Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Sugestões de Questões para a OMU
1
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 1 Um pedaço de barbante de comprimento L é cortado em duas partes, uma
delas sendo dobrada na forma de um triângulo equilátero e a outra parte dobrada na forma
de uma circunferência. Determine como deve ser cortado o barbante para que a soma das
áreas das duas figuras geométricas seja
(a) a maior possı́vel.
(b) a menor possı́vel.
Questão 2 Em um supermercado estão latas de creme de chocolate na forma de cilindros
circulares retos de dois tamanhos. A primeira lata é duas vezes mais alta que a segunda lata,
mas a segunda lata tem um diâmetro duas vezes maior que a primeira lata. Se a segunda lata
custa duas vezes mais que a primeira lata, qual delas é mais vantajoso comprar? Justifique
sua resposta.
Questão 3 Considere os seguintes conjuntos
X = IR+ ∪ {0} ,
Y = { y ∈ IR / y ≥ 1 }
e
Z = IR+ ∪ {0} .
onde IR+ = { x ∈ IR / x > 0 }.
Sejam as funções f : X −→ Y definida por f (x) = x + 1 e g : Y −→ Z definida pela
regra g(x) = x2 − 1. Verifique se a aplicação g ◦ f é uma bijeção entre X e Z . Em
caso afirmativo, determine a função inversa (g ◦ f )−1 : Z −→ X .
Questão 4 Considere o polinômio p(x) dado pela regra funcional
p(x) = θ x( σ − x )( µ − x )2 ,
com θ > 0 e µ > σ > 0. Esboce o gráfico do polinômio p(x) para todo x ≥ 0.
Questão 5 Determine dois números reais positivos cuja soma seja S e cujo produto seja
o maior possı́vel. Dê uma interpretação geométrica.
2
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 6 Determine as soluções do seguinte sistema de equações algébricas

 −x + y = −1
 2x2 − y =
4x
Dê uma interpretação geométrica para o conjunto solução.
Questão 7 Sejam x e y números reais tais que
x2 + y = 1 .
Determine o valor mı́nimo da variável z dada por:
z = x2 + y 2 .
Questão 8 Um silo tem o formato de um cilindro circular reto com um topo no formato de
metade de uma esfera. Se a altura total do silo é de 32 m e o volume total é de 1080 π m3 ,
determine o raio do cilindro, sabendo que
4πr3
Ve =
3
e
Vc = πr2 h ,
onde Ve é o volume da esfera e Vc é o volume do cilindro circular reto, com r o raio da
esfera e h a altura do cilindro. Esse problema tem solução única? Justifique sua resposta.
Questão 9 Ao chegar a um aeroporto, um turista informou–se sobre locação de automóveis
e organizou as informações apresentadas na tabela abaixo.
Opções
Diária
Preço por km rodado
Locadora A
Locadora B
Locadora C
R$ 90, 00
R$ 60, 00
R$ 160, 00
R$ 0, 40
R$ 0, 80
quilometragem livre
(a) Determine a regra que define o preço da locação em função da quantidade de quilômetros
rodados em cada uma das locadoras.
(b) A partir de quantos quilômetros rodados deve o cliente preferir a Locadora A ao invés
da Locadora B?
(c) A partir de quantos quilômetros rodados deve o cliente preferir a Locadora C?
3
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 10 Em um vasilhame com capacidade para um litro, preparamos uma mistura
de 32 mL de uma certa substância tóxica e água pura. Considere o seguinte processo,
retiramos 250 mL de água contaminada do vasilhame e colocamos 250 mL de água pura
no vasilhame. Repetindo esse processo quatro vezes, quantos mililitros da substância tóxica
restam no vasilhame?
Questão 11 Considere um sorteio de amigo secreto com N pessoas.
(a) Quantos sorteios distintos existem?
(b) Considerando N = 5, do total de sorteios possı́veis, quantos são aqueles em que
nenhuma pessoa sorteou a si mesma?
Questão 12 Uma seqüência de Fibonacci é uma seqüência de números reais
( a1 , a 2 , · · · , a n , · · · )
na qual os dois primeiros termos, a1 e a2 , são escolhidos arbitrariamente e os termos
seguintes são determinados como sendo a soma dos dois termos anteriores, isto é,
a3 = a1 + a2
a4 = a2 + a3
..
.
an = an−2 + an−1
(a) Determine uma seqüência de Fibonacci que tenha o sexto termo, a6 , igual a 52.
(b) Determine uma seqüência de Fibonacci, distinta da escolhida no item anterior, que
também tenha o sexto termo, a6 , igual a 52, mas cujo primeiro termo, a1 , seja um
número negativo.
Questão 13 Considere um cı́rculo circunscrito em um quadrado de lado L.
(a) Determine a área desse cı́rculo.
(b) Se o lado do quadrado sofre um aumento de 20 %, determine o aumento na área do
cı́rculo.
4
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 14 Determine os valores do número

