FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A – 11.º Ano – Versão 1
Nome: ____________________________________ N.º ___ Turma: ___
Apresente o seu raciocínio de forma clara,
indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1.
(10)
2
  3 
Sabe-se que    ,  é uma solução da equação sen x  .
5
2 2 
1.1. Relativamente ao ângulo , diga, justificando, qual das afirmações seguintes é verdadeira.
(A) cos   
3
2
e tan   
5
3
(B) cos    1  sen 
(D) cos   sen 
(C) cos   1  sen2
Como   2.º Q (seno positivo), o seu cosseno é negativo.
Portanto, cos   sen 
opção (D)
(10) 1.2. Indique, justificando, qual das expressões seguintes representa uma solução da equação
cos x  
2
5
(A) 
(C)

2

(B)

2

(D)   
Como  é uma solução da equação sen x  52 , sabemos que sen   52 .
Agora só temos de verificar qual das expressões dadas é equivalente a sen   52 .
Ficha de avaliação da Matemática A – 11.º Ano
Página 1/6 – Versão 1
(10)
(A)
cos      52  cos    52
Falsa
(B)
cos  2      52  sen    52
Falsa
(C)
cos  2      52  sen    52  sen  
(D)
cos       52   cos    52  cos   52
2
5
1.3. Escreva a expressão geral das soluções da equação sen x 
Verdadeira
Falsa
2
, em radianos.
5
Efetue os arredondamentos para 3 casas decimais.
Para descobrir um ângulo com seno
2
5
recorremos à
função inversa do seno (calculadora).
x  sen1  52   0, 412 (3c.d.) é o menor ângulo (positivo) que é
solução da equação (ver figura ao lado).
Portanto, a expressão de todas as soluções da equação
sen x  52 é: x  0, 412  2k  x    0, 412  2k , k 
 x  0, 412  2k  x  2,730  2k , k 
2.
Na figura seguinte está representado o
círculo trigonométrico e um triângulo
[OAB].
O
ponto
B
desloca-se
sobre
a
circunferência, no primeiro quadrante.
O ponto A desloca-se ao longo do eixo
Ox, de tal modo que [OAB] é sempre
isósceles.
(15)
2.1. Sendo  a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, mostre que a área do triângulo é dada
por A    cos   sen  .
A área do triângulo é dada por A    OA2h , sendo h a altura em relação à base [AO].
Como o triângulo é isósceles, sabemos que OA  2  OC  2 cos  , sendo C o pé da altura (em
AO) e h  CB  sen  .
Portanto, A    2 cos2sen   cos   sen  c.q.m.
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Página 2/6 – Versão 1
(25)

4

2.2. Sabendo que tan       , determine a área do triângulo.
2
3

Como A    cos   sen  , para calcular a área do triângulo temos de conhecer cos  e sen 
Efetuando a redução de tan   2    43 , obtemos  tan1   43 , ou seja, tan   34 .
Para descobrir o cosseno (ou o seno) temos de recorrer a uma fórmula secundária.
Dividindo cos 2   sen2  1 por cos 2  obtemos
Portanto, 1   34   cos12  
2
25
16
cos 2  sen 2
1
,


2
2
cos  cos  cos 2 
 cos12   cos 2   16
25  cos   
 cos    54
16
25
Como  1.º Q , temos cos   54
Agora, pela fórmula tan  
3
4

sen 
4
5
sen 
(ou pela F. Fundamental Trigonometria) obtemos sen  .
cos 
 sen   34  54  sen   53
Assim, A    cos   sen  = 43  53  12
25 unidades de área.
(15)
2.3. Determine o perímetro do triângulo [OAB] para  

6
.
Como o triângulo é isósceles, o seu perímetro é dada por OA  2  OB .
Como estamos no círculo trigonométrico, OB  1 e já vimos que OA  2  AC  2 cos  .
Assim, OA  2  cos 6  2 
3
2
 3
Portanto, o perímetro do triângulo
(15)
3.
3  2 1  3  2 unidades de medida.
Partindo de um triângulo equilátero de lado x, mostre que sen

3

3
.
2
Nota: Explique detalhadamente todos os raciocínios efetuados até chegar à conclusão
pretendida.
Sendo ABC um triângulo equilátero, os seus ângulos internos também são todos iguais. Neste
caso, cada ângulo interno tem
180º
3
 60º ou

3
radianos.
Traçando uma das alturas do triângulo, dividimo-lo em dois
triângulos retângulos congruentes (a altura é sempre perpendicular
ao lado oposto). Assim, cada um destes triângulos tem ângulos de
30º, 60º e 90º.
Como já temos triângulos retângulos podemos usar as definições de
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razões trigonométricas. Estamos interessados em conhecer sen 3 . Para isso necessitamos da
medida do cateto oposto a este ângulo. Pelo teorema de Pitágoras temos
 2x 
2
 h2  x 2  h2  x 2  4x  h2  34x  h  
2
2
3 x2
4
 h
3 x2
4
 h
Como h é um comprimento, só nos interessa a solução positiva, portanto h 
Assim, sen 3 
4.
3x
2
x

3x
2x

3
2
3x
2
3x
2
.
c.q.m.
Na figura seguinte está representado um
paralelogramo [ABCD], cujos ângulos
internos têm amplitudes  e , com
 .
(15)
4.1. Partindo da relação entre os ângulos
internos do paralelogramo, prove que:
cos    cos 
Como os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares, sabemos que     
Portanto,     
Assim, cos   cos    
Simplificando, cos    cos  c.q.m.
(15)
4.2. Mostre que, qualquer que seja o ângulo  

2
 k , k  , é válida a igualdade:
1
 1  tan2 
cos 2 
Este exercício pode ser resolvido, pelo menos, por dois processos:
1.º processo: Partir do primeiro membro para o segundo (ou vice-versa).
1
cos 2 
cos 
sen 
 1  cos12   cos
 1coscos2   cos
 tan2  c.q.m.
2
2


2
2
pois cos 2   1  sen2 e
2
sen2
cos 2 
 tan12 
2.º processo: Trabalhar ambos os membros
1
cos 2 
 1  tan2  
1
cos 2 
cos 
sen 
 cos
 cos

2
2


2
2
1 cos 2 
cos 2 
sen 
 cos

2

2
sen2
cos 2 
sen 
 cos
P.V.
2

2
Portanto a igualdade inicial é verdadeira
3.º processo: Partir da fórmula fundamental da trigonometria
cos 2   sen2  1

cos 2 
cos 2 
sen 
 cos
 cos12 
2

2
dividindo por cos 2  ;
Ficha de avaliação da Matemática A – 11.º Ano
 1  tan2   cos12   tan2   cos12   1 c.q.m.
simplificando;
isolando tan2 
Página 4/6 – Versão 1
(10)
4.3. Indique, justificando, a afirmação verdadeira para todo o número real .
(A) sen2      cos 2      1


(B) sen 2  cos 2      1
2

(C) sen2     cos 2     1
 3

   1
(D) sen2  sen2 
 2

Simplifiquemos cada uma das expressões (até obter a verdadeira):
(A) sen2      cos 2       sen      cos    sen2  cos 2   1 Verdadeira
2
2
(B) sen2  cos  2     sen2   sen    sen2  sen2  2sen 
Falsa
(C) sen2     cos 2      sen     cos    sen2  cos 2   1
Falsa
(D) sen2  sen2  32     sen2    cos    sen2  cos 2   1
Falsa
2
2
2
2
2
Nota: (C) e (D) nunca seriam verdadeiras porque o sinal “–“ entre as parcelas não está ao quadrado.
5.
A seguir encontra-se uma representação gráfica da função f , de domínio
, definida por
f  x   1  3 cos  2 x  .
(20)
5.1. Determine, analiticamente, a expressão geral dos minimizantes de f .
Para escrever a expressão geral dos minimizantes (ou maximizantes) precisamos de conhecer o
mínimo (o máximo). Determinemos o contradomínio da função.
Como 1  cos  2 x   1 , temos 3  3 cos  2 x   3
Multiplicando por -3: 3  3 cos  2 x   3
Somando 1:
1  3  1  3 cos  2 x   1  3
Portanto, 2  f  x   4 , sendo -2 o mínimo de f
Agora já podemos descobrir os objetos que têm imagem -2, resolvendo a equação f  x   2
f  x   2  1  3 cos  2 x   2  3 cos  2 x   3  cos  2 x   1
 2x  0  2k , k 
 x  k , k 
A expressão geral dos minimizantes de f é x  k , k 
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Página 5/6 – Versão 1
(15)
5.2. Mostre, usando a definição de função periódica, que f tem período  .
Se f tem período p , então f  x  p   f  x  , x  Df
(Definição)
Ora, f  x  p   f  x  1  3 cos 2  x  p   1  3 cos  2 x 
 3 cos  2 x  2 p   3 cos  2 x 
 cos  2 x  2 p   cos  2 x 
Como o período da função cosseno é 2 temos 2 p  2 , ou seja, p   .
Portanto, f tem período  .
(25)
 
5.3. Determine, analiticamente, as soluções da equação f  x   f   que pertencem ao
4
intervalo   ,   .
Graficamente, vemos que esta equação tem 4 soluções no intervalo dado.
Analiticamente, a equação pode ser resolvida por dois processos:
1.º processo: simplificar a expressão f  x   f  4 
f  x  f
 4 
 1  3 cos  2 x   1  3 cos  2 4 
 3 cos  2 x   3 cos  2 
2.º processo: Começar por calcular f  4 
f
 4   1  3cos  2 4   1  3cos  2   1  3  0  1
f  x   1  1  3 cos  2 x   1
 cos  2 x   cos  2 
 3 cos  2 x   0
 2 x   2  2k , k 
 cos  2 x   0
 x   4  k , k 
 2 x  2  k , k 
 x  4  k 2 , k 
Para determinar as soluções que estão em   ,   damos valores a k, até obtermos soluções
neste intervalo. A expressão do primeiro processo é ligeiramente mais prática.
k  0  x   4
k  1  x   4    x   4   x  4    x  34  x  54
k  1  x   4    x   4    x  4    x   54  x   34
Portanto, as soluções da equação no intervalo   ,   são  34 ,  4 ,

4
e
3
4
.
BOM TRABALHO!
Prof. José Tinoco
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