DEPARTAMENTO ....: ENGENHARIA
CURSO............................: PRODUÇÃO
DISCIPLINA.................: ENGENHARIA ECONÔMICA / MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROFESSORES...........: WILLIAM FRANCINI
PERÍODO ......................: NOITE
SEMESTRE/ANO:
2º/2008
Aula 3
CONTEÚDO RESUMIDO DA AULA
3.
Juros Compostos. Fórmula do Montante. Taxas Equivalentes. Valor atual. Juros compostos com taxas variáveis.
Uso da Calculadora HP – 12C. Aplicações
Fonte: Adaptado de HAZZAN, S. E POMPEO, J.N. Matemática Financeira 6ª Edição Editora Saraiva, São Paulo, 2007 e de
Vieira Sobrinho, J. D., Matemática Financeira, Edit. Atlas, 7ª. Ed., por William S. Francini.
Fórmula do Montante
Conforme visto na aula 1, no regime de capitalização composto, os juros gerados em cada período são adicionados ao valor
futuro do período anterior, de forma que este novo valor futuro se torna a nova base de cálculo de juros para o período
seguinte.
Assim, partindo de um capital P, uma taxa de juros i, o cálculo do valor futuro a juros compostos, após n períodos de tempo
(expresso na unidade de tempo da taxa):
- Valor Futuro após 1 período:
F1 = P + Pi = P(1 + i)
- Valor Futuro após 2 períodos:
F2 = F1 + F1 i = F1(1 + i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2
- Valor Futuro após 3 períodos:
F3 = F2 + F2 i = F2(1 + i) = P(1 + i)2(1 + i) = P(1 + i)3
- Valor Futuro após n períodos:
Fn = Fn-1 + F n-1 i = F n-1 (1 + i) = P(1 + i)n-1(1 + i) = P(1 + i)n
Podemos omitir o índice n e escrever simplesmente:
F = P(1 + i)n
Observações:
O fator P(1 + i)n, chamado de fator de acumulação de capital para pagamento único, pode ser calculado diretamente com
uma calculadora, ou, ainda, pode ser obtido em tabelas financeiras – como as que constam no final dos livros – texto
indicados. É importantíssimo ressaltar que n deve ser expresso sempre na unidade de tempo estipulada na taxa. O
procedimento de se alterar a taxa para que ela fique de acordo com a unidade de tempo n será visto adiante (taxas
equivalentes).
Na maioria das calculadoras, os valores de PV e FV aparecem com sinais inversos, isto é, um com sinal positivo e outro
com sinal negativo. Nas teclas financeiras, uma entrada de caixa é representada por um valor positivo, ao passo que uma saída
é representada por um número negativo.
1 - Um capital de $ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3 meses, à taxa de 2,0% a.m.
a) Obtenha o montante.
b) Obtenha o total de juros auferidos.
Resposta
a)
P = 6.000;
i = 2%a.m.;
n = 3 meses
F = P(1 + i)n = 6.000(1 + 0,02)3 = 6.000(1 + 0,02)3 = 6.367,25
Na calculadora financeira:
3
2
6000
n
i
PV
b)
J = 6.367,25 - 6.000 = 367,25.
6.000(1 + 0,02)3 = FV = - 6.367,25
2 – Que capital,aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de $ 3.500,00 após um ano?
Resposta
F = $ 3.500;
i = 2,5% a.m.; n = 12 meses (1 ano, porém, expresso na mesma unidade da taxa).
Desta forma:
F = P(1 + i)n =
3.500 = P(1 + 0,025)12 ;
3.500 = P(1,025)12 ;
3.500 = P(1,3449) ;
P = 3.500 / 1,3449 = 2.602,42.
Obs.: Resolver o exercício acima na calculadora financeira.
3 – Um capital, $ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses, produzindo um montante de $ 3.500,00.
Qual a taxa mensal de juros?
Resposta
P = $ 2.500;
F = $ 3.500;
n = 4 meses
F = P(1 + i)n
3.500 = 2.500 (1 + i)4 ;
(1 + i)4 = 3.500 / 2.500;
(1 + i)4 = 1,4
Elevando-se os dois membros da equação ao inverso do expoente (1/4), teremos:
((1 + i)4)1 / 4 = (1,4)1 / 4
1 + i = (1,4)0,25
i = 1,0878 – 1
i = 0,0878 = 8,78% a.m.
Obs.: Resolver o exercício acima na calculadora financeira.
4 – Durante quanto tempo um capital de $ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 10% a.a. para resultar em
um montante de $ 1.610,51?
Resposta
P = 1.000;
i = 10% a.a.;
F = 1.610,51; n = ?
