 3-4 - Seção transversal .................................................................................................. 12
Figura 3-5 - Divisão da seção transversal em trapézios ........................................................... 13
Figura 3-6 - Linha de influencia (L.I) de momento fletor em S10 ........................................... 16
Figura 3-7 - Linha de influencia (L.I) de momento fletor em S15).......................................... 17
Figura 3-8 - Esquema de diagrama de momentos .................................................................... 19
Figura 3-9 - Representação da trajetória do cabo após lançamento da aduela 4 ...................... 20
Figura 3-10 - Demonstração gráfica dos cálculos efetuados para o trecho de cabo curvo....... 22
Figura 3-11 - Demonstração gráfica dos cálculos efetuados para o trecho de cabo em deflexão
.......................................................................................................................................... 23
Figura 3-12 - Tensões ao longo do cabo representante ............................................................ 26
Figura 3-13 - Gráfico das tensões ao longo do cabo após perdas iniciais (tentativas) ............ 27
Figura 3-14- Gráfico com as tensões finais no cabo após as perdas iniciais ............................ 30
Figura 3-15- Variação das perdas de protensão, ao longo do tempo, numa seção determinada
de uma peça com armadura pós tracionada ...................................................................... 36
Figura 3-16– Esquematização do momento atuante ................................................................. 38
Figura 3-17- Região das abas da peça ...................................................................................... 39
Figura 3-18 - Disposição dos cabos de protensão .................................................................... 41
vii
LISTA DE TABELAS
Tabela 3-1 - Dimensões das aduelas......................................................................................... 13
Tabela 3-2 - Características geométricas das seções ................................................................ 13
Tabela 3-3. Momento Fletor e tensões devido ao peso próprio em S10 .................................. 14
Tabela 3-4- Momento fletor e tensões devido ao peso próprio em S15 ................................... 14
Tabela 3-5 Momento fletor e tensões devido a sobrecarga em ambas seções .......................... 15
Tabela 3-6-Tensões ao longo do cabo representante após perdas por atrito (lado esquerdo) .. 24
Tabela 3-7 Tensão ao longo do cabo representante após perdas por atrito (lado direito) ........ 25
Tabela 3-8 - Tensão ao longo do cabo representante após perdas por atrito (resumo) ............ 25
Tabela 3-9 – Tensões finais após perdas iniciais ...................................................................... 30
Tabela 3-10 - Considerações sobre efeitos reológico do concreto e do aço ............................. 31
Tabela 3-11 - Cálculo dos coeficientes de fluência e retração do concreto ............................. 32
Tabela 3-12 - interpolação dos valores dos coeficientes Ѱ ...................................................... 35
Tabela 3-13 - Tensão ao longo do cabo representante após perdas inciais e ao longo do tempo
.......................................................................................................................................... 35
Tabela 3-14 -Tensão ao longo do cabo representante após perdas inciais e ao longo do tempo
(continuação) .................................................................................................................... 36
Tabela 3-15 - Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares ............. 38
Tabela 3-16 – Tensão no aço 𝜎𝑠𝑑 (MPa) com 𝐸𝑝 = 195000𝑀𝑃𝑎 ......................................... 40
Tabela 3-17 - Tensão no aço 𝜎𝑠𝑑 (MPa) com 𝐸𝑝 = 195000𝑀𝑃𝑎 (continuação) .................. 40
Tabela 3-18 - Classificação da agressividade ambiental .......................................................... 43
Tabela 3-19 - Exigencias de durabilidade relacionadas a fissuração e a proteção da armadura
em função das classes de agressividade ambiental ........................................................... 43
Tabela 3-20 - Cálculo das perdas inciais dos cabos retilineos ................................................. 45
Tabela 4-1 - Cabos de uma viga ............................................................................................... 51
.
viii
SUMÁRIO
1.
2.
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................1
1.1
JUSTIFICATIVA ....................................................................................................................2
1.2
OBJETIVOS............................................................................................................................3
1.3
ESTRUTURA DO TEXTO ......................................................................................................3
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................................4
2.1
3.
METODOLOGIA ....................................................................................................................9
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL DE PROTENSÃO .........10
3.1
INFORMAÇÕES GERAIS E INDICAÇÃO DO SISTEMA DE UNIDADES DE
PROTENSÃO. ....................................................................................................................................10
3.1.1 ESPECIFICAÇÃO DO ESQUEMA ESTRUTURAL .............................................................10
3.1.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS E DAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS ......................11
3.1.3 SISTEMA DE UNIDADE DE PROTENSÃO .......................................................................18
3.2
INDICAÇÃO DA TRAJETÓRIA DO CABO REPRESENTANTE ........................................18
3.2.1 SITUAÇÃO DE CÁLCULO – ADUELA 4 (SEÇÃO S15) .......................................................... 20
3.3
CÁLCULO DAS PERDAS IMEDIATAS DO CABO REPRESENTANTE ............................23
3.3.1 CÁLCULO DAS PERDAS POR ATRITO CABO-BAINHA DO CABO REPRESENTANTE .23
3.3.2 CÁLCULO DAS PERDAS POR DEFORMAÇÃO DA ANCORAGEM DO CABO
REPRESENTANTE .........................................................................................................................26
3.4
CÁLCULO DAS PERDAS AO LONGO DO TEMPO DO CABO REPRESENTANTE .........31
3.4.1 CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A RETRAÇÃO ...........................................................32
3.4.2 CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A FLUENCIA DO CONCRETO ..................................33
3.4.3 CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A RELAXAÇÃO DO AÇO ................................34
3.5
CÁLCULO DO NÚMERO DE CABOS NO ELU ..................................................................36
3.6
VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS DE FISSURAÇÃO NA SEÇÃO DE MAIOR
SOLICITAÇÃO E DETERMINAÇÃO DO FEIXE LIMITE PARA AS DEMAIS SEÇÕES. ..............42
3.6.1 ESTADO LIMITE DE DESCOMPRESSÃO (E.L.S-D) – COMBINAÇÃO DE AÇÕES QUASE
FREQUENTES ................................................................................................................................44
3.6.2 ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS (E.L.S-F) – COMBINAÇÃO DE AÇÕES
FREQUENTE. .................................................................................................................................47
3.6.3 VERIFICAÇÃO DE RUPTURA NO TEMPO ZERO ............................................................49
4.
CONCLUSÃO ...............................................................................................................................51
5.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................54
1
1.
INTRODUÇÃO
Desde os primórdios, o homem tem a preocupação em construir pontes e viadutos,
devido à necessidade de deslocamento e de habitar regiões próximas a água.
É fato que devido à constante necessidade de construção deste tipo de estruturas, houve
um aprimoramento continuo na técnica de construção, e no emprego de diferentes materiais,
possibilitando a realização de pontes seguras e com vãos cada vez maiores.
Na antiguidade, as pontes eram construídas basicamente por pedras, em forma de arcos;
técnica desenvolvida pelos romanos com perfeição, muito utilizada também na idade média.
Tal método possibilita a transposição de grandes vãos, devido a forma geométrica, que faz com
que a estrutura trabalhe basicamente a compressão.
A partir do século XVIII até meados do século XIX, a maioria das pontes era metálica,
feitas de diferentes ligas de ferro, até o desenvolvimento do aço em 1860, que passou a ser o
material mais utilizado.
O concreto passou a ter papel preponderante na construção de estruturas a partir de
1900, com o desenvolvimento da teoria do concreto armado por Morsch. Isso foi o primeiro
passo para Freyssinet, em 1928, viabilizar o concreto protendido usando aço de alta resistência
para contrabalancear a retração e deformação lenta do concreto.
Baseado nos fundamentos do concreto protendido, em 1930, Emilio Baumgart
desenvolveu a tecnologia de construção de pontes por balanços sucessivos, empregando-a
pela primeira vez na ponte sobre o Rio Peixe, vencendo um vão de 68m.
Talvez a obra nacional mais marcante que emprega esta metodologia construtiva seja a
ponte Presidente Costa e Silva, conhecida como ponte Rio-Niterói, a qual transpõe um vão de
12900m, apesar de terem sido empregados 3 diferentes métodos construtivos.
Este método consiste no lançamento simétrico de aduelas protendidas nas duas
extremidades do pilar de apoio de forma sucessiva, fazendo com que o encontro da
superestrutura ocorra no meio do vão.
2
Sob o aspecto estrutural, é importante salientar que pontes em balanço sucessivo são
construídas basicamente com seção caixão, devido à grande capacidade de distribuição de
cargas em função da alta rigidez à torção (a torção, por ser mais rígida que a flexão
diferenciada das almas, transporta praticamente todo o efeito de excentricidade), além da
grande resistência à torção e grande resistência à flexão, seja para momentos positivos ou
negativos (pois tem 2 mesas, superior e inferior).
Em contrapartida, este sistema construtivo exige alguns cuidados durante a concepção do
projeto, como por exemplo, em relação às contraflechas, uma vez que são mais elevadas em
relação a construção de pontes por vigas continuas, além do fato do concreto ser solicitado
muito novo, fazendo com que as deformações imediatas, sobretudo as lentas sejam relevantes,
fatores que influenciam diretamente no cálculo.
Os procedimentos e detalhes de cálculo desta metodologia construtiva serão abordados
por este trabalho, focando mais precisamente nas armaduras longitudinais de protensão.
1.1
JUSTIFICATIVA
É notável que o Brasil é um pais que possui uma hidrografia ampla com rios caudalosos e
extensos, e por isso há necessidade de construção de pontes com vãos médios e grandes.
Dentre as técnicas existentes, a mais eficiente para vencer este tipo de obstáculo é o sistema
estrutural de viga em balanço progressivo.
Tal técnica foi muito empregada nos anos 70, época do acelerado crescimento econômico
do Brasil e da realização das grandes obras de infra-estrutura do país, como a ponte RioNiterói. Desde então não havia sido muito utilizada, até os dias atuais, porem já é possível ver
seu emprego, por exemplo, no RODOANEL, maior obra viária em execução em território
nacional.
Além disso, trata-se de uma tecnologia genuinamente brasileira, desenvolvida por Emilio
Baungarten, que apesar de ser bastante empregada em obras desta magnitude, é uma técnica
que poucos dominam, devido a pouca bibliografia sobre o tema, além do longo tempo que ficou
