II BIENAL DA SBM
06 A 11 DE NOVEMBRO DE 2006
Equações Paramétricas
z
E ...
x
y
z
Animação
x
y
ADELMO RIBEIRO DE JESUS
UCSAL/FJA - SALVADOR – BAHIA
2
INTRODUÇÃO1
Neste trabalho analisaremos as várias formas de apresentação das equações em Matemática, e nos
deteremos, em particular, na utilização de equações paramétricas em vários níveis de ensino. Estas
equações (as paramétricas) aparecem no Ensino Médio nas equações do movimento em Física,
onde o parâmetro t é o tempo. Em Matemática a situação é diferente, estas equações não são muito
utilizadas. Uma exceção ocorre na Geometria Analítica Plana, quando esta é lecionada através de
vetores. Mais precisamente, pretendemos:
• Apresentar (do ponto de vista da Matemática) as diferenças entre equações na forma explícita,
implícita e paramétrica.
• Justificar (em termos matemáticos e computacionais) as vantagens da utilização das equações
paramétricas em várias situações
• Utilizar as equações paramétricas para compreensão do aspecto de certas curvas no plano.
• Criar atividades de animação onde as equações paramétricas são inevitáveis.
Tendo em vista estas questões vamos enfatizar a importância das equações paramétricas em
Matemática, não somente para o que foi referido acima como para atividades mais interativas,
como animação em 2D e 3D. Por exemplo, a visualização da construção da ciclóide e da astróide
podem ser realizadas com certa facilidade quando se utilizam as equações paramétricas. De forma
análoga, é possível realizar a animação em 3D do espaço gerado por 2 vetores v1 e v2 , utilizando
as equações paramétricas (e parâmetros extras de animação).
Nossa abordagem será elementar, decepcionando talvez aqueles professores com nível matemático
mais avançado, porém nosso foco está voltado mais para a para a relação
Matemática x
Informática e de sua utilização em cursos do Ensino Médio à Pós-Graduação.
5
5
y
y
5
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
4
1
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
x
x
-4
y
-4
5
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
2
3
4
-4
5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
z
z
z
1
y
y
y
x
x
x
Adelmo Ribeiro de Jesus – Prof. dos Cursos de Matemática da UCSAL e FJA ; [email protected]
3
I. As Expressões que a Matemática Utiliza
Existem basicamente 04 formas de apresentar um vínculo, uma relação entre pontos do plano IR2.
A depender do caso, e da aplicação, é comum e cômodo utilizar uma ou outra dessas expressões.
São elas:
1. Forma Explícita y = f(x)
Estas representam a maioria das funções do Cálculo e Geometria, como y = ax+b, y=ax2+bx+c,
y = sen(x), y = ln(x), entre inúmeras outras. A grande vantagem dessa forma é que a variável
(dependente) y é dada, como o nome diz, explicitamente em relação à variável (independente) x.
Expressões desse tipo representam o que chamamos de “funções”. Dizemos frequentemente “y é
função de x”.
Dois bons motivos da popularidade da forma explícita estão em que:
(i) o gráfico associado é do tipo {(x, f(x)) ; x ∈ X } ; onde X é um subconjunto da reta chamado
domínio da função f. Isso significa geometricamente que a cada xo ∈ X fixado, a reta x = xo
intersecta o gráfico de f exatamente uma vez. Em geral, para cada xo ∈ IR fixo, a reta x = xo
intersecta o gráfico de f no máximo uma vez.
(ii) é relativamente fácil se traçar o gráfico dessa função, atribuindo certos valores à variável x e
encontrando (explicitamente) o valor f(x). Computacionalmente falando, fica extremamente
simples construir uma tabela com 100 pontos e obter os respectivos 100 valores f(x). Isso pode ser
feito com o Excel, por exemplo, ou um programa computacional como o Winplot.
x
f(x)=x2-4
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
5
2,25
0
-1,75