a

A = 1
0
real a de modo que a matriz A dada por:

1 0

a 1 .
1 a
seja invertı́vel.
Questão 15 Considere P = (x, y) um ponto genérico do plano cartesiano IR2 , e uma
transformação do plano que leva o ponto P no ponto P 0 = (x0 , y 0 ) dada da seguinte forma:
x0 = ax + by
y 0 = cx + dy
Sabendo que o triângulo ABC de vértices
A = (2, 1) ,
B = (2, 3)
e
C = (3, 3)
foi transformado, pela transformação definida acima, no triângulo A0 B 0 C 0 de vértices
A0 = (1, −4) ,
B 0 = (3, −4)
e
C 0 = (3, −6) ,
determine os parâmetros a , b , c e d que definem essa transformação do plano.
Questão 16 Determine os valores do número real a


ax + y



x + ay + z




y + az
de modo que o sistema linear
= 0
= 0
= 0
possua somente a solução trivial, isto é, x = y = z = 0.
Questão 17 Determine os números reais a e b tais que
100
X
ik = a + bi ,
k=0
onde i =
√
−1 é a unidade imaginária.
5
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 18 Faça a representação gráfica no plano complexo do seguinte subconjunto
S = {z ∈ C / z + z = 1}.
Questão 19 Divide–se um segmento de comprimento L em três partes iguais e retira–se a
parte central. Para cada um dos segmentos restante repete–se o processo, retirando–se suas
partes centrais, e assim sucessivamente. Calcular a soma dos comprimentos dos segmentos
retirados.
Definição 1 Dois números reais a e b estão numa proporção áurea quando
a
a+b
=
,
a
b
isto é, quando a razão entre a + b e a é a mesma que a razão entre a e b.
Questão 20 Um pedaço de Barbante de comprimento 4L é divido ao meio. Com uma das
partes forma–se um quadrado e, com a outra parte forma–se um retângulo áureo, isto é, um
retângulo cujos lados estão na proporção áurea. Determine a razão entre a área do retângulo
e a do quadrado.
Questão 21 Considere duas seqüências de Fibonacci
( a1 , a 2 , · · · , a n , · · · )
e
( b1 , b 2 , · · · , b n , · · · ) .
(a) Mostre que a soma de duas seqüências de Fibonacci é também uma seqüência de Fibonacci, isto é, a seqüência
( a1 + b 1 , a 2 + b 2 , · · · , a n + b n , · · · )
é uma seqüência de Fibonacci.
(b) Mostre que a multiplicação de uma seqüência de Fibonacci por um escalar real é também
uma seqüência de Fibonacci, isto é, a seqüência
( λa1 , λa2 , · · · , λan , · · · )
é uma seqüência de Fibonacci, onde λ é um escalar real.
6
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 22 Represente graficamente e determine a área da região do plano cartesiano cujos
pontos satisfazem simultaneamente as seguintes desigualdades


