Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Séries de Fourier
João Carlos Martins Vieira
Coimbra, Janeiro de 2001
Séries de Fourier
Índice
Introdução ....................................................................................................................... 3
Generalidades ................................................................................................................. 4
Séries Trigonométricas................................................................................................. 19
Convergência das Séries Trigonométricas ................................................................. 22
Coeficientes de Fourier ................................................................................................ 26
Série de Fourier ............................................................................................................ 33
Bibliografia.................................................................................................................... 39
João Carlos Martins Vieira
2
Séries de Fourier
Introdução
Em meados do século XVIII surgiram "diferenças de opinião quanto à
representação de funções, quando d'Alembert e Euler tinham dado soluções do
problema da corda vibrante (...), usando duas funções arbitrárias, ao passo que Daniel
Bernoulli achara uma solução em termos de uma série infinita de funções
trigonométricas. Como essa última solução parecia implicar a periodicidade, ao passo
que as funções arbitrárias de d'Alembert e Euler não eram necessariamente periódicas,
parecia que a solução de Daniel Bernoulli era menos geral. Que isso não era assim foi
mostrado em 1824 por J.B.J. Fourier (1768-1830)".
Ora, "a possibilidade de desenvolver certas funções periódicas, em séries
trigonométricas, ditas séries de Fourier, foi uma descoberta de importância considerável
em física e em mecânica", pela razão de que muitos fenómenos naturais são periódicos
como por exemplo: movimento da corda vibrante, movimento do pêndulo, intensidade
sonora... Estes fenómenos periódicos são descritos por equações diferenciais cujas
soluções são funções periódicas. O facto de podermos decompor algumas funções
periódicas em séries de cosenos e senos é uma mais valia, pois as funções
trigonométricas estão repletas de propriedades interessantes para o estudo desses
fenómenos.
Assim, neste pequeno trabalho faremos uma apresentação das séries de Fourier,
onde se inclui muitos dos resultados teóricos auxiliares que se consideram relevantes
para a compreensão do tema. Pretendendo que seja o mais elucidativo possível, damos
especial atenção aos muitos exemplos que aparecem ao longo das cinco secções. Na
primeira secção, abordamos os vários resultados teóricos auxiliares, na segunda secção,
apresentamos a noção de série trigonométrica, na terceira secção, estabelecemos
condições para que as séries trigonométricas sejam uniformemente convergentes, na
quarta secção, calculamos os coeficientes de Fourier, e finalmente na quinta secção,
apresentamos a série de Fourier.
João Carlos Martins Vieira
3
Séries de Fourier
Generalidades
Iremos nesta secção, mencionar alguns resultados teóricos, seguidos de alguns
exemplos, por forma a melhor compreender os resultados teóricos objectos deste
trabalho. Assim, iniciaremos por fazer um estudo sobre funções periódicas, seguindo-se
a convergência das séries de funções.
Definição (1.1)
Uma função f : R → R diz-se periódica em R se existe p > 0 ( p ∈ R ), tal que
f (x + p ) = f (x ) para todo o x ∈ R . Ao menor p positivo chamamos período da função
f.
■
Vejamos os seguintes exemplos, que ilustram a noção de função periódica e de
período.
Exemplo (1.2)
As funções sen (x ) e cos(x ) são periódicas de período 2π .
De facto
("
("
sen (x + 2π ) = sen (x )cos
π ) + sen
π )cos(x ) = sen (x ) ,
$
!#2!
$
!#2!
=1
=0
("
("
cos(x + 2π ) = cos(x ) cos
π ) + sen (x ) sen
π ) = cos(x )
$
!#2!
$
!#2!
=1
=0
■
Exemplo (1.3)
A função f (x ) = x − [x] , onde [x ] representa o maior inteiro menor ou igual a
x , é periódica de período 1.
De facto
f (x + 1) = x + 1 − [x + 1] = x + 1 − ([x] + 1) = x + 1 − [x ] − 1 = x − [x ] = f (x ) .
■
É claro que se p é período de uma função f , isto é,
∀x f (x + p ) = f (x ),
também o valor − p goza da mesma propriedade que p , ou seja,
∀x f (x − p ) = f (x ) ,
como se prova no teorema seguinte.
Teorema (1.4)
Se p é período de uma função f definida em R , então f (x − p ) = f (x ) .
Prova:
f (x − p )
=
f ( x + p )= f ( x )
f ((x − p ) + p ) =
(a + b )+ c =
= a + (b + c )
f (x + (− p + p )) = f (x ) .
■
É claro que qualquer múltiplo inteiro do período p de uma função f , também
goza da propriedade
∀x f (x + kp ) = f (x ) ,
João Carlos Martins Vieira
4
Séries de Fourier
onde k ∈ Z , como se mostra no teorema seguinte.
Teorema (1.5)
Se p é período de uma função f definida em R , então f (x + kp ) = f (x ) , onde
k∈Z .
Prova:
Seja f uma função periódica de período p , definida em R , e seja k ∈ Z .
Para todo x ∈ R , temos
se k = 0 então f (x + 0 × p ) = f (x );
se k > 0 então f (x + kp ) = f ((x + kp ) − p ) = f ((x + kp ) − 2 p ) = …
… = f ((x + kp ) − kp ) = f (x + (kp − kp )) = f (x ) ;
se k < 0 então f (x + kp ) = f ((x + kp ) + p ) = f ((x + kp ) + 2 p ) = …