em desuso nos país.
Este trabalho procura abordar este tema da forma mais abrangente possível, visando
expor ao leitor como se aplica a norma para a determinação da armadura longitudinal para as
condições de flexão.
3
1.2
OBJETIVOS
Criar uma metodologia de pré-dimensionamento da armadura longitudinal de protensão
para a seção mais solicitada (de apoio) de ponte em balanço progressivo levando em conta as
prescrições da NBR6118:2003 e devidas as ações de flexão. Desta forma, serão abordados os
estados limites último de flexão no tempo infinito e no tempo zero, assim como as verificações
em serviço para atender a fissuração.
1.3
ESTRUTURA DO TEXTO
Este texto é composto por um capitulo introdutório, e mais quatro capítulos, que
abordam os seguintes temas: Revisão bibliográfica, Pré-dimensionamento da armadura
longitudinal de protensão, Conclusão e Referencias Bibliográficas
No capítulo introdutório é feita uma pequena contextualização do assunto, abordando
aspectos históricos e construtivos, informando o objetivo e a justificativa do tema estudado.
O capitulo dois é constituído por uma serie de extratos de livros utilizados como
consulta do tema, servindo como subsidio teórico, além de expor ao leitor a metodologia de
estudo empregada no trabalho de pesquisa.
Já o capitulo três é onde ocorre todo o desenvolvimento de cálculo, baseando-se na
teoria estudada e nos critérios da NBR-6118:2003, seguido do capitulo quatro, onde são
analisados os resultados e feitas as considerações finais sobre o tema.
Por último, há o capitulo a respeito das referencias bibliográficas, onde são listadas as
obras consultadas para pesquisa do tema e desenvolvimento do trabalho.
4
2.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Este trabalho aborda a tecnologia de construção de pontes em balanço progressivo. É
importante notar que um projeto de pontes é composto basicamente por duas partes:
infraestrutura (fundações e pilares) e mesoestrutura (tabuleiro), esta ultima objeto de estudo do
nosso trabalho, mais especificamente o pré-dimensionamento das armaduras longitudinais
Primeiramente é necessário definir o que vem a ser a técnica de balanços sucessivos.
Embora haja variações possíveis quanto ao projeto e modelo estrutural, descreve-se apenas o
processo usualmente utilizado no Brasil.
Segundo REZENDE (2007), indicado para grandes vãos, o processo de execução por
balanços sucessivos constitui-se por concretagens de aduelas (segmentos de superestrutura,
seccionados no sentido transversal e comprimentos que podem variar de 2 a 5 metros,
normalmente) simetricamente opostas em relação ao eixo vertical do pilar. O avanço
simultâneo em sentidos contrários é que garante o equilíbrio da superestrutura sobre o pilar até
que as extremidades dos balanços sejam apoiadas ou continuadas ligando-se à outra
extremidade de balanço. A figura 1 mostra o esquema geral para o processo de balanços
sucessivos duplos e a trajetória dos cabos de protensão. As aduelas são protendidas aos
pares, geralmente de maneira que os cabos de uma aduela sejam protendidos entre esta e a
outra simetricamente oposta.
Figura 2-1 - Esquema estrutural do sistema de balanços sucessivos
5
Para se realizar qualquer projeto de ponte dentro deste conceito, primeiramente devese definir que tipo de sistema estrutural adotar para o cálculo da obra de arte em questão.
De acordo com PAS (2007), pode-se classificá-las dentro de 4 conceitos básicos,
conforme pode ser identificado na figura 2:
- Pórticos com ligações articuladas;
- Pórticos isostáticos com viga Gerber;
- Pórticos ou vigas com estabelecimento da continuidade;
- Pórticos mistos.
Figura 2-2 - Tipos estruturais de pontes de acordo com a ligação
6
Uma vez definida o sistema estrutural, é necessário identificar os esforços solicitantes
na estrutura. Para o pré-dimensionamento da armadura longitudinal de protensão, considera-se
uma parcela do peso próprio atuante, a carga acidental vertical, além da contribuição dos
esforços hiperestáticos de protensão e esforços devido ao impedimento da realização das
deformações diferidas, além dos acréscimos de peso próprio (pavimentação e defensas),
conforme descrito no capitulo II, pagina II.1 de CARVALHO(1987).
É importante frisar que a estrutura deve ser dimensionada tendo em vista os
equipamentos de montagem, além da própria situação de montagem, que gerarão esforços
solicitantes durante a etapa construtiva. Nota-se isso na ponte Internacional de Quintanilha,
exemplo descrito por PEDRO & REIS & REIS (2008), na qual utilizaram para a estrutura em
questão 4 cabos por aduela, sendo 2 por alma, com potencia média útil a longo prazo não
inferior a 2900 e 1850 KN/cabo, e potencia útil sobre a seção do pilar de 3200KN e
2050KN/cabo, durante a construção, além dos cabos colocados visando a continuidade da
ponte.
A construção de obras de arte em balanço sucessivo pode ser realizada tanto com
peças pré-moldadas, quanto com aduelas moldadas no local. Segundo LEONHARDT (1979)
apud PAS (2007), a grande vantagem do processo dos balanços sucessivos com concreto
moldado no local é a possibilidade de se dispor a armadura longitudinal para a limitação da
fissuração através das juntas de concretagem, de modo a tornar possível uma protensão
limitada ou parcial. A junta pode também transmitir perfeitamente à laje do tabuleiro as bielas
comprimidas inclinadas e forças cortantes, desde que a superfície da junta seja áspera ou
tornada áspera mecanicamente, a fim de que o concreto novo e o velho possam se ligar por
meio de um “endenteamento”.
Entretanto,um aspecto importante a ser considerado na construção in loco, é o
surgimento de um esforço denominado de momento de restituição ou hiperestático da
deformação lenta ocorrido após a concretagem do fechamento central. Isto se dá devido ao
fato de ocorrer uma alteração no sistema estrutural, causando o impedimento da deformação
diferida do concreto que prosseguiria até sua estabilização final. Desta forma, essa
continuidade do tabuleiro impede o aumento da rotação diferida na seção, surgindo assim o
esforço hiperestático. Inicialmente, este esforço é nulo no momento em que é feita a ligação e
cresce progressivamente até um limite em função do fenômeno da relaxação, conforme
MASON (1976).
7
Em contrapartida, em termos de produção, em obras construídas por avanço
progressivo moldado no local, pode-se utilizar um grande número de frentes de trabalho,
multiplicando a produção total, compensando assim o suposto atraso em relação às obras
realizadas com pré-moldados, aspecto citado por PFEIL(1975).
Atrelado a isto, temos o fato da possibilidade de variação de altura das aduelas,
proporcionando uma construção mais racionalizada.
A geometria da ponte é determinada a partir do cálculo de altura mínima necessária na
seção de engaste do balanço, conforme proposto por GUYON (1966) e reiterado por
CARVALHO (1987), através da seguinte expressão:
    k  l 2
h1  1,35 
2  C  
(2-1)
Onde:
h1 = altura mínima do balanço no engaste
l = comprimento do balanço;
γ = peso específico do concreto;
 C = tensão de compressão limite do concreto;
ξ = coeficiente usado para corrigir o ponto de aplicação da resultante da carga
permanente (em geral diferente de l/2);
k = coeficiente que corrige o valor da resultante de peso próprio, pois esta não é igual
ao produto da taxa de carga permanente máxima multiplicada pelo valor do vão do balanço;
ζ = coeficiente que multiplicado pela altura fornece o valor do braço de alavanca.
Partindo deste valor, pode-se determinar as demais alturas do meio do vão a partir de
um calculo iterativo, utilizando a equação acima para o cálculo das alturas dos tramos, e
consequentemente, dos valores correspondentes dos coeficientes em questão, repetindo-se
este procedimento até a obtenção de resultados satisfatórios. Outra alternativa seria encarar
essa equação como uma função de 2o grau, ou uma hipérbole, onde os demais valores já
seriam automaticamente determinados, assim como descrito por CARVALHO(1987).
8
A determinação da geometria é necessária para se projetar o traçado dos cabos
longitudinais de protensão, o que causará a variação dos valores e do numero de cabos
necessários.
Ainda de acordo com CARVALHO (1987), o pré-dimensionamento deve satisfazer as
verificações de tensões normais nas bordas superior e inferior de cada seção, conforme a
equação a seguir:
𝜎𝑠𝑢𝑝 = 𝑛𝑐 𝑥
𝑁1p 𝑁1p × ep
𝑀1
+
−
≥σ
𝐴
𝑊𝑠𝑢𝑝
𝑊𝑠𝑢𝑝
(2-2)
ou
𝑛𝑐 ≥
σc +
𝑀1
𝑊𝑠𝑢𝑝
1
𝑁1𝑝 𝑁1𝑝 𝑒𝑝
𝐴 + 𝑊𝑠𝑢𝑝
(2-3)
Onde:
𝑛c = número de cabos existentes na seção em questão
N1p = força normal de protensão de um cabo
ep = excentricidade de cabo resultante na seção
M1 = momento máximo atuante na seção
c
= limite de tensão de tração no concreto, ou quando for o caso a menor tensão de
compressão
Essa equação descrita acima se aplica para o bordo superior de uma seção genérica,
porém quando se trata do bordo inferior, a equação é análoga, apenas com inversão dos
sinais.
A NBR 6118:2004 prevê ainda a obediência de outros critérios de segurança para a
determinação da armadura longitudinal, tendo em vista os estados limites de serviço e estado
limite ultimo, passando desde o grau de agressividade do ambiente até combinações de ações
em serviço, sem esquecer de considerar as supostas perdas de protensão.
Conforme MATTOS (2001), essas perdas de protensão podem ser divididas em dois
grandes grupos: perdas imediatas e perdas ao longo do tempo. Dentro das perdas imediatas
9
há a perda devido a rigidez do sistema estrutural, perda no sistema de macaqueamento e nas
placas de ancoragem, perda pelo atrito entra a armadura e a bainha, perda pela acomodação e
deformação das ancoragens e perda pela deformação instantanea do concreto decorrente das
protensões sucessivas; enquanto as perdas ao longo do tempo podem ser caracterizadas
como perda pela retração do concreto, pela fluência, e relaxação do aço.
É importante salientar que qualquer verificação só é possível após estabelecimento do
traçado de um cabo representativo, para efeito de pré dimensionamento, que posteriormente
possibilitará a determinação da quantidade total de cabos e seu detalhamento, conforme podese conferir em CARVALHO (2009).
Ainda referente ao traçado dos cabos, MASON (1976) cita que é necessário projetar a
protensão partindo-se dos apoios para os extremos dos balanços, de modo a garantir a
estabilidade de cada aduela na fase de construção e do conjunto final.
De acordo com o desenvolvimento do trabalho, esses aspectos serão melhor
detalhados e explicados.
2.1
METODOLOGIA
Visando atingir os objetivos propostos, serão realizadas as seguintes atividades:
A-
Revisão Bibliográfica: realizada com o objetivo de compreender a metodologia
construtiva de balanços progressivos, e apresentar os métodos de cálculo do sistema em
questão.
B-
Criação de um roteiro de cálculo: a partir dos dados referentes às
características das pontes em balanços progressivo, ao detalhamento da armadura longitudinal
de protensão e todas as suas especificações de cálculo (conhecimento adquirido através da
pesquisa bibliográfica sobre o tema), foi criado um roteiro de resolução de armaduras
longitudinais de protensão simplificado, detalhando passo a passo os procedimentos e quais
restrições devem ser obedecidas, segundo a NBR 6118:2003.
C-
Aplicação: com o roteiro de cálculo, foi realizado um exemplo numérico
referente ao cálculo de armadura longitudinal de protensão de uma ponte real, visando maior
compreensão, demonstrando uma situação real de pré-dimensionamento, tendo em vista que
pode-se verificar a eficácia e a precisão da resolução.
D-
Análise e apresentação dos resultados: Baseado nos resultados obtidos,
analisou-se o significado dos mesmos, apresentando-os em seguida.
10
3.
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA
LONGITUDINAL DE PROTENSÃO
Segundo Carvalho (2009) um roteiro para o pré-dimensionamento da armadura
longitudinal de vigas protendidas com aderência posterior pode ser descrito pelas etapas
citadas abaixo:

