Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 8º Ano
Propriedades de triângulos e quadriláteros
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
TRIÂNGULOS
Os triângulos são figuras geométricas que merecem um estudo
aprofundado devido a suas propriedades. A forma triangular é bastante
utilizada em situações do cotidiano. Vejam algumas delas:
Imagem: Patrick – Patrick / GNU Free Documentation License.
Imagem: Dornicke / GNU Free Documentation License.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Uma característica muito importante dos triângulos
Experiência:
1. Com varetas de madeira (ou canudinhos de refrigerante) e barbante,
construa polígonos com quatro, cinco e seis lados, como nas figuras
abaixo.
2. Mexam dois dos lados de cada polígono.
Percebam que todos esses polígonos podem mudar seus ângulos, sem
alterar seus lados.
De um modo geral, os polígonos são figuras deformáveis, isto é, podem
mudar seus ângulos conservando seus lados.
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Triângulos e quadriláteros
Agora, com novas varetas, formem triângulos a partir de seus vértices.
Tente fazer o mesmo, mexendo dois dos seus lados.
Verifiquem que não mudam mais de forma!
Isto acontece porque os triângulos têm estrutura rígida. Não são
deformáveis.
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Triângulos e quadriláteros
Daí, sua grande utilização nas construções que necessitam de
estabilidade como: estrutura de pontes, amarrações de telhados,
portões, torres, etc.
Imagem: Gelpgim22 (Sergio Panei Pitrau) / GNU Free Documentation
License.
Imagem: Helena Chiarello / Creative Commons Attribution 2.0
Generic.
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Triângulos e quadriláteros
Definição:
Dados três pontos A, E e O não colineares, chama-se triângulo AEO
a região limitada pelos segmentos AE, EO e AO.
A Âʹ
e
o
Elementos principais de um triângulo
Êʹ
E
Vértices: A, E e O.
Lados: AE ou o; EO ou a; AO ou e.
Ângulos internos: AÊO ou Ê; EÔA ou Ô; OÂE ou Â.
Ângulos externos: Âʹ, Êʹ, Ôʹ.
Perímetro
É a soma de todos os lados
2p = a + e + o .
a
Ôʹ
O
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Triângulos e quadriláteros
Classificação de triângulos
1. De acordo com os valores de seus lados, um triângulo pode
ser:
Equilátero – os três lados são congruentes.
Isósceles – dois de seus lados são congruentes.
Escaleno – os três lados são diferentes.
R
A
Y
B
C
Z
X
K
P
AB ≡ BC ≡ AC
PR ≡ RK
Triângulo equilátero
Triângulo isósceles
Triângulo escaleno
PK é a base (lado diferente).
R é chamado ângulo do vértice.
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Triângulos e quadriláteros
2. De acordo com os valores dos ângulos, um triângulo pode ser:
Acutângulo – os três ângulos são agudos.
Obtusângulo – possui um ângulo obtuso.
Retângulo – possui um ângulo reto.
S
A
U
C
B
O
Triângulo obtusângulo
T
A
E
Triângulo acutângulo
 é obtuso.
Triângulo retângulo
Â, Ê e Û são agudos.
Ô é reto.
Pense e responda:
a) Um triângulo pode
b) Um triângulo pode
c) Um triângulo pode
d) Um triângulo pode
e) Um triângulo pode
ser
ser
ser
ser
ser
equilátero e retângulo?
isósceles e obtusângulo?
isósceles e retângulo?
escaleno e acutângulo?
escaleno e obtusângulo?
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Condição de existência
Dados três segmentos, só é possível construir um triângulo se a medida
do lado maior for menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Usando barbante e varetas de madeira, tente construir triângulos medindo:
a) 20cm, 10cm e 8 cm;
b) 20cm, 10cm e 10cm;
c) 20cm, 10cm e 15cm.
Comprove o enunciado acima.
Veja: no 1º triângulo 20cm > 10cm + 8cm, impossível!
no 2º triângulo 20cm = 10cm + 10cm, impossível!
no 3º triângulo 20cm < 10cm + 15cm, possível!