… = f ((x + kp ) + k p ) = f x + (kp + k p ) = f (x ) .
$!#!
"

=0


k < 0⇒ k = − k 

Deste modo, concluímos que se p é período de uma função f definida em R ,
então f (x + kp ) = f (x ) , para todo k ∈ Z .
■
Surge-nos agora a questão de saber que relação há entre o período p de uma
função f , com qualquer valor a que verifique a propriedade
∀x f (x + a ) = f (x ) .
Vejamos o teorema seguinte que nos responde a esta questão.
Teorema (1.6)
Se p é período de uma função f definida em R , e se existir a ∈ R tal que
f (x + a ) = f (x ) , então a é múltiplo de p.
Prova:
Consideremos, sem perda de generalidade, que a > 0 tal que f (x + a ) = f (x ) .
Logo, por definição de período sabemos que p ≤ a , e portanto existe k ∈ Z tal que
kp ≤ a < (k + 1) p .
Temos assim que
f (x ) = f (x + a ) = f ((x + a ) − p ) = f ((x + a ) − 2 p ) = … = f ((x + a ) − kp ) = f (x + (a − kp )) .
Se a − kp = 0 então a = kp , logo a é múltiplo de p
Se, a − kp ≠ 0 então 0 < a − kp = b < p e f (x + b ) = f (x ). Isto é um absurdo
pelo facto de termos considerado que p é o menor positivo que verifica a igualdade
f (x + p ) = f (x ), ou seja, que p é período da função f .
Deste modo, concluímos que se p é período de uma função f definida em R ,
e se ∃ a > 0 tal que f (x + a ) = f (x ) , então a é múltiplo de p
■
É claro que uma função constante não tem período, pois não podemos considerar
o menor valor positivo que sirva de período.
João Carlos Martins Vieira
5
Séries de Fourier
Já sabemos algumas propriedades sobre funções periódicas. A questão que agora
se coloca é a de saber qual o resultado da soma de funções periódicas. Para esclarecer
esta questão vamos, em primeiro lugar, estudar as somas finitas de funções periódicas,
no próximo teorema. O estudo das somas infinitas de funções periódicas, será estudado
depois de conhecermos a noção de série de funções uniformemente convergente, pois
necessitamos deste conhecimento para fazer tal estudo.
Teorema (1.7)
A soma de um número finito de funções periódicas de um dado período é uma
função periódica deste período.
Prova:
Consideremos a sucessão de funções periódicas (Fn )n∈N de período p , então
para qualquer n ∈ N , que se fixa, temos
n
S n (x + p ) = ∑ Fk (x + p ) =
k =1
= F1 (x + p ) + F2 (x + p ) + F3 (x + p ) + … + Fn (x + p ) = F1 (x ) + F2 (x ) + F3 (x ) + … + Fn (x ) =
n
= ∑ Fk (x ) =S n (x ) .
k =1
Logo, S n (x) é uma função periódica de período p .
■
Conhecidos alguns resultados sobre funções periódicas, será agora interessante
conhecermos o comportamento do integral destas funções num qualquer intervalo
limitado.
Teorema (1.8)
Se f é uma função periódica de período p , definida em toda a recta, e integrável
em qualquer intervalo limitado, então para qualquer λ ∈ R temos
p
λ+ p
0
λ
∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx .
Prova:
Pelo facto de f (x ) = f (x + p ), para todo x , segue-se
λ+ p
λ+ p
p
p
∫ f (x )dx = ∫ f (x + p )dx ,
considerando a mudança de variável x = y − p , vem que
λ+ p
λ
0
p
0
λ
∫
f (x + p )dx = ∫ f ( y )dy = − ∫ f ( y )dy .
Sem perda de generalidade, podemos escrever
λ+ p
0
p
λ
∫ f (x + p )dx = − ∫ f (x )dx .
João Carlos Martins Vieira
6
Séries de Fourier
Logo
λ+ p
0
p
λ+ p
p
λ
λ
0
p
0
∫
f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx +
∫
f (x )dx = ∫ f (x )dx .
■
Segue-se então o seguinte corolário, que não é mais que um resultado imediato
do teorema anterior.
Corolário (1.9)
Se f é uma função periódica de período p e integrável em qualquer intervalo
limitado, então para qualquer λ ∈ R temos
p
p
0
0
∫ f (x )dx = ∫ f (x + λ )dx .
Prova:
Fazendo a mudança de variável x = y − λ , segue-se
p
λ+ p
0
λ
∫ f (x + λ )dx = ∫ f (x )dx .
Logo, pelo teorema anterior segue-se
λ+ p
p
λ
0
∫
f (x )dx = ∫ f (x )dx .
■
É claro que para conhecermos uma função periódica de período p definida em
R , necessitamos apenas de conhecer a função num intervalo de amplitude p , pois o
seu comportamento repete-se visto ser periódica.