F = P(1 + i)n
1.610,51 = 1.000 (1 + 0,10)n
(1,10)n = 1,61051
Aplicando a fórmula do logaritmo natural (conforme arquivo Aula 2) em ambos os lados, teremos:
LN(1,10)n = LN(1,61051)
nLN(1,10) = LN(1,61051)
n = LN(1,61051) / LN(1,10) = 0,476551 / 0,09531
n = 5 anos.
Obs.: Resolver o exercício acima na calculadora financeira.
Exercícios:
1) Qual o montante de uma aplicação de $ 50.000 a juros compostos, pelo prazo de seis meses, à taxa de 2% a.m.?
2) Obtenha o montante das aplicações a seguir, considerando o regime de juros compostos:
a)
b)
c)
Capital
$ 80.000,00
$ 65.000,00
$ 35.000,00
Taxa
36% a.a.
3% a.m.
7% a.t.
Prazo
2 anos
1 ano
1 ano e meio
3) Uma pessoa aplica hoje $ 4.000,00 e aplicará $12.000,00 daqui a três meses em um fundo que rende juros compostos à
taxa de 2,6% a.m. Qual seu montante daqui a seis meses?
4) Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, gerando um montante de $ 3.5000,00. Qual a
taxa mensal?
5) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante nove meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado.
Qual a taxa trimestral da aplicação?
6) Um fogão é vendido à vista por $ 600,00, ou então, a prazo, sendo 20% do preço à vista como entrada, mais uma parcela
de $ 550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento?
7) Durante quanto tempo um capital de $ 5.000,00, deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., para gerar um
montante de $ 5.767,00?
8) Alberto aplicou $ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a.
a) Qual o montante?
b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação?
c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação?
9) Gisele aplicou $ 6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de
1,5% a.m. O prazo das duas aplicações foi de seis meses. Calcule quanto foi aplicado em cada banco , sabendo-se que os
montantes gerados foram iguais.
10) Aplique hoje $ 55.000,00 e receba após seis meses $ 60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicação,
considerando o regime de juros compostos?
Períodos não inteiros
Vimos que na parte 1 da aula 4 que fórmula do montante é F = P(1 + i)n., onde n era um número inteiro não negativo. A
mesma fórmula é geralmente estendida para valores n positivos e não inteiros, e esta convenção é conhecida como convenção
exponencial.
Teoricamente, há uma outra convenção, chamada linear, que consiste em calcular o montante a juros compostos durante a
parte inteira do período e, sobre o montante assim obtido, aplicar juros simples durante a parte não inteira do período
considerado. Esta última é raramente utilizada na prática (HAZZAN e POMPEO, p. 50).
Exemplo 1 (adaptado)
Um capital de $ 1.000, 00 foi aplicado a juros compostos, durante três meses e meio, à taxa de 9% a.m.
a) Qual o montante pela convenção exponencial?
b) Qual o montante pela convenção linear?
Resposta
a) Exponencial = F = 1.000 (1,09)3,5 = 1.000 * 1,352050 = $ 1.352,05
b) Linear = 1ºpasso: F = 1.000 (1,09)3,0 = 1.000 * 1,295029 = $ 1.295,03
2º passo: F’ = 1.295,03 + 1.295,03 (0,09)0,5 = 1.295,03 + 58,28 = $ 1.353,31
ou
2º passo: F’ = 1.000 (1,09)3,0 + 1.000 (1,09)3,0 (0,09) (3,5 – 3) = 1.295,03 + 58,28 = $ 1.353,31
Exemplo 2 (adaptado)
Um capital de $ 50.000, 00 foi aplicado a juros compostos, durante cento e cinco dias, à taxa de 8% a.m.
a) Qual o montante pela convenção exponencial?
b) Qual o montante pela convenção linear?
a) Convenção exponencial
n = 105 dias; 50.000 (1,08)105/30 = 50.000 (1,08)3,5 = 50.000,00 (1,309131) = $ 65.456,56
b) Convenção linear
1ºpasso: calcular o valor futuro a juros compostos durante a parte inteira do período:
n = 105 dias – 15 dias = 90 dias ou 3 meses (inteiros);
F = 50.000 (1 ,08)90/30 = 50.000 (1,08)3 = 50.000,00 (1,259712) = 62.985,60
2º passo: sobre o valor futuro calculado a juros compostos durante a parte inteira do período, aplicar juros simples sobre o
período não inteiro:
F’ = 62.985,60 + 62.985,60 (0,08)0,5 = 62.985,60 + 2.519,42 = $ 65.505,02
Diferença entre os juros simples e juros compostos, convenção exponencial e linear
Exemplo 3
Calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 8% ao mês, para 29 dias, 30 dias, 31 dias e 105 dias,
pelos regimes de juros simples e juros compostos, estes com cálculo em convenção exponencial e convenção linear.
