PERSPECTIVAS PARA O USO DE FRACTAIS EM SALAS DE AULA DA
EDUCAÇÃO BÁSICA
Antônio do Nascimento Gomes, José Antonio Salvador, Gisele Romano Paez1
Resumo: O objetivo principal deste texto é trazer propostas de atividades práticas a serem
realizadas com estudantes da Educação Básica que trabalham com conceitos introdutórios
da Geometria Fractal. Ele é fruto de uma pesquisa de Mestrado desenvolvida por um dos
autores, juntamente com seu Orientador e também com uma professora da Educação
Básica que desenvolveu algumas atividades com suas turmas. A pesquisa no Mestrado traz
as idéias de Ponte (2002) acerca de Investigações Matemáticas e a Pesquisa do Professor
sobre sua própria Prática. Os três autores fazem parte de um Projeto de integração entre
Universidade e Escola Pública e seus profissionais, que busca a formação de uma rede
colaborativa entre todos, visando a melhoria do ensino. Apresentamos aqui aos professores
da Educação Básica, público-alvo do minicurso, algumas atividades para que surjam
discussões acerca do conteúdo matemático que pode ser trabalhado com elas e sua própria
realização, a partir de questionamentos, investigações e atividades lúdicas com dobraduras
e cortes.
Palavras-chave: Ensino de Matemática; Geometria Fractal; Motivação; Investigação
Matemática.
Introdução
Este texto vem apresentar algumas atividades que podem ser desenvolvidas com
estudantes da Educação Básica e fizeram parte de uma pesquisa de Mestrado Profissional
desenvolvida pelo estudante de Pós-Graduação e seu Professor Orientador em parceria
com uma Escola Estadual em que o primeiro leciona. Também integra a equipe uma
professora da Educação Básica que faz parte, junto aos anteriores, do Projeto Observatório
da Educação que tem por objetivo firmar parcerias com escolas públicas constituindo uma
Rede Colaborativa entre Docentes Universitários, Estudantes de Graduação e PósGraduação e Professores da Educação Básica2. Acreditamos este ser um fato importante
que veio corroborar nossos interesses, pela possibilidade de trabalhar com um grupo que
tenha objetivos comuns.
As atividades, enquanto parte da pesquisa, foram desenvolvidas a luz das idéias
colocadas por Ponte (2002) acerca de Investigações Matemáticas na Sala de Aula e da
Pesquisa do Professor sobre sua própria Prática.
1
UFSCar – Universidade Federal de São Carlos, SP.
Projeto intitulado “Produtos Educacionais no Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática:
Itinerários de Desenvolvimento e Implementação, a partir da Rede de Pesquisa Participante EscolaUniversidade”, sob financiamento da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior), através do Edital Observatório da Educação, com vigência até 2012.
2
O objetivo final da pesquisa era a elaboração de um Material Didático e a sua
análise, sob os pontos de vista da elaboração do mesmo pelo professor, sua recepção pelos
estudantes e os indícios de aprendizagem apresentados pelos mesmos. Outro
desencadeador da pesquisa foi a questão da motivação e interesse dos estudantes nas aulas
de Matemática. Fato este que se agrava cada vez mais nas escolas, o desinteresse dos
estudantes só aumenta e prejudica seu aprendizado.
Apresentamos, a seguir, algumas atividades que acreditamos serem importantes
para a construção de determinados conceitos pelos estudantes e carregam consigo um
aspecto lúdico que pode tornar a aula de Matemática mais participativa.
Destacamos a relevância de pensar tais atividades em variados contextos e séries
escolares, de forma que possamos abordar diferentes conteúdos em diferentes graus de
dificuldade com as mesmas atividades e como a Geometria Fractal pode ser usada como
fator motivador na sala de aula. Elas também podem ser usadas de forma diagnóstica, para
que possamos traçar um perfil dos conhecimentos dos estudantes sob determinado aspecto
ou conceito.
Atividade I - Dobras, Estimativas, Distâncias...
Nesta atividade mostramos uma dinâmica a partir de dobras de uma folha. O
objetivo dela é discutir as idéias iniciais de seqüências e progressões com dobraduras de
folhas de papel e procurar o entendimento de razões, semelhança, padrões, autosimilaridade, progressão aritmética e geométrica, limites e de distâncias que poderiam ser
alcançadas. Utilizaremos para ela os seguintes materiais: folha de papel reaproveitado,
revista, jornal ou A4, lápis ou caneta, calculadora ou computador.
A seguir, a lista de investigações a serem feitas orientadas pelo professor com a
classe, a partir da análise de uma folha A4, de revista antiga ou jornal.
1. A folha é uma figura plana?
2. Quanto ela tem de espessura?
3. A espessura dela pode ser desprezada? Em caso afirmativo, em que situações?
4. Como podemos fazer uma estimativa de seu comprimento, da sua largura e da sua
espessura?