 2x − y ≤ 8
x − y ≥ 0


x + y ≥ 4
Utilize o sistema de coordenadas cartesianas da Figura 1 para fazer a representação da região.
y
6
8
6
4
2
0
- x
2
4
6
8
Figura 1: Representação gráfica da região da Questão 22.
Questão 23 Determine o subconjunto dos números reais que satisfaz a desigualdade
x−2
3+1
+
≥ x.
5
3
7
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 24 Determine o subconjunto dos números reais que satisfaz a desigualdade
max{ x + 1 , 5 − x } ≥ 2x − 3 .
Questão 25 A população brasileira no ano de 2009 é estimada em, aproximadamente,
190 milhões de habitantes. A taxa de natalidade no paı́s é de 2 % ao ano. Isto significa
que em média nascem no paı́s, em um ano, 2 bebês para cada 100 habitantes. Embora
caindo rapidamente nos últimos anos, a taxa de mortalidade infantil ainda é de 20 por mil,
indicando que de cada mil crianças nascidas, 20 morrem antes de completar um ano. Nos
paı́ses socialmente mais desenvolvidos esta taxa é de 5 por mil.
(a) Quantos crianças nascerão neste ano de 2009 no Brasil?
(b) Destas, quantas morrerão antes de completar um ano?
(c) Quantas destas não morreriam se a taxa fosse de 5 por mil?
Questão 26 A cidade de São Paulo tem 10 milhões de habitantes e o seu consumo médio
de água é de 340 litros por habitante por dia. A vazão média do Rio S. Francisco ao longo
de um ano é igual a 1.800 m3 /s. O consumo anual total de água da cidade de S. Paulo
corresponde a que percentagem da vazão total do Rio S. Francisco em um ano?
Questão 27 Dois números reais a e b estão numa proporção áurea quando
a
a+b
=
= θ,
a
b
onde a constante positiva θ é denominada de número de ouro, ou número áureo.
Determine o valor da constante θ.
Questão 28 Considere a seguinte seqüência de Fibonacci
( 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , · · · ) .
Mostre que o número áureo pode ser aproximado pela divisão do
seqüência de Fibonacci pelo termo anterior, isto é,
θ ≈
n–ésimo termo dessa
an
.
an−1
Observe que essa aproximação fica cada vez melhor quando tomamos n cada vez maior.
8
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 29 Mostre que
forma
√
2 não é um número racional, isto é, não pode ser escrito na
p
,
q
onde p e q são números inteiros, com q 6= 0.
Questão 30 A soma de quatro números pares consecutivos é igual a 140. Determine esses
números.
Questão 31 Determine a equação na forma canônica da reta r que passa pelo ponto
P = (1, 2) e é perpendicular à reta s definida pela equação 3x + y + 1 = 0.
Questão 32 Sejam n um número natural e o polinômio p(x) = xn+1 − xn − 1.
(a) Determine o valor de n de modo que o resto da divisão do polinômio p(x) por x − 2
seja igual a r = 7.
(b) Determine o resto da divisão do polinômio p(x) por x + 1 quando n é ı́mpar.
Questão 33 Determine os valores dos parâmetros a , b e c de modo que as funções
polinomiais p : IR −→ IR e q : IR −→ IR, definidas pelas regras funcionais
p(x) = ( a + b ) + ( a + b + c )x + ( b − c )x2
,
q(x) = 1 + 4x − x
2
sejam funções polinomiais idênticas.
Questão 34 Que poliedro tem por vértices os centros das faces de um cubo? Faça um