Iremos de seguida fazer um estudo sobre séries, de modo a, não só responder à
questão sobre as somas infinitas de funções periódicas, mas também para podermos
compreender melhor os resultados que são objecto deste trabalho.
Definições (1.10)
∞
Chamamos sucessão das somas parciais associada à série numérica
∑a
k =1
k
, à
n
sucessão (S n )n∈N cujo termo geral é dado por S n = ∑ a k , n ∈ N .
k =1
∞
Dizemos que uma série numérica
∑a
k =1
n
é convergente se a sucessão das somas
parciais (também chamada sucessão das reduzidas) for convergente.
■
Os exemplos seguintes ilustram a noção de série numérica convergente e
divergente. Além disso, estes exemplos serão úteis em futuros estudos sobre a
convergência de séries de funções.
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7
Séries de Fourier
Exemplo (1.11)
∞
A série
1
∑k
k =1
µ
, com µ > 1 , é convergente.
Como os termos desta série são positivos, a sucessão das somas parciais é
n
1
crescente. Basta então provar que a sucessão das somas parciais, S n = ∑ µ , é
k =1 k
limitada. Para tal, vamos tomar os termos de ordem m = 2 n − 1 .
1   1
1
1
1 
1
 1
Sm = 1 +  µ + µ  +  µ + µ + µ + µ  + … +
<
µ
n
3  4
5
6
7 
2
2 −1
(
)
 2 
− µ 
k −1
n −1
n
µ
2
 2 
2 
+ … + (n−1)µ = ∑  µ  = 2
2
2
k =1  2 
1− µ
2
2
<1 +
2
2µ
22
+
2 2µ
n +1
.
Ora
 2 
− µ 
µ
2 
lim 2
n →∞
2
1− µ
2
2
n +1
2
µ
2
−0
µ
2
1
=2
= µ2
= µ
= µ −1
.
2
2
−
2
2
−
1
2
−
2
1− µ
2
2µ
Logo,
Sn <
1
,
−1
n
1
ou seja, a sucessão das somas parciais, S n = ∑ µ , é limitada.
k =1 k
∞
1
Portanto, podemos concluir que a série ∑ µ é convergente quando µ > 1 .
k =1 k
∞
∞
1
1
Quando µ = 1 , a série ∑ µ = ∑ (dita harmónica) é divergente.
k =1 k
k =1 k
Com efeito, se considerarmos a sucessão das somas parciais desta série,
n
1
S n′ = ∑ , e os termos de ordem 2 n , segue-se
k =1 k
2
µ −1
1 1 1 1 1 1 1
1 
 1
+  +  +  + + +  + … +  n−1
+…+ n  >
2 3 4 5 6 7 8
2 
 2 +1
1 2 4
2 n −1
1
>1 + + + + … + n =1 + n .
2 4 8
2
2
Ora lim S ′ n = +∞ e, por conseguinte lim S n′ = +∞ .
S ′n = 1 +
2
n→+∞
n→+∞
2
Quando 0 < µ < 1 , a série
∞
1
∑k
k =1
µ
diverge.
De facto, se 0 < µ < 1 então
∀k∈N ⇒
1
1
> ,
u
k
k
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8
Séries de Fourier
∞
como a série
1
∑k
é divergente, pelo critério de comparação1 concluímos que a série
k =1
∞
1
∑k
k =1
µ
é divergente.
■
Exemplo (1.12)
∞
A série
∑λ
k
, com λ < 1 , é convergente.
k =1
n
Consideremos a sucessão das somas parciais associada à série, An = ∑ λk .
k =1
A1 = λ
A2 = λ + λ2
A3 = λ + λ2 + λ3
&
λ − λn+1 2
An =
1− λ
&
− λn +1
= 0.
n →∞ 1 − λ
Como lim − λn +1 = 0 , quando λ < 1 , temos que lim
n →∞
λ
λ
=
.
n →∞ 1 − λ
1− λ
Mas também sabemos que lim
Então
− λn +1
λ − λn +1
λ
λ
lim An = lim
= lim
+ lim
=
.
n →∞
n →∞ 1 − λ
n →∞ 1 − λ
n →∞ 1 − λ
1− λ
∞
Deste modo concluímos que a série
∑λ
k
, com λ < 1 , é convergente.
k =1
Quando λ ≥ 1 , então a série
∞
∑λ
k
é divergente, pois lim λk ≠ 0 .
k →∞
k =1
∞
A série
∑λ
k
, com λ < 1 , é conhecida por série geométrica.
k =1
■
Estamos agora em condições de estudar a convergência das séries de funções.
1
Critério de Comparação: Sejam
tais que
a k ≤ c × bk
para todo
enquanto que a divergência de
2
∑ a k e ∑ bk
n > n0
∑ ak
séries de termos não negativos. Se existem
então a convergência de
acarreta a de
∑ bk .
∑ bk
c>0
implica a convergência de
e
n0 ∈ N
∑ ak ,
1 − λn +1
Seja An uma progressão geométrica de razão λ (λ ≠ 0 ) , então An =
.
1− λ
An − λAn = λ + λ2 + λ3 + … + λn − λ2 − λ3 + λ4 − … − λn − λn +1 = λ − λn +1
Logo
An − λAn = λ − λ
n +1
⇔ An (1 − λ ) = λ − λ
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n +1
λ − λn +1
⇔ An =
(1 − λ )
9
Séries de Fourier
È claro que uma série de funções, em cada ponto de abcissa x do domínio, não é
mais do que uma série numérica. Segue-se de imediato a seguinte definição.
Definição (1.13)
∞
Diz-se que uma série de funções
∑ f k (x ), onde
f k : I → R são funções reais
k =1
definidas num subconjunto I de R , converge pontualmente se, para cada x0 ∈ I
∞
fixado, a série numérica