Especificar o Esquema estrutural

Escolher e indicar o Sistema, unidades de protensão e informações gerais.

Indicar uma trajetória para o cabo representante

Efetuar o cálculo das perdas imediatas do cabo representante

Efetuar o cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante

Efetuar o cálculo do número de cabos necessários levando em conta o estado limite
último, usando o pré-alongamento do cabo representante para a seção (ou seções) de
máxima solicitação

Verificação dos estados de fissuração na seção de maior solicitação e determinação do
feixe limite para as demais seções.
Esta sistemática foi desenvolvida para vigas usuais de pontes simplesmente apoiadas
(ou contínuas), e a idéia aqui é testá-la para o cabo de uma viga de ponte em balanço
progressivo, em que a inércia varia e a protensão é efetuada por etapas. Para verificar a
validade do procedimento, resolve-se um exemplo numérico que é o caso abordado em
CARVALHO (1987): um viaduto localizado na estaca 4023, da rodovia São Paulo- Curitiba ( BR
116) no trecho Miracatu – São Paulo,. A seguir, detalha-se cada etapa de calculo.
3.1
3.1.1
INFORMAÇÕES GERAIS E INDICAÇÃO DO SISTEMA DE UNIDADES DE
PROTENSÃO.
ESPECIFICAÇÃO DO ESQUEMA ESTRUTURAL
Primeiramente, deve-se caracterizar a estrutura, qual sua geometria e seus
componentes. O viaduto em questão é constituído de 3 tramos, sendo que os dois laterais
11
possuem altura constante, e vão de 28 metros concretados sobre escoramento direto,
enquanto o tramo central é construído pelo processo de balanços sucessivos, dividido em dois
balanços de 38 metros cada, com 6 m concretados sobre escoramento direto, e 8 aduelas de 4
m, com uma aduela de fechamento de 4m. O viaduto em planta é curvo, o que dificulta a
execução e também limita o vão, que para balanços progressivos poderia ser maior.
Pode-se perceber que neste caso adotou-se a solução de continuidade no ponto
central, de forma que a carga acidental atua sobre uma estrutura contínua.
O trecho em balanço possui inércia variável, devido à variação de altura da sua seção
transversal. Trata-se de um trecho curvo em elevação, descrito por uma hipérbole com 2
pontos de passagem pré-estabelecidos, compreendidos na seção 10 e 20, com altura de 4m e
2m respectivamente.
A seguir tem-se o desenho esquemático da estrutura:
S10
28.00
Escoramento Direto
6.00
S20
32.00
Balanço Progressivo
4.00
S30
32.00
6.00
Balanço Progressivo
28.00
Escoramento Direto
Fechamento
Central
Figura 3-1 - Esquema longitudinal da estrutura
3.1.2
CÁLCULO DOS ESFORÇOS E DAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS
Antes de se definir os esforços solicitantes, deve-se calcular os dados geométricos das
seções transversais. A partir das figuras 3-2, 3-3 e 3-4 e da tabela 3-1, retiradas de
CARVALHO (1987), pode-se notar as dimensões da peça de acordo com sua variação de
altura.
12
S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10
4.00
2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80
6.00
28.00
Figura 3-2 - Seção longitudinal (trecho em escoramento direto)
trecho de
fechamento
S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
S18
S19 S20
aduela aduela aduela aduela aduela aduela aduela aduela
6.00
1
2
3
4
5
6
7
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
8
4.00 2.00
40.00
Figura 3-3 - Seção longitudinal (trecho em balanço progressivo)
Pavimentação
0.20
0.07
0.35
1.50
0.15
0.35
h
bw
e
2.80
7.40
Figura 3-4 - Seção transversal
2.80
13
Tabela 3-1 - Dimensões das aduelas
Seção
S0 a S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
S18
S19
S20
h (cm)
400
359
331
303
278
255
235
218
207
201
200
e (cm)
60
53
49
44
40
35
31
26
22
17
15
bw (cm)
70
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
Conhecidas a geometria, é necessário calcular as demais características geométricas,
como área, momento de inércia, centro de gravidade e módulo de resistência da seção. Para
facilitar o cálculo, divide-se a seção em figuras com geometria simples (no caso trapézios),
conforme notamos a seguir:
3
2
1
3
4
4
5
5
6
6
7
Figura 3-5 - Divisão da seção transversal em trapézios
Tabela 3-2 - Características geométricas das seções
Seção
S0 a S10
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
S18
S19
S20
2
A (m )
12.49
9.80
9.27
8.76
8.26
7.77
7.32
6.89
6.50
6.15
6.00
Características Geométricas
h (m) yinf (m)
ysup (m) I (m4)
4.00
1.98
2.02
26.06
3.59
1.80
1.79
20.49
3.31
1.71
1.61
16.46
3.03
1.60
1.43
13.04
2.78
1.51
1.27
10.25
2.55
1.42
1.13
8.02
2.35
1.35
0.99
6.29
2.18
1.30
0.88
5.01
2.07
1.28
0.79
4.09
2.01
1.29
0.72
3.47
2.00
1.31
0.69
3.24
Winf (m3)
14.65
11.37
9.68
8.14
6.80
5.64
4.65
3.85
3.20
2.69
2.47
Wsup (m3)
14.41
11.47
10.25
9.11
8.07
7.13
6.37
5.67
5.18
4.84
4.70
14
Feito isto, é necessário calcular os esforços solicitantes da estrutura, tanto aquele
referentes às ações permanentes, quanto às cargas acidentais.
É importante ressaltar que estruturas construídas em balanço sucessivo são
consideradas isostáticas na sua fase construtiva, situação em que são calculados os esforços
provenientes da ação do peso próprio. Neste tipo de estrutura as cargas permanentes devido
ao asfalto e a proteção lateral (sobrecarga) são consideradas com a estrutura hiperestática
assim como a carga acidental, uma vez que atuarão apenas após o estabelecimento de
continuidade da estrutura.
A seguir são apresentados os cálculos de tensão devido ao peso próprio em apenas
duas seções, S10 e S15 (a notação neste caso é a que considera tensão de compressão com
o sinal positivo). No caso foram escolhidas tais seções, pelo seu aspecto demonstrativo, uma
vez que uma localiza-se no inicio e a outra na parte intermediária do balanço. Além disso, não
é escopo deste trabalho a execução detalhada de todos os cálculos dos esforços.
Tabela 3-3. Momento Fletor e tensões devido ao peso próprio em S10
Momento Fletor e tensões devido ao peso próprio (g1) em
S10
Após
2
2
lançamento da Mg1 (tf.m) σc, inf (tf/m ) σc, sup (tf/m )
aduela
1
-1242
84
-86
2
-2322
158
-161
3
-3681
251
-255
4
-5282
360
-366
5
-7091
483
-492
6
-9091
619
-629
7
-11219
765
-778
8
-13495
789
-802
Tabela 3-4- Momento fletor e tensões devido ao peso próprio em S15
Momento Fletor e tensões devido ao peso próprio (g1) em
S15
Após
2
2
lançamento da
Mg1 (tf.m) σc, inf (tf/m ) σc, sup (tf/m )
aduela
5
-149
26
-21
6
-574
101
-80
7
-1242
220
-174
8
-2126
377
-298
15
Neste caso, deve-se frisar que efetua-se o cálculo de esforços de acordo com o
lançamento de cada aduela, uma vez que há o acréscimo de cargas, e consequentemente
ocorrem mudanças nos momentos da estrutura e nas tensões.
Com relação aos esforços provenientes das cargas acidentais e das sobrecargas,
resolve-se a estrutura continua. Neste caso, o problema encontra-se na variação de inércia das
seções transversais ao longo do tramo. Para isso, para cada aduela considera-se uma inércia
média.
A resolução consiste no cálculo de linhas de influencia para cada aduela, considerandose a aplicação de uma carga unitária como mostram as figuras a seguir 3.6 e 3.7. Desta
maneira, ao calcular-se os trens tipo, pode-se combiná-los com as linhas de influência,
obtendo-se os valores de momentos máximos e mínimos devido a carga acidental e a
sobrecarga.
O trem-tipo adotado para tal cálculo é de classe 36 (na época em que se executou a
obra este era o trem tipo máxima quer foi mantido neste trabalho a fim de fazer as
verificações), ou seja, é um veiculo com 3 eixos e peso total de 36 tf. Já a sobrecarga atuante
devido ao asfalto é 4,44tf/m.
Tabela 3-5 Momento fletor e tensões devido a sobrecarga em ambas seções
Momento Fletor e tensões devido ao peso
próprio (g2) e carga acidental
Seções
10
15
Mg2
(tf.m)
-2790
40
K1.Mq.min K1.Mq.máx
(tf.m)
(tf.m)
-3331
-317
68
419
Maiores detalhes de cálculo da estrutura podem ser encontrados em CARVALHO
(1987).
16
Figura 3-6 - Linha de influência (L.I) de momento fletor em S10
17
Figura 3-7 - Linha de influência (L.I) de momento fletor em S15)
18
3.1.3
SISTEMA DE UNIDADE DE PROTENSÃO
A seguir serão listadas as unidades de protensão utilizadas:

Concreto: fck > 260kgf/cm2

Aço CP190 RN

Cabos de 7 e 12 cordoalhas, com ∅ = ½ “

Dext para 12 ∅ ½ “ = 7cm, A = 11,84 cm2

Dext para 7 ∅½ “ = 5,5cm, A= 6,91cm2

Tensão limite nominal a tração (fptk) = 19000 kgf/cm2

Tensão nominal para alongamento de 1% (fp0,1K) = 17100 kgf/cm2

Coeficientes de relaxação pura (para 1000h e 20°) Y50 = 0, Y60 = 1,5%, Y70 = 2,5%,
Y80 = 3,5%.

