Projeto de Métodos Numéricos Computacionais
22 de setembro de 2005
Sumário
1 Introdução
1.1 Página 5 . . . . . .
1.1.1 Exercı́cio 15
1.1.2 Exercı́cio 16
1.2 Página 9 . . . . . .
1.2.1 Exercı́cio 12
1.2.2 Exercı́cio 13
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2 Equações Diferenciais de
2.1 Página 32 . . . . . . .
2.1.1 Exercı́cio 7 . .
2.1.2 Exercı́cio 8 . .
2.2 Página 33 . . . . . . .
2.2.1 Exercı́cio 15 . .
2.2.2 Exercı́cio 18 . .
2.3 Página 47 . . . . . . .
2.3.1 Exercı́cio 23 . .
3 Equações Lineares de
3.1 Página 67 . . . . .
3.1.1 Exercı́cio 8
3.1.2 Exercı́cio 13
3.2 Página 105 . . . .
3.2.1 Exercı́cio 8
3.3 Página 107 . . . .
3.3.1 Exercı́cio 29
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Primeira Ordem
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Segunda
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Ordem
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3
3
3
4
4
4
5
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7
7
7
9
10
10
11
12
12
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15
15
15
15
16
16
17
17
4 Métodos Numéricos
18
4.1 Página 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
4.1.1
Exercı́cio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Equações Diferenciais Parciais e
5.1 Página 314 . . . . . . . . . . .
5.1.1 Exercı́cio 13 . . . . . . .
5.1.2 Exercı́cio 18 . . . . . . .
5.2 Página 318 . . . . . . . . . . .
5.2.1 Exercı́cio 10 . . . . . . .
5.2.2 Exercı́cio 11 . . . . . . .
5.3 Página 325 . . . . . . . . . . .
5.3.1 Exercı́cio 10 . . . . . . .
5.3.2 Exercı́cio 11 . . . . . . .
2
Séries de Fourier
. . . . . . . . . . . .
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18
20
20
20
22
23
23
24
25
25
26
Capı́tulo 1
Introdução
1.1
1.1.1
Página 5
Exercı́cio 15
Um pequeno lago contém, inicialmente 1.000.000 de galões (aproximadamente 4.550.000 litros) de água e uma quantidade desconhecida de um produto quı́mico indesejável. O lago recebe água contendo 0,01 grama dessa
substância por galão a uma taxa de 300 galões por minuto. A mistura sai
à mesma taxa, de modo que a quantidade de água no lago permanece constante. Suponha que o produto quı́mico está distribuı́do uniformemente no
lago.
(a) Escreva uma equação diferencial cuja solução é a quantidade de produto quı́mico no lago em um instante qualquer.
Resolução
taxa efetiva = taxa de entrada − taxa de saı́da
dq
dt
dq
dt
= 300 ∗ 0, 01 − 300
q
106
= 300(10−2 − 10−6 q)
(1.1)
(1.2)
(b) Qual a quantidade do produto quı́mico que estará no lago após um
perı́odo muito longo de tempo? Essa quantidade limite depende da quantidade presente inicialmente?
Resolução
3
Após um perı́odo longo de tempo a quantidade que entra é igual à que
sai, de modo que
dq
= 0
dt
300 ∗ 0, 01 = 300 ∗ 10−6 q
(1.3)
(1.4)
Chegamos então à quantidade final:
q = 104 gramas
1.1.2
(1.5)
Exercı́cio 16
Uma gota de chuva esférica evapora a uma taxa proporcional à sua área de
superfı́cie. Escreva uma equação diferencial para o volume de uma gota de
chuva em função do tempo.
Resolução
S = superfı́cie e V = volume.
S = 4πr 2
4 3
V =
πr
3
dV
= cS
dt
dV
= 4cπr 2
dt
2
dV
= 3cV 3
dt
2
dV
= kV 3
dt
1.2
1.2.1
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Página 9
Exercı́cio 12
O rádio-226 tem uma meia-vida de 1620 anos. Encontre o tempo necessário para que uma determinada quantidade desse material seja reduzida da
quarta parte.