Juros Simples
a) n = 29 dias; FV = 50.000 (1 + 0,08 x 29) = R$ 53.866,67
30
b) n = 30 dias; FV = 50.000 (1 + 0,08 x 30) = R$ 54.000,00
30
c) n = 31 dias; FV = 50.000 (1 + 0,08 x 31) = R$ 54.133,33
30
d) n = 105 dias; FV = 50.000 (1+ 0,08 x 105) = R$ 64.000,00
30
Juros Compostos – Convenção Exponencial
a) n = 29 dias; FV = 50.000 (1,08) 29/30 = R$ 53.861,65
b) n = 30 dias; FV = 50.000 (1,08) 30/30 = R$ 54.000,00
c) n = 31 dias; FV = 50.000 (1,08) 31/30 = R$ 54.138,70
d) n = 105 dias; FV = 50.000 (1,08) 105/30 = R$ 65.456,56
Juros Compostos – Convenção Linear
a) n = 29 dias;
Não se aplica, pois n é menor que 1 (considerando-se a unidade de medida dos juros, ao mês), e, portanto não existe a parte
inteira do período a ser calculada separadamente.
b) n = 30 dias; FV = 50.000 (1,08) 30/30 = R$ 54.000,00
Não se aplica a convenção linear, pois n é inteiro (1).
c) n = 31 dias;
1ºpasso: calcular o valor futuro a juros compostos durante a parte inteira do período:
n = 31 dias – 1 dia = 30 dias ou 1 mês (períodos inteiros);
F = 50.000 (1 ,08)30/30 = 50.000 (1,08)1 = 50.000,00 (1,08) = R$ 54.000,00
2º passo: sobre o valor futuro calculado a juros compostos durante a parte inteira do período, aplicar juros simples sobre o
período não inteiro:
F’ = 54.000,00 + 54.000,00 (0,08)1/30 = 54.000,00 + 144,00 = R$ 54.144,00
d) n = 105 dias;
1ºpasso: calcular o valor futuro a juros compostos durante a parte inteira do período:
n = 105 dias – 15 dias = 90 dias ou 3 meses (inteiros);
F = 50.000 (1 ,08)90/30 = 50.000 (1,08)3 = 50.000,00 (1,259712) = 62.985,60
2º passo: sobre o valor futuro calculado a juros compostos durante a parte inteira do período, aplicar juros simples sobre o
período não inteiro (15 dias / 30 = 0,5 mês) :
F’ = 62.985,60 + 62.985,60 (0,08)0,5 = 62.985,60 + 2.519,42 = $ 65.505,02
A maioria das calculadoras financeiras está programada para funcionar de acordo com a convenção exponencial. A HP12c
efetua o cálculo por ambas as convenções: acionando-se a seqüência de teclas [STO] [EEX] (endereços 44 e 26,
respectivamente), aparecerá no visor da calculadora HP 12C a letra “C”. Desta forma, a calculadora estará operando
pela convenção exponencial.
Para desativar a convenção exponencial, e passar a operar pela convenção linear, basta repetir a seqüência de teclas
[STO] [EEX], e a letra “C” será desativada do visor. Portanto, se a letra “C” não estiver aparecendo no visor, a HP12C faz esse cálculo de juros com base na chamada “convenção linear”, em que os juros são calculados de acordo com
o regime de capitalização composta para períodos inteiros e de acordo com o regime de capitalização simples para
períodos fracionários.
Exemplo 4 (Hazzan e Pompeo, p. 53, adaptado).
Um cliente recebeu um empréstimo bancário de $ 15.000,00 e pagou após 72 dias um montante de $ 16.102,77. Qual a taxa
mensal, considerando-se que existe um float de quatro dias para o dinheiro entrar na conta após a assinatura do contrato do
empréstimo?
F = 16.102,77; P = 15.000,00; n = 72 – 4 = 68; i = ?
i = 3,18% a.m.
Exemplo 5 (Hazzan e Pompeo, p. 53/54).
Um banco cobra, em certa linha de crédito, juros compostos à taxa de 30% a.a. Se for feito um empréstimo por 75 dias a uma
empresa, que taxa de abertura de crédito (TAC) o banco deverá cobrar para que resulte em uma taxa efetiva de juros de 35%
a.a.?
Resposta
Como não é mencionado o valor do empréstimo solicitado, adotemos para ele o valor de $ 100 (ou qualquer outro valor).