Módulo de deformabilidade (Ep) = 1,9 x 106 kgf/cm2

Coeficiente de atrito (m)=0,25

Desvio angular (b)= 0,01 rd/m

Sistema de protensão Rudloff – perda durante a cravação (∆𝑙) = 6mm
OBS: Alguns dos valores acima não são mais empregados em dimensionamentos de
estruturas atuais. Utilizou-se os mesmos dados de CARVALHO (1987), para efeito de
comparação.
3.2
INDICAÇÃO DA TRAJETÓRIA DO CABO REPRESENTANTE
Para o pré-dimensionamento da estrutura, deve-se primeiramente traçar o cabo
representante, visando o cálculo posterior das perdas (como dito anteriormente).
Para isto, deve-se conhecer o traçado do diagrama de momentos, uma vez que a
armadura de protensão tem como função resistir aos mesmos. Desta forma, de forma
simplificada, a trajetória dos cabos segue o traçado do diagrama.
No caso de pontes em balanço progressivo, deve-se considerar o aspecto construtivo
da estrutura. Para tanto, é importante considerar aduela por aduela, conforme descrito a seguir:

Inicialmente faz-se o primeiro tramo com a primeira aduela

Repete-se o procedimento com as demais aduelas
19
De forma genérica, e baseado nos valores expostos de esforços nas seções S10 e S15,
pode-se estimar o seguinte diagrama de momentos esquemático para tal estrutura:
última aduela
penúltima aduela
aduela "i"
primeira aduela
S10
Figura 3-8 - Esquema de diagrama de momentos
Fazendo-se isto, percebe-se que para executar-se a verificação completa de qualquer
seção, existem n verificações no tempo zero e tempo t, ou seja, a cada lançamento de uma
nova aduela, é necessário realizar os cálculos de esforços e perdas, uma vez que há alteração
na configuração da estrutura. Por exemplo: Ao efetuar-se o dimensionamento da aduela 1,
deve-se realizar a verificação da mesma no instante que ela é lançada, e no instante em que as
aduelas seguintes são lançadas, no caso as 7 aduelas restantes.
É interessante notar a variação do diagrama de momentos, uma vez que os esforços
negativos são maiores com o avanço das aduelas, enquanto os momentos positivos são
maiores nas aduelas mais próximas do apoio.
Como trata-se apenas de um pré-dimensionamento, será utilizada esta envoltória de
momentos para efeito do traçado dos cabos.
Além disso, para efeito de pré-dimensionamento, não há necessidade de um cálculo tão
detalhado. Visto isso, o cabo representante será aquele que caracteriza a estrutura após o
lançamento da aduela 4 (seção S15).
Foi escolhida esta situação de cálculo, pois trata-se de uma seção intermediária da
estrutura, capaz de fornecer um valor médio dos esforços no cabo durante o processo
construtivo como um todo. Além disso, o pré-dimensionamento será realizado com base na
20
seção de apoio, uma vez que trata-se da seção mais solicitada da estrutura. Assim, será
verificada a seção em questão para o tempo infinito e, portanto, com todos os esforços (carga
permanente, sobrecarga permanente e carga acidental), considerando a estrutura já
trabalhando de forma contínua. O momento hiperestático de protensão é, neste caso,
estimado.
Segundo CARVALHO (2009), no cálculo de balanços progressivos deve-se utilizar
sempre curvaturas com raios próximos aos raios mínimos, quando o cabo termina na aduela
com traçado curvo. Neste caso, adota-se cabo de 12 ϕ ½ “, cujo raio mínimo é 12m.
Respeitando esta regra, considera-se que as curvas dos cabos são descritas por uma
função de segundo grau, mais precisamente por um arco de circunferência, uma vez que
facilita a determinação de ângulos e coordenadas, conforme pode-se conferir no capitulo 8 de
CARVALHO (2009).
3.2.1
SITUAÇÃO DE CÁLCULO – ADUELA 4 (SEÇÃO S15)
S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10
S11
S12
S13
S14
S15
aduela aduela aduela aduela
4.00
2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80
6.00
1
2
3
4
4.00
4.00
4.00
4.00
28.00
Cabo corrigido
Traçado do cabo
Figura 3-9 - Representação da trajetória do cabo após lançamento da aduela 4
Partindo-se da extremidade da aduela visando garantir o raio mínimo do cabo, inicia-se
os cálculos:
21

Trecho curvo (entre S15 e S14)
𝐻2 =
255
− 10,5 = 117𝑐𝑚
2
R2 =
R2 =
x22 + h22
2h2
6,52 + 1,17 2
2x1,17
→ R2 = 18,64cm
6,5
tgθ2 = 18,64−1,17 →
θ2=20,41°
Tem-se que o final do cabo encontra-se no CG da peça, pois se o mesmo se
encontrasse em qualquer posição diferente, ocorreria a geração de esforços que poderiam
comprometer o equilíbrio da estrutura.
De acordo com CARVALHO (2009), deve-se deixar no mínimo 1 metro de distância
horizontal em relação à extremidade, de forma que este trecho tenha cabo reto, visando a
ancoragem.
Assim tem-se:
θ
20,41
CD′ = R2. tan − D′ D = 18,64 . tan
− 1 = 2,35
2
2
h2′ = CD′ . senθ = 2,35 . sen 20,41 = 0,821
x2′ = CD′ . 1 + cosθ = 2,35 1 + cos 20,41 = 4,55
Assim:
R2′ =
4,55 + 0,8212
= 13,03m > 12𝑚 valor próximo
2 . 0,84
4,55
tgθ2′ = 13,03−0,821 →
θ2´=20,43°
Obs: a nova trajetória está representada em azul.
É importante notar o valor do ângulo de saída do cabo. O mesmo não pode ser muito
alto, pois dificulta a colocação do mesmo na peça. No caso, 20,41° é um ângulo bom.
22
S11
a
S12 S13 B B' S14
C
X2'
X2
S15
D'
H2
CG
D
2'
Cabo corrigido
Traçado do cabo
02'
2
Figura 3-10 - Demonstração gráfica dos cálculos efetuados para o trecho de cabo curvo

Trecho deflexão (entre S5 e S10)
h1 = h2 − 2a
h1 = 255 − 21 = 231cm
k=
h
= 115,5cm
2
x1 = 2 . 2,8 +
R1 =
2,8
= 7 cm
2
72 + 1,1552
= 21,78cm > 12𝑚
2 .1,155
tgθ1 =
7
→ θ1 = 18,74°
21,78 − 1,155
23
S5 S6 S7 S8 S9 S10
S11
a
1
Figura 3-11 - Demonstração gráfica dos cálculos efetuados para o trecho de cabo em
deflexão
3.3
CÁLCULO DAS PERDAS IMEDIATAS DO CABO REPRESENTANTE
As perdas imediatas ocorrem devido à forma como se procede a protensão e das
propriedades elásticas do concreto e do aço.
Considera-se perdas imediatas aquelas ocasionadas devido ao atrito entre o cabo e a
bainha ou concreto; devido à deformação da ancoragem e por deformação imediata do
concreto. Esta ultima é desprezada no pré-dimensionamento, em função da falta de
conhecimento do número de cabos.
A seguir, o cálculo será devidamente detalhado.
3.3.1
CÁLCULO DAS PERDAS POR ATRITO CABO-BAINHA DO CABO REPRESENTANTE
É interessante comentar que há as perdas por atrito devido à protensão do macaco
hidráulico, e consequentemente perda na ancoragem dos cabos, porém são compensadas por
pressão manométrica aplicada no macaco, conforme pode-se conferir no capitulo 3 de PFEIL
(1980).
24
Utilizando os valores dados anteriormente e a trajetória do cabo representante, efetuase os cálculos.
Deve-se frisar que serão efetuados os cálculos tendo em vista tanto a ancoragem
realizada à extremidade direita do cabo, quanto à extremidade esquerda, uma vez que trata-se
de duas ancoragens vivas, influenciando assim no comportamento das tensões ao longo de
sua trajetória.
Tabela 3-6-Tensões ao longo do cabo representante após perdas por atrito (lado
esquerdo)
Seção
S0
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
x(m)
0
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
6
4
4
4
4
D x(m)
a(°)
Da(°)
Da(rad)
e -m(Da+bx) (Mpa)
Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa)
0
2.8
5.6
8.4
11.2
14
16.8
19.6
22.4
25.2
28
34
38
42
46
50
0
0
0
0
0
0
19
19
19
19
19
0
0
0
21
21
0
0
0
0
0
0
19
38
57
76
95
95
95
95
116
137
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.33
0.66
0.99
1.33
1.66
1.66
1.66
1.66
2.02
2.39
1.0000
0.9930
0.9861
0.9792
0.9724
0.9656
0.8826
0.8067
0.7373
0.6739
0.6160
0.6068
0.6008
0.5948
0.5373
0.4854
1400.00
1390.23
1380.54
1370.91
1361.34
1351.85
1235.62
1129.38
1032.27
943.52
862.39
849.55
841.10
832.73
752.26
679.56
25
Tabela 3-7 Tensão ao longo do cabo representante após perdas por atrito (lado direito)
Seção
S15
S14
S13
S12
S11
S10
S9
S8
S7
S6
S5
S4
S3
S2
S1
S0
x(m)
0
4
4
4
4
6
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
D x(m)
0
4
8
12
16
22
24.8
27.6
30.4
33.2
36
38.8
41.6
44.4
47.2
50
a(°)
0
21
21
0
0
0
19
19
19
19
19
0
0
0
0
0
Da(°)
0
21
42
42
42
42
61
80
99
118
137
137
137
137
137
137
Da(rad)
0.00
0.37
0.73
0.73
0.73
0.73
1.06
1.40
1.73
2.06
2.39
2.39
2.39
2.39
2.39
2.39
e -m(Da+bx) (Mpa)
1.0000
0.9034
0.8161
0.8079
0.7999
0.7880
0.7202
0.6583
0.6017
0.5500
0.5027
0.4992
0.4957
0.4922
0.4888
0.4854
Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa)
1400.00
1264.71
1142.49
1131.12
1119.87
1103.20
1008.34
921.65
842.40
769.97
703.77
698.86
693.99
689.15
684.34
679.56
Repara-se que a tensão inicial aplicada é 1400MPa, isto porque de acordo com a
norma, esta tensão deve ser igual a 0,74fptk e 0,82fpyk. Como fpyk ≈ 0,9 fptk, utiliza-se o menor
valor destes. Assim:
𝜎𝑝𝑖 = 0,74 𝑥 1900 = 1406 𝑀𝑃𝑎 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 1400 𝑀𝑝𝑎
Desta forma, ao realizar-se a intersecção das duas situações, tem-se:
Tabela 3-8 - Tensão ao longo do cabo representante após perdas por atrito (resumo)
Seção
S0
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
D x(m)
0
2.8
5.6
8.4
11.2
14
16.8
19.6
22.4
25.2
28
34
38
42
46
50
Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa)
1400.00
1390.23
1380.54
1370.91
1361.34
1351.85
1235.62
1129.38
1032.27
943.52
862.39
849.55
841.10
832.73
752.26
679.56
Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa)
679.56
684.34
689.15
693.99
698.86
703.77
769.97
842.40
921.65
1008.34
1103.20
1119.87
1131.12
1142.49
1264.71
1400.00
26
Tensão ao longo
do cabo (Mpa)
1600.00
1400.00
1200.00
1000.00
800.00
600.00
400.00
200.00
0.00
0
10
20
30
40
Perdas por atrito (ancoragem a esquerda)
50
60
Posição x (m)
Perdas por atrito (ancoragem a direita)
Perdas por atrito (intersecção)
Figura 3-12 - Tensões ao longo do cabo representante
3.3.2
CÁLCULO DAS PERDAS POR DEFORMAÇÃO DA ANCORAGEM DO CABO
REPRESENTANTE
Ao realizar-se a ancoragem de um cabo, há sempre um pequeno retrocesso no cabo
que estava esticado, devido ao sistema de ancoragem por cunhas, o que provoca uma queda
de tensão no mesmo, conforme pode-se consultar em CARVALHO (2009).
Desta forma, é necessário verificar as perdas no cabo devido à este fenômeno. O
processo de cálculo neste caso se faz por tentativa, através do gráfico de tensões descrito
acima.
Baseado na teoria de resistência dos materiais, supõe-se que o cabo possui um
comportamento elástico, de forma que a queda de tensão é descrita por:
𝜔 = 𝐸𝑝. ∆𝑙
Onde:
𝜔 = 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚
𝐸𝑝 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜
∆𝑙 = 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑐𝑟𝑎𝑣𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜
Desta forma tem-se:
(3-1)
27
𝜔 = 𝐸𝑝. ∆𝑙
𝜔 = 1,9 𝑥 105 𝑥 0,6 = 114000
Cabe agora traçar no gráfico uma curva simétrica à encontrada, de forma que a área
entre as duas tenha o valor igual ao ∆𝜎. Desta forma, será possível encontrar o valor os
(MPa)
respectivos valores das tensões ao longo das seções da peça.
1400,00 1390,23
1380,54 1370,91 1361,34
1400,00
1351,85
1335,32
1235,62
1270,63 1280,40 1290,09 1299,72 1309,29 1318,78
1129,38
1100,00
1400,00
1119,87
1032,27 1008,34
1103,20
1131,12
1142,49
1264,71
1205,17
1144,20
1005,46
800,00
5
0
10
15
1a tentativa (seção S5 e S14)
2a tentativa (seção S6 e S13)
Alternativa correta
20
25
30
35
40
45
50
Posição x (m)
Figura 3-13 - Gráfico das tensões ao longo do cabo após perdas iniciais (tentativas)
Pode-se notar pelo gráfico acima que foi necessário interpolar valores, uma vez que as
áreas encontradas deram maiores ou menores que o valor encontrado acima. A seguir detalhase o processo de cálculo:

