O ESTUDO DAS FRAÇÕES CONTÍNUAS
José Carlos Ramos da Silva1
Orientador: Jorge Fernandes Lima Neto2
RESUMO
Esse artigo tem como objetivo apresentar um estudo sobre frações contínuas. Uma fração contínua de um
número racional pode ser representada por uma seqüência finita de inteiros e a de um número irracional por uma
seqüência infinita de inteiros. Tais representações permitem encontrar uma aproximação de um número
irracional por um número racional, tão próximo quanto desejarmos.
Palavras-chave: Frações Contínuas, Matemática Pura, Análise.
1. INTRODUÇÃO
As frações contínuas foram objetos de estudo de grandes matemáticos nos séculos XVII e
XVIII, como Leonard Euler e Hermite, atualmente são de grandes interesses em várias áreas
no campo da matemática, como em teoria dos números, na ciência da computação, e outros...
Para obtermos uma fração contínua de certo número racional, basta aplicar o algoritmo da
divisão de Euclides sucessivamente numa divisão de inteiros. Por exemplo, tomemos um
p
.
racional irredutível
q
Assim, existem únicos a1 e r1 tal que p = a1q + r1 , com 0 ≤ r1 < q , logo
p a1q r1
r
1
=
+ = a1 + 1 = a1 + .
q
q
q
q
q
r1
(1)
Para q1 e r1 , obtemos únicos a2 e r2 tal que q = a2 r1 + r2 , com 0 ≤ r2 < r1 , logo
p
1
= a1 +
.
r1
q
a2 +
r2
(2)
Repetindo esse processo sucessivamente, obtemos
p
= a1 +
q
1
2
1
a2 +
.
1
a3 +
1
O+
1
an
Licenciado em Matemática da Universidade Católica de Brasília
Professor do Curso de Matemática da Universidade Católica de Brasília
1
(3)
Como o algoritmo da divisão de Euclides é um processo finito, esse também o é, e esta última
p
expressão é a fração contínua que representa o racional
e escreveremos;
q
p
= [a1 , a2 , a3 ..., an ] .
(4)
q
2. ASPECTOS HISTÓRICOS
Foi encontrado em meados de 306 a.C. um texto de matemática mais bem sucedido de todos
os tempos – Os Elementos (Stoichia) de Euclides, nele encontra-se um algoritmo (Algoritmo
da divisão de Euclides) que, podemos obter qualquer número racional em termos de fração
contínua.
Durante os anos de 1650 à 1670 uma grande variedade de métodos infinitos foi desenvolvida,
inclusive o método das frações contínuas infinitas para π que fora dado por William
Brouncker (1620 ? – 1684), o primeiro presidente da Royal Society. Wallis [3, pág. 143], em
1650, obteve a curiosa expressão:
2
π
=
2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 8K
1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7K
Por manipulação do produto de Wallis para
2
π
(5).
, Brouncker [2, pág 266] chegou de algum
modo à expressão
4
π
= 1+
1
2+
(6)
9
2+
25
49
2+
2 +K
Os primeiros passos para frações contínuas datavam de muito antes, na Itália, onde Pietro
Antonio Cataldi (1548-1626) de Bolonha, escreveu raízes quadradas nessa forma, tais
expressões são facilmente obtidas. Cataldi obteve
2 −1=
1
2+
.
1
2+
1
2+
2
1
2+K
(7)
Leonhard Euler contribuiu demasiadamente com a matemática, ele foi um dos primeiros
matemáticos a desenvolver a teoria das frações contínuas, em 1737, encontrando o seguinte
desenvolvimento para o número e.
e = 2+
1
1+
(8)
1
2+
1
1+
1
1+
1
4+
1
1+
1
1+K
3. FRAÇÃO CONTÍNUA DE UM NÚMERO RACIONAL
Em “Os Elementos” de Euclides, o método para achar o m.d.c. de dois números é usado para
se converter uma fração (número racional) em fração contínua.
Como exemplo o m.d.c. entre (85,32)