Assim, o montante após 75 dias será:
F = 100(1,30)75/360 = 105,62
Para que a taxa efetiva resulte em 35% a.a., o banco efetivamente emprestar um capital P, tal que:
P(1,35) 75/360 = 105,62
1,06545P = 105,62
P = 99,22
Assim, para este empréstimo de $100,00, a TAC deverá ser 100 – 99,22 = 0,78. Isto é, para cada $ 100,00 de empréstimo, o
banco deverá cobrar $ 0,78. Portanto, a TAC deverá ser de 0,78/100 = 0,78%.
Exemplo 6 (Hazzan e Pompeo, p. 54).
Um banco pretende ganhar uma taxa efetiva juros compostos de 36% a.a. em operações de desconto de duplicatas com prazo
de 45 dias. Que taxa mensal de desconto deverá utilizar?
Resposta
Adotemos para a duplicata o valor $ 100 (qualquer outro valor poderá ser utilizado).
O valor atual líquido VA recebido pela empresa deverá ser tal que:
VA(1,36)45/360 = 100
VA(1,0392) = 100
VA = 96,23
Conseqüentemente, o valor do desconto será DS = 100 – 96,23 = 3,77. Lembrando que a fórmula do desconto é D =
VNdn, e que desejamos a taxa de desconto mensal, podemos escrever:
3,77 = 100 d (45/30).
d = (3,77)(30) / 4.500 = 0,0251 = 2,51% a.m.
Exercícios adaptados (Hazzan e Pompeo p. 54)1) Mário fez uma aplicação de $ 6.000,00, por 18 meses à taxa de 22% a.a..
a) Qual o montante pela convenção exponencial?
RESPOSTA: $ 8.085,20
b) Qual o montante pela convenção linear?
RESPOSTA: $ 8.125,20
2) Em um empréstimo a juros compostos de $ 100.000,00, a taxa foi de 2% a.m. e o prazo de 90 dias. No entanto, havia uma
cláusula contratual estabelecendo a convenção linear caso o pagamento fosse feito com atraso. Se o pagamento foi feito com
um atraso de 17 dias, qual o valor do montante? RESPOSTA: $ 107.323,50
3) Resolva o exercício anterior considerando a convenção exponencial. RESPOSTA: $ 107.318,34
4) Uma empresa tomou um empréstimo para capital de giro no valor de $ 10.000 por 30 dias, à taxa de 75% a.a. Qual o
montante? RESPOSTA: $ 10.477,39
5) resolva o exercício anterior considerando um prazo de 37 dias. RESPOSTA: $ 10.592,02
6) Uma empresa tem duas opções para levantar um empréstimo: descontar uma duplicata com prazo de vencimento de 30
dias a uma taxa de desconto de 4% a.m. ou, então, tomar um empréstimo de capital de giro pelo mesmo prazo, com valor
igual ao valor líquido da duplicata , a juros compostos com taxa de 4% a.m.. Qual sua melhor opção? RESPOSTA: $
10.477,39
Taxas equivalentes:
Vimos que, considerando-se a fórmula de juros compostos, normalmente expressamos o prazo n de acordo com a
unidade de tempo da taxa. Porém, podemos expressar a taxa de acordo com a unidade usada para n.
As taxas são equivalentes se, quando aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo período, geram o mesmo valor
futuro.
Por vezes, teremos que decidir entre alternativas de taxas expressas em diferentes unidades de tempo, tais como uma
informação expressa em taxa mensal ia.m. e uma taxa anual ia.a.. Dizemos que são equivalentes quando:
F(1 + iaa) = F(1 + iam)12
Daí temos:
(1 + iaa) = (1 + iam)12 ;
iaa = (1 + iam)12 - 1, para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal;
iam =
√ (1 + iaa)
12
- 1, para determinar a taxa mensal, conhecida a taxa anual
Nas capitalizações simples e composta, presumindo que se tem a taxa i1 e se quer encontrar a i2 equivalente a ela, faz-se:
Capitalização simples
i2 = (n2 / n1) i1
Capitalização composta
i2 = (1 + i1 ) n2 / n1 - 1
Observe-se que na capitalização simples as taxas proporcionais a determinado prazo são sempre equivalentes entre si.
Com relação à capitalização composta, no dia–a–dia, os períodos a que se referem a taxas que temos e as taxa que queremos
são muito variados. Por isto, vamos apresentar uma fórmula genérica. Adotando a nomenclatura convencional de iq para a
taxa i2, a que se quer, e it, a que se tem, e representando os respectivos prazos de vigência por q e t, isto é, fazendo n2 = q e n1
= t, a equivalência de capitalização composta é alternativamente expressa por:
ieq = {( 1 + ic)Q/T – 1} x 100
Onde: Onde: ieq = Taxa Equivalente; ic = Taxa Conhecida; Q = Quanto Quero; T = Quanto Tenho.