Ancoragem à esquerda
Traçando-se as curvas simétricas em relação ao pontos conhecidos S5 e S6, obtém-se
os valores de área 67.026 e 425.018 respectivamente, sendo que ω encontra-se neste
intervalo.
Desta forma, é necessário fazer uma interpolação de valores. Com isso, estima-se a
área do gráfico através o uso de figuras geométrica conhecidas, no caso trapézios:
28
𝜔𝑠5 + ∆𝜎. 1400 +
∆𝜎
. 𝑙 = 114000
2 0
67026 + ∆𝜎. 1400 +
∆𝜎. 1400 +
∆𝜎
. 𝑙 = 114000
2 0
∆𝜎
. 𝑙 = 46974
2 0
Considerando o trecho entre S5 e S6 retilineo, tem-se:
𝜎𝑠6 − 𝜎𝑠5 ∆𝜎
=
280
2𝑙0
1351,85 − 1235,62 ∆𝜎
=
280
2𝑙0
𝑙0 = 1,204 ∆𝜎
Substituindo na equação anterior, tem-se:
∆𝜎. 1400 +
∆𝜎
. 1,204. ∆𝜎 = 46974
2
∆𝜎 = 33,082 𝑀𝑃𝑎
𝑙0 = 1,204 .33,082 = 39,83𝑐𝑚
Colocando os valores no gráfico, chega-se a área igual a 113.982, valor bem próximo a
114000, podendo ser adotado.