85 = 2 ⋅ 32 + 21
32 = 1 ⋅ 21 + 11
21 = 1 ⋅ 11 + 10
(9)
11 = 1 ⋅ 10 + 1
10 = 10 ⋅ 1 + 0
Logo o m.d.c. (85, 32) = 1
Expressamos
85
da seguinte forma:
32
85
21
1
1
1
= 2+
= 2+
= 2+
= 2+
=
32
11
1
32
32
1+
1+
21
21
21
11
1
1
1
= 2+
= 2+
= 2+
.
1
1
1
1+
1+
1+
10
1
1
1+
1+
1+
11
1
11
1+
10
10
3
(10)
Este último é a fração contínua expressa do número racional
85
e sua notação é
32
85
= [2, 1, 1, 1,10] .
32
De um modo geral, uma fração contínua de um número racional pode ser expressa da seguinte
forma:
a1 +
1
a2 +
(11)
1
a3 +
1
O+
1
an
Os números a1 , a 2 , a3 ,..., a n são denominados os quocientes parciais e [ a1 , a 2 , a3 , K , a n ]
representa a sua fração contínua.
3.1 O PRIMEIRO QUOCIENTE
No processo de divisões sucessivas, apenas o primeiro quociente pode ser positivo, negativo
ou zero. Podemos dizer que um número é racional quando é o quociente de uma divisão de
p
dois números inteiros, , com o divisor positivo, q > 0 .
q
Se p > q; o primeiro quociente parcial da fração contínua é positivo; se 0 < p < q o primeiro
quociente parcial da fração contínua é zero; Se p for negativo, o primeiro quociente da fração
contínua é negativo.
Exemplo:
12
1
1
1
− 40
= −4 +
= −4 +
= −4 +
= −4 +
= [−4,1,12]
13
1
1
13
13
1+
1+
12
12
12
17
= 0+
31
1
= [0,1,14,1,2]
1
1+
1+
1
4+
1
1+
4
1
2
(12)
(13)
TEOREMA 013 Todo número racional pode ser representado de duas maneiras distintas sob
a forma de fração contínua finita e toda fração contínua finita representa um número
racional.
Para entendermos melhor, consideremos a seqüência [1,2,1,2] e sua fração contínua é
representada da seguinte forma:
1+
1
2+
= 1+
1
1+
1
2
1
1
2+
3
2
= 1+
1
2
2+
3
= 1+
1
3 11
= 1+ =
8
8 8
3
(14)
Numa representação de uma fração contínua de um número racional, quando o termo a n for
1
maior que 1 (um) poderemos substituí-lo por a n − 1 + , assim a representação acima pode
1
assumir duas formas, por exemplo:
1
[1,2,1,2] = 1 +
2+
1
= 1+
1
2+
1
1+
2
= [1,2,1,1,1]
1
1+
(15)
1
1+
1
1
4. FRAÇÃO CONTÍNUA DE UM NÚMERO IRRACIONAL
4.1 APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS
Seja ϕ um número irracional e a1 = ϕ  , isto é, a1 o maior inteiro menor do que ou igual a ϕ ,
teremos:
ϕ = a1 +
1
x1
(16)
onde,
x1 =
1
ϕ − a1
(17)
Observe que x1 > 1 e x1 é irracional, dessa forma, repetindo o processo, poderemos escrever;
1
1
x1 = a 2 + , onde a 2 = x1  e x 2 =
.
x2
x1 − a1
3
Ver [4, pág 142]
5
Repetindo esse processo, teremos:
ϕ = a1 +
1
x1
x1 = a 2 +
1
x2
x 2 = a3 +
1
x3
(18)
M
Onde todos os ai ' s são inteiros maiores ou iguais a 1 (hum) e todos os xi ' s são irracionais
maiores do que 1 (hum). Assim obtemos:
ϕ = a1 +
1
= a1 +
x1
1
1
a2 +
x2
= L = a1 +
1
a2 +
(19)
1
a3 +
1
a4 +
1
O+
1
xn
Definimos [a1, a 2 , a3 , L] como fração contínua de ϕ .
Lagrange, em 1770, caracterizou todos os irracionais possuidores de representação periódica
quando expressos sob a forma de fração contínua e que a fração contínua infinita que
representa um irracional é periódica, se e somente se, este irracional for raiz de um polinômio
de 2º grau, ou seja, da forma ax 2 + bx + c , onde a, b e c são inteiros. Para entendermos
melhor, mostraremos o irracional 8 na forma de fração contínua infinita.
ϕ =  8 = 2
a1 = 2
x1 =
1
1( 8 + 2)
8+2
=
=
4
8 − 2 ( 8 − 2)( 8 + 2)
 8 + 2
a2 = 
 = a2 = 1
 4 
x2 =
1
 4  8 + 2  4 8 + 8
=
=
= 8+2