∑ f k (x0 ) converge. Ou equivalentemente
k =1
∀ ε > 0, ∃ n xo ,ε > 0 : ∀ n, m ∈ N ⇒
m > n > nxo , ε
m
∑ f k (x0 ) < ε
k =n
■
O seguinte exemplo mostra-nos uma série de funções que é pontualmente
convergente.
Exemplo (1.14)
∞
A série de funções
∑ f k (x ), onde f1 (x ) = x ,
k =1
f k (x ) = x k − x k −1 com k ≥ 1 , é
uma função definida no intervalo [0,1], converge pontualmente em cada x ∈ [0,1].
n
De facto, a sucessão das somas parciais Fn (x ) = ∑ f k (x ) = x n , convergirá para
k =1
0 (zero) se 0 ≤ x < 1 , e para 1 se x = 1 .
Mais adiante, iremos verificar que a esta série de funções não é uniformemente
convergente.
■
O facto de uma série de funções ser pontualmente convergente, não nos leva a
concluir nada sobre a sua convergência em todos os pontos de abcissa x do domínio.
Temos então uma nova definição de convergência, agora em todos os pontos de
abcissa x do domínio.
Definição (1.15)
∞
Diz-se que uma série de funções
∑ f k (x ), onde
k =1
f k : I → R são funções reais
definidas num subconjunto I de R , converge uniformemente se, para todo x ∈ I , a
∞
série
∑ f k (x ) converge, ou equivalentemente
k =1
∀ ε > 0, ∃ nε > 0 : ∀ n, m ∈ N ⇒
m> n>nε
m
∑ f k (x ) < ε , para todo
x∈I ,
k =n
∞
então a série.
∑ f k (x ) converge uniformemente.
k =1
■
Retomando o exemplo (1.14), constatamos que a série não é uniformemente
convergente.
João Carlos Martins Vieira
10
Séries de Fourier
De facto, tomando ε =
1
e x = 1 temos
4
m
1
∑ f (1) = (m − n ) > 4 .
∀ n, m ∈ N ,
n<m
k
k =n
Logo a série não é uniformemente convergente.
É claro que se uma série de funções é uniformemente convergente, então
também o será pontualmente, pois se é convergente para todo o ponto de abcissa x do
domínio, também o será para qualquer ponto em particular.
À primeira vista, parece-nos que é mais fácil a verificação da convergência de
uma série numérica do que a convergência uniforme de uma série de funções. Seria
bastante vantajoso se tivéssemos conhecimento de algum resultado que relacionasse as
duas séries. Será que podemos estabelecer alguma relação? O teorema seguinte vem
responder-nos à questão levantada.
Teorema (1.16)
(Teste de Weirstrass)
∞
Seja
∑ f k (x ) uma série de funções
k =1
f k : I → R definida num subconjunto I de
R . Suponhamos que existem constantes mk ≥ 0 tais que f k (x ) ≤ mk , para todo x ∈ I ,
∞
e que a série numérica
∑ mk é convergente. Então, a série de funções
k =1
∞
∑ f k (x )
k =1
converge uniformemente e absolutamente em I .
Prova:
Por hipótese f k (x ) ≤ mk , para todo x ∈ I .
Logo, para qualquer n ∈ N temos
n
∑
k =1
n
f k (x ) ≤ ∑ mk , para todo x ∈ I .
k =1
n
n
Como
lim ∑ f k (x ) ≤ lim ∑ mk , para todo x ∈ I , e a série
n →∞
n →∞
k =1
k =1
∞
∑ mk
é
k =1
∞
convergente, então a série
∑ f k (x ) é limitada.
k =1
∞
Como os termos da série
∑ f k (x )
são todos não negativos, então a série é
k =1
crescente.
∞
Como a série
∑ f k (x ) é crescente e limitada, então é convergente.
k =1
Ora, para todo o ε ∈ R + , existe n0 tal que para quaisquer m > n > n0
( n, m ∈ N ), temos
m
∑
k =n
m
m
k =n
k =n
f k (x ) ≤ ∑ f k (x ) ≤ ∑ mk < ε , para todo x ∈ I .
João Carlos Martins Vieira
11
Séries de Fourier
∞
∑ f k (x )
Logo, podemos afirmar que a série
converge uniformemente e
k =1
absolutamente em I .
■
Este teorema (também chamado critério de Weirstrass) é muito cómodo, pois
reduz o problema de verificar a convergência uniforme de uma série de funções ao de
verificar a convergência de uma série numérica.
Agora sim, estamos em condições de respondermos à questão sobre a soma
infinita de funções periódicas.
Corolário (1.17)
Consideremos a sucessão de funções periódicas (Fn )n∈N de período p . Se a
∞
série
∑ F (x ) é uniformemente convergente, então a sua soma é uma função periódica
k =1
k
de período p .
Prova:
∞
Suponhamos que a série
∑ F (x ), converge uniformemente para a função F (x ),
k
k =1
então para qualquer ε > 0 , existe n0 ∈ N , tal que para qualquer n > n0 , n ∈ N , temos
n
F (x ) − ∑ Fk (x ) ≤ ε .
k =1
Então
n
n