4
Resolução
τ
=
meia-vida
(1.12)
rτ
dQ
Z dt
dQ
Q
ln |Q|
=
ln |2|
(1.13)
=
−rQ
Z
−rdt
(1.14)
Q
Q
=
=
=
e
=
Q
=
Q
=
3
4
−(rt + rc)
−rt −rc
ke
e
(1.17)
(1.18)
Q0 e
3Q0
4
(1.19)
e−rt
(1.21)
4
3
ln | | = −rt ⇒ rt = ln | |
4
3
4
τ
4 1
⇒ t = (ln | |)
t = (ln | |)
3 r
3 ln |2|
4 1620
t = (ln | |)
3 ln |2|
t = 672, 3 anos
1.2.2
(1.16)
−rt
−rt
=
(1.15)
(1.20)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)
Exercı́cio 13
Considere o circuito elétrico contendo um capacitor, um resistor e uma bateria; veja a Figura 1.2.3. A carga Q(t) no capacitor satisfaz a equação
R
dQ Q
+
=V
dt
C
(1.26)
onde R é a resistência, C é a capacitância e V a voltagem constante fornecida
pela bateria.
(a) Se Q(t) = 0, encontre Q(t) em qualquer instante t e esboce o gráfico de
Q em função de t.
5
Resolução
t
µ(t) = e RC
t dQ
t
t V
Q
e RC
+ e RC
= e RC
dt
RC
R
t
Z
Z
t V
d(e RC Q)
=
e RC
dt
R
t
t
V
Qe RC =
(RCe RC + k)
R
−t
Q(t) = VC + ke RC
0 = VC + ke
k = −VC
0
RC
Q(t) = VC(1 − e
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
(1.32)
(1.33)
−t
RC
)
(1.34)
(b) Encontre o valor limite QL para onde Q(t) tende após um longo perı́odo
de tempo.
Resolução
t → ∞ ⇒ Q(t) = VC(1 − 0) = QL
QL
=
VC
(1.35)
(1.36)
(c) Suponha que Q(t1 ) = QL e que a bateria é removida do circuito no
instante t = t1 . Encontre Q(t) para t > t1 e esboce seu gráfico.
Resolução
Q(t1 )
dQ
Q
+
dt
RC
dQ
Z dt
dQ
Q
= QL
(1.37)
= 0
(1.38)
Q
RC Z
1
= −
dt
RC
1
ln |Q| = −
(t + c)
RC
−t
Q(t) = ke RC
= −
Q(t) = QL e
6
−t
RC
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
Capı́tulo 2
Equações Diferenciais de
Primeira Ordem
2.1
Página 32
2.1.1
Exercı́cio 7
Um jovem, sem capital inicial, investe k reais por ano a uma taxa anual de
rendimento r. Suponha que os investimentos são feitos continuamente e que
o rendimento é composto continuamente.
(a) Determine a quantia S(t) acumulada em qualquer instante t
7
Resolução
dS
dt
dS
− rS
dt
µ(t)
Z −rt
e dS
dt
=
k + rS
(2.1)
=
k
(2.2)
=
e−rt
Z
ke−rt
(2.3)
(2.4)
k(
(2.5)
=
e−rt
+ c)
−r
k
S(t) = − + cert
r
−k
+c
S(0) = 0 ⇒ 0 =
r
k
c =
r
k rt
S(t) =
(e − 1)
r
Se−rt
=
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(b) Se r = 7, 5%, determine k de modo que esteja disponı́vel R$ 1 milhão
para a aposentadoria após 40 anos.
Resolução
k
(e0,075∗40 − 1)
0, 075
106 ∗ 0, 075
k = 0,075∗40
e
−1
k ' R$ 3929, 68
106 =
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(c) Se k = R$ 2000/ano, determine a taxa r que precisa ser aplicada para
se ter R$ 1 milhão após 40 anos.