Evidentemente, está pressuposto que os prazos Q e T estejam na mesma unidade temporal, isto é, ambos devem estar
expressos em meses, bimestres, trimestres, semestres, anos, etc.
Demonstração
A fórmula das taxas equivalentes acima está expressa em função dos prazos (em dias) de cada taxa. Sendo o prazo
padrão de um ano, temos:
n1 = 360 / Q n2 = 360 / T
(1 + iq)360/Q = (1 + it)360/T
((1 + iq)360/Q)Q/360 = ((1 + it)360/T)Q/360
(1 + iq) = (1 + it)Q/ T
iq = (1 + it)Q/ T - 1
Exemplo 7 (Hazzan e Pompeo, p. 57).
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?
ieq = ?; ic = 2% a.m.; Q = 1 ano ou 12 meses; T = 1 mês.
ieq = {( 1 + ic)Q/T – 1} x 100 = ieqa.a. = {( 1 + 0,02)12/1 – 1} x 100 = 26,82% a.a.
Exemplo 8 (Hazzan e Pompeo, p. 57/58).
Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.?
ieqa.t. = ?; ic = 15% a.a.; Q = 1 trimestre ou 3 meses; T = 1 ano, ou 12 meses.
ieq = {( 1 + ic)Q/T – 1} x 100 = ieqa.t. = {( 1 + 0,15)3/12 – 1} x 100 = {(1,15) 0,25 – 1} x 100 = 3,56% a.t.
Exercícios (Hazzan e Pompeo p. 59 / 60)
7) Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas:
a) 1,8% a.m.
c) 4,5% a.t.
b) 2,5% a.b.
d) 18% a.s.
8) Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas:
a) 75% a.a.
d) 6,5% a.b.
b) 5o% a.s.
e) 0,12% a.d.
c) 21% a.t.
9) Em juros compostos, qual a taxa em 40 dias equivalentes a 2,5% a.m.?
10) Em juros compostos, o que é preferível: aplicar um capital por um ano a taxa de 26% a.a. ou ‘a taxa de 2,1% a.m.?
11) O que é melhor: aplicar um capital a juros compostos por seis meses à taxa de 4,5% a.t. ou à taxa de 6% a.q. (ao
quadrimestre)?
CDB´s e RDB´s
Os Certificados de Depósito Bancário (CDB´s) e os Recibos de Depósito Bancário (RDB´s) são títulos emitidos pelos
bancos em geral, destinados a prover recursos para seus financiamentos. Os CDB´s sao nominativos endossáveis
(podem ser transferidos por endosso), os RDB´s não o são. Ambos contam com duas formas de remuneração: a
prefixada e a pós-fixada. A prefixada informa ao aplicador, antecipadamente à aplicação, a taxa de remuneração. A
pós-fixada considera uma correção monetária sobre o capital aplicado e sobre este valor corrigido é aplicado uma taxa,
calculando-se assim o montante fnal, usando-se a fórmula de juros compostos.
Em ambos os casos, os ganhos sofrem tributação (imposto de renda), cujo cálculo e alíquota sofrem constantes
alterações – em 2005 , o IR era variável segundo o prazo da operação, de acordo com a tabela a seguir:
Prazo
Até 6 meses
De 6 a 12 meses
De 12 a 24 meses
Mais de 24 meses
Alíquota
22,5 %
20 %
17,5%
15 %
Para a análise do ganho efetivo do investidor, calcula-se a taxa de juros da operação, levando-se em consideração o
imposto de renda pago. A taxa assim obtida é chamada de taxa líquida, enquanto aquela anunciada pelas instituições
financeiras – e que não considera o IR – chama-se taxa bruta.
Exemplo 9 (Hazzan e Pompeo, p. 61).
Um investidor aplicou $ 15.000,00 em um CDB prefixado de 30 dias em uma insitituição financeira. A taxa bruta da
operação foi de 18% a.a. Pede-se:
a) O montante bruto ao resgate.
b) O IR, sabendo-se que é igual a 22,5% do juro auferido.
c) O valor futuro líquido.
d) A taxa líquida da operação no período considerado.