F (x + p ) − ∑ Fk (x + p ) −  F ( p ) − ∑ Fk (x ) ≤ ε − ε = 0 , para todo x.
k =1
k =1


Logo
F (x + p ) = F (x ) , para todo x.
■
Vejamos agora um exemplo de uma série uniformemente convergente.
Exemplo (1.18)
∞
A série de funções
∑ f k (x ), onde
k =1
f k (x ) =
x
é definida no intervalo [0,1], é
k2
uniformemente convergente.
De facto, para todo x ∈ [0,1],
m
m
k =n
k =n
∑ f k (x ) ≤ ∑ k 2 .
1
∞
Pelo exemplo (1.11), sabemos que a série numérica
1
∑ k2
é convergente.
k =1
∞
Pelo teorema (1.16), concluímos que a série de funções
∑ f k (x )
é
k =1
uniformemente e absolutamente convergente.
■
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12
Séries de Fourier
Os três teoremas seguintes mostram-nos algumas propriedades interessantes
sobre as séries de funções uniformemente convergentes.
Facilmente se verifica que a soma finita de funções contínuas ainda é uma
função contínua. Vejamos no teorema seguinte, em que condições é que podemos dizer
que uma soma infinita de funções ainda é uma função contínua.
Teorema (1.19)
Suponhamos que as funções f k são contínuas num intervalo aberto I , e que a
∞
série
∑
k =1
∞
f k (x ) converge uniformemente. Então a soma da série f (x ) = ∑ f k (x ) é
k =1
também uma função contínua.
Prova:
Por hipótese, as funções f k são contínuas num intervalo aberto, I , então
sabemos que para todo x0 ∈ I , fixado, temos
∀ ε > 0, ∃ δ k > 0 :
Podemos então afirmar que
∀
ε
> 0, ∃
:
δ >0
δ = min {δ1 , δ 2 , δ 3 , …, δ n }
n
x − x0 < δ k ⇒ f k (x ) − f k (x0 ) < ε .
x − x0 < δ ⇒
n
∑
k =1
n
f k (x ) − ∑ f k (x0 ) < ε
(*)
k =1
∞
Também por hipótese, sabemos que a série
∑ f k (x ) converge uniformemente, e
k =1
n
que lim ∑ f k (x ) = f (x ) .
n →∞
k =1
Logo, fazendo, em (*), n tender para + ∞ , obtemos
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : x − x0 < δ ⇒ f (x ) − f (x0 ) < ε .
∞
Ou seja, a soma da série f (x ) = ∑ f k (x ) é também uma função contínua.
k =1
■
Também sabemos, que se existirem os integrais de um número finito funções,
então o integral da sua soma será a soma dos integrais. O teorema seguinte irá dizer-nos
sob que condições é que o integral da soma infinita de funções é igual à soma infinita
dos integrais das funções.
Teorema (1.20)
Suponhamos que as funções f k são integráveis num intervalo I e que a série
∞
∑ f k (x ) converge uniformemente, então
k =1


∞



∑  ∫ f k (x )dx  = ∫  ∑ f k (x )dx .
k =1  I

 I  k =1
∞
Prova:
Por hipótese, sabemos que as funções f k são integráveis num intervalo I.
Logo, para qualquer n ∈ N temos
João Carlos Martins Vieira
13
Séries de Fourier
∫
I
 n

f1 (x )dx + ∫ f 2 (x )dx + ∫ f 3 (x )dx + … + ∫ f n (x )dx = ∫  ∑ f k (x )dx , para todo x ∈ I .

I
I
I
I  k =1
Ora, fazendo n tender para infinito, temos
n 
n
 

lim ∑  ∫ ( f k (x ))dx  = ∫  lim ∑ f k (x )dx , para todo x ∈ I .


n →∞
n →∞
k =1  I
k =1

 I
∞
Como a série
∑ f k (x ) converge uniformemente, segue-se
k =1


∞



 ∑ f k (x )dx .
f
(
x
)
dx
=
∑ ∫ k
∫

k =1  I

 I  k =1
∞
■
Por fim, sabemos que se existirem as derivadas de um número finito de funções,
então a derivada da soma dessas funções é igual à soma das suas derivadas. Vejamos o
que o teorema seguinte nos diz sobre a derivada da soma infinita de funções.
Teorema (1.21)
Suponhamos que as funções f k definidas num intervalo I , têm derivada
continua em I , que para um dado x0 ∈ I , a série
∞
∑ f k (x0 )
converge e ainda que a
k =1
∞
série das derivadas,
∑ f k′ (x ), converge uniformemente em I , então
k =1
 ∞ d
d ∞