5. Como podemos calcular a medida da espessura dela?
6. Analisando uma folha de papel A4 ou de uma revista antiga, verifique quantas vezes se
consegue dobrá-la e quanto vai medindo a espessura obtida em cada passo.
7. Se dobrarmos uma folha de jornal tanto quanto possível, será que conseguiremos mais
dobras do que uma folha de papel A4 ou de revista?
Uma primeira reflexão que pode ser gerada a partir das discussões anteriores: é
certo que dobrando uma folha ao meio ficamos com o dobro da espessura original e a
metade do tamanho da folha inicial. Fazendo uma segunda dobra, ficaremos com uma
espessura 4 vezes maior do que a da folha inicial e ¼ do tamanho da folha inicial. A partir
daí, podemos continuar com os estudantes este e outros questionamentos, por exemplo:
1. Se tivéssemos uma folha suficientemente grande de 0,1 mm de espessura e pudéssemos
repetir sucessivamente a operação de dobra tantas vezes quanto quisesse, quantas vezes
precisaríamos dobrá-la para alcançar uma distância de 235 km correspondente a uma
viagem a UFSCar em São Carlos a São Paulo3?
2. E agora, se pudéssemos empilhar folhas A4 tantas vezes quanto necessárias para
alcançar a distância de São Carlos a São Paulo, quantas folhas seriam necessárias?
3. E se pudéssemos continuar dobrando uma folha de papel A4, quantas vezes
precisaríamos dobrá-la até chegar à lua, ou seja, para atingir 384000 km de altura?
4. Quantas dobras seriam necessárias para obtermos uma distância da sua casa à escola?
5. Quantas dobras seriam necessárias para obtermos uma distância da sua casa a São
Paulo?
6. Quantas dobras seriam necessárias para obtermos uma distância de São Carlos até
Salvador?
7. Quantas dobras seriam necessárias para obtermos a distância daqui da Terra até o Sol?
(distância média da Terra ao Sol: 150 000 000 km)
10. O homem pisou na Lua pela primeira vez em 1969. Quanto mm de espessura deveria
ter uma folha para que dobrássemos 69 vezes para chegar à lua?
Concluímos observando como o crescimento da espessura da folha com as dobras é
exponencial. A partir daí o trabalho com os estudantes em cima destes conceitos de
seqüência exponencial, progressão geometria, etc, é grande. Outras questões semelhantes
podem ser facilmente elaboradas.
3
Esta e outras questões podem ser contextualizadas de acordo com a região dos estudantes.
Atividade II - O Cartão Fractal de Páscoa
As figuras a seguir ilustram a construção aqui descrita: o Cartão Fractal de Páscoa.
Esta construção já é conhecida e está presente em muitas atividades com diversos nomes 4.
Aqui fazemos uma adaptação do modelo trivial, incluindo uma data comemorativa que
usamos de fator motivador para os estudantes e também os conteúdos matemáticos que
julgamos conveniente abordar.
Figura 1 – Um exemplo de planificação do cartão e o esquema dele pronto
Consideramos como objetivos para esta atividade a exploração do lado lúdico e
criativo dos estudantes através da construção de um Cartão de Páscoa, que também
pretende incentivar o fortalecimento de relações (com a doação dos cartões feitos) e
propagar o espírito de ética, amor e união simbolizado pela data comemorativa.
Em termos de conteúdos matemáticos explorados, podemos citar o processo de
iterativo proporcionado pela construção, a compreensão de unidades e processos de
medida, o uso da álgebra para os cálculos e também a investigação de padrões e autosimilaridade existentes na construção.
Outro aspecto que julgamos relevante nesta e em todas as atividades apresentadas é
propô-las aos estudantes de forma que todos possam realizá-las com materiais de fácil
acesso. Neste caso, usaremos somente 2 folhas de papel retangular (A4 ou outra com
dimensões convenientes) de cores diferentes e uma tesoura, além de lápis de cor e outros
materiais para a decoração do cartão. A seguir listamos os procedimentos da construção
do Cartão:
1- Dobre uma folha de papel retangular de largura inicial igual a L e comprimento inicial C
ao meio obtendo um retângulo de dimensões L e C/2.
2- Dobre de forma a marcar a metade da largura e a partir daí, dobre novamente para
marcar 1/4 e 3/4 da largura. Dobre também na metade no sentido do comprimento.
4
Ver Salvador (2009) e Almeida(2006), por exemplo.
3- Corte, a partir da primeira dobra, o primeiro e o terceiro segmentos obtidos pelas dobras
anteriores (s1 e s2).
Figura 2 – as primeiras dobras e cortes.
4- Dobre internamente este retângulo recortado, como mostram as figuras.
5- Repita os passos 2 e 3 com o retângulo dobrado internamente no passo 4, enquanto a
largura do papel permitir.