Ancoragem à direita
Traçando-se as curvas simétricas em relação aos pontos conhecidos S14 e S13,
obtém-se os valores de área 54.754 e 206.008 respectivamente, sendo que ω encontra-se
neste intervalo.
Desta forma, é necessário fazer uma interpolação de valores. Com isso, estima-se a
área do gráfico através o uso de figuras geométrica conhecidas, no caso trapézios:
29
𝜔𝑠14 + ∆𝜎. 400 +
∆𝜎
. 𝑙 = 114000
2 0
54754 + ∆𝜎. 400 +
∆𝜎. 1400 +
∆𝜎
. 𝑙 = 114000
2 0
∆𝜎
. 𝑙 = 59246
2 0
Considerando o trecho entre S14 e S13 retilineo, tem-se:
𝜎𝑠14 − 𝜎𝑠13 ∆𝜎
=
280
2𝑙0
1264,71 − 1142,49 ∆𝜎
=
280
2𝑙0
𝑙0 = 1,636 ∆𝜎
Substituindo na equação anterior, tem-se:
∆𝜎. 400 +
∆𝜎
. 1,636. ∆𝜎 = 59246
2
∆𝜎 = 119,10 𝑀𝑃𝑎
𝑙0 = 1,636 . 119,10 = 194,85𝑐𝑚
Colocando os valores no gráfico, chega-se a área igual a 114.796, valor bem próximo a
114000, podendo ser adotado.
É importante ressaltar que há tolerâncias nos valores encontrados, uma vez que se
trata de um processo aproximado de cálculo por tentativa, portanto as discrepâncias são fruto
da imprecisão das aproximações realizadas.
Como resultado final, tem-se os seguinte gráfico e os seguintes valores de tensão:
30
Tensão ao longo do
cabo (Mpa)
1500.00
Perdas por atrito
(intersecção)
Tensões no cabo após
perdas iniciais
1400.00
1335.32
1280.4 1299.72
1318.78
1300.00
1309.29
1290.09
1270.63
1235.62
1200.00
1205.17
1119.87
1129.38
1100.00
1142.49
1144.2
1131.12
1103.2
1032.27
1008.34
1000.00
1005.46
900.00
Posição x (m)
800.00
-5
5
15
25
35
45
55
Figura 3-14- Gráfico com as tensões finais no cabo após as perdas iniciais
Baseado no gráfico acima, tem-se a tabela com os respectivos resultados de tensão:
Tabela 3-9 – Tensões finais após perdas iniciais
Seção
S0
S1
S2
S3
S4
S5
S5A
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S13A
S14
S15
D x(m)
0
2.8
5.6
8.4
11.2
14
14.398
16.8
19.6
22.4
25.2
28
34
38
42
44.052
46
50
Fs' . e -m(Da+bx)(Mpa)
1270.63
1280.4
1290.09
1299.72
1309.29
1318.78
1335.32
1235.62
1129.38
1032.27
1008.34
1103.2
1119.87
1131.12
1142.49
1205.17
1144.2
1005.46
Os resultados grifados em amarelo representam os valores de intersecção das curvas
azul e verde descritas no gráfico.
31
3.4
CÁLCULO DAS PERDAS AO LONGO DO TEMPO DO CABO
REPRESENTANTE
As perdas ao longo do tempo têm como principal causador os fenômenos reológicos
que estão sujeitos o aço e o concreto. Por esses fenômenos, pode-se compreender a fluência e
a retração do concreto e a relaxação do aço, e seus efeitos são descritos pelo quadro a seguir,
retirado de CARVALHO (2009):
Tabela 3-10 - Considerações sobre efeitos reológico do concreto e do aço
Fenômeno
Atuação -origem
Causa
Retração
Concreto
Fluência
Concreto
Relaxação
Aço
Variação de
volume
Tensão
permanente
deformação
permanente
efeito no
concreto
encurtamento
Efeito no aço
perda de tensão
encurtamento
perda de tensão
------------
perda de tensão
De acordo com CARVALHO (2009), na maioria dos casos em que as variações de
tensões no concreto e na armadura é pequena, pode-se fazer uma série de simplificações. No
caso, pode-se considerar as perdas de forma isolada, ou seja, cada uma é independente da
outra. Assim vale a seguinte expressão:
𝑝,𝑐+𝑠+𝑟 (𝑡, 𝑡𝑜) = ∆𝜎𝑝,𝑐 (𝑡, 𝑡0) + ∆𝜎𝑝,𝑠 (t, t0) + ∆𝜎𝑝,𝑟 (t, t0)
(3-2)
Onde:
𝑝,𝑐+𝑠+𝑟 (𝑡, 𝑡𝑜)= perda total de protensão devido fluência, retração e
relaxação
∆𝜎𝑝,𝑐 (𝑡, 𝑡0) = perda de protensão devido fluência (considerando-a isolada)
∆σp,s (t, t0)= perda de protensão devido retração
∆𝜎𝑝,𝑟 (t, t0) = perda de protensão devido a relaxação (considerando-a isolada)
Antes de se iniciar o cálculo, é necessário determinar alguns parâmetros. No caso,
esses parâmetros são valores finais do coeficiente de fluência (t,to) e da deformação
específica de retração cs(t,to) do concreto.
32
Dessa maneira, usa-se Inforsatto (2009) com a tabela dada:
Tabela 3-11 - Cálculo dos coeficientes de fluência e retração do concreto
É interessante notar que as condições do ambiente e do material influenciam
diretamente neste cálculo.
Determinou-se os valores de umidade relativa (75%), temperatura média (20°C),
abatimento do concreto (7cm) a partir de dados experimentais, além de ter sido estipulado o
tipo de cimento utilizado, no caso CPII.
Em relação aos dados geométricos, podem ser encontrados no item 3.1.2, com a
ressalva que na determinação do perímetro da seção em contato com o ar não considera-se a
região de asfalto, apenas a projeção horizontal inferior e as laterais da peça.
Essa tabela foi construída de acordo com as equações e fórmulas presentes no Anexo
III, da NBR 6118:2003.
Assim, tem-se os seguintes valores:
Coeficiente de fluência do concreto ∅ 𝑡∞, 𝑡0 = 2,323
Deformação específica de retração do concreto εs t∞, t0 = -1,79 . 10-4
3.4.1
CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A RETRAÇÃO
A perda por retração é dada por:
33
∆σp,s = Ep . εs ∞, 5
(3-3)
Onde:
∆σp,s = perdas do concreto devido a retração
Ep = módulo de elasticidade do aço de protensão
εs ∞, 5 = deformação especifica de retração do concreto
Logo, tem-se o seguinte resultado:
∆σp,s = 1,9x105 x1,79x10−4 = 34,01 MPa
3.4.2
CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A FLUENCIA DO CONCRETO
A perda por fluência do concreto é dada por:
∆𝜎𝑝,𝑐 =
𝐸𝑝
.𝜎
. ∅ ∞, 5
𝐸𝑐 𝑐𝑔,𝑔
(3-4)
Onde:
∆𝜎𝑝,𝑐 = Perda por fluência do concreto
𝐸𝑐 = Módulo de elasticidade do concreto
𝐸𝑝 = módulo de elasticidade do aço de protensão
𝜎𝑐𝑔,𝑔 = tensão que ocorre no concreto no nível do centro de gravidade da armadura de
protensão e devido à ação das cargas permanentes inclusive a protensão
∅ ∞, 5 = Coeficiente de fluência do concreto
No caso, valor de Ec é dado pela seguinte expressão:
𝐸𝑐 = 0,85𝑥5600𝑥 𝑓𝑐𝑘
𝐸𝑐 = 0,85𝑥5600𝑥 26 = 24.271 𝑀𝑃𝑎
Em relação ao valor de 𝜎𝑐𝑔,𝑔 , o mesmo é dado pela seguinte expressão:
(3-5)
34
𝑁𝑝
𝑁𝑝 . 𝑒 2
+
−
𝐴𝑐
𝐼
𝜎𝑐𝑔,𝑔 =
𝑖
𝑀𝑔𝑖
.𝑒
𝐼
(3-6)
Onde:
𝑁𝑝 = força de protensão total,
𝐼 = inércia da seção transversal
𝑒= excentricidade dos cabos de protensão.
M
i
gi
= Mg1+ Mg2+.......+Mgn
Mg1 – momento fletor devido a carga permanente estrutura
Mg2 – momento fletor devido a sobrecarga permanente estrutural, ou outra carga de
caráter permanente.
𝐴𝑐 = área da seção transversal
Neste caso, pode-se adotar 𝜎𝑐𝑔,𝑔 = 5MPa, conforme pode-se confirmar em CARVALHO
(2009).
Assim, tem-se:
∆𝜎𝑝,𝑐 =
3.4.3
1,9x105
. 5 . 2,323 = 90,925 𝑀𝑃𝑎
24.271
CÁLCULO DAS PERDAS DEVIDO A RELAXAÇÃO DO AÇO
Antes de efetuar o cálculo de relaxação do aço, é necessário inicialmente considerar o
nível de tensão no mesmo, através da seguinte expressão:
𝑟=
𝜎𝑝
1103.2
=
= 0,5806
𝑓𝑝𝑡𝑘
1900
Observa-se que 𝜎𝑝 utilizado foi o valor mínimo de protensão encontrado. Isso mostra
que houve uma perda de 42% de tensão até então.
Baseado neste valor, interpola-se o mesmo com os valores conhecidos, (vide item
3.1.3):
35
Tabela 3-12 - interpolação dos valores dos coeficientes Ѱ
Tensão
inicial
0,5 fptk
0,5806 fptk
0,6 fptk
Perdas
(%)
0
k
1,5
Efetuando a interpolação, chega-se a k=1,209
Assim, para o tempo infinito tem-se:
Ѱ∞ = 2,5xѰ1000 = 2,5𝑥1,209 = 3,02%
Finalmente, tem-se a equação da perda por relaxação:
∆𝜎𝑝,𝑟 = σp . Ѱ∞
(3-7)
Onde:
∆𝜎𝑝,𝑟 = perda por relaxação do aço
σp = valor de protensão na seção mais solicitada (no caso S10)
Ѱ∞ = coeficiente de relaxação
∆𝜎𝑝,𝑟 = 1103,2 . 0,0302 = 33,35 MPa
Resumindo, as perdas totais ao longo do tempo:
𝑝,𝑐+𝑠+𝑟 𝑡, 𝑡𝑜 = 34,01 + 90,925 + 33,35 = 158,29𝑀𝑃𝑎
Considerando esta perda constante para todo a extensão do cabo, tem-se a seguinte
tabela:
Tabela 3-13 - Tensão ao longo do cabo representante após perdas inciais e ao longo do
tempo
Seção
σS (Mpa)
t=t0
σS (Mpa)
t=∞
S0
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
1270.63
1280.4
1290.09
1299.72
1309.29
1318.78
1235.62
1129.38
1112.34
1122.11
1131.8
1141.43
1151
1160.49
1077.33
971.09
36
Tabela 3-14 -Tensão ao longo do cabo representante após perdas inciais e ao longo do
tempo (continuação)
Seção
σS (Mpa)
t=t0
σS (Mpa)
t=∞
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
1032.27
1008.34
1103.2
1119.87
1131.12
1142.49
1144.2
1005.46
873.98
850.05
944.91
961.58
972.83
984.2
985.91
847.17
De uma forma genérica, pode-se expressar as perdas nos cabos de protensão pelo
seguinte gráfico, extraído de PFEIL (1980):
Figura 3-15- Variação das perdas de protensão, ao longo do tempo, numa seção
determinada de uma peça com armadura pós tracionada
3.5
CÁLCULO DO NÚMERO DE CABOS NO ELU
O dimensionamento de estruturas de concreto protendido, no estádio limite ultimo, é
basicamente o mesmo de estruturas em concreto armado, conforme descrito na
NBR6118:2003.
37
Para o cálculo da armadura longitudinal, considera-se o tempo infinito e a tensão da
armadura na seção mais solicitada, no caso S10 (seção de apoio). Nota-se que não é a seção
que possui maior perda de tensão do aço.
Desta forma, calcula-se primeiramente o pré-alongamento, através da lei de Hooke:
𝜀𝑝 =
𝜎𝑝,𝑆10,𝑡=∞ 944,91
=
190000 = 0,497%
𝐸𝑝
Prosseguindo com os cálculos, é necessário determinar KMD. Dessa maneira, utiliza-se
os dados geométricos da seção S15 (seção em contato com o ar). Para efeito de cálculo,
considera-se a seção caixão como sendo uma viga T.
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏 . 𝑑2 . 𝑓𝑐𝑑
(3-8)
Onde:
𝑀𝑑 = momento máximo no estado limite ultimo
𝑏= dimensão da base da peça
𝑑= altura útil
𝑓𝑐𝑑 = resistência do concreto de dimensionamento
No caso, considera-se b= 7,4m e d= 4,0 - 0,25 = 3,75m (valor de 0,25 é arbitrado,
correspondente a soma dos cobrimentos e da armadura passiva). Assim:
𝑀𝑑 = 1,3𝑥 𝑀𝑔1 + 𝑀𝑔2 + 1,5 . 𝐾1 𝑀𝑞𝑚 á𝑥 + 1,0𝑀𝑓𝑒𝑐 𝑕𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑀𝑑 = 1,3𝑥 −134950 − 27900 + 1,5 𝑥 −33310 + 1,0𝑥 13495 = −248175 𝐾𝑁𝑚
𝐾𝑀𝐷 =
248175
= 0,1284
26000
7,4 . 3,752 .
1,4
38
0.25
CG
0.35
1.50
0.35
d
4.00
bw
Md
e
b= 7.40
Figura 3-16– Esquematização do momento atuante
OBS: É importante notar que o momento é estimado como sendo 10% do momento
após lançamento da última aduela, pois como se trata de um pré-dimensionamento, não se faz
necessário calculá-lo precisamente nesta etapa.
Através da tabela a seguir , de CARVALHO (2009), retira-se os demais dados:
Tabela 3-15 - Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares
39
Devido a proximidade de valor, é possível adotar KMD = 0,1284, logo KX=0,2086 e
KZ=0,9166 e 𝜀𝑠 = 1%. Portanto:
𝑥 = 0,2086𝑥3,75 ≅ 0,7822𝑚 > 0,6𝑚 𝑕𝑓 − 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
Conclui-se que se trata de viga T, logo é necessário separar os momentos de acordo
com a porção resistente da estrutura, ou seja, as abas e a alma.

Momento resistente pelas abas (M1)
d
z1
0.70
0.60
b= 7.40
Figura 3-17- Região das abas da peça
𝑀1𝑑 = 7,4 − 2𝑥0,7 𝑥 0,6 𝑥 0,85 𝑥
26000
𝑥 𝑧1
1,4
𝑧1 = 𝑑 − 0,6 2
𝑀1𝑑 = 6 𝑥 0,6 𝑥 15785 𝑥 3,45 = 196058𝐾𝑁. 𝑚

Momento resistente pela alma (M2)
𝑀1𝑑 = 248175 − 196058 = 52123𝐾𝑁. 𝑚
𝐾𝑀𝐷 =
52125
= 0,142
26000
1,4 . 3,752 . 1,4
Assim, KX=0,2354, KZ=0,9058 e 𝜀𝑠 = 1%
𝑥 = 0,2354𝑥3,75 ≅ 0,88𝑚
40
Tem-se que tanto para a alma quanto para as abas, 𝜀𝑡 = 𝜀𝑝 + 𝜀𝑠 = 0,5 + 1 = 1,5%
Usando a tabela a seguir, encontra-se o valor de 𝑓𝑝𝑑 = 150,7𝐾𝑁/𝑐𝑚2
Tabela 3-16 – Tensão no aço 𝝈𝒔𝒅 (MPa) com 𝑬𝒑 = 𝟏𝟗𝟓𝟎𝟎𝟎𝑴𝑷𝒂
e(‰)
5.250
6.794
7.438
8.167
9.000
9.962
10.000
12.500
15.000
17.500
CP175
1025
1264
1316
1344
1365
1368
1368
1378
1388
1397
CP190
1025
1314
1411
1459
1482
1486
1486
1496
1507
1517
Tabela 3-17 - Tensão no aço 𝝈𝒔𝒅 (MPa) com 𝑬𝒑 = 𝟏𝟗𝟓𝟎𝟎𝟎𝑴𝑷𝒂 (continuação)
e(‰)
20.00
22.50
25.00
27.50
30.00
32.50
35.00
37.50
40.00
CP175
1407
1416
1426
1436
1445
1455
1464
1474
1484
CP190
1527
1538
1548
1559
1569
1579
1590
1600
1611
Consequentemente:
𝐴𝑝 =
𝑀𝑑
196058
52125
=
+
= 478,9 𝑐𝑚2
0,60
𝑘𝑧 . 𝑑 . 𝑓𝑝𝑑
0,9058
𝑥
3,75
𝑥
150,7
(3,75 − 2 ) 𝑥 150,7
OBS: lembra-se que 𝑘𝑧 𝑥 𝑑 = 𝑧
Assim, encontra-se o número de cabos. Supondo:
𝑘1 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑑𝑒 12∅ 1 2 "
𝑘2 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑑𝑒 7∅ 1 2 "
𝑘1 𝑥 11,84 + 𝑘2 𝑥 6,90 = 478,9
Supondo 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘:
𝑘1 11,84 + 6,90 = 478,9
𝑘 = 25 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠
41
Tentando 𝑘1 = 24:
24 𝑥 11,84 + 𝑘2 𝑥 6,90 = 478,9
𝑘2 = 28,22 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎 − 𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 28
Assim, tem-se 24 cabos de 12∅ 1 2 " e 28 cabos de 7∅ 1 2 ".
Calculados o número de cabos é necessário verificar a nova situação, conforme a
disposição dos cabos demonstrada a seguir, visando a conferência dos cálculos:
cabos de 7
1
2"
cabos de 12
0.35
1
2"
1.50
0.15
0.35
Figura 3-18 - Disposição dos cabos de protensão
Nota-se que pela simetria da figura, calcula-se apenas metade da seção transversal.
Dessa forma, encontra-se o centro de gravidade da peça:
𝑦𝑐𝑔 =
4 𝑥 10,5 + 2 𝑥 24,5 + 2 𝑥 38,5 + 2 𝑥 52,5 + 2 𝑥 66,5
= 28,43𝑐𝑚
12 𝑥 1 + 14 𝑥 0,583
OBS: 0,583 é a proporção da área do cabo de 7∅ 1 2 " em relação ao cabo de 12∅ 1 2 ".
.
Dessa forma, tem-se: 𝑑 = 4,00 − 0,2843 ≅ 3,72𝑚 (valor bem próximo do d adotado
anteriormente).
42

Momento resistente pelas abas (M1)
𝑀1𝑑 = 6 𝑥 0,6 𝑥 15785 𝑥 (3,72 − 0,3) = 195453𝐾𝑁. 𝑚

Momento resistente pela alma (M2)
𝑀1𝑑 = 248175 − 195453 = 52722𝐾𝑁. 𝑚
𝐾𝑀𝐷 =
52722
= 0,1465
26000
1,4 . 3,722 . 1,4
Assim, KX=0,2354, KZ=0,9058 e 𝜀𝑠 = 1%
Tem-se que tanto para a alma quanto para as abas, 𝜀𝑡 = 𝜀𝑝 + 𝜀𝑠 = 0,5 + 1 = 1,5%
Portanto, valor de 𝑓𝑝𝑑 = 150,7𝐾𝑁/𝑐𝑚2 (igual ao valor encontrado anteriormente)
𝐴𝑝 =
𝑀𝑑
195453
52722
=
+
= 483 𝑐𝑚2
0,60
𝑘𝑧 . 𝑑 . 𝑓𝑝𝑑
0,9058
𝑥
3,72
𝑥
150,7
(3,72 − 2 ) 𝑥 150,7
Logo, utilizando o mesmo número de cabos encontrado, tem-se:
24 𝑥 11,84 + 28 𝑥 6,90 = 477,36 𝑐𝑚2
∆𝐴𝑝 = 483 − 477,4 = 5,6 𝑐𝑚2
Esta diferença na armadura é compensada por armadura passiva, caso aço de 50MPa:
𝐴𝑠 =
3.6
𝐴𝑝 𝑥 𝑓𝑝𝑑
5,6 𝑥 150,7
=
= 19,41 𝑐𝑚2 → 16∅ 1 2 "
50
𝑓𝑦𝑑
1,15
VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS DE FISSURAÇÃO NA SEÇÃO DE MAIOR
SOLICITAÇÃO E DETERMINAÇÃO DO FEIXE LIMITE PARA AS DEMAIS
SEÇÕES.
Para se realizar as verificações de fissuração é necessário determinar a classe de
agressividade ambiental a qual a peça está sujeita. A partir da tabela demonstrada à seguir,
tem-se que a classe de agressividade é nível IV. Dessa forma, é necessário realizar a
verificação, no tempo infinito, considerando a combinação quase permanente e freqüente
respectivamente.
43
Tabela 3-18 - Classificação da agressividade ambiental
Tabela 3-19 - Exigencias de durabilidade relacionadas a fissuração e a proteção da
armadura em função das classes de agressividade ambiental
44
Além disso, segundo a NBR 8681:2003, deve-se considerar os coeficientes Ѱ1 e Ѱ2
iguais a 0,3 e 0,5 respectivamente. Com isso, tem-se os seguintes parâmetros:
𝜎𝑡=∞ = 945 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝑝 = 477,36 𝑐𝑚2
𝑁𝑝𝑡 =∞ = 477,36 𝑥 94,5 = 45110 𝐾𝑁
𝐴 = 12,49 𝑐𝑚2
𝑊𝑖 = 14,65 𝑐𝑚3
𝑊𝑠 = 14,41 𝑐𝑚2
𝑀𝑔1 = −134950 𝐾𝑁. 𝑚
𝑀𝑔2 = −27900 𝐾𝑁. 𝑚
𝑀𝑞𝑚𝑖𝑛 = −33310 𝐾𝑁. 𝑚
𝑀𝑞𝑚 á𝑥 = 680 𝐾𝑁. 𝑚
𝑀𝑓 = −13495 𝐾𝑁. 𝑚
𝑒 = 1,74 𝑐𝑚
Os cálculos demonstrados a seguir são todos baseados nas equações (2-2) e (2-3),
contendo algumas variações de sinal conforme os esforços atuantes na peça.
3.6.1
ESTADO LIMITE DE DESCOMPRESSÃO (E.L.S-D) – COMBINAÇÃO DE AÇÕES
QUASE FREQUENTES
Neste caso, os limites são:
Tração: σ= 0
Compressão: estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) - σ= 0,7fck
Logo, com fck = 26MPa, tem-se a seguinte condição:
0 ≤ 𝜎 ≤ 18200
45

Borda Superior
Situação de momento mínimo:
σs =
σs =
Np Np x e Mg1 + Mg2 − Mf + Ѱ2 xMqmin
+
−
A
Ws
Ws
(3-9)
45110 45110 x 1,74 134950 + 27900 − 13495 + 0,3x33310
+
−
12,49
14,41
14,41
σs = −1999,45 𝐾𝑁/𝑚2 < 0 não atende
Como se pode notar, não atende as condições limites.
Isto pode ser explicado por ter-se adotado apenas um cabo representante para a
estrutura como um todo. Além disso, supôs-se que a trajetória de todos os cabos é curva, o
que implica em uma perda muito elevada.
Dessa forma, aumenta-se o número de cabos, e adota-se uma trajetória retilínea para
os cabos de 7∅ 1 2 ", causando uma mudança na perda imediata dos mesmos.
Tomando como parâmetro os gráficos 3-13 e 3-14, tem-se que a perda inicial do trecho
retilíneo do cabo representante é uniformemente variada, de forma que adota-se um
pensamento análogo:
Tabela 3-20 - Cálculo das perdas iniciais dos cabos retilíneos
Seção
S0
S1
S10
x(m)
0
2.8
28
σ (Mpa)
1400.00
1390.23
1302.30
D σ (Mpa)
0
9,77
97,7
Com isso, tem-se:
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑜 (12∅ 1 2 ") → 945 𝑀𝑃𝑎
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑙𝑖𝑛𝑒𝑜 (7∅ 1 2 ") → 1302,23 − 34 − 91 − 33 = 1144,23 𝑀𝑃𝑎
46
Encontradas as novas tensões nos cabos, é necessário encontrar as forças de
protensão:
𝑁𝑝 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑜 (12∅ 1 2 ") → 24 𝑥 11,84 𝑥 94,5 = 26853,12 𝐾𝑁
𝑁𝑝 𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑙𝑖𝑛𝑒𝑜 (7∅ 1 2 ") → 28 𝑥 6,9 𝑥 114,423 = 22105,94 𝐾𝑁
𝑁𝑝 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 26853,12 + 22105,94 = 48959,06 𝐾𝑁
Isolando-se os termos dependentes de 𝑁𝑝 da equação de fissuração, tem-se:
𝑘 𝑥 48959 𝑥
1
1,74
+
= 11057
12,49 14,41
𝑘 = 1,12
Isto significa que é necessário aumentar a armadura em 12%, ou seja, passaria de 52
cabos para 59 ao todo, divididos em 27 cabos de 12∅ 1 2 " e 32 cabos de 7∅ 1 2 ".
Assim, o novo valor de Np é igual a:
𝑁𝑝 = 27 𝑥 11,84 𝑥 94,5 + 32 𝑥 6,9 𝑥 114,423 = 55474,36 𝐾𝑁
σs =
55474 55474 x 1,74 134950 + 27900 − 13495 + 0,3x33310
+
−
= 81,77 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,41
14,41
Situação de momento máximo:
σs =
σs =
Np Np x e Mg1 + Mg2 − Mf − Ѱ2 xMqmax
+
−
A
Ws
Ws
(3-10)
55474 55474 x 1,74 134950 + 27900 − 13495 − 0,3x680
+
−
= 789,4 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,41
14,41
47

Borda Inferior
Situação de momento mínimo:
σs =
σs =
Np Np x e Mg1 + Mg2 − Mf − Ѱ2 xMqmin
−
+
A
Wi
Wi
(3-11)
55474 55474 x 1,74 134950 + 27900 − 13495 + 0,3x33310
−
+
= 8729,75 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,65
14,65
Situação de momento máximo:
σs =
σs =
Np Np x e Mg1 + Mg2 − Mf − Ѱ2 xMqmax
−
+
A
Wi
Wi
(3-12)
55474 55474 x 1,74 134950 + 27900 − 13495 − 0,3x680
−
+
= 7923,97 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,65
14,65
Analisando-se a maior e a menor tensão encontrada, tem-se:
σmax = 8729,75 𝐾𝑁/𝑚2 < 18200 𝐾𝑁/𝑚2
σmin = 81,77 𝐾𝑁/𝑚2 > 0
3.6.2
ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS (E.L.S-F) – COMBINAÇÃO DE
AÇÕES FREQUENTE.
Neste caso, os limites são:
Tração: 𝜎 = 𝑓𝑐𝑡𝑚 = −0,3 𝑥
3
𝑓𝑐𝑘 2
Compressão: estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) - σ= 0,7fck
Logo, com fck = 26MPa, tem-se a seguinte condição:
−2634 ≤ 𝜎 ≤ 18200
48