 ∑ f k (x ) = ∑ 
f k (x ) .
dx  k =1

 k =1  dx
Prova:
Como as funções f k têm derivada continua em I , pelo Teorema do Valor
Médio , existe d ∈ I entre x e x0 tal que
f k (x0 ) = f k (x ) − f k′ (d )(x − x0 ) .
Deste modo, podemos afirmar que para todo x ∈ I existe d ∈ I entre x e x0 tal
que
3
∞
∑
k =1
∞
∞
∞
k =1
k =1
k =1
f k (x0 ) = ∑ ( f k (x ) − f k′ (d )(x − x0 )) = ∑ ( f k (x )) − (x − x0 )∑ ( f k′ (d )).
Assim
∞
∞
∞
k =1
k =1
∞
k =1
∑ ( f k (x )) = ∑ f k (x0 ) + (x − x0 )∑ ( f k′ (d )) .
Ora, por hipótese a série
∑ ( f k′ (d )) é uniformemente convergente, logo a série
k =1
∞
∞
k =1
k =1
(x − x0 )∑ ( f k′ (d )) também o é, e também por hipótese a série ∑ f k (x0 ) é convergente.
3
f : [a, b] → R
f (a ) = f (b ) − f ′(c )(b − a ) .
Teorema do Valor Médio: Seja
d ∈ ]a, b[ tal que
contínua. Se
João Carlos Martins Vieira
f
é derivável em
]a, b[ ,
então existe
14
Séries de Fourier
Logo, a soma das duas séries,
∞
∑
k =1
∞
f k (x0 ) + (x − x 0 )∑ ( f k′ (d )) ,
k =1
∞
é uniformemente convergente em I , ou seja, a série
∑ ( f (x ))
k =1
k
é uniformemente
convergente.
∞
Ora, como a série é
∑ ( f (x ))
k
k =1
é uniformemente convergente e por hipótese
∞
sabemos que a série das derivadas,
∑ f k′ (x ), converge uniformemente em I , segue-se
k =1
∞
∑ f k′ (x )= dx f1 (x ) + dx f 2 (x ) + dx f 3 (x ) + … + dx f k (x ) + … =
d
d
d
d
k =1
=
∞
d
( f1 (x ) + f 2 (x ) + f 3 (x ) + … + f k (x ) + …) = d ∑ f k (x ) .
dx k =1
dx
Logo
 ∞ d
d ∞

 ∑ f k (x0 ) = ∑ 
f k (x0 ) .
dx  k =1

 k =1  dx
■
Neste trabalho, iremos exigir em certas alturas que uma função seja integrável e
absolutamente integrável, ou seja, teremos de exigir que uma função seja integrável à
Riemann e integrável à Lebesgue: "f é integrável à Lebesgue se, e somente se, f o
for". Tal exigência, vai-nos evitar ter alguns problemas, pois existem funções
integráveis à Riemann sem que o sejam à Lebesgue, e vice versa, como nos mostra os
seguintes dois exemplos.
Exemplo (1.22)
A função f : ]0,1] → R definida por f (x ) = (− 1)n n ( n ∈ N ), para
1
1
<x≤
n +1
n
é integrável, mas não absolutamente integrável.
De facto
1
∫
f (x )dx =
1
2
3
3
∫ (− 1) .1dx + ∫ (− 1) .2dx + ∫ (− 1) .3dx + … =
1
1
0
1
1
2
1
2
1
3
4
1

 ∞ 
k
k +1− k 
k
k
=
= (− 1) .1 ∫ dx + (− 1) .2 ∫ dx + (− 1) .3 ∫ dx + … = ∑  (− 1) k ∫ dx  = ∑  (− 1) k
k (k + 1) 
 k =1 
k =1 
1
1
1
1
k +1 
2
3
4

1 1 1
1
1
1
 1 1
 1

k
= − + − + … + (− 1)
+ …=  − − − … −
− … +  + … +
+ … =
2 3 4
k +1
2k
2k + 1
 2 4
 3

∞
∞
∞
−1
−1
1
1
=∑
−
=. ∑ 2
≥∑ 2 .
2k k =1 4k − 2k k =1 k
k =1 2 k + 1
1
1
1
2
1
2
3
3
∞
João Carlos Martins Vieira
15
Séries de Fourier
∞
Ora, pelo exemplo (1.11), sabemos que a série
k =1
−1
∞
também a série
∑k
k =1
∞
associada à série
2
∑ 4k
k =1
1
∑k
2
é convergente, logo
é convergente. Além disso, a sucessão das somas parciais
−1
é decrescente.
− 2k
2
Como
∞
−1
−1
≥
,
∑
2
2
k =1 4 k − 2k
k =1 k
∞
−1
é convergente.
podemos concluir que a série ∑ 2
k =1 4 k − 2k
Assim, concluímos que a função f é integrável.
∞
0≥ ∑
Contudo f não é integrável, porque
 1k  1 1 1
∞
1
 k dx  = + + + … + 1 + … =
(
)
f
x
dx
=
∑
∑
∫0
∫


k +1
 2 3 4
k =1  1
n =1 k + 1
 k +1 
é divergente, como vimos no exemplo (1.11).
∞
1
■
Exemplo (1.23)
Consideremos a função de Dirichlet no intervalo [0, 1]
 1 se x é racional
f (x ) = 
.
− 1 se x é irracional
É claro que esta função não é integrável (à Riemann) em [0, 1] , pois o conjunto
de descontinuidades não tem medida nula.
Contudo, a função f é integrável em [0, 1] ,
1
∫
0
1
f (x )dx = ∫ dx = 1 .
0
■
Enunciaremos um resultado sobre as funções seno e coseno, que será utilizado
na determinação dos coeficientes de Fourier.
Teorema (1.24)
(Ortogonalidade das Funções Trigonométricas)
As funções da sequência
2π
2π
π
π
x) , …
1, cos( x) , sen( x) , cos( x) , sen(
L
L
L
L
gozam das seguintes propriedades:
L
 nπ   mπ 
x  sen
x dx = 0 se n, m ≥ 1 ;
L   L 
∫ cos
−L
L
 L, se n = m ≥ 1
 nπ   mπ 
cos
x
cos
x
dx
=