Figura 3 – Os segmentos a serem cortados e dobrados nas 3 primeiras iterações
6- Cole a folha recortada em outra deixando as partes recortadas livres para fora, para que
o cartão fique mais resistente e a capa possa ser trabalhada com alguma mensagem.
A partir da construção do cartão, ou mesmo durante ela, algumas questões podem
ser formuladas pelo professor, a respeito de: identificar as figuras obtidas com as dobras e
cortes e relações de semelhança entre elas, estimar medidas, construir planificações e
desenhos e preencher tabelas com as medidas e cálculos realizados (comprimento, largura,
perímetro, área, relação entre os perímetros e áreas). Dependendo das dimensões da folha
original, uma calculadora será necessária.
Figura 4 – Trabalho de dois estudantes
Atividade III - O Balão Fractal
O objetivo da atividade é a construção de um sólido que denominamos Balão
Fractal. Esta sugestão é uma variação do conhecido Cartão Fractal Triangular.
O Balão,
por sua vez, é composto de quatro partes iguais e cada uma destas é a junção de dois
cartões triangulares conforme ilustra a figura 5.
Figura 5 – O Balão Fractal montado e o Cartão Fractal Triangular
A seguir detalharemos sua construção do Cartão Fractal Triangular, que será
considerado um pré-requisito para a construção do Balão.
1- Dobre uma folha retangular de largura L e comprimento C ao meio de forma que a dobra
tenha dimensões L e C/2.
2- Divida esta nova folha dobrada em 4 partes congruentes, conforme a figura. Isto pode
ser feito facilmente com dobras ou com a régua e o lápis.
Figura 6 – Primeiras divisões e corte.
3- Recorte a largura do retângulo inferior esquerdo a partir do lado dobrado (segmento s1) e
dobre-o para dentro.
4- Repita o procedimento com os retângulos restantes na parte esquerda da folha enquanto
possível.
Após a construção do Cartão Triangular e de um modelo do Balão Fractal pronto, o
estudante percebe como este será montado e percebe que são necessários dois triângulos
para cada “face” do balão, e que estes triângulos devem ser construídos a partir de dobras e
cortes em uma mesma folha. Desta forma, a construção anterior torna-se apenas uma
preparação para a construção final, cujos procedimentos são detalhados a seguir.
1- Dobre um pedaço de papel cartão de medidas 32 x 48 cm (as medidas sugeridas
anteriormente) de forma a obter um retângulo de medidas 16 x 48 cm.
2- Construa os segmentos medindo ¼ do comprimento total (no caso, 12 cm) a partir de
cada lateral. Construa também o segmento medindo metade da largura da folha dobrada (no
caso, 8 cm). Os segmentos s1 e s2 (a partir do lado da primeira dobra) serão cortados e
dobrados internamente.
Figura 7 – O primeiro retângulo a ser dobrado internamente.
3.1- Repita o processo para o retângulo central.
3.2- Nos retângulos laterais restantes do passo anterior, divida-os em 4 retângulos
congruentes (suas medidas serão a metade de cada lado) e recorte os centrais.
Figura 8 – Os segmentos a serem recortados e dobrados internamente: s3, s4, s5 e s6.
4 – Repita o processo 3.1 e 3.2 no retângulo central e nos laterais restantes, enquanto for
possível.
Figura 9 –uma face do Balão Fractal
A exploração matemática dos conceitos e dos cálculos realizados podem ser
organizadas por meio de tabelas a serem preenchidas pelos estudantes. É neste
preenchimento que o professor organiza os questionamentos que levarão os estudantes a
tirarem suas conclusões.
Referências
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. Coleção
Tendências em Educação Matemática. 2ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
GOMES, A. N. SALVADOR, J. A. Fractais no Ensino de Geometria da Educação Básica.
In: EBRAPEM, XIII, 2009, Goiânia. Caderno de Resumos (GT 11 – sessão A1). Goiânia:
UFG, 2009, p. 178. Disponível em: < http://www.ebrapem.mat.br/anais.html>. Acesso em:
01 fev. 2010.
__________. Incluindo Fractais no Ensino de Geometria da Educação Básica. In: CEPFE,
X, 2009, Águas de Lindóia-SP. [CD-ROOM]. Águas de Lindóia: UNESP, 2009.
PONTE, João Pedro. Investigar a nossa própria prática. In: GTI (Org), Reflectir e
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__________. Investigar, ensinar e aprender. In: Actas do ProfMat 2003 [CD-ROM, p. 2539]. Lisboa: APM, 2003.
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__________. Dobras, Cortes, Padrões e Fractais. III EMO – OBMEP. Nova Friburgo:
2009.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Proposta Curricular do Estado de São
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Software Geogebra. Disponível em: http://www.geogebra.org/cms/. Acesso em: ago. 2008.