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Resistência dos Materiais 2003/2004
Curso de Gestão e Engenharia Industrial
5ª Aula
Duração - 2 Horas
Data - 6 de Outubro de 2003
Sumário: Caso Particular do Estado Plano de Tensão. Circunferência de Mohr.
Objectivos da Aula: Apreensão da construção Gráfica de Mohr para um Estado Plano de
Tensão. Completar o estudo do Estado de Tensão num ponto e resolver as dúvidas ainda
existentes respeitantes ao mesmo.
Resumo do Conteúdo da Aula
1- Caso Particular do Estado Plano de Tensão:
As tensões no sistema de eixos Oxy são σ xx, σ yyeτ xy como se representa na figura
4.2. Pretendem-se as tensões no sistema de eixos Ox´y´ definido de tal modo que os
ângulos formados por Ox e Ox´ e Oy e Oy´ têm a grandeza,θ, como se representa na
referida figura. O referido ângulo é medido a partir do eixo dos xx (sentido positivo) e no
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Considerando o elemento triangular ABC e considerando o equilíbrio de forças na
direcção do eixo dos x´x´, ∑ F x´ = 0 , obtém-se:
σ x´x´dA = σ xxdAcosθcosθ + σ yydAsenθsenθ + τ xydAcosθsenθ + τ xydAcosθsenθ
(5.1)
ou seja:
2
2
σ x´x´ = σ xx cos θ + σ yysen θ + 2τ xycosθsenθ
(5.2)
tendo em conta que:
cos θ =
2
1 + cos2θ
1 − cos2θ
, sen 2θ =
e 2senθcosθ = sen2θ
2
2
a equação 4.8 pode escrever-se com a forma
σ x´x´ = σ xx
1 + cos2θ
1 − cos2θ
+ σ yy
+ τ xysen2θ
2
2
(5.3)
2/9
simplificando obtém-se:
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
+
cos2θ + τ xysen2θ
2
2
σ x´x´ =
(5.4)
Considerando o equilíbrio de forças segundo o eixo dos y´y´ no elemento ABC de
espessura unitária, obtém-se a tensão tangencial ou de corte na faceta BC como sendo:
τ x´y´ =
σ yy − σ xx
sen2θ + τ xycos2θ
2
(5.5)
σyy
y´
y
C
θ
F
D
τxy
σxx
E
A
y
90º
y´
B
x´
σy´y´
σx´x´
σxx
x´
θ
x
τxy
σyy
θ
x
(a)
(b)
Figura 5.1: Mudança de Eixos.
De forma análoga, considerando o elemento DEF se obtém as tensões σ y´y´ . A fórmula
que permite a obtenção de σ y´y´ , pode ser obtida de 5.4 substituindo θ por θ+90º, ou seja:
σ y´y´ =
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
−
cos2θ − τ xysen2θ
2
2
Adicionando as equações 5.4 e 5.6 obtém-se:
(5.6)
3/9
σ xx + σ yy = σ x´x´ + σ y´y´
(5.7)
donde se conclui que a soma dos elementos da diagonal de cada um dos tensores σ e σ´
é idêntica qualquer que seja o ângulo θ considerado ou seja o tr(σ) é um invariante do
tensor das tensões. Resultados análogos aos anteriores podem ser obtidos considerando o
produto matricial representado pela equação 4.6, tendo em conta que no estado plano de
tensão não existem tensões na faceta perpendicular ao eixo dos zz.
A tensão normal σ x´x´ tem um valor máximo para um certo ângulo θ. A determinação dos
valores extremos de σ x´x´ pode ser feita derivando em ordem a θ a expressão 5.4 e
igualando a zero, ou seja
σ − σ yy
dσ x´x´
2sen2θ + 2τ xysen2θ = 0 donde:
= − xx
dθ
2
τ xy
(5.8)
tan g2θp =
−
( σ xx σ yy ) / 2
O ângulo θ p representa o ângulo formado pela direcção principal máxima ou
mínima com a direcção do eixo dos xx como se representa na figura 5.1. Existem dois
valores possíveis para θ p desfasados de 90º, como se mostra na referida figura. Note-se
que as facetas com as orientações definidas pelos ângulos θ p e θ´p são facetas em que a
tensão tangencial ou de corte é nula, como se constata substituindo os valores de θp e θ´p
na expressão 5.4. Os planos definidos pelos referidos ângulos são planos principais e as
tensões actuantes nestes planos são tensões principais. As grandezas das tensões
principais obtêm-se substituindo os valores dos senos e cosenos dos ângulos θp e
θ´p definidos pela equação 5.8, na expressão 5.4, obtendo-se os valores máximos e
mínimos das tensões σ x´x´ :
+
( σ x´x´)max = σ xx σ yy ±
2
min
2
 σ xx − σ yy 
2

 + τ xy
2


(5.9)
Estas tensões são usualmente designadas por σ1eσ 2 correspondendo σ1 ao valor da
tensão principal máxima e σ 2 ao valor da tensão principal mínima. Estes valores também
podem ser calculados a partir do tensor das tensões calculando os valores próprios do
referido tensor.
4/9
τ
σ xx − σ yy
2
2
A
2θ´p
τxy
O
−τxy
2θp
 σ xx − σ yy 
 + τ2xy
OA = OB = 
2


τxy
sen 2 θP = −sen 2 θ´P =
2
 σ xx − σ yy 
σ
 + τ2xy

2


cos 2 θP = −cos 2 θ´P =
B
−
σ xx − σ yy
2
(σxx − σ yy)/ 2
2
 σ xx − σ yy 

 + τ2xy
2


Figura 5.2: Ângulos θp para as Tensões Principais.
2- Circunferência de Mohr
Considerando as fórmulas obtidas para as tensões no processo de mudança de
eixos, ou seja:
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
cos2θ + τ xysen2θ
+
σ x´x´ =
2
2
σ yy − σ xx
sen2θ + τ xycos2θ
(5.10)
τ x´y´ =
2
Estas equações podem ser escritas com a forma
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
=
cos2θ + τ xysen2θ
2
2
σ xx − σ yy
(5.11)
sen2θ + τ xycos2θ
τ x´y´ = −
2
Elevando ao quadrado as duas expressões, adicionando e simplificando, obtém-se:
σ x´x´ −
2
2

 σ xx − σ yy 
σ xx + σ yy 
2
2
 σ x´x´−
 + τ x´y´ = 
 + τ xy
2
2




(5.12)
5/9
Uma vez que as tensões no sistema de eixos Oxy são conhecidas e as tensões no sistema
de eixos Ox´y´são desconhecidas e variáveis, a equação anterior é equivalente à equação
de um círculo no plano σ,τ.
2
2

 σ xx − σ yy 
σ xx + σ yy 
2
2
 σ x´x´−
 + τ x´y´ = 
 + τ xy
2
2




(5.13)
Representa um círculo no plano (σ,τ), de raio b e coordenada do centro (a,0), ou seja:
( σ x´x´−a )
onde
a = OC =
2
+ τ 2x´y´ = b 2
σ xx + σ yy
2
2
 σ xx −σ yy 
2
b=R= 
 + τ xy

2


(5.14)
Os pontos E e F da Figura 5.3 representam as tensões principais σ1 e σ 2 .
As observações seguintes podem ser feitas no círculo de Mohr construído a partir das
tensões σ xx , σ yy, τ xy num ponto:
1 - As Tensões Principais são σ1 e σ 2 e ocorrem nos pontos F e E respectivamente. Para
estes valores das Tensões normais não existem tensões de Corte.
2- A tensão de corte mais elevada ocorre no ponto G e corresponde a τ max e é
numericamente igual ao raio do circulo ou igual a ( σ1 − σ 2 ) 2 . A tensão normal
correspondente é: ( σ1 + σ 2 ) 2 .
3- No caso de σ1 = σ 2 o círculo de Mohr degenera num ponto e não se desenvolvem
tensões de corte no ponto no plano Oxy.
4- No caso de ser σ xx + σ yy = 0 , o centro do círculo de Mohr coincide com a origem do
sistema de eixos Oστ e um estado de corte puro existe.
6/9
τ
σxx − σ yy
2
G
C
O
A( σxx , τxy )
2 θp
E
F
σ
B( σ yy ,− τxy )
2
 σxx −σ yy 

 + τ2xy
2


a = OC =
σxx + σ yy
2
Figura 5.3: Circulo de Mohr
3- Mudança de Eixos usando a Construção de Mohr
A transformação de um estado de tensão definido no sistema de eixos Oxyz
noutro correspondente a um sistema de eixos Ox´y´ pode ser feito recorrendo à aplicação
directa das equações de equilíbrio da estática como foi referido anteriormente usando as
equações 5.4,5.5 e 5.6. Pode facilmente fazer-se um programa para computador para
efeitos de utilização destas equações. É possível como foi referido construir o circulo de
Mohr e fazendo uso do referido circulo determinar as tensões no novo sistema de eixos.
7/9
Existe mais que um método para esse efeito, não vamos descrever todos os métodos
possíveis, mas somente o método que designaremos por método das facetas. Este método
pode ser facilmente justificado.
Começa por desenhar-se o círculo de Mohr a partir do conhecimento existente do estado
de tensão no Sistema de Eixos Oxy, σ xx , σ yy, τ xy e pretende determinar-se o estado de
tensão no plano a-a representado na figura 5.4. A posição do Centro está assinalada,
assim como o ponto A correspondente ao Estado de Tensão Inicial σ xx , σ yy, τ xy . É
possível mostrar que traçando uma paralela a a-a passando por A se obtém o ponto B
cujas coordenadas são as tensões σ x´x´, τ x´y´ na faceta que tem a orientação a-a e a qual
tem normal Ox´. Este método requer alguma justificação.
y
a
σ yy
x´
σx´x´
τx´y´
σxx
τxy
y´
σxx
A
a
θ
θ
B ( σ x´x´, τ x´y´)
x
O
C
σ xx + σ yy
2
2θp α
τxy
E
σ xx − σ yy
2
Figura 5.4: Mudança de Eixos
O ângulo ACE é como se viu anteriormente igual a 2 θ p . Por outro lado AB é
perpendicular a Ox´, dividindo ao meio o ângulo ACB, 2α, ou seja α = 2 θ p -θ.
Consequentemente o ângulo BCE é θ−α = 2θ- 2 θ p .
As tensões no novo sistema de eixos são, como se viu anteriormente, as seguintes:
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
+
cos2θ + τ xysen2θ
σ x´x´ =
2
2
τ x´y´ =
σ yy − σ xx
sen2θ + τ xycos2θ
2
8/9
Tendo em conta que
σ xx − σ yy
= R cos 2θ p
2
2
 σ −σ 
R =  xx yy  + τ 2xy
2 

as equações das tensões no novo sistema de eixos tomam a forma:
τ xy = Rsen2θ p
sendo
σ xx + σ yy
σ + σ yy
+ R ( cos 2θ pcos2θ + sen2θ psen2θ ) = σ x´x´ = xx
+ R cos ( 2θ − 2θ p )
2
2
ou seja
τ x´y´ = −R cos 2θpsen2θ + Rsen2θ pcos2θ = −Rsen(2θ − 2θp)
σ x´x´ =
Note-se que os segundos membros destas equações têm a ver com a posição do ponto B
na figura 5.4. Só há que ter em atenção a questão do sinal da tensão tangencial que é
contrário ao valor que tem na figura, mas se se estabelecer uma regra por forma a tornar
compatível o sinal então podemos utilizar a construção representada na figura 5.4 para
efeitos de obtenção das tensões de corte no novo sistema de eixos. A regra que se propõe
é a seguinte:
Se o ponto de intersecção da linha considerada a partir de A intersecta o círculo de Mohr
acima do eixo Oσ, as tensões de corte no elemento provocam um momento com o sentido
dos ponteiros do relógio, caso contrário provocam um momento com o sentido contrário
ao dos ponteiros do relógio.
5. Problemas Propostos - Circulo de Mohr
(Problemas a resolver nas Aulas Práticas)
1. Considere um estado de tensão plano cujas componentes das tensões são:
80 60
σi j = 60 20
a)Desenhe um elemento de dimensões infinitesimais, dx e dy e represente as tensões a
actuarem no elemento.
b)Desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão referido.
c)Indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao estado de tensão
que se obtém nas direcções x´ e y´ que fazem 40º no sentido dos ponteiros do relógio com
o sistema de eixos inicial.
d)Determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox´y´.
e) Determine as tensões principais.
2. Considere um estado de tensão plano cujas componentes das tensões são :
9/9
100 50 
=
 50 100 MPa
ij


a)Desenhe um elemento de dimensões infinitésimais , dx e dy e represente as tensões
a actuarem no elemento .
b)Desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão referido.
c)Indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao estado de tensão
que se obtém nas direcções x´ e y´ que fazem 35º no sentido contrário ao dos ponteiros do
relógio com o sistema de eixos inicial.
d)Determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox´y´.
e) Determine as tensões principais.
σ
3. Considere um estado de tensão plano cujas componentes das tensões são :
0 
20000
σi j =  0 − 5000 ps i
a) Desenhe um elemento de dimensões infinitésimais , dx e dy e represente as tensões
a actuarem no elemento .
b) Desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão referido.
c) Indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao estado de tensão
que se obtém nas direcções x´ e y´ que fazem 60º no sentido dos ponteiros do relógio com
o sistema de eixos inicial.
d) Determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox´y´
5- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo
- V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995,
Páginas
- Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill,
1989. Páginas.
- J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.
No Final da Aula deve estar capaz de Responder a questões tais como:
-
Deduza uma expressão que permita determinar o tensor das tensões no Sistema de
Eixos Ox´y´ a partir das tensões no sistema de Eixos Oxy.
Justifique a Construção de Mohr para um Estado Plano de Tensão.
Determine Graficamente as tensões no sistema de Eixos Ox´y´ conhecido o tensor
das Tensões no Sistema de Eixos Oxy.
Construa o círculo de Mohr para um Estado Uniaxial de Tensão.
etc.