desenho do cubo e do poliedro resultante.
Questão 35 Que poliedro tem por vértices os centros das faces de um tetraedro regular?
Faça um desenho do tetraedro e do poliedro resultante.
Questão 36 Considere um poliedro convexo de 18 arestas e 10 vértices que possui
somente faces triangulares e pentagonais. Determine o número de faces de cada tipo.
Questão 37 Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares no espaço
Euclidiano? Justifique sua resposta.
9
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 38 Cortando–se um cubo por um plano obtemos um hexágono regular conforme
Figura 2, onde A , B , C , D , E , F são pontos médios de arestas. Se o perı́metro do
√
hexágono é 12 2 , calcular a área da superfı́cie lateral do cubo e a area da secção hexagonal.
Figura 2: Representação gráfica da Questão 38.
Questão 39 Na Figura 3, desenhar uma secção pentagonal do cubo.
Figura 3: Representação gráfica da Questão 39.
10
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 40 Considere um octaedro regular ABCDEF de aresta a. O octaedro é formado
por duas pirâmides iguais cuja base comum é um quadrado de lado a. Seja G a projeção
do ponto E na base comum ABCD, veja Figura 4.
(a) Calcule a medida do segmento AG.
(b) Calcule a medida do segmento EG.
(c) Calcule o volume da pirâmide de base quadrangular ABCDE.
(d) Calcule o volume do octaedro regular ABCDEF de aresta a.
Figura 4: Representação gráfica da Questão 40.
Questão 41 Determine os planos de simetria das seguintes figuras geométricas:
(a) tetraedro regular.
(b) cilindro de revolução.
Questão 42 A que distância da base de uma pirâmide de altura h deve ser conduzido um
1
plano paralelo à base de modo que a área da secção determinada seja
da área da base?
3
11
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 43 Um tablete de doce de leite medindo 12 cm por 9 cm por 6 cm, está coberto
com papel alumı́nio. Esse tablete é dividido em cubos de 1 cm de aresta, veja Figura 5.
(a) Quantos desses cubos não possuem nenhuma face coberta com papel alumı́nio?
(b) Quantos desses cubos possuem apenas uma face coberta com o papel alumı́nio?
(c) Quantos desses cubos possuem exatamente duas faces cobertas com papel alumı́nio?
(d) Quantos desses cubos possuem três faces cobertas com papel alumı́nio?
Figura 5: Representação gráfica da Questão 43.
Questão 44 Quando duas torneiras atuam em conjunto, enchem um tanque em duas horas.
Atuando sozinhas, a segunda torneira gasta uma hora a mais que a primeira torneira para
encher o mesmo tanque. Determine o tempo necessário para cada torneira encher o tanque,
quando atuando sozinhas.
Questão 45 Considere os seguintes números reais distintos
x0 = 0 ,
x1 = 1
e
x2 = 2 ,
determine o polinômio p(x) de grau ≤ 2 que assume nesses pontos os valores
p(x0 ) = 1 ,
p(x1 ) = −1
e
p(x2 ) = 1 .
Questão 46 Mostre que todo polinômio de grau ı́mpar possui ao menos um zero real, isto
é, existem números reais x1 e x2 tais que p(x1 ) < 0 e p(x2 ) > 0.
12
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 47 Dadas as matrizes
 