Resposta
P = 15.000
i = 18% a.a.
n = 30 / 360
IR = 22,5%
a)
b)
c)
d)
F = 15.000(1,18)30/360 = 15.208,33
IR = 0,225(15.208,33 – 15.000) = 46,87
Fliq = 15.208,33 – 46,87 = 15.161,46
i liq = (15.161,46 / 15.000) – 1 = 0,0108 = 1,08 a.p. (ao período)
Exemplo 10 (Hazzan e Pompeo, p. 61/62).
Um investidor aplicou $ 12.000,00 em um RDB pós-fixado de 120 dias, cuja remuneração era dada por CM + 15%
a.a. (correção monetária mais 15% a.a.). Pede-se:
a) O montante bruto, sabendo-se que a taxa de correção monetária fi de 4% no período.
b) O IR, sabendo-se que é igual a 22,5% do juro.
c) O valor futuro líquido.
d) A taxa líquida da operação.
Resposta
P = 12.000
CM = 4% no período
i = 15% a.a.
n = 120 / 360 ano (ou 120 dias)
IR = 22,5%
a) capital corrigido = 12.000 + (0,04) 12.000 = 12.480
Valor Futuro Bruto = 12.480 (1,15) 120 / 360 = 13.075,15
b) IR = 0,225(13.075,15 – 12.000) = 241,91
c) Valor Futuro Líquido = Fliq = 13.075,15 – 241,91 = 12.833,26
d) i liq = (12.833,26 / 12.000) – 1 = 0,0694 = 6,94% a.p. (ao período)
Exercícios
12) Um investidor aplicou $ 8.000,00 em um CDB prefixado de 30 dias. Sabendo-se que a taxa bruta da operação foi
de 16% a.a., pede-se:
a) O montante bruto.
b) O IR, sabendo-se que é igual a 22,5% do juro.
c) O valor futuro líquido.
d) A taxa líquida da operação no período.
13) Resolva o exercício anterior considerando um prazo de 60 dias.
14) Resolva o exercício 12 considerando um prazo de 33 dias.
15) Um investidor pretende aplicar um capital em um RDB prefixado de 30 dias. Sabendo-se que ele pretende ganhar
uma taxa líquida de 1,25% no período e que o imposto de renda é igual a 22,5% do juro, que taxa bruta anual deverá
aceitar?
16) Resolva o exercício anterior considerando um prazo de 62 dias e uma taxa líquida de 1,8% no período.
Valor Atual e Nominal em Juros Compostos
Estes conceitos são análogos aos vistos em juros simples, e também sobre Descontos. Valor nominal (VN) de um
compromisso é o valor do compromisso na data de seu vencimento. Valor atual (V) do compromisso (ou valor
presente), em uma data anterior ao vencimento, é o valor que, aplicado a juros compostos a partir desta data até a data
do vencimento, produz um montante igual ao valor nominal N. Chamando de 0 a data focal e sendo a data de
vencimento do compromisso igual a n, teremos
VN
VA
0
n
Valor nominal e valor atual
VA(1 + i)n = VN; VA = VN / (1 + i)n
Exemplo 11
Uma pessoa tem uma divida de $ 10.000,00 vencível daqui a três meses. Qual seu valor atual hoje, considerando uma
taxa de juros de 1,5% a.m.?
Resposta
VA = 10.000 / (1,015)3 = 9.563,17
Assim, se ela aplicar $ 9.563,17 hoje a 1,5% a.m., daqui a três meses terá um montante de $ 10.000,00.
Compra à Vista e Compra à Prazo
Uma importante aplicação do conceito de valor atual é a análise da melhor decisão para um comprador frente à
alternativas de pagamento à vista e à prazo. O procedimento consiste em calcular o valor atual do pagamento à prazo e
compará-lo com o preço à vista. A melhor alternativa é a que produz o mínimo entre os valores comparados (também
chamado preço econômico).
Exemplo 12
O que é melhor para um comprador: pagar um terreno por $ 50.000,00 daqui a 50 dias ou pagar à vista com 3% de
desconto sobre aquele preço?
Suponha que o comprador consiga aplicar seu dinheiro à taxa de 1,4% a.m. no regime de juros compostos.
Resposta
•
•
Preço á vista = 50.000 – 0,03(50.000) = 48.500
Valor presente do pagamento a prazo = VA = 50.000 / (1,014)50/30 = 48.854,74
Portanto, a melhor alternativa é pagar à vista - dado que 48.500 < 48.854,74.
Exercícios (Hazzan e Pompeo, p. 65)
17) Uma dívida de $ 80.000,00 vence daqui a cinco meses. Considerando uma taxa de juros de 1,3% a.m., obtenha
seu valor atual nas seguintes datas:
a) Hoje.
b) Daqui a dois meses.
c) Dois meses antes do vencimento.