4
8+2
 8 − 2  8 + 2 
−1
4
6
(20)
a3 =


8 + 2 ⇒ a3 = 4
1
x3 =
8 +2−4
⇒
 1  8 + 2 
4 8 +8
8+2
⇒
⇒ 

⇒

4
4
8−2
 8 − 2  8 + 2 
1
 8 + 2
a4 = 
 ⇒ a4 = 1
 4 
a5 =
x5 =
 4  8 + 2 
4 8 +8
⇒
⇒ 

⇒ 8+2

4
8+2
 8 − 2  8 + 2 
−1
4
8 + 2 ⇒ a5 = 4
1
x4 =


1
8 +2−4
⇒
 1  8 + 2 
4 8 +8
8+2
⇒
⇒ 

⇒

4
4
8−2
 8 − 2  8 + 2 
1
A fração contínua de 8 aparece em forma repetitiva com exceção do a1 , assim
denominamos de fração contínua periódica.
Juntando os termos acima, temos:
1
8 =2+
(21)
1
1+
1
4+
1
1+
4+
1
8 +2
4
e sua notação será expressa; [2,1,4,1,4,K] ou [2,1,4] , observemos que, podemos reverter o
processo acima para obtermos novamente o número irracional que ele representa.
4.2. CONVERGENTES
Qualquer número racional pode ser representado sob a forma de fração contínua. Se
p
= [a1 , a 2 , a 3 ,...a n −1 , a n ] , logo, [a1 ]; [a1 , a 2 ]; [a1 , a 2 , a3 ] ; é a seqüência da expansão da fração
q
p
contínua de
. Denominados: primeiro, segundo, terceiro... convergentes, da fração
q
contínua.
7
[a1 , a 2 , a 3 ,...a n −1 , a n ] , sendo a própria fração contínua o n-ésimo convergente. Chamaremos o
i-ésimo convergente de ci. Assim,
a1 p1
=
, onde p1 = a1 e q1 = 1
1 q1
(22)
a1 a 2 + 1
, onde p 2 = a1 a 2 + 1 e q 2 = a 2
a2
(23)
c1 =
c 2 = a1 +
c3 = a1 +
1
1
a2 +
a3
1
1
a2 +
a3
=
=
a1 a 2 a3 + a1 + a3 a3 (a1 a 2 + 1) + a1 a3 p 2 + p1
=
=
,
a3 a 2 + 1
a3 a 2 + 1
a 3 q 2 + q1
(24)
onde p3 = a 3 p 2 + p1 e q3 = a3 q 2 + q1
TEOREMA 2
pi
, o i-ésimo convergente da fração contínua [a1 , a 2 , a 3 ,..., a n −1 , a n ] então, para
qi
i ≥ 3 , o numerador p i e o denominador q i , do convergente ci satisfazem as seguintes
relações.
Seja ci =
pi = a i p i −1 + pi − 2
(25)
q i = ai q i −1 + q i − 2
Demonstração:
Observe os números pi − 2 , pi −1 , q i − 2 , qi −1 , dependem apenas dos quocientes parciais e
assumirmos como hipótese de indução a validade de um k ≤ i . Assim, poderemos obter ci +1
1
. Logo,
simplesmente substituindo a i por ai +
a i +1
ci +1 = a1 +
1
a2 +
.
1
a3 +
1
O+
Então teremos;
8
1
a i −1 +
1
ai +
1
a i +1
(26)
ci +1

1 
 ai +
 pi −1 + pi − 2
ai +1 
(a )(a p + pi − 2 ) + pi−1 (ai +1 ) pi + pi −1

=
= i +1 i i −1
=
(ai +1 )(ai qi −1 + qi− 2 ) + qi − 2 (ai +1 )qi + qi −2

1 
 ai +
qi −1 + qi −2
ai +1 

(27)
concluindo a demonstração por indução.
Ajustando melhor os índices, vamos definir
tornaremos verdadeiro o teorema para i ≥ 1 .
p 0 = 1 , p -1 = 0 , q 0 = 0 e q -1 = 1 assim
TEOREMA 34
A relação pi qi −1 − pi −1 qi = (− 1) se verifica para todo i ≥ 0 , onde pi e q i são respectivamente,
o numerador e o denominador do i-ésimo convergente.
i
COROLÁRIO 1 Todo convergente ci =
pi
, temos que (p i , qi ) = 1 .
qi
4.3 PROPRIEDADES DOS CONVERGENTES
TEOREMA 4
A seqüência c1 , c 2 , c3 , L dos convergentes de uma fração contínua satisfaz as seguintes
propriedades:
(i) c1 < c3 < c5 < ... < c2 n+1
(ii) c 2 > c 4 > c6 > ... > c 2 n
(iii)
c2n +1 < c2 n+ 2 < c2 n
Demonstração: Pelo teorema 3, temos que pi qi−1 − pi−1qi = (− 1) . Assim,
i
i
p i q i −1 p i −1 q i (− 1)i
p i p i −1 (− 1)i
(
− 1)
−
=
⇒
−
=
⇒ c i − c i −1 =
q i q i −1 q i q i −1 q i q i −1
q i q i −1 q i q i −1
q i q i −1
4
Ver demonstração em [1, pág. 10] ou [4, pág. 145]
9
(28)
pi p i − 2
p q − p i − 2 q i a i pi −1 q i − 2 − a i p i − 2 q i −1 ai (− 1)
−
= i i −2
=
=
qi qi − 2
qi qi −2
q i qi − 2
qi qi − 2
i −1
ci − ci − 2 =
(29)
Das duas desigualdades acima é fácil ver que o teorema é verdadeiro.
4.4 OBSERVAÇÂO
Pelo teorema 4 a seqüência dos convergentes obedece a desigualdade
c1 < c3 < c5 < ... < c 2 n +1 < ... < c 2 n < ... < c 4 < c 2
(30)
Em análise, em seqüências monótonas, temos que, toda seqüência crescente e limitada
superiormente converge e toda seqüência decrescente e limitada inferiormente também
converge. Então c 2 n → L1 e c 2 n +1 → L2 .
Como ci − ci −1 =
(− 1)i
q i q i −1
→ 0 então, L1 = L2.
Assim a seqüência dos convergentes, de uma fração contínua infinita, converge. Nos teoremas
abaixo, veremos que essa seqüência converge para o número irracional que a gerou.
TEOREMA 55
Para todo número real α temos, [a1 , a 2 , a3 ,...α ] =
α ⋅ pi −1 + pi −2
, onde todos os quocientes
α ⋅ pi −1 + qi −2
a i ' s são inteiros positivos com exceção do a1 , as seqüências dos pi ' s e q i ' s são dadas pela
fração contínua de α , ou seja, p 0 = 1 , p −1 = 0 , q 0 = 0 , q −1 = 1 , pi = a1 p i −1 + p i − 2 e
q i = a1 q i −1 + q i −2 , para todo i ≥ 1 .
OBSERVAÇÃO.
Seja ϕ um número irracional, pelo teorema 5, temos que
x ⋅ p + pi −2
ϕ = [a1 , a 2 , a3 ,..., ai −1 , xi −1 ] = i −1 i −1
xi −1 ⋅ pi −1 + qi −2
Assim
x ⋅ p + p i −2 p i −1 − ( pi −1 qi − 2 − p i −2 q i −1 )
(−1) i
ϕ − ci −1 = i −1 i −1
−
=
=
xi −1 ⋅ p i −1 + q i − 2 q i −1
q i −1 ( xi −1 q i −1 + qi − 2 )
q i −1 ( xi −1 q i −1 + qi −2 )
5
Ver [4, pág. 153] ou [1, pág. 22]
10
(31)
(32)
Então ϕ − ci −1 → 0 , confirmando que a seqüência dos convergentes converge para o
irracional que a gerou.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
As frações contínuas têm uma vasta atuação no campo da matemática, nesse trabalho
mostramos como obter uma aproximação de um número irracional por um racional tão
próximo quanto desejamos, ou seja, como a fração contínua de todo número irracional é
infinita, basta truncá-la para obtermos um número racional bem próximo de um irracional que
estamos trabalhando.
Como no ensino médio, o exemplo mais comum de número irracional é uma raiz quadrada de
um inteiro, temos aqui uma ótima maneira de calcular um valor aproximado para tal raiz.
No exemplo
8 = [2,1,4,1,4,K] ≅ [2,1,4,1,4] =
82
, é uma ótima aproximação para a raiz
29
procurada.
As frações contínuas e seu conteúdo, a meu ver podem fazer parte do ensino fundamental e
médio, elevando assim o grau do desenvolvimento e aprendizagem do aluno em relação aos
números racionais e irracionais.
BIBLIOGRAFIA
1.
ANDRADE, Eliana Xavier Linhares de; BRACCIALI, Cleonice Fátima. Frações Contínuas: algumas
propriedades e aplicações. Disponível em: <http://www.bienasbm.ufba.br/MC34.pdf>. Acesso em:
28/06/2007.
2.
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher LTDA, 1996.
3.
EVES, Howard whitley. Introdução à História da Matemática. 2. ed. Campinas: Editora da UNICAMP,
1997.
4.
SANTOS, José Plínio dos Santos. Introdução à teoria dos números. 2 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.
11