Resolução
106 =
2000 40r
2
(e − 1) ⇒ 103 = (e40r − 1)
r
r
3
40r
10 r = 2e − 2
2
=
1
=
2e
40r
e
40r
40r
− 1000r
− 500r
1 + 500r
=
e
r
=
9, 77%
8
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
2.1.2
Exercı́cio 8
A pessoa A abre uma conta PREV com 25 anos, contribui R$ 2000/ano
durante 10 anos, mas não contribui mais daı́ para a frente. A pessoa B espera
completar 35 anos, para abrir uma conta PREV e contribui R$ 2000/ano
durante 30 anos. Não existe investimento inicial em ambos os casos.
(a) Supondo uma taxa de rendimento de 8% ao ano, qual o saldo em cada
PREV aos 65 anos do beneficiário?
Resolução
dS
= 2000 + 5 ∗ 0, 08
dt
−8t
S 0 − 0, 085 = 2000(e 100 )
Z
Z
−8t
−8t
2000e 100
(Se 100 )0 =
2000 ∗ 100 −8t
e 100 + c
8
−8t
S = −25000 + ce 100
−8t
Se 100
= −
−25000 + c = 0
c = 25000
S = 25000(e
B ⇒ S(30) = 25000(e
8∗30
100
8∗10
100
S(10) = 30638, 52
dS
85
=
Z dt
Z100
dS
8
=
dt
S
100
8t
+c
ln |S| =
100
8t
S = ce 100
− 1)
− 1)
− 1)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
S(30) = 30638, 52e
S(30) = 337733, 81
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
c = 30638, 52
S(t) = 30638, 52e
(2.26)
(2.31)
S(0) = 30638, 52
9
(2.20)
(2.25)
−8t
100
S(30) = 250579, 41
A ⇒ S(10) = 25000(e
(2.19)
(2.36)
8t
100
8∗30
100
(2.37)
(2.38)
(2.39)
(b) Para uma taxa de rendimento r constante, mas não especificada, determine o saldo em cada PREV aos 65 anos do beneficiário.
Resolução
Saldo com depósitos regulares:
k
S1 (t) = S0 ert + ( )(ert − 1)
r
(2.40)
Saldo sem depósitos regulares:
S2 (t) = S0 ert
(2.41)
Cálculo:
2000 10r
)(e − 1)
r
S1 (10)e30r
2000 10r
(e − 1)e30r
r
2000 40r
(e − e30r )
r
2000 30r
(e − 1)
r
A ⇒ S1 (10) = 0 + (
S2 (30) =
S2 (30) =
S2 (30) =
B ⇒ S2 (30) =
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
(2.46)
Saldos:
SA (r) =
SB (r) =
2000 40r
(e − e30r )
r
2000 30r
(e − 1)
r
(2.47)
(2.48)
(c) Desenhe um gráfico com as diferenças dos saldos em (b) para 0 ≤ r ≤
0, 10.
(d) Determine a taxa de rendimento para a qual as duas contas PREV têm
o mesmo saldo aos 65 anos do beneficiário.
2.2
2.2.1
Página 33
Exercı́cio 15
A população de mosquitos em determinada área cresce a uma razão proporcional à população atual e, na ausência de outros fatores, a população
dobra a cada semana. Existem, inicialmente, 200.000 mosquitos na área e
os predadores (pássaros etc.) comem 20.000 mosquitos/dia. Determine a
10
população de mosquitos na área em qualquer instante t.
Resolução (Considerando t em semanas)
Crescimento sem fatores externos
P(t) = P0 2t
(2.49)
Crescimento com predadores (v é a taxa de mortes devido a predadores)
P(t) = P0 2t − vt
(2.50)
P(t) = (2 ∗ 105 ) ∗ 2t − (1, 4 ∗ 105 ) ∗ t
(2.51)
Logo
2.2.2
Exercı́cio 18
A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto muda
a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente
que o rodeia. Suponha que a temperatura de uma xı́cara de café obedece à
lei do resfriamento de Newton. Se o café estava a uma temperatura de 200 o F
(cerca de 93o C) ao ser colocado na xı́cara e, 1 minuto depois esfriou para
190o F em uma sala a 70o F, determine quando o café atinge a temperatura
de 150o F.
11
Resolução
Q = temperatura
dQ
= k(Q − Qamb )
dt
dQ
− kQ = −kQamb
dt
µ(t) = e−kt
Qe−kt = −kQamb
(2.55)
Z
Q = Qamb + ce
e−kt
kt
o
Q(0) = 200 F
200 = Qamb + 1c
c = 200 − Qamb = 130
60k
190 = 70 + 130e
120
ln |
| = 60k
130
k = −1, 33 ∗ 10−3
−1,33∗10−3 t
150 = 70 + 130e
8
ln | | = −1, 33 ∗ 10−3
13
t ' 365s
2.3.1
(2.53)
(2.54)
1
Qe−kt = −kQamb (− )e−kt + c
k
Qe−kt = Qamb e−kt + c
2.3
(2.52)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
(2.66)
(2.67)
(2.68)
Página 47
Exercı́cio 23
Algumas doenças (como o tifo) são disseminadas basicamente por portadores indivı́duos que podem transmitir a doença, mas que não exibem seus
sintomas. Denote por x e y, respectivamente, a proporção de suscetı́veis e
portadores na população . Suponha que os portadores são identificados e
removidos da população a uma taxa β, de modo que
dy
= −βy
dt
12
(2.69)
Suponha, também, que a doença se propaga a uma taxa proporcional ao
produto de x e y; assim,
dx
= αxy
(2.70)
dt
(a) Determine y em qualquer instante t resolvendo 2.69 sujeita à condição
inicial y(0) = y0
Resolução
y(0) = y0
(2.71)
0
y + βy = 0
µ(t) = e
(2.72)
βt
y = ce
(2.73)
−βt
y = y0 e
(2.74)
−βt
(2.75)
(b) Use o resultado do item (a) para encontrar x em qualquer instante t
resolvento 2.70 sujeita à condição inicial x(0) = x0 . Resolução
dx
x
= αydt
(2.76)
1
dx = αy0 e−βt dt
x
Z
Z
1
dx = αy0 e−βt dt
x
e−βt
ln |x| = αy0 [
+ c]
−β
x = e
x = e
(2.77)
(2.78)
(2.79)
αy0 (c− β1 e−βt )
αy0 c −
e
x0 = eαy0 c e
(2.80)
αy0 −βt
e
β
(2.81)
αy
− β0
(2.82)
αy0
ln |x0 | = αy0 c −
β
ln |x0 | + αyβ 0
c =
αy0
ln |x0 | 1
c =
+
αy0
β
x = e
αy0 (
ln |x0 |
+ β1 )
αy0
x = eln |x0 | e
x = x0 e
αy0
β
e
(2.83)
(2.84)
(2.85)
e
αy0 −βt
e
β
αy
− β 0 e−βt
αy0
(1−e−βt )
β
13
−
(2.86)
(2.87)
(2.88)
(c) Encontre a proporção da população que escapa à epidemia encontrando
o valor limite de x quando t → ∞.
Resolução
αy0
(2.89)
x = x0 e β
14
Capı́tulo 3
Equações Lineares de
Segunda Ordem
3.1
Página 67
3.1.1
Exercı́cio 8
Um investidor deposita R$ 1000 em uma conta que rende juros de 8% ao
ano compostos mensalmente e faz, também, depósitos adicionais de R$ 25
por mês. Encontre o saldo na conta após 3 anos.
Resolução
qn = saldo mensal
(3.1)
b = depósito mensal
(3.2)
ρ = taxa
(3.3)
qn+1 = ρqn + bn
1 − ρn
qn = ρ n q0 +
b
1−ρ
(3.4)
(3.5)
Aplicando n = 36 em (3.5):
3.1.2
36
1 − (1 + 0,08
0, 08 36
12 )
) ∗ 103 ∗
∗ 25
12
1 − 1 + 0,08
12 )
= R$ 2283, 64
q36 = (1 +
(3.6)
q36
(3.7)
Exercı́cio 13
Um comprador gostaria de comprar um imóvel com financiamentos de R$
95.000 pagável durante 20 anos. Qual a maior taxa de juros que o comprador
15
pode pagar se os pagamentos mensais não podem exceder R$ 900?
Resolução
Q = R$ 95.000, 00
(3.8)
t = 240 meses
(3.9)
bmax = R$ 900, 00
(3.10)
q0 = 0
(3.11)
Substituindo esses valores em (3.5)
Q = q240
1 − ρ240
Q =
b
1−ρ
3.2
Página 105
3.2.1
Exercı́cio 8
(3.12)
(3.13)
Um circuito em série tem um capacitor de 0, 25 ∗ 10−6 farad e um indutor de
1 henry. Se a carga inicial no capacitor é de 10−6 coulomb e não há corrente
inicial, encontre a carga Q no capacitor em qualquer instante t.
Resolução
t0 = 0s
Q(t0 ) = 10
(3.14)
−6
C
(3.15)
0
i0 = 0A = Q (t0 )
(3.16)
Q(t) = ?
(3.17)
1
ε(t) = LQ00 + RQ0 + Q
C
Q
00
ε(t) = Q +
0, 25 ∗ 10−6
00
0 = Q + 4 ∗ 106 Q(Homogênea associada)
3
3
Q = A cos(2 ∗ 10 t) + B sin(2 ∗ 10 t)
Q(0) = A cos(0) + B sin(0) = 10
A = 10
−6
−6
0
3
Q (0) = −2 ∗ 10 A sin(0) + 2 ∗ 10 B cos(0) = 0
B = 0
Q(t) = 10
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
3
−6
(3.18)
3
cos(2 ∗ 10 t) C
16
(3.24)
(3.25)
(3.26)
3.3
Página 107
3.3.1
Exercı́cio 29
A posição de determinado sistema massa-mola satisfaz o problema de valor
inicial
1
u00 + u0 + 2u = 0,
4
u(0) = 0,
u0 (0) = 2
(3.27)
(a) Encontre a solução desse problema de valor inicial.
Resolução
1
r2 + r + 2 = 0
4
(3.28)
127
16 √
127
1
±i
8
8 √
√
t
127
127
− 8t
−8
t) + Be sin(
t)
Ae cos(
8
8
A cos(0) + B sin(0) = 0
√
127
B cos(0) = 2
8
16
√
127
√
127
16 − t
√
t)
e 8 sin(
8
127
∆ = −
r =
u =
u(0) =
u0 (0) =
B =
u =
(3.29)
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
(3.34)
(3.35)
(b) Faça os gráficos de u e u0 em função de t no mesmo par de eixos.
(c) Faça o gráfico de u’ em função de u no plano de fase. Identifique diversos pontos correspondentes nas curvas dos itens (b) e (c). Qual o sentido do
movimento no plano de fase quando t aumenta?
17
Capı́tulo 4
Métodos Numéricos
4.1
Página 243
4.1.1
Exercı́cio 1
Para obter alguma idéia dos perigos possı́veis de pequenos erros nas condicções iniciais, tais como os devidos a arredondamentos, considere o problema
de valor inicial
y 0 = t + y − 3,
y(0) = 2
(4.1)
(a) Mostre que a solução é y = φ1 (t) = 2 − t.
Resolução
y0 = t − 3
−t
(4.2)
µ(t) = e
Z
−t
ye
=
(t − 3e−t )dt
(4.4)
y(0) = 2 ⇒ c = 0
(4.6)
y = 2 − t + cet
y = 2 − t = φ1
(4.3)
(4.5)
(4.7)
(b) Suponha que é feito um erro na condição inicial e é utilizado o valor
2, 001 em vez de 2. Determine a solução y = φ2 (t) nesse caso e compare a
diferença φ2 (t) − φ1 (t) em t = 1 e quando t → ∞.
Resolução
18
Usando (4.5) e fazendo y(0) = 2, 001:
2−0+c
c
y
=
=
=
0, 001
10
(4.8)
−3
(4.9)
2 − t + 10
−3 t
e = φ2
(4.10)
=
10
−3 t
(4.11)
=
0, 0027
(4.12)
t → ∞ ⇒ φ2 (t) − φ1 (t) → ∞
(4.13)
φ2 (t) − φ1 (t)
φ2 (1) − φ1 (1)
19
e
Capı́tulo 5
Equações Diferenciais
Parciais e Séries de Fourier
5.1
Página 314
5.1.1
Exercı́cio 13
Considere uma barra de 40cm de comprimento cujas as extremidades são
mantidas à temperatura de 0o C para todo t > 0 e
u(x, 0) = 50,
0 < x < 40
(5.1)
Para t = 5 e x = 20, determine quantos termos são necessários para encontrar a solução correta até três casas decimais. Um modo razoável de fazer
isso é encontrar n tal que a inclusão de mais um termo não muda as três
primeiras casas decimais de u(20, 5). Repita para t = 20 e t = 80. Chegue a
alguma conclusão sobre a velocidade de convergência da série que representa
u(x, t).
20
Resolução
L = 40cm
(5.2)
o
u(0, t) = u(L, t) = 0 C, t > 0
α
2
(5.3)
= 1
(5.4)
o
u(x, 0) = 50 C, 0 < x < L
∞
X
nπx
2 2 2
2
cn e−n π α t/L sin(
)
u(x, t) =
L
n=1
Z
2 L
nπx
cn =
)dx
f (x) sin(
L 0
L
Z 40
1
nπx
cn =
50 sin(
)dx
20 0
40
100
(1 − cos nπ)
cn =
nπ
(
0
n par,
cn =
200
n ı́mpar
nπ
∞
X
u(x, t) =
u(x, t) =
nπx
200 −n2 π2 α2 t/L2
e
sin(
)
nπ
40
n=1,3,5...
∞
X
200
π
n=1,3,5...
1 −n2 π2 t/1600
nπx
e
sin(
)
n
40
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
Fazendo x = 20 e t = 5
u(20, 5) =
200
π
∞
X
n=1,3,5...
1 −n2 π2 /320
nπ
e
sin( )
n
2
n = 1 ⇒ u1 (20, 5) = 61, 728
(5.13)
(5.14)
n = 3 ⇒ u3 (20, 5) = u1 − 16, 077 = 45, 651
(5.15)
n = 7 ⇒ u7 (20, 5) = u5 − 2, 006 = 49, 534
(5.17)
n = 5 ⇒ u5 (20, 5) = u3 + 5, 889 = 51, 540
n = 9 ⇒ u9 (20, 5) = u7 + 0, 581 = 50, 115
n = 11 ⇒ u11 (20, 5) = u9 − 0, 138 = 49, 977
n = 13 ⇒ u13 (20, 5) = u11 + 0, 026 = 50, 003
n = 15 ⇒ u15 (20, 5) = u13 − 0, 004 = 49, 999
n = 17 ⇒ u17 (20, 5) = u15 + 0, 001 = 50, 000
n = 19 ⇒ u18 (20, 5) = u17 − 0, 000 = 50, 000
21
(5.16)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
Fazendo x = 20 e t = 20
u(20, 5) =
200
π
∞
X
n=1,3,5...
1 −n2 π2 /80
nπ
e
sin( )
n
2
(5.24)
n = 1 ⇒ u1 (20, 20) = 56, 273
(5.25)
n = 5 ⇒ u5 (20, 20) = u3 + 0, 582 = 49, 864
(5.27)
n = 3 ⇒ u3 (20, 20) = u1 − 6, 991 = 49, 282
n = 7 ⇒ u7 (20, 20) = u5 − 0, 021 = 49, 843
n = 9 ⇒ u9 (20, 20) = u7 + 0, 000 = 49, 843
(5.26)
(5.28)
(5.29)
Fazendo x = 20 e t = 80
u(20, 5) =
200
π
∞
X
n=1,3,5...
1 −n2 π2 /20
nπ
e
sin( )
n
2
(5.30)
n = 1 ⇒ u1 (20, 80) = 38, 865
(5.31)
n = 5 ⇒ u5 (20, 80) = u3 + 0, 000 = 38, 615
(5.33)
n = 3 ⇒ u3 (20, 80) = u1 − 0, 250 = 38, 615
(5.32)
Com o passar do tempo, o expoente negativo de e aumenta em módulo,
fazendo com que as parcelas da soma convirjam mais rapidamente para 0,
aumentando a precisão da fórmula para um mesmo n.
5.1.2
Exercı́cio 18
Considere uma barra metálica de 20cm de comprimento aquecida a uma
temperatura uniforme de 100o C. Suponha que, em t = 0, as extremidades
da barra são mergulhadas em um banho gelado a 0o C e, depois, mantidas a
essa temperatura, mas não é permitido escapar calor pela superfı́cie lateral.
Encontre uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da barra
em um instante posterior. Determine a temperatura no centro da barra no
instante t = 30s se a barra é feita de (a) prata, (b) alumı́nio, ou (c) ferro
fundido.
Resolução
L = 20cm
o
u(0, t) = u(L, t) = 0 C, t > 0
o
u(x, 0) = 100 C, 0 < x < L
22
(5.34)
(5.35)
(5.36)
Usando (5.6) e (5.7):
Z
1
nπx
)dx
20100 sin(
10 0
20
200
=
(1 − cos nπ)
nπ
(
0
n par,
=
400
n ı́mpar
nπ
cn =
(5.37)
cn
(5.38)
cn
u(x, t) =
∞
nπx
400 X 1 −n2 π2 α2 t/400
e
sin(
)
π
n
20
(5.39)
(5.40)
1,3,5...
Para calcular o valor da temperatura para cada material, basta substituir o
α2 pelo valor correspondente ao material.
5.2
Página 318
5.2.1
Exercı́cio 10
(a) Suponha que as extremidades de uma barra de cobre com 100cm de comprimento são mantidas a 0o C. Suponha que o centro da barra é aquecido a
100o C por uma fonte externa de calor e que essa situação é mantida até
resultar em um estado estacionário. Encontre essa distribuição de temperatura no estado estacionário.
Resolução Usando
x
f (x) = v(x) = (T2 − T1 ) + T1
(5.41)
L
Temos, para 0 < x ≤ 50
x
+ 0 = 2x
50
(5.42)
x
+ 100 = 100 − 2x
50
(5.43)
f (x) = (100 − 0)
E para 50 < x < 100
f (x) = (0 − 100)
A equação logo acima é válida considerando x = 0 como sendo o meio da
barra. Para torná-la válida considerando o meio da barra como x = 50,
basta somar 100 (ficando da forma 200 − 2x.
(
2x
0 < x ≤ 50
f (x) =
(5.44)
200 − 2x 50 < x < 100
23
(b) Em um instante t = 0 [depois de atingido o estado estacionário do item
(a)], suponha que a fonte externa é removida. No mesmo instante, suponha
que a extremidade x = 0 é colocada em contato com um reservatório a 20 o C
e que a outra extremidade permanece a 0o C. Encontre a temperatura em
função da posição e do tempo.
Resolução
u(x, t) = v(x) + w(x, t)
x
v(x) = (T2 − T1 ) + T1
L
x
v(x) = 20 −
5
∞
X
nπx
2 2
cn e−1,14n π t/L sin
w(x, t) =
L
n=1
Z L
x
nπx
2
[f (x) − (T2 − T1 ) − T1 ] sin
dx
cn =
L 0
L
L
Z 100
1
x
nπx
cn =
[f (x) + − 20] sin
dx
50 0
5
100
(5.45)
(5.46)
(5.47)
(5.48)
(5.49)
(5.50)
(5.51)
Onde f (x) é a função (5.44) encontrada em (a). Integrando, temos
cn =
Logo
nπ
40
800
sin
+
2
2
n π
2
nπ
(5.52)
∞
u(x, t) = 20 −
x X
nπx
2 2
2
+
cn e−1,14n π t/100 sin
5
100
(5.53)
n=1
(c) Faça o gráfico de u em função de x para diversos valores de t. Faça,
também, o gráfico de u em função de t para diversos valores de x.
(d) A que valor limite tende a temperatura no centro da barra depois de um
longo tempo? Depois de quanto tempo o centro da barra esfria, ficando a 1
grau de seu valor limite?
Resolução
t → ∞ ⇒ u(50, t) → 10
(5.54)
5.2.2
Exercı́cio 11
Considere uma barra de 30cm de comprimento para qual α2 = 1. Suponha
que a distribuição inicial de temperatura é dada por u(x, 0) = x(60 − x)/30
24
e que as condições de contorno são u(0, t) = 30 e u(30, t) = 0.
(a) Encontre a temperatura da barra em função da posição e do tempo.
Resolução
Dada a distribuição inicial de calor
x2
30
A distribuição estacionária de calor correspondente é
f (x) = x(60 − x)/30 = 2x −
v(x) = 30 − x
(5.55)
(5.56)
Logo a temperatura em função do tempo e da distância do centro é dada
por
∞
X
nπx
2 2
2
(5.57)
cn en π t/30 sin
u(x, t) = 30 − x +
30
n=1
Onde cn é dado por
2
cn =
30
Z
30
0
[f (x) − v(x)] sin
nπx
dx
30
(5.58)
Integrando,
cn =
60
[2(1 − cos nπ) − (nπ)2 (1 + cos nπ)]
(nπ)3
(5.59)
(b) Faça o gráfico de u em função de x para diversos valores de t. Faça,
também, o gráfico de u em função de t para diversos valores de x.
(c) Faça o gráfico de u em função de t para x = 12. Observe que u inicialmente diminui, depois cresce por um tempo e, finalmente, diminui para
alcançar seu valor no estado estacionário. Explique, fisicamente, por que
ocorre esse comportamento.
5.3
Página 325
5.3.1
Exercı́cio 10
Considere uma corda elástica de comprimento L. A extremidade x = 0 é
mantida fixa, enquanto a extremidade x = L está solta; logo as condições de
contorno são u(0, t) = 0 e ux (0, t) = 0. A corda é colocada em movimento
sem velocidade inicial a partir da posição inicial u(x, 0) = f (x), onde
(
1 L2 − 1 < x < L2 + 1 (L > 2),
f (x) =
0 caso contrário
25
(a) Calcule o deslocamento u(x, t).
Resolução
Como a corda está solta na extremidade x = L, calculamos u(x, t) para uma
corda de comprimento 2L com ambas extremidades fixas.
u(x, t) =
∞
X
cn sin
n=1
cn =
cn =
2
L
2
L
Z
Z
nπx
nπat
cos
2L
2L
(5.60)
nπx
dx
2L
(5.61)
2L
f (x) sin
0
L
+1
2
L
−1
2
sin
nπx
dx
2L
(5.62)
Integrando,
cn =
u(x, t) =
8
nπ
nπ
[sin( ) sin( )]
nπ
4
2L
∞
X
8
1
nπ
nπ
nπx
nπat
sin
sin
sin
cos
π
2n − 1
4
2L
2L
2L
(5.63)
(5.64)
n=1
(b) Com L = 10 e a = 1, faça o gráfico de u em função de x para 0 ≤ x ≤ 10
para diversos valores de t. Preste atenção especial aos valores de t entre 3
e 7. Observe como a pertubação inicial é refletida em cada extremidade da
corda.
(c) Com L = 10 e a = 1, faça o gráfico de u em função de t para diversos
valores de x.
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um
perı́odo.
(e) Descreva o movimento da corda em algumas frases.
5.3.2
Exercı́cio 11
Suponha que a corda no Problema 10 começa a partir da posição inicial
f (x) = 8x(L − x2 )/L3 . Siga as instruções no Problema 10 para esse novo
problema.
26