-3
-3,75
-4
-3,75
-3
-1,75
0
2,25
5
y
5
4
3
2
1
x
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
2
3
4
4
2. Forma Implícita F(x,y) = c
Nem sempre é possível obter uma relação explicita entre duas (ou mais) variáveis x, y. A forma
implícita F(x,y) = c às vezes é a única forma de se ter a relação entre elas. O exemplos mais
comuns são os polinomiais ax + by = c , x2 + y2 -2ax = 0 , x3+y3-3axy = 0, (x2+ y2)x – 2ay2 = 0.
As curvas associadas às duas primeiras expressões são uma reta, e um círculo que passa na origem
e centro (a, 0) . As outras duas curvas são o “folium de Descartes” e a “cissóide de Diocles”,
dadas nas figuras abaixo:
y
4
6
y
5
4
3
3
2
2
1
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−3
−2
−1
x
1
2
3
4
5
6
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−6
3. Forma Polar r = f(θ), ou F(r, θ) = 0
A forma polar se destaca por ser uma forma (quase sempre) explícita de relacionar pontos do
plano, embora seja utilizada de forma muito limitada em Matemática. Certas equações
complicadas se escrevem facilmente na forma polar, como por exemplo a equação de uma
circunferência x2 + y2 = c2, que se exprime na forma polar simplesmente por r = c. Uma reta de
equação y =ax que passa pela origem tem ângulo constante, ou seja, sua equação na forma polar
se torna θ =cte.
Outras curvas que são distinguidas na forma polar são as rosáceas. A equação
dessas curvas são dadas por r = a cos(nθ) . Geometricamente a é o raio do círculo onde ela se
inscreve e n é o “número” de pétalas da rosácea.
As rosáceas r = 3cos(4θ) e r = 3cos(5θ) têm as formas abaixo:
y
y
3
3
2
2
1
1
A
A
−3
−2
−1
1
2
3
4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
2
3
4
5
As aspas na palavra “número” querem indicar uma propriedade interessante destas curvas que veremos mais
adiante com o recurso da animação: Quando n é ímpar a rosácea tem exatamente n pétalas, mas quando n é par a
rosácea correspondente tem o dobro do número de pétalas.
As limaçons são dadas pela relação r = 1 + a cos(θ) . Quando -2 ≤ a ≤ 2 obtemos as curvas abaixo:
2
2
y
a = -1
y
1
1
x
−3
−2
−1
1
2
x
3
−2
−1
1
2
3
−1
−1
−2
2
y
2
a = 1
x
−1
1
2
3
x
−2
−1
1
−1
−1
a = 2
1
1
−2
y
2
3
6
4. Forma Paramétrica x= f(t) ; y = g(t)
Como dissemos anteriormente, as equações paramétricas são pouco utilizadas em Matemática,
principalmente no Ensino Médio. Achamos que esta atitude pode e deve ser revertida,
introduzindo-se mais cedo estas equações pelo menos nos casos mais simples de retas, parábolas,
circunferências, elipses.
Já no nível universitário estas equações assumem grande importância,
sendo utilizadas em Cálculo, Geometria Analítica, e principalmente em Geometria Diferencial.
A primeira grande vantagem das equações paramétricas é que elas se prestam a generalizações
para espaços de dimensão maior. Uma reta em 3D não tem uma expressão simples na forma
explicita ou implícita, pois é escrita como uma interseção de dois planos. Por outro lado, as
equações paramétricas desta reta são inteiramente análogas, pois derivam da mesma equação
vetorial P = Po + tv , como veremos a seguir:
A Equação de Uma Reta
Uma equação y = Ax + B pode ser “parametrizada”, ou seja, podemos exprimir as variáveis x e y
em função de outra variável t, chamada parâmetro. De fato, chamando x =t temos que y = Ax+B
x = t
.
 y = At + B
toma a forma 
Outra maneira de se obter uma reta na forma paramétrica é partir de sua equação vetorial P = Po +
tv , onde Po =( xo, yo) é um ponto fixo do plano e v = (a, b) o “vetor direção” da reta.
x = xo + a t
.
 y = yo + b t
Dessa equação obtemos as equações paramétricas da reta 
4
y
3
 x = −2 + 3 t
A reta de equação 
y = 1 + t
2
P = (-2,1)
v = (3,1)
1
x
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
x = xo + a t

No caso 3D a equação de uma reta se generaliza facilmente para  y = yo + b t
z = z + c t
o

z
P= (1,2,3)
y
x
x = 1 + 2 t

A reta de equação  y = 2 + 3 t
z = 3 + 2 t

7
Circunferências e Elipses
Dada uma circunferência de equação (x-xo)2 + (y-yo)2 = r2 é fácil mostrar que esta equação
 x = x o + r cos(t)
. Com efeito,
 y = yo + r sin(t)
implícita pode ser traduzida na forma paramétrica pelas equações 
fazendo x-xo = rcos(t) e y-yo = rsen(t) temos (x-xo)2 + (y-yo)2 = (rcos(t))2 +( rsen(t))2 = r2 .
 x = x o + a cos(t)
, a, b >0 definem elipses.
 y = yo + b sin(t)
Analogamente podemos verificar que 
4
y
3
2
1
x
−1
1
2
3
4
5
−1
II. Construção de Curvas Utilizando a Forma Paramétrica
As equações paramétricas são particularmente úteis quando queremos construir o traço de uma
curva C do plano, a fim de compreender melhor o movimento do ponto P = (x(t), y(t) ) da curva C.
Existem dois casos que podemos examinar: Um simples, caso particular, e o outro caso a situação
geral. São eles:
1) Curvas que iniciam na origem (0,0)
2) Curvas que iniciam em um ponto qualquer do plano
1º Caso: Curvas que iniciam na origem (0,0)
Dada uma curva y = f(x), 0 ≤ x ≤ b e f(0)=0, podemos inserir um parâmetro k de animação para
visualizar o seu traço. Para isso, devemos utilizar suas equações na forma paramétrica
x ( t ) = t

 y( t ) = f ( t ) , 0 ≤ t ≤ b
Exemplo 1: y = sen x , 0 ≤ x ≤ 2π
x ( t ) = t
As equações paramétricas dessa curva são 
. Usando no Winplot a
 y( t ) = sin( t ) , 0 < t < 2π
opção Equação|Paramétrica visualizamos a curva. Se quisermos visualizar continuamente o traço
dessa curva precisamos de um parâmetro extra, que chamaremos k.
8
x ( t ) = kt
A animação no Winplot é dada por 
 y( t ) = sin( kt ) , fazendo 0 ≤ t ≤ 2π
Usando a opção Anim | K e colocando 0 ≤ k ≤ 1 temos a animação abaixo:
y
y
y
1
1
1
x
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
7π/4
x
x
2π
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
7π/4
2π
π/4
−1
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
7π/4
2π
−1
−1
Exemplo 2: A função tangente y = tg(x) , 0 ≤ x ≤ 3π
x ( t ) = t
Equações paramétricas: 
 y( t ) = tg ( t ) , 0 < t < 3π
x ( t ) = kt
Digite 
 y( t ) = tan(kt ) ,
Animação no Winplot:
10
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0 < t < 3pi
y
10
8
6
4
2
x
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
x
7π/2
π/2
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−8
−10
y
π
3π/2
2π
5π/2
3π
x
π/2
7π/2
−8
π
3π/2
2π
5π/2
3π
7π/2
−2
−4
−6
−8
−10
−10
Exemplo 3: A ciclóide x(t) = t - sin(t), y(t)=1-cos(t) , 0 ≤ t ≤ 2π
A ciclóide é o lugar geométrico descrito por um ponto de um círculo de raio r que se desloca sobre
uma reta.
 x = r(t − sent)
As equações paramétricas da ciclóide são 
0 ≤ t ≤ 2π .
 y = r(1 − cos t)
9
A fim de construirmos o traço dessa ciclóide usamos um parâmetro extra “k” , ou seja, digitamos
 x = (kt − sin(kt))
onde faremos 0 ≤ t ≤ 2π ; 0 ≤ k ≤ 1

 y = (1 − cos(kt))
Note também que para efeito de visualização traçamos um círculo de centro em (a,1) e raio 1 de
equação (x-a)2 + (y-1)2 =1 e o ponto que descreve a curva P= (a-sin(a), 1-cos(a))
y
y
2
2
1
1
x
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
x
3π
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
3π
−1
−1
y
2
1
x
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
Quando animamos simultaneamente
os parâmetros a, k vemos o traço
da ciclóide sendo construído.
3π
−1
2º Caso: Curvas que iniciam em qualquer ponto do plano
x ( t ) = f ( t )
, a ≤ t ≤ b uma curva qualquer que liga P=(f(a), g(a)) a Q=(f(b), g(b)).
Seja 
 y( t ) = g (t)
A
parametrização (para animação contínua) neste caso é um pouco mais delicada, e é dada no
resultado abaixo.
x ( t ) = f ( t )
, a ≤ t ≤ b é uma curva C que liga o ponto P = (f(a), g(a)) ao ponto
Proposição: Se 
 y( t ) = g (t)
x ( t ) = f (a + k ( t − a ))
, a ≤ t ≤ b , 0 ≤ k ≤ 1 , fornece a
Q=(f(b), g(b)), então a reparametrização 
 y( t ) = g(a + k ( t - a))
construção da curva desde o ponto P até Q.
Prova: Observe inicialmente que t está fixado entre a e b. Introduzindo um novo parâmetro
τ = a + k (t-a), temos que:
 x ( t ) = f (a )
, que representa o ponto P.
ƒ Quando k = 0, temos τ = a . Logo, 
 y( t ) = g(a)
ƒ Quando τ = b , temos τ = a + 1(t-a) = a + (t-a) = t . Logo,
10
x ( t ) = f (a + k ( t − a )) = f ( t )
, que é toda a curva C.

 y( t ) = g(a + k ( t - a)) = g(t)
ƒ Para k fixo 0 < k < 1 temos τ = a + k(t-a). Quando t varia entre a e b, o parâmetro τ varia entre
x ( t ) = f ( t )
a e a+k(b-a)=(1-k)a+kb, gerando “curvas intermediárias” 
 y( t ) = g(t)
, a ≤ t ≤ a + k (b − a )
10
2
Exemplo 4: Construir a animação do gráfico y = x , - 2 ≤ x ≤ 3
9
Neste caso temos os pontos P = (-2, 4) e Q = (3, 9).
7
8
6
As equações paramétricas dessa parábola são :
x ( t ) = t

 y( t ) = t 2
(3, 9)
5
(-2,4)
4
3
2
, −2≤ t ≤3
1
−3
Usando a Proposição acima, temos que a reparametrização é dada
x ( t ) = −2 + k ( t + 2)
por 
 y( t ) = (−2 + k ( t + 2) ) 2
-2≤ t ≤ 3,
−2
−1
1
−1
2
3
4
0 ≤ k ≤1
A lógica dessa animação é a seguinte:
ƒ Quando k=0 temos x(t)=-2 e y(t) = 4. Logo, o programa só exibe o ponto P =(-2, 4).
ƒ Quando k = 1 teremos x(t) = -2 + (t+2) , ou seja, x(t) = t e y(t) = = (-2 + (t+2) )2 = t2 , que é a
curva y=x2 completa.
ƒ Os passos intermediários 0 < k < 1 nos dão as várias “gradações” da curva y=x2
9
(3, 9)
8
9
7
8
5
(-2,4)
4
3
2
2
1
1
−1
6
4
3
−2
7
5
(-2,4)
1
2
3
4
−3
−2
−1
3
2
1
1
−1
−1
Fig. 1
Fig. 2
(3, 9)
8
6
5
4
3
9
7
6
(-2,4)
10
(3, 9)
2
3
4
−3
−2
−1
−1
Fig. 3
1
2
3
4
11
Exemplo 5: y = sen x , - π/2 ≤ x ≤ 2π
x ( t ) = t
Solução: As equações paramétricas são 
π
 y( t ) = sin( t ) , - 2 < t < 2π
π
2
Neste caso a = − , f(t) =t, g(t) = sin(t)
O parâmetro τ fica então τ = −
Logo,
π
π
π
π
+ k ( t − (− ) ) = - + k ( t + )
2
2
2
2
x ( t ) = - π + k ( t + π )

2
2
é a reparametrização procurada.

π
π )) , - π ≤ t ≤ 2π
=
+
+
y
(
t
)
sin(
k
(
t

2
2
2
2
y
2
1
y
1
x
−π/ 2
π/ 2
π
3 π/ 2
2π
x
−π/ 2
π/ 2
π
3 π/ 2
2π
−1
−1
As equações paramétricas nos ajudam a entender melhor o traço de algumas curvas, como o
exemplo abaixo.
Exemplo 6: O “folium de Descartes” x3+y3-3axy = 0 tem o aspecto de uma folha, como na figura
abaixo. Fazendo a mudança de variáveis t =
y
, ou seja, y = tx, obtemos:
x
3 y
x3+(tx)3-3ax(tx) = 0 , ou seja, x2 [ x(1+t3) – 3at ] = 0 .
2
1
x
Logo, supondo x ≠0 ficamos com x =
3at
1 + t3
−3
.
−2
−1
1
2
3
−1
−2
3at

x =
1 + t3

As equações paramétricas do folium são: 
;
2
3at
y =

1 + t3

−3
-∞ < t < +∞
Esta curva não está definida para t=-1. Para compreender melhor como é descrita essa curva
observe que:
12
3t
(i) lim x(t) = lim
t →−∞ 1 +
t →−∞
t
(ii) lim x(t) = +∞ e
=0
3
+
lim y(t) = lim
e
3t 2
t →±∞ 1 +
t →−∞
t
= 0− .
3
lim y(t) = −∞
t →−1−
t →−1−
iii) Também, lim x(t) = −∞ e
lim y(t) = +∞
t →−1+
t →−1+
 x(t) = 0
(iv) Em t=0 temos 
 y(t) = 0
3t
(v) lim x(t) = lim
t →+∞ 1 +
t →+∞
t
3
= 0+ e
3t 2
lim y(t) = lim
t →+∞ 1 +
t →+∞
t
= 0+ .
3
Resumindo, temos:
• Para valores de t ∈ (- ∞, -1) o traço vai da origem (0,0) a (+∞, -∞) no 2º quadrante (veja o
traço vermelho na figura).
• Logo após t=-1 a curva passa (descontinuamente) para o 3º quadrante (-∞, +∞) e tende a zero
quando t → 0. Dessa forma, para t ∈ (-1, 0) a curva vem de (-∞, +∞) até (0,0) ( cor verde).
• Entre t=0 e t =+∞ a curva descreve a folha, no 1º quadrante (cor azul).
y
y
y
2
2
1
1
2
1
−2
−1
1
x
x
x
−2
2
−1
1
−2
2
−1
1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
3 y
2
1
x
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
−3
−2
−1
1
−1
−2
3
2
3
2
13
Exemplo 7: Vejamos como usar equações paramétricas para construir o traço da astróide.
 x = r cos3 t
As equações paramétricas de uma astróide genérica são 
0 ≤ t ≤ 2π
 y = r sen 3 t
Essa curva é descrita por um ponto de um círculo de raio r/4, tangente interior a um círculo de raio
r, que gira sem escorregar.
5
y
4
3
Tomando a equação desse círculo x2+y2=16 (raio 4) temos que o círculo
2
1
x
gerador tem raio 1 e tangencia o círculo maior. Logo sua equação é (x-3)2 +
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
y2=1 , como na figura ao lado.
-2
-3
-4
O centro desse círculo gira em torno de um círculo de raio 3, logo a equação desse ponto genérico
é P= (3cos(a), 3sin(a)) .
Conseqüentemente o círculo gerador tem equação (x-3cos(a))2+(y-3sin(a))2 = 1
Para efeito da animação introduzimos outro parâmetro “b” na equação da astróide e ficamos com
 x = 4(cos(bt))3
0 ≤ t ≤ 2π ; 0 ≤ b ≤ 1