Propriedades que relacionam os ângulos de um triângulo
1ª propriedade
Experiência:
1. Desenhe um triângulo qualquer.
2. Destaque cada um de seus ângulos em cores diferentes e recorte-os.
3. Junte os ângulos recortados sem sobrepor nenhuma parte.
O que vocês observam?
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Triângulos e quadriláteros
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
2º propriedade
B
b
Na figura, podemos estabelecer as igualdades:
x + c = 180º
a
x=a+b
c x
C
A
a + b + c = 180º
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à
soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Vamos encontrar o valor de x nos triângulos:
48º
2x
x + 20º
x
2x + x + 20º + x = 180º
4x = 180º - 20º
x = 40°
110º
2x + 20º
2x + 20º + 48° = 110º
2x + 68º = 110º
2x = 42º
x = 21º
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Segmentos e pontos notáveis de um triângulo
1. Mediana e Baricentro
A mediana de um triângulo é o segmento que une um
vértice ao ponto médio do lado oposto.
As três medianas de um triângulo se encontram em um
único ponto denominado baricentro.
O baricentro é o ponto de equilíbrio do triângulo.
Vejam as medianas e o baricentro, sendo M, M’ e M’’ pontos
médios dos lados dos triângulos.
acutângulo
obtusângulo
retângulo
C
B
A
M
M
M’
M’’
G
M’’
M’
G
G
B
B
C
C
A
A
M
M’’
M’
Em todos os triângulos, AM é mediana relativa ao lado BC, BM’ é
mediana relativa ao lado AC e CM’’ é mediana relativa ao lado AB.
O ponto G é o baricentro do triângulo ABC.
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Triângulos e quadriláteros
2. Bissetriz e Incentro
A bissetriz de um triângulo é o segmento que une um vértice
ao lado oposto, dividindo o ângulo interno desse vértice em dois
ângulos congruentes (de mesma medida).
As três bissetrizes de um triângulo encontram-se num único
ponto chamado incentro.
O incentro é o ponto central da circunferência inscrita no
triângulo.
Vejam as bissetrizes e o incentro no triângulo:
acutângulo
obtusângulo
retângulo
A
A
A
S’
S’
S’’’
S’’’
I
I
I
O
E
E
O
O
S
E
S
S
AS é bissetriz relativa ao ângulo Â, ES’ é bissetriz relativa ao ângulo
Ê e OS’’ é bissetriz relativa ao ângulo O.
O ponto I é o incentro dos triângulos AEO.
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Triângulos e quadriláteros
3. Altura e Ortocentro
A altura de um triângulo é o segmento de reta que une um
vértice ao lado oposto e é perpendicular a esse lado.
As três alturas de um triângulo encontram-se num ponto
chamado ortocentro.
Vejam as alturas e o ortocentro nos triângulos:
acutângulo
obtusângulo
retângulo
A
A
B
H’
H’
H
H’’
O
A
C
H
B
C
B
H
AH altura relativa a BC
BH’ altura relativa a AC
CH’’ altura relativa a AB
O é o ortocentro.
H’’
O
C
AH altura relativa a BC
AB altura relativa a AC
AC altura relativa a AB
A é o ortocentro.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Experiência 1:
1. Em uma folha de papel, desenhe um triângulo acutângulo qualquer e
recorte-o.
2. Faça um dobra que passe por um dos vértices, de modo que as duas
partes do lado oposto a esse vértice se sobreponham.
Você determinou a altura relativa a um dos lados.
4. Repita o mesmo procedimento em relação a outro vértice.
O ponto de encontro das duas dobras (alturas) é o ortocentro do
triângulo.
Experiência 2:
1. Em uma folha de cartolina, recorte um triângulo qualquer.
2. Juntando os vértices dois a dois, você encontra os pontos médios de
cada lado. Marque-os.
3. Dobre o triângulo, de modo tal que a dobra coincida com a linha que
une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
4. Repita esse procedimento em relação ao outro vértice.
O ponto de encontro das duas medianas é o baricentro.
5. Faça passar um barbante pelo baricentro e dê um nó na ponta dele.
6. Segure o barbante na outra extremidade e perceba que o triângulo
ficará em posição de equilíbrio.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Experiência 3:
1. Em uma folha, desenhe um triângulo qualquer e recorte-o.
2. Dobre-o a partir de um vértice, de modo que os lados que contêm esse
vértice se sobreponham.
3. Repita esse procedimento em relação ao outro vértice.
O ponto de encontro dessas dobras (bissetrizes) é o incentro do triângulo.
4. Com o compasso, comprove que o incentro é o ponto central da
circunferência inscrita no triângulo.
Atividade:
Na figura, AH e AS são, respectivamente, altura e bissetriz do triângulo
AEU. Determine o valor do ângulo x, sabendo-se que:
A
m(Ê) = 75º e m(Û) = 27º.
x
Resolver no quadro discutindo com o aluno.
Resposta: x = 24º.
E
U
H S
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Propriedades dos triângulos isósceles
Experiência:
1. Desenhe um triangulo isósceles numa folha de papel ou jornal.
2. Destaque os três ângulos internos e recorte-os.
3. Sobreponha um ângulo da base sobre o ângulo do vértice.
4. Sobreponha os dois ângulos da base.
Dessa experiência podemos concluir que :
A
Em todo triângulo isósceles, os ângulos
da base são congruentes.
No triângulo AEU, traçamos a altura AH.
Observe que:
EH ≡ HU; logo AH também é mediana.
EÂH ≡ HÂU; logo AH também é bissetriz.
E
U
H
Em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura relativa à
base e a bissetriz do ângulo do vértice coincidem.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Propriedades do triângulo equilátero
Experiência:
1. Desenhe um triângulo equilátero numa folha de papel ou jornal.
2. Recorte seus ângulos internos.
3. Sobreponha os 3 ângulos de modo que os 3 vértices coincidam.
Dessa experiência podemos concluir que:
Em todo triângulo equilátero, os três ângulos internos são
A
congruentes, medindo 60º cada um.
60º
AB ≡ BC ≡ AC
B 60º
60º C
Como todo triângulo equilátero é também isósceles, todas
as propriedades do isósceles valem para o equilátero.
Portanto:
Em todo triângulo equilátero, a mediana e a altura relativas
a qualquer lado coincidem entre si e com a bissetriz relativa ao
ângulo oposto a esse lado.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Atividades:
B
1.O triângulo ABC é isósceles. Sendo AS a bissetriz
relativa a Â, determine a medida do ângulo x.
56º
x
Responder no quadro discutindo com o aluno.
Resposta: x = 87º.
S
C
A
2. Na figura, o triângulo ADE é equilátero. Determine as medidas a, b e c
dos ângulos internos do triângulo isósceles ABC.
A
17º
Resolver no quadro discutindo com o aluno.
Resposta: a = 26º, b =77º e c = 77º.
a
b
D
B
c
C
E
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
QUADRILÁTEROS
A presença da forma dos quadriláteros é muito frequente
em situações do dia a dia, como em caixas, malas, casas, etc.
Vejamos!
Imagem: Sandhu / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
Unported license.
Imagem: JozeSIb / Domínio Público.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Elementos de um quadrilátero
Observando o quadrilátero AEOU da figura, podemos destacar:
Vértices: A, E, O, U.
Ângulos internos: Â, Ê, Ô e Û.
Lados: AE, EO, OU, UA.
Diagonais: AO e EU.
Perímetro
É a soma de todos os lados
A
U
E
O
2p = AE + EO + OU + UA.
É importante destacar os vértices, os lados e os ângulos
internos que são opostos. Nesse quadrilátero, temos:
Vértices opostos: A e O ; E e U.
Lados opostos: AE e OU ; AU e EO.
Ângulos internos opostos: Â e Ô ; Ê e Û.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Ângulos de um quadrilátero
Experiência:
Desenhe um quadrilátero ABCD e trace a diagonal BD.
O que vocês observam?
Vocês poderiam dizer qual é a soma dos ângulos internos desse
quadrilátero, só observando o que fizeram?
Como obtemos dois triângulos, podemos dizer que:
Em todo quadrilátero a soma dos ângulos internos é igual a 360º.
Atividade:
1. Em um quadrilátero, as medidas dos ângulos internos são expressas por
x + 15º, x, x + 20º e x + 35º. Quanto mede a medida do ângulo x?
Resolver discutindo com o aluno.
Resposta: 72º30’.
2. Deseja-se fazer um painel na forma de um quadrilátero e contorná-lo, de
modo que os lados opostos sejam iguais e os lados consecutivos sejam um
o dobro do outro. Quanto medirá cada lado se o contorno terá 4,8 metros?
Deixar os alunos resolverem sozinhos!
Resposta: 0,80m, 1,60m, 0,80m e 1,60m.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Paralelogramos
Um quadrilátero que possui dois pares de lados paralelos é
chamado de paralelogramo.
Observe os seguintes quadriláteros:
E
M
A
B
AB // CD
AD // BC
S
U
T
Q
N
D
R
F
C
P
MQ // NP e MN // PQ
RS // TU
RU // ST
H
G
EF // GH
EH // FG
Eles são paralelogramos!
O paralelogramo ABCD possui os ângulos retos, por isso isso é chamado retângulo.
O paralelogramo MNPQ possui os lados congruentes, por isso é chamado losango.
O paralelogramo RSTU possui os lados e os ângulos congruentes, por isso é chamado
quadrado. Ele é retângulo e losango!
O paralelogramo EFGH não possui lados congruentes nem ângulos retos, por isso não
recebe nome especial.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Propriedades dos paralelogramos
1ª Propriedade:
Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
A
U
u
e
a
o
O
E
Como a e u são medidas de ângulos
colaterais internos, temos:
a + u = 180º
u = 180º - a (1).
Como a e e são medidas de
ângulos colaterais internos, temos:
a + e = 180º
e = 180º - a (2).
Comparando (1) e (2), temos:
u=e
m(Ê) = m(Û).
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Triângulos e quadriláteros
2ª propriedade:
Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
A
Traçando a diagonal AC, temos:
a = c ( ângulos alternos internos);
B
b = d ( ângulos alternos internos);
AC lado comum aos dois triângulos.
ab
Então, temos
D
d
ABC congruente ao
c
C
Como consequência:
m(AB) = m(CD);
m(BC) = m(AD).
ACD.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
3ª propriedade:
Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
D
C
c
d
M
A
a
b
Traçando as diagonais AC e BD, temos:
a = c (ângulos alternos internos);
b = d (ângulos alternos internos);
m(AB) = m(CD)
(lados opostos).
Então, temos:
AMB congruente ao
B
Como consequência:
m(AM) = m(MC);
m(BM) = m(MD).
CMD.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Paralelogramos especiais
Experiência 1:
1. Numa folha de papel “ofício” trace duas diagonais.
2. Com uma régua meça essas diagonais.
O que você concluiu?
Experiência 2:
1. Dobre uma folha de papel “ofício” sobrepondo os dois lados
menores.
2. Em seguida, dobre a folha no sentido contrário, obtendo assim
quatro retângulos congruentes.
3. Continuando com o papel dobrado, corte a diagonal dos
retângulos, de modo a obter um losango.
4. Meça com um transferidor os ângulos formados pelas diagonais
e pelas diagonais com os lados desse losango.
5. Converse com seus colegas e tirem conclusões.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Conclusões:
Em todo paralelogramo:
os lados opostos são congruentes;
os ângulos opostos são congruentes;
as diagonais cortam-se ao meio;
os ângulos consecutivos são suplementares.
No retângulo (além das propriedades acima):
as diagonais são congruentes.
No losango (além das propriedades acima):
as diagonais são perpendiculares entre si e estão
contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.
No quadrado (além das propriedades acima):
as diagonais são congruentes, perpendiculares
entres si e estão contidas nas bissetrizes dos
ângulos internos.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Trapézios
Trapézios são quadriláteros que possuem apenas um par de
lados paralelos.