Borda Superior
Situação de momento mínimo:
σs =
σs =
Np Np x e Mg1 + Mg2 − Mf + Ѱ1 xMqmin
+
−
A
Ws
Ws
(3-13)
55474 55474 x 1,74 134950 + 27900 − 13495 + 0,5x33310
+
−
= −380,55 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,41
14,41
Situação de momento máximo:
σs =
σs =
Np Np x e Mg1 + Mg2 − Mf − Ѱ1 xMqmax
+
−
A
Ws
Ws
(3-14)
55474 55474 x 1,74 134950 + 27900 − 13495 + 0,5x680
+
−
= 641,91 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,41
14,41

Borda Inferior
Situação de momento mínimo:
σs =
σs =
Np Np x e Mg1 + Mg2 − Mf + Ѱ1 xMqmin
−
+
A
Wi
Wi
(3-15)
55474 55474 x 1,74 134950 + 27900 − 13495 + 0,5x33310
−
+
= 9184,5 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,65
14,65
49
Situação de momento máximo:
σs =
σs =
Np Np x e Mg1 + Mg2 − Mf − Ѱ1 xMqmax
−
+
A
Wi
Wi
(3-16)
55474 55474 x 1,74 134950 + 27900 − 13495 − 0,5x680
−
+
= 8024,42 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,65
14,65
Analisando-se a maior e a menor tensão encontrada, tem-se:
σmax = 9184,5 𝐾𝑁/𝑚2 < 18200 𝐾𝑁/𝑚2
σmin = −380,55 𝐾𝑁/𝑚2 > 2634 𝐾𝑁/𝑚2
3.6.3
VERIFICAÇÃO DE RUPTURA NO TEMPO ZERO
Além das verificações no tempo infinito, é necessária a verificação de ruptura no tempo
zero. Dessa forma, as tensões iniciais e os limites são diferentes dos utilizados até então:
Tensões iniciais:
𝜎𝑝𝑡 =0 → 𝑐𝑎𝑏𝑜 12∅ 1 2 " → 110,32 𝑥 27 𝑥 11,84 = 35267 𝐾𝑁
𝜎𝑝𝑡 =0 → 𝑐𝑎𝑏𝑜 7∅ 1 2 " → 130,2 𝑥 32 𝑥 6,9 = 28748 𝐾𝑁
𝜎𝑝𝑡 =0 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 35267 + 28748 = 64015 𝐾𝑁
Limites (adotando-se fcj = 20MPa)
Tração: 𝜎 = 1,2 𝑥 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 1,2 𝑥 0,3 𝑥
3
202 = 2,652𝑀𝑃𝑎
Compressão: 𝜎 = 0,7 𝑥 𝑓𝑐𝑗 = 0,7 𝑥 20 = 14 𝑀𝑃𝑎
50

Borda Superior
σs =
σs =

Np Mp Mg1
+
−
A
Ws
Ws
(3-17)
64015 64015 x 1,74 134950
+
−
= 3490 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,41
14,41
Borda Inferior
σs =
σs =
Np Np x e Mg1
−
+
A
Wi
Wi
(3-18)
64015 64015 x 1,74 134950
−
+
= 6733,75 𝐾𝑁/𝑚2 < 14000 𝐾𝑁/𝑚2
12,49
14,65
14,65
51
CONCLUSÃO
4.
Baseado nos resultados obtidos, é possível comparar o número de cabos encontrados
no trabalho, e o número real de cabos, a partir da tabela a seguir, extraída de CARVALHO
(1987):
Tabela 4-1 - Cabos de uma viga
Cabo
Seção
Inicial
Seção
final
Tipo de
Ancoragem
Tipo de cabo
Comprimento
do cabo (m)
Comprimento
total (m)
1,2,4
S0
S11
Ativa-ativa
12Φ1/2"
34
102
3,5,7
S0
S12
Ativa-ativa
12Φ1/2"
38
114
6,8,10
S0
S13
Ativa-ativa
12Φ1/2"
42
126
9,11,13
S0
S14
Ativa-ativa
12Φ1/2"
46
138
12,14
S0
S15
Ativa-ativa
12Φ1/2"
50
100
15,16
S0
S16
Ativa-ativa
12Φ1/2"
54
108
17,18
S0
S17
Ativa-ativa
12Φ1/2"
58
116
19,20
S9
S18
Ativa-ativa
12Φ1/2"
36.8
73.6
21,22
S0
S19
Ativa-ativa
12Φ1/2"
66
132
23,24,25,26
S8
S19
Passiva-ativa
7Φ1/2"
43.6
174.4
27,28,29,30
S7
S18
Passiva-ativa
7Φ1/2"
42.4
169.6
31,32,33,34
S6
S17
Passiva-ativa
7Φ1/2"
41.2
164.8
35,36,37,38
S5
S16
Passiva-ativa
7Φ1/2"
40
160
39,40
S4
S15
Passiva-ativa
7Φ1/2"
38.8
77.6
41,42
S4
S14
Passiva-ativa
7Φ1/2"
34.8
69.6
43,44
S3
S13
Passiva-ativa
7Φ1/2"
33.6
67.2
45
S2
S12
Passiva-ativa
7Φ1/2"
32.4
32.4
46
S4
S12
Passiva-ativa
7Φ1/2"
26.8
26.8
47,48
S2
S11
Passiva-ativa
7Φ1/2"
28.4
56.8
Somando-se a quantidade de cabos, chega-se ao valor de 44 de 12Φ1/2” e 52 de
7Φ1/2” (considerando que a tabela acima expressa o número de cabos de apenas uma viga, e
portanto é necessário multiplicar o valor por 2).
52
Dessa forma, ao comparar-se com a quantidade encontrada, tem-se 27 cabos de
12Φ1/2” e 32 de 7Φ1/2”, sendo quase metade do valor, porém deve-se considerar que no
exemplo demonstrado no trabalho, considerou-se todos os cabos de mesmo comprimento, indo
de S0 a S19, diferentemente da situação expressa acima.
Com isso, visando uma comparação mais precisa, calcula-se o volume de cabos em
ambos os casos:
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑜𝑠 𝑥 á𝑟𝑒𝑎 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

REAL
𝑐𝑎𝑏𝑜 12∅ 1 2 " → 2019,2 𝑥 0,001184 = 2,39𝑚3
𝑐𝑎𝑏𝑜 7∅ 1 2 " → 1998,4 𝑥 0,00069 = 1,37𝑚3

TRABALHO
𝑐𝑎𝑏𝑜 12∅ 1 2 " → 1782 𝑥 0,001184 = 2,11𝑚3
𝑐𝑎𝑏𝑜 7∅ 1 2 " → 2112 𝑥 0,00069 = 1,45𝑚3
Como pode-se notar, os valores encontrados são bem próximos dos reais, sendo que
ao somar-se os volumes, chega-se a uma diferença de 0,2m3, equivalente a 5% do valor total
apenas.
É necessário frisar que este trabalho tratou de demonstrar apenas um prédimensionamento, sendo que em uma etapa posterior, o detalhamento seria necessário, de
forma que seria possível estudar diferentes combinações de cabos, com comprimentos
variados.
Além disso, é interessante notar que particularmente neste caso, o fator determinante
do número de cabos foi a verificação de fissuração, sendo que isto ocorreu devido as perdas
majoradas, em função da adoção de um cabo genérico, de comprimento único, (já que
considerou-se um pensamento análogo ao pré-dimensionamento de pontes em vigas
continuas).
É importante salientar que todos os valores encontrados dependem diretamente da
trajetória dos cabos, sendo que quanto mais curvo, maiores suas perdas de tensão. Tendo isto
em vista, estudando um melhor traçado, é possível otimizar-se a quantidade dos mesmos.
53
De uma forma geral, conclui-se que o método de pré-dimensionamento empregado foi
eficiente, uma vez que atendeu a quantidade efetiva de cabos da estrutura, sendo que visando
atingir resultados mais precisos é necessário realizar um estudo mais refinado, abordando as
variações da estrutura ao longo do tempo, e suas etapas construtivas, conforme descrito ao
longo do trabalho.
54
5.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CARVALHO, R. C. Contribuição para o cálculo de pontes em balanços progressivos.
Dissertação de mestrado. São Carlos: EESC/ Departamento de Engenharia Civil. 1984.
GUYON. Y. Constructions em beton pré-contraint. Tome 1. Etude de la section/ classes
etats limites. Paris, Eyrolles, 1966.
LEONHARDT, F. Construções de concreto, v.6: princípios básicos da construção de
pontes de concreto. Rio de janeiro, Interciência, 1979.
LIMA,V.S. Pontes em balanço progressivo. Trabalho de Conclusão de curso. São Carlos:
UFSCar/ Departamento de Engenharia Civil, 2008.
MASON,J. Pontes em Concreto Armado e Protendido: Princípios de Projeto e Cálculo.
Rio de Janeiro, LTC- Livros Técnicos e Cientificos, 1976.
PAS, T. C. M. A técnica de balanços progressivos para execução de pontes e viadutos
em concreto armado e protendido. Trabalho de Conclusão de curso. São Carlos: UFSCar/
Departamento de Engenharia Civil. 2007. 45p. 2007
PFEIL, W. Ponte Presidente Costa e Silva, Rio –Niterói: métodos construtivos. Rio de
Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1975.
MATTOS, T.S. Programa para analise de superestruturas de pontes de concreto armado
e protendido. Dissertação de mestrado. Rio de Janeiro: UFRJ/ Departamento de Engenharia
Civil. 2001.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6118: projeto de estruturas de
concreto – procedimento. Rio de Janeiro, 2004.
PEDRO,J.J.O;REIS,A.;REIS,P. Concepção, projeto e construção da ponte internacional de
Quintanilha. Guimarães, ENCONTRO NACIONAL DE BETÃO ESTRUTURAL,2008.
55
REZENDE, P. E. O processo de balanços sucessivos em aduelas pré-fabricadas de
concreto na construção de pontes e viadutos. Rio de Janeiro, II CONGRESSO
BRASILEIRO DE PONTES E ESTRUTURAS, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE PONTES E
ESTRUTURAS. 2007.
STUCCHI,F. R. Notas de aula de pontes e grandes estruturas. São Paulo:
USP/Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações.Desconhecido.
CARVALHO,R. C. Estruturas em concreto protendido: cálculo e detalhamento.Notas de
aula. São Carlos: UFSCAR/Departamento de Engenharia Civil. 2009.
PFEIL, W. Concreto Protendido. Rio de Janeiro, LTC- Livros Técnicos e Cientificos, 1980
INFORSATO T. B. Considerações sobre o projeto, cálculo e detalhamento de vigas préfabricadas protendidas com aderencia inicial em pavimentos de edificações. Dissertação
de mestrado. São Carlos: UFSCar/Departamento de Engenharia Civil ,2009