18) Um equipamento é vendido por $ 50.000,00 para pagamento daqui a dois meses. À vista há um desconto de 3,5%.
Qual a melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,8% a.m.?
19) Resolva o exercício anterior considerando a taxa de 1,4% a.m.
Capitalização Composta com Taxas de Juros Variáveis
Neste caso, a taxa varia a cada período, diferentemente das situações anteriores, onde a taxa era constante. A taxa
acumulada – de juros, correção monetária ou ambos – com taxas variáveis é frequentemente aplicada para correções
de valores de contratos, tais como a atualização do saldo devedor da casa própria, de aluguéis, etc.
A fórmula do valor futuro quando a taxa varia em cada período é generalizada da seguinte forma:
Considerando-se um capital P, aplicado a juros compostos e às seguintes taxas:
i1 no 1º período; i2 no 2º período, i3 no 3º período ... in no n-ésimo período
Ao final do 1º período, o valor futuro será: F1 = P + Pi1 = P(1 + i1)
Ao final do 2º período, o valor futuro será: F2 = F1 + F1i2 = F1(1 + i2) = P(1 + i1)(1 + i2)
Ao final do 3º período, o valor futuro será: F3 = F2 + F2i3 = F2(1 + i3) = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)
Após n períodos, o valor futuro será
Fn = P(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3) ... (1 + in)
A taxa acumulada no período é dada por:
iAC = Fn - 1
P
Isto é:
iAC = (1 + i1)(1 + i2)(1 + i3) ... (1 + in) - 1
Exemplo 13 - (adaptado de Hazzan e Pompeo, p. 67)
Em três anos consecutivos, um fundo de renda fixa rendeu 1,4%, 1,6% e 2,0%, respectivamente. Se o capital aplicado
no início do primeiro mês foi de $10.000, pede-se:
a) o valor futuro ao final do terceiro mês.
b) A taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre.
Resposta
a) F = 10.000(1,014)(1,016)(1,020) = 10.508,28
b) iAC = (10.508,28 / 10.000) – 1 = 0,050828 = 5,08%
A taxa acumulada também poderia ser obtida por meio da fórmula
iAC = (1,014)(1,016)(1,020) – 1 = 0,050828 = 5,08%
MILONE (Matemática Financeira, Thomson, 2006, p. 119) destaca que há situações em que se convenciona que o
capital será corrigido, mas os juros incidirão exclusivamente sobre o capital inicialmente aplicado, sem correção
monetária. Nesse caso, tem-se:
Montante ou valor futuro com juros sobre o capital histórico
Capitalização simples
F = P (1 + j + in)
Capitalização composta
F = P [ j + (1 + i) n ]
onde F é o montante resgatado, P é o capital inicialmente aplicado, i é a taxa real de juros e j é a correção monetária do
período.
Exemplo 14 - (adaptado de Milone, p. 119/120)
Qual o montante recebido em uma aplicação de $ 10.000,00 por três meses à taxa de 2% a.m., além da variação do
IPC do período, que foi respectivamente de 0,51%, 0,68% e 0,59%?
Resposta
Taxa de correção do período:
j = 1,0051 x 1,0068 x 1,0059 – 1 = 0,01790510 = 1,790510%
Supondo capitalização simples:
F = P (1 + j + in)
F = 10.000 x (1 + 0,01790510 + 3 x 0,02) = $ 10.779,05
Supondo capitalização composta:
F = P [ j + (1 + i) n ]
F = 10.000 [0,01790510 + (1 + 0,02) 3 ] = $ 10.791,13
Taxa Acumulada de Empréstimos com Hot Money
Sendo P o capital inicial, i1, i2, i3 ... , ik as taxas vigentes em cada dia útil, e k o número de dias úteis considerados,
queremos saber qual a taxa acumulada da operação no período considerado. Dado que as taxas são dadas mensalmente
e a capitalização é diária, as taxas efetivas aos dias úteis considerados são:
i1 ; i2 ; i3 ... ; ik
30 30 30
30
Conforme vimos anteriormente, a taxa acumulada da operação, no período considerado, é dada por:
iAC = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ... (1 + in) - 1
30
30
30
30
Exemplo 15 - (adaptado de Hazzan e Pompeo, p. 68)
Em três dias úteis consecutivos, vigoraram as seguintes taxas em operações com hot money: 2,5%, 3,25% e 3,5%.
Qual a taxa acumulada no período?