a
h
i
 
X = 2 , Y = −1 b 2
1
e
 
3
 
Z = 2 .
1
Determine os valores dos parâmetros a e b tal que Y X = 0 e Y Z = 1.
Questão 48 Determine um número real λ tal que AX = λX, onde
"
#
" #
2 1
1
A =
e
X =
.
1 2
1
Questão 49 Considere a matriz A dada por:
"
#
3 −2
A =
.
−2
3
Determine todas as matrizes X de ordem 2 × 1, isto é,
" #
a
X =
,
b
de modo que AX = 5X.
Questão 50 Sejam f : IR −→ IR uma função crescente e g : IR −→ IR uma função
decrescente. Mostre que a função h : IR −→ IR definida pela regra h(x) = (f ◦ g)(x) é
uma função decrescente.
Questão 51 Sejam X , Y subconjuntos de IR e f : X −→ Y uma bijeção e crescente
em X . Mostre que a função inversa f −1 : Y −→ X é uma função crescente em Y .
Questão 52 Determine o subconjunto de IR que satisfaz a seguinte desigualdade
| x − 1 | ≤ 4 − 2x .
Questão 53 Determine o conjunto solução da equação modular
|x − 2| = mx + 1,
em função do parâmetro m. Faça uma representação gráfica.
13
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 54 Determine se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira.
“Existe um número real x tal que | x − 1 | = x − 2”
Justifique sua resposta.
Questão 55 Determine se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira.
“Para todo x > 0 existe um número real y > 0 tal que | 2x + y | = 5”
Justifique sua resposta.
Questão 56 Determine se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira.
“A soma de qualquer número real positivo com o seu recı́proco é maior ou igual a dois”
Justifique sua resposta.
Questão 57 Numa casa, com 8 moradores, o consumo de água no mês de março foi de
58 metros cúbicos. A tarifa da água na cidade, em R$/m3 , varia de forma escalonada,
conforme a tabela abaixo.
Consumo em m3
até 10
de 11 a 15
de 16 a 20
de 21 a 25
de 26 a 30
de 31 a 50
acima de 50
Tarifa em R$/m3
R$ 14, 11 fixo
2, 61
2, 68
2, 74
3, 36
3, 60
5, 49
(a) Qual foi a conta de água desta casa no mês de março?
(b) Rateando uniformemente a conta entre os moradores, qual foi a despesa média desta
casa, por morador, em R$/dia?
Questão 58 Mostre que
(a) entre três inteiros consecutivos quaisquer, exatamente um deles é divisı́vel por 3.
(b) entre k inteiros consecutivos quaisquer, exatamente um deles é divisı́vel por k.
Questão 59 Qual é o menor múltiplo de 17 que começa com 1234?
14
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 60 Os três mosqueteiros (portanto quatro pessoas) deixaram suas botas no corredor do albergue. D’Artagnan se levanta primeiro e pega duas botas ao acaso. Calcule as
probabilidades de que:
(a) as duas botas sejam as suas,
(b) as duas botas formem um par (um pé direito e um pé esquerdo),
(c) as duas botas sejam de pé direito,
(d) as duas botas pertençam a duas pessoas diferentes.
Questão 61 O padre faz sua visita à organista, como todo domingo, depois da missa. Sua
brası́lia está equipada com um limpador de pára–brisas que se recusa a funcionar uma vez
em dez. Nesta época do ano, chove três dias em quatro. Calcule a probabilidade de que a
organista o veja chegar acionando o limpador de pára–brisas com uma mão e segurando o
volante com a outra.
Questão 62 O avô tem três boinas e um boné. Quando ele vai na padaria, ele escolhe um
deles ao acaso. Supondo que uma vez em três, ele compra pão de fôrma e que duas em cinco,
ele esquece de colocar seus sapatos, calcule a probabilidade de vê–lo voltar da padaria: de
chinelo, com uma boina e com pão que não seja de fôrma.
Questão 63 Os estudos morfológicos da Vênus de Milo mostram que há cinco chances em
sete de que ela seja destra, e duas chances em sete de que ela seja canhota. Se ela for destra,
há três chances em cinco de que ela esteja descascando cenouras, e duas chances em cinco de
que ela esteja descaroçando azeitonas. Se for canhota, há uma chance em duas que ela esteja
descascando cenouras, e uma chance em duas de que ela esteja descaroçando azeitonas.
(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja descaroçando azeitonas.
(b) As novas descobertas sobre o lugar arqueológico da estátua permitem afirmar sem sombra de dúvidas que ela estava descaroçando azeitonas. Calcule a probabilidade de que
ela seja canhota.
15
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 64 João e Maria jogam aos dados no balcão do bar Canaan. Uma discussão surge
sobre dois problemas:
• Por que obtemos mais lançamentos de três dados com soma 11 que com soma 12,
ao passo que temos o mesmo tanto de combinações para obter ambos os resultados?
• É mais freqüente obter um 6 lançando um dado quatro vezes que obter um par de 6
lançando dois dados 24 vezes?
João se volta para o seu vizinho da direita, um tal de Blaise Pascal, para perguntar sua
opinião. Estabelecendo os diferentes conjuntos de eventos, re–obtenha o raciocı́nio de Pascal.
Questão 65 As meias da Camila não estão todas secas. Somente seis estão secas, duas
pretas e quatro brancas. Ela pega duas ao acaso.
(a) Calcule a probabilidade de que ela pegue duas meias da mesma cor.
(b) Ela pega três ao acaso, calcule a probabilidade de que sejam três brancas.
Questão 66 Altamirando colocou dez notas de dez reais em seu bolso esquerdo, das quais
quatro são falsas. No bolso direito, colocou sete notas de dez reais, todas verdadeiras. Na
máquina de café, ele pega uma nota ao acaso de seu bolso esquerdo, mas percebe que a
máquina só aceita fichas. Põe a nota no bolso direito e se dirige à máquina que aceita
dinheiro. Ele pega uma nota ao acaso de seu bolso direito. Calcule a probabilidade de que a
nota seja falsa.
Questão 67 Determine dois números reais tais que a soma é igual a 40 e a diferença de
seus quadrados é igual a 520.
Questão 68 Considere um triângulo em que o menor ângulo é a metade do maior ângulo,
e o menor ângulo mais o maior ângulo é duas vezes o terceiro ângulo. Determine os ângulos
desse triângulo.
Questão 69 Considere uma circunferência de raio r = 10 m. Determine o raio de uma
segunda circunferência cujo perı́metro é 1 m maior que o perı́metro da primeira circunferência.
Questão 70 Uma determinada empresa pretende financiar R$ 25.000, 00, uma parte com
juros de 5% e uma outra parte com juros de 10%. Quanto deve ser financiado em cada
situação, se a empresa deseja pagar somente 8% de juros?
16
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 71 Considere o triângulo ABC de vértices
A = (−1, 0) ,
B = (1, 0)
e
C = (0, 3) .
Determine a equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
Questão 72 Mostre que dentre todos os triângulos de perı́metro L , o triângulo de maior
área é o triângulo equilátero.
Questão 73 Mostre que dentre todos os retângulos de perı́metro L, o retângulo de maior
área é o quadrado.
Questão 74 João ganhou 120 reais pelo seu aniversário de 10 anos. Em cada mês passado
seu aniversário de 10 anos, ele recebe 3 reais por ajudar sua mãe a recolher as roupas do
varal. Maria, sua prima de mesma idade, ganhou 100 reais no aniversário e a cada mês
passou a receber 7 reais, por auxiliar seu pai na limpeza do jardim. Ambos acumulam o
presente e as recompensas mensais em seus respectivos cofres. Existem quantias que serão
acumuladas por ambos, embora em tempos distintos. Por exemplo, após 40 meses João terá
acumulado 240 reais, a mesma quantia que Maria acumulará em 20 meses. Qual a menor
quantia igual que ambos terão?
Questão 75 Para quais valores de a e b o número complexo a + bi, onde i =
solução da equação z 4 = 1?
√
−1, é
Questão 76 Considere um polı́gono regular de 9 lados inscrito em uma circunferência.
Escolhendo três vértices distintos deste polı́gono formamos um triângulo. Escolhendo estes
três vértices ao acaso, qual é a probabilidade do centro da circunferências estar contido no
interior desse triângulo?
Questão 77 Seja C um semi–cı́rculo com diâmetro LM . Seja P um ponto deste diâmetro
tal que o comprimento do segmento LP é igual a 3 e o comprimento do segmento P M
é igual a 1. Considere a perpendicular ao diâmetro LM passando por P e seja D o
ponto de intersecção dessa perpendicular com o semi–cı́rculo C. Calcule o comprimento do
segmento P D.
17
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 78 Seja C um semi–cı́rculo com diâmetro LM . Seja P um ponto deste diâmetro
tal que o comprimento do segmento LP é igual a α e o comprimento do segmento P M
é igual a β. Considere a perpendicular ao diâmetro LM passando por P e seja D o
ponto de intersecção dessa perpendicular com o semi–cı́rculo C. Calcule o comprimento do
segmento P D em termos dos parâmetros α e β.
Questão 79 Seja C um semi–cı́rculo com diâmetro LM . Seja P um ponto deste diâmetro
tal que o comprimento do segmento LP é igual a α e o comprimento do segmento P M
é igual a β. Considere a perpendicular ao diâmetro LM passando por P e seja D o
ponto de intersecção dessa perpendicular com o semi–cı́rculo C. Calcule a razão entre os
d e P
d
arcos LD
D do semi–cı́rculo C.
Questão 80 Considere todos os números inteiros de quatro algarismos distintos, formados
exatamente pelos algarismos 1, 2, 3 e 4. Quantos números existem com esta caracterı́stica?
Qual a soma de todos estes números?
Questão 81 Determine o centro e o raio da circunferência passando pelos pontos A , B e