3
y
=
4
(sin(bt))

Feito isso, selecionamos a opção Anim|Simultânea do Winplot e digitamos A, B na lista de
parâmetros. Colocando agora 0 < a <2 π Anim|Individuais|A e 0 < b< 1 em Anim|Individuais|B
obtemos o efeito abaixo.
y
y
y
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
14
III. A Forma Paramétrica para Animação em 3D
Exemplo 8: Abaixo vemos uma animação da curva interseção de um cilindro x2+y2 =1com o plano
 x = cos(mt)

y = sin(mt) 0 ≤ t ≤ 2π ; u ∈ R

z = -x+y . Utilizando as equações paramétricas para o cilindro 
z = u
onde o parâmetro “m” varia entre 0 e 1 podemos ver o cilindro sendo construído.
Da mesma forma, a interseção do cilindro com o plano z = -x+y tem equações paramétricas
 x = cos(kt)

0 ≤ t ≤ 2π ; 0 ≤ k ≤ 1
 y = sin(kt)
z = − cos(kt) + sin(kt)

Procedendo analogamente com a opção Anim|M e Anim|K pode-se ver o cilindro sendo construído
concomitantemente com sua interseção com o plano.
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z
z
v1=(1, 2, 3)
v1=(1, 2, 3)
z
y
y
x
x
v2=(1, 1, -2)
v1=(1, 2, 3)
y
x
v2=(1, 1, -2)
v2=(1, 1, -2)
O plano gerado pelos vetores v1= (1,2,3) v2=(1,1,-2) tem equação vetorial P =t v1+ u v2 onde t, u
são números reais. Como P = (x,y,z) as equações paramétricas deste plano são
x = t + u

 y = 2t + u
z = 3t − 2u

t , u∈R
 x = ct + du

y = 2ct + du ; 0 ≤ c, d ≤ 1

A animação desse subespaço é dada então por 
z = 3ct − 2du
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Exemplo 10: Animação de um helicóide no espaço
O helicóide é a superfície obtida pela união das semiretas que passam por um ponto P da hélice e
são perpendiculares ao eixo Oz. Tomando as equações paramétricas do helicóide na forma
 x = sinh(u) cos(t)

 y = sinh(u) sin(t) ; 0 ≤ t ≤ 2π ; -2 ≤ u ≤ 2
z = t

z
podemos fazer uma passagem desta superfície para o catenóide abaixo.
y
x
O catenóide é obtido pela rotação da curva x=coshy em torno do eixo Oz. Suas equações
 x = − cosh(u) sin(t)

y = cosh(u) cos(t) ; 0 ≤ t ≤ 2π; -2 ≤ u ≤ 2
paramétricas são 
z = u
z
x
As equações que permitem passar do catenóide para o helicóide são:
 x = cos(a) sinh(u) cos(t) − sin(a) cosh(u) sin(t)

 y = cos(a) sinh(u) sin(t) + sin(a) cosh(u) cos(t) ; 0 ≤ a ≤ 2π
z = cos(a)t + sin(a)u

Observe que quando a = 0 temos o helicóide e quando a=2π temos o catenóide.
y