Resposta
iAC = (1 + 0,025) (1 + 0,0325) (1 + 0,035) - 1 = 0,00308647 = 0,3086%
30
30
30
Exercícios adaptados (Hazzan e Pompeo p. 68)
20) Em janeiro e fevereiro, um fundo de renda fixa rendeu 2,1% e 2,3%, respectivamente. Se um investidor aplicou
$ 25.000,00 no início de janeiro:
a) Qual seu montante dois meses depois?
b) Qual a taxa de rentabilidade acumulada ao final do período?
21) Em janeiro, fevereiro e março, um fundo tipo carteira livre rendeu 2,7%, 1,9% e 0,98%, respectivamente.
a) Qual a rentabilidade acumulada no período?
b) Qual deveria ser a taxa de rentabilidade de abril para que o acumulado no quadrimestre fosse igual a 8%?
22) Se a taxa de 3,2% a.m. de uma operação de hot money vigorar por dez dias úteis consecutivos, qual a taxa
acumulada no período?
23) Resolva o exercício anterior considerando que a taxa vigore por 22 dias úteis.
24) Uma taxa de hot money de 2,3% a.m., vigorando por 25 dias úteis, acumula que taxa?
Operações em Dias Úteis e Taxa Over
De acordo com Hazzan e Pompeo, muitos títulos públicos tem sua rentabilidade avaliada por dia útil; também os
fundos de investimento em geral têm suas cotas divulgadas em dias úteis. As aplicações de dinheiro feitas entre
instituições financeiras – por meio de Certificados de Depósitos Interbancários – CDI´s, são realizadas considerando
prazos em dias úteis; neste caso as taxas são fornecidas em termos anuais sendo convenção que o número de dias úteis
do ano é equivalente a 252 (desde de 2000), ou 21 dias úteis ao mês.
A taxa over mensal, por definição, é igual a 30 vezes a taxa por dia útil; esta é uma ampliação da taxa por dia útil, e
serve para comparações entre rentabilidades e custos de empréstimos.
Exemplo 16 – (adaptado de Hazzan e Pompeo, p. 70)
Uma LTN – Letra do Tesouro Nacional, título com rendimento prefixado – com valor de face (ou de resgate) igual a $
1.000,00 é adquirido por um banco 25 dias antes de seu vencimento por $ 983,00.
a) Qual a taxa de rendimento do título no período?
b) Qual a taxa de rendimento do papel por dia útil, sabendo-se que há no período, 18 dias úteis?
c) Qual a taxa over mensal de rentabilidade do papel?
Resposta
a) a taxa de rendimento no período é:
i = 1.000 / 983 - 1 = 0,0173 = 1,73% a.p.
b) Sendo i a taxa por dia útil, o prazo n deve ser dado em dias úteis (no caso, n = 18).
Temos:
1.000 = 983(1 + i)18
(1 + i)18 = 1,017294
(1 + i) = (1,017294)1/18
i = (1,017294)1/18 - 1 = 0,000953 = 0,0953% a.d.u (ao dia útil)
c) taxa over mensal: 30 (0,0953%) = 2,859% a.m.
Exemplo 17 – (Hazzan e Pompeo, p. 71)
Uma instituição financeira aplicou $ 20.000.000 em um CDI de outra instituição por um dia útil à taxa de 19% a.a.
(ano de 252 dias úteis).
a) Qual o montante?
b) Qual a taxa efetiva por dia útil e qual a taxa over mensal correspondente?
Resposta
a) F = 20.000.000 (1,19) 1/252 = 20.013.810,58
b) i = (20.013.810,58 / 20.000.000) - 1 = 0,000691 = 0,0691% a.d.u. (ao dia útil)
Taxa over mensal = 30(0,0691%) = 2,073% a.m.
Taxa Over SELIC
O Sistema Especial de Liquidação e Custódia (Selic) foi criado para registrar e controlar eletronicamente as operações
com títulos públicos federais, os quais são vendidos em leilões formais realizados pelo Banco Central em um
chamado mercado primário, no qual participam Bancos Comerciais e Múltiplos, Corretoras, Distribuidoras,
Financeiras e Bancos de Investimento. A liquidação financeira é realizada no mesmo dia na conta de Reservas
Bancárias. Também existe o mercado secundário, onde as insitituições financerias negociam entre si os títulos
adquiridos no mercado primário.
A taxa Selic é a taxa média dessas operações. É dada diariamente (em dias úteis) e expressa ao ano com base em 252
dias úteis.
Exemplo
Se o valor de um LFT (Letra Financeira do Tesouro) for de $ 1.175,48 em um determinado dia e a taxa Selic for de 15,25%
a.a. (ano de 252 dias úteis), qual o valor da LFT no dia seguinte?
Resposta
O valor da LFT será dado por 1.175,48(1,1525)1/252 = 1.176,14