C marcados no reticulado da Figura 6. Considere que o lado de cada quadrado do reticulado
tem comprimento 1 uc, onde uc é uma unidade de comprimento.
u
C
u
A
B
u
Figura 6: Representação gráfica da circunferência da Questão 81.
18
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 82 Considere um tabuleiro similar ao de xadrez, com quatro quadrados de lado,
um total de 16 casas, e um conjunto de 8 peças de dominó, cada uma delas do tamanho
exato de duas casas do tabuleiro. É possı́vel cobrir o tabuleiro com as 8 peças de dominó,
sem quebra–las, sem sobreposição de peças, sem espaços vazios e sem peças sobrando, e
neste caso dizemos que o tabuleiro foi coberto pelo dominó. Retire as casas 1A e 4B do
tabuleiro. Ainda é possı́vel cobrir o tabuleiro com 7 peças do dominó? Se puder substituir a
casa 4B por outra casa qualquer, quais as casas que retiradas permitirão cobrir o tabuleiro
com as 7 peças do dominó?
D
C
B
A
1
2
3
4
Figura 7: Representação do tabuleiro da Questão 82.
Questão 83 Se o raio de um cı́rculo tem um aumentado em 25 %, qual a porcentagem de
aumento da área do cı́rculo?
Questão 84 Determine todos os valores inteiros de x são tais que
2
x − 5x + 2 ≤ 4
Justifique sua resposta.
19
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 85 Marque no reticulado da Figura 8 o centro da circunferência circunscrita
no retângulo ABCD. Determine o raio da circunferência considerando que o lado de cada
quadrado do reticulado tem comprimento 1 uc, onde uc é uma unidade de comprimento.
C
u
u
u
u
A
D
B
Figura 8: Representação gráfica da circunferência da Questão 85.
Questão 86 Mostre que o triângulo cujos lados medem 20 uc , 21 uc e 29 uc, onde uc é
uma unidade de comprimento, é um triângulo retângulo. Calcule o raio da circunferência
inscrita nesse triângulo.
Questão 87 Visto da janela do segundo andar de uma casa o topo de um prédio em frente,
do outro lado da rua, tem um ângulo de elevação de 47, 20 graus, enquanto que sua base
tem um ângulo de depressão de 29, 30 graus. Se a distância entre a casa e o prédio é 13 m,
determine a altura do prédio.
Questão 88 Três números naturais consecutivos são elevados, respectivamente, às potências
1, 2 e 3. Os resultados são somados obtendo–se um quadrado perfeito, cuja raı́z quadrada
é a soma dos 3 números iniciais. Encontre esses 3 números.
20
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 89 Encontre todas as raı́zes da equação polinomial dada por:
x2 2x 1
x x+1 1 = 0.
1
2
1
Questão 90 Sejam
a1 , a 2 , · · · , a n
e
b1 , b 2 , · · · , b n
duas progressões aritméticas. Mostre que os pontos Pj = (aj , bj ) estão em uma mesma
reta, para todo j = 1, 2, · · · , n.
Questão 91 Num certo mês, dois jornais circulam com 100.000 e 400.000 exemplares
diários, respectivamente. Se a partir daı́ a circulação do primeiro cresce 10 % ao mês e a
do segundo decresce 15 % ao mês, determine o número mı́nimo de meses necessários para
que a circulação do primeiro jornal supere a do segundo jornal.
Questão 92 Um lote de terreno, pouco comum, tem a forma de um triângulo cujos lados
medem 30 , 40 e 50 metros. Em toda a volta externa desse terreno foi construı́da uma
calçada de largura constante e igual a 2 metros. Calcule a área do terreno e a área da
calçada.
Questão 93 Sejam x, y e z números naturais que são as medidas dos lados de um
triângulo, cujo perı́metro é o dobro de sua área. Encontre os possı́veis valores de x, y e z.
Questão 94 Um cubo de madeira teve suas seis faces pintadas. Depois foi dividido em 27
cubinhos iguais.
(a) Quantos desses cubinhos tem 3 faces pintadas?
(b) Quantos desses cubinhos tem 2 faces pintadas?
(c) Quantos desses cubinhos tem apenas uma face pintada?
(d) Quantos desses cubinhos tem nenhuma face pintada?
21
Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Questão 95 Sejam x, y e z números reais positivos tais que x + y + z = 1. Mostre que
x2 + y 2 + z 2 ≥
1
.
3
Questão 96 Mostre que
1 + 2 + 3 + ··· + n =
n(n + 1)
.
2
Questão 97 As áreas das três faces de um paralelepı́pedo são 3 , 6 e 8 cm2 . Determine
o volume desse paralelepı́pedo.
Questão 98 Desejamos construir um cercado de forma retangular utilizando 36 m de tela,
aproveitando como um dos lados parte de um extenso muro que possui um traçado retilı́neo.
Determine as dimensões do retângulo de modo que o cercado tenha área máxima.
Questão 99 Determine os valores do parâmetro p de modo que a função quadrática
f (x) = 2x2 + 4x + (p + 1) possua duas raı́zes complexas.
Questão 100 Determine as soluções do seguinte sistema de equações algébricas

 −x + y = 2
 x2 + y 2 = 4
Dê uma interpretação geométrica para o conjunto solução.
22