Observe os seguintes quadriláteros:
M
Q
L
J
R
S
U
T
RS // TU
RS é a base menor;
TU é a base maior.
N
M
JL // NM
JL é a base menor;
MN é a base maior.
JN ┴ MN
N
P
H
NP // MQ
QH é a altura.
Eles são trapézios!
No trapézio JLMN, existem dois ângulos retos, por isso ele é
chamado trapézio retângulo.
No trapézio MNPQ, os lados não paralelos são congruentes, por
isso ele é chamado de trapézio isósceles.
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Triângulos e quadriláteros
Trapézio isósceles
No trapézio isósceles podemos observar duas
propriedades:
1ª propriedade:
Num trapézio isósceles, os ângulos das bases são congruentes.
D
C
c
d
a
b
B
A
2ª propriedade:
Num trapézio isósceles, as diagonais são congruentes.
D
C
A
B
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Triângulos e quadriláteros
Atividades:
1. No quadrilátero da figura, AE e OE são as bissetrizes dos ângulos  e
Ô, respectivamente. Qual é o valor da medida x?
A
O
x
100
º
120
º
E
C
B
Resolução:
Sendo a = m(BÂO) e o = m(AÔC), temos:
a + o + 100º + 120º = 360º
a + o = 140º (1)
No triângulo AEO, temos:
o + a + x = 180º
2
2
o + a + 2x = 360º (2)
Substituindo (1) em (2) , vem:
140º + 2x = 360º
2x = 360º - 140º
2x = 220º
x = 110º
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
2. No quadrilátero da figura, AE é a bissetriz de BÂD. Determine o valor
dos ângulos x e y:
D
72º
A
Resolver no quadro, em havendo discussão.
Resposta: x = 65º e y = 137º.
x
y E
68º
B
C
3. A figura ao lado é um retângulo. A medida x indicada é:
a) 38º.
b) 42º.
c) 46º.
d) 48º.
e) 52º.
76º
Resposta 38º.
x
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
4. No losango ABCD, determine:
D
A
y
x
x+37°
C
B
a) as medidas x e y indicadas;
b) as medidas dos quatro ângulos
do losango.
Logo, as medidas dos ângulos do
losango são: 106º, 106º, 74º e 74º.
Sabendo-se que as diagonais do
losango são perpendiculares, então:
x + 37º = 90º
x = 53º.
Sendo as diagonais bissetrizes dos
ângulos, temos:
ângulo B = 2x;
ângulo B = 106º.
Sabendo-se que A + B + C + D = 360º e
os ângulos opostos são congruentes,
temos:
106º + 106º + 2y + 2y = 360º
4y = 360º -212º
4y = 148º
y = 37º
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Triângulos e quadriláteros
Bibliografia
Giovanni, José Ruy, 1937
Matemática pensar e descobrir: novo / Giovanni & Giovanni Jr.
São Paulo: FTD, 2000.
Bonjorno José Roberto
Matemática: fazendo a diferença / José Roberto Bonjorno, Regina
Azenha Bonjorno , Ayrton Olivares. – 1 ed- São Paulo:FTD, 2006.
Iezzi, Gelson, 1939
Matemática e realidade: 7ª série / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce,
Antonio Machado - 4 ed reform.- São Paulo: Atual, 2000
Tabela de Imagens
n° do
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2a
direito da imagem como está ao lado da
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Patrick – Patrick / GNU Free Documentation
License.
2b Dornicke / GNU Free Documentation
License.
5a Gelpgim22 (Sergio Panei Pitrau) / GNU Free
Documentation License.
5b Helena Chiarello / Creative
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19a Sandhu / Creative Commons AttributionShare Alike 3.0 Unported license.
19b JozeSIb / Domínio Público.
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ngulo_-_Tecn%C3%B3polis.JPG
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pg
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Mal%C3%A2%C8%99,_B%C4%83l%C8%9Bi_(1).JPG
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Chocapic_2.jpg
19/09/2012
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