∫  L   L  0, se n ≠ m ≥ 1 ;
−L
João Carlos Martins Vieira
16
Séries de Fourier
L
 L, se n = m ≥ 1
 nπ   mπ 
x  sen
x dx = 
.
L   L 
0, se n ≠ m ≥ 1
∫ sen
−L
Prova
∫ f (x )dx = 0
se f (x ) é uma função ímpar, que o produto de
a
Atendendo que
−a
 nπ
uma função ímpar por uma função par é impar, que cos
 L
é ímpar, podemos concluir que
L

 nπ
x  é par, e que sen

 L

x

 nπ   mπ 
x  sen
x dx = 0 se n, m ≥ 1 .
L   L 
∫ cos
−L
Sabendo que
cos(a )cos(b ) =
1
(cos(a + b ) + cos(a − b ))
2
e
sen (a )sen (b ) =
1
(cos(a + b ) − cos(a − b )) ,
2
obtemos
L
L
1
mπ
 nπ   mπ 
 nπ
cos
x
cos
x
dx
=
∫− L  L   L  2 −∫Lcos L x + L
e
L
L
1
mπ
 nπ   mπ 
 nπ
sen
x
sen
x
dx
=




∫− L  L   L  2 −∫Lsen L x + L
Se n = m ( n, m ≥ 1 ) temos que
 nπ
∫− Lcos L
L
  mπ
x  cos
  L
1

 nπ
x dx = ∫ cos 2
2 −L  L

L
mπ

 nπ
x  + cos
x−
L
 L


x dx ( n, m ≥ 1 ),

mπ 

 nπ
x  − cos
x−
x dx ( n, m ≥ 1 ).
L 
 L


x  + cos(0)dx =

1 L
 nπ
= 
sen 2
2  2nπ
 L
L

1 L
 
(
)
+ 2 L = L ,
x  + x = 
sen
2
n
π
!
"
  − L 2  2nπ $!#

0
1
 nπ   mπ 
 nπ 
∫− Lsen L x  sen L x dx = − 2 −∫Lcos 2 L x  − cos(0)dx =
L
L
1 L
 nπ
= −
sen 2
2  2nπ
 L
Se n ≠ m ( n, m ≥ 1 ) temos que
L
L

1 L
 
x  + x  = −
sen (2nπ ) + 2 L  = L .
!
"
  − L 2  2nπ $!#

=0
−
L
1
 nπ   mπ 
 (n + m )π 
 (n − m )π 
∫− Lcos L x  cos L x dx = 2 −∫Lcos L x  + cos L x dx =
L
L
1
L
L
 (n + m )π 
 (n − m )π 
sen
x +
sen
x  =
= 
2  (n + m )π
L
L

 (n − m )π

 − L

1  2L
2L
(
(
)
)
(
(
)
)
= 
sen
n
+
m
+
sen
n
−
m
π
π
!#!!
" (n − m )π $!
!#!!
"  =0,
2  (n + m )π $!
=0
=0

L
João Carlos Martins Vieira
17
Séries de Fourier
1
 nπ   mπ 
 (n + m )π 
 (n − m )π 
∫− Lsen L x  sen L x dx = − 2 −∫Lcos L x  − cos L x dx =
L
L
1
L
 (n + m )π
=− 
sen
2  (n + m )π
L

=−
L

 (n − m )π
x −
sen
L
 (n − m )π

L

x  =
 − L

1  2L
2L
sen ((n + m )π ) −
sen ((n − m )π ) =0.

!#!!
" (n − m )π $!
!#!!
"
2  (n + m )π $!
=0
=0

■
João Carlos Martins Vieira
18
Séries de Fourier
Séries Trigonométricas
As séries trigonométricas são o caso geral das séries de Fourier que advêm de
uma função, daí que abordaremos em primeiro lugar estas séries e só depois as séries de
Fourier. Assim, iniciaremos esta secção por apresentar a noção de série trigonométrica,
mostrando alguns exemplos.
Definição (2.1)
Série trigonométrica é uma série da forma
a0 ∞ 
 kπ 
 kπ 
+ ∑ a k cos
x  + bk sen
x  .
2 k =1 
 L 
 L 
Os números a k e bk denominam-se coeficientes da série, e ao termo
a k cos(k ω x ) + bk sen (k ω x ) chamamos k-ésima harmónica.
■
Vejamos dois exemplos de séries trigonométricas, onde se mostra os gráficos
dos primeiros termos da sua sucessão das somas parciais.
Exemplo (2.2)
sen ((2k − 1) x )
.
(2k − 1)
k =1
Vejamos o esboço dos gráficos dos primeiras três primeiros termos, S1 , S 2 e S 3 ,
∞
Considere-se a série
∑
sen ((2k − 1) x )
, associada à série, quando
(2k − 1)
k =1
n
da sucessão das somas parciais, S n = ∑
x ∈ [− π , π ] .
S1 (x ) = sen (x )
S 2 (x ) = sen (x ) +
sen (3 x )
3
João Carlos Martins Vieira
19
Séries de Fourier
S 3 (x ) = sen (x ) +
sen (3 x ) sen (5 x )
+
3
5
À primeira vista, os esboços dos gráficos dos termos da sucessão das somas
parciais, levam-nos a intuir que trata-se de uma série trigonométrica convergente para a
função periódica ψ de período 2 π , cujo gráfico se esboça.
π ,
0< x <π
 4
0,
x = −π , ∨ x = 0, ∨ x = 2π
ψ (x ) = 
− π 4 , − π < x < 0

e periódica de período 2π
■
Exemplo (2.3)
1 ∞ 1
1

+ ∑  k cos(kx ) + 2 sen (kx ) .
2 k =1  2
k

Vejamos agora o esboço dos gráficos da três primeiros termos S1 , S 2 e S 3 , da
Consideremos a série
sucessão das somas parciais, S n =
quando x ∈ [− π , π ].
1 n 1
1

+ ∑  k cos(kx ) + 2 sen (kx ) , associada à série,
2 k =1  2
k

João Carlos Martins Vieira
20
Séries de Fourier
S1 (x ) =
S 2 (x ) =
1
(1 + cos(x ) + 2 sen (x ))
2
1 1
1
1
+ cos(x ) + sen (x ) + cos(2 x ) + sen (2 x )
2 2
4
4
1
1
1
1
1
S 3 (x ) = 1 + cos(x ) + sen (x ) + cos(2 x ) + sen (2 x ) + cos(3 x ) + sen (3 x )
2
4
4
8
9
Na próxima secção mostraremos que esta série é convergente, pelo que existe
uma função f periódica de período 2π que é igual à soma da série
1 ∞ 1
1

+ ∑  k cos(kx ) + 2 sen (kx )
2 k =1  2
k

■
João Carlos Martins Vieira
21
Séries de Fourier
Convergência das Séries Trigonométricas
Nesta secção iremos mostrar condições suficientes para que uma série
trigonométrica seja convergente, ilustrando com os exemplos da secção anterior. Mas
antes, recordemos que é condição necessária para que uma série seja convergente o
facto do seu termo geral tender para zero.
Teorema (3.1)
∞
Se
∑ ak e
k =1
∞
∑b
k =1
são séries convergentes, então a série trigonométrica
k
a0 ∞ 
 kπ 
 kπ 
+ ∑ a k cos
x  + bk sen
x 
2 k =1 
 L 
 L 
converge absolutamente e uniformemente em qualquer intervalo, e a sua soma é uma
função contínua e periódica de período 2 L .
Prova
Para qualquer valor de k ∈ N , temos
 kπ 
 kπ 
 kπ 
 kπ
a k cos
x  + bk sen
x  ≤ a k cos
x  + bk sen
 L 
 L 
 L 
 L
∞
Como as séries
∑ ak
k =1

x  ≤ a k + bk , para todo x.

∞
e
∑b
k =1
k
são convergentes, então pelo critério de
Weirstrass (teorema (1.16)) concluímos que a série
a0 ∞ 
 kπ 
 kπ 
x  + bk sen
x 
+ ∑ a k cos
2 k =1 
 L 
 L 
é uniformemente e absolutamente convergente.
A periodicidade da série trigonométrica é nos garantida pelo corolário (1.17).
∞
a

 kπ 
 kπ 
Com efeito, seja S (x ) = 0 + ∑ a k cos
x  + bk sen
x  , então para qualquer x,
2 k =1 
 L 
 L 
temos
∞ 
a
  kπ
  kπ
kπ
kπ

 
S (x + 2 L ) = 0 + ∑ a k cos kω 
x+
x+
2 L   + bk sen kω 
2 L   =
L
L
2 k =1 

 
  L
  L
=
a0 ∞ 
  kπ
  kπ

 
x + 2kπ   + bk sen kω 
x + 2kπ   =
+ ∑ a k cos kω 
2 k =1 

 
  L
  L
∞
a

 kπ 
 kπ 
= 0 + ∑ a k cos
x  + bk sen
x  = S (x ) .
2 k =1 
 L 
 L 
Pelo teorema (1.19), podemos afirmar que S (x ) é uma função contínua, pois é o
limite uniforme de uma sucessão de funções contínuas.
∀ x ∈ DS ∩ DSk (k∈N ) , lim S k (x ) = S (x )
k →∞
k∈N
■
João Carlos Martins Vieira
22
Séries de Fourier
Corolário (3.2)
Se a série
a0
2
∞
+ ∑ ( a k + bk
k =1
)
é uniformemente convergente, então a série
trigonométrica
a0 ∞ 
 kπ 
 kπ 
+ ∑ a k cos
x  + bk sen
x 
2 k =1 
 L 
 L 
converge absolutamente e uniformemente em qualquer intervalo, e a sua soma é uma
função contínua e periódica de período 2L.
Prova
∞
) é convergente.
2
k =1
Logo, faz sentido dizer-se que
∞
a0
a
+ ∑ ( a k + bk ) = 0 + ( a1 + b1 ) + ( a 2 + b2 ) + … + ( a k + bk ) + … =
2
2
k =1
∞
∞
a
a
= 0 + a1 + a 2 + … + a k + … + b1 + b2 + … + bk + … = 0 + ∑ a k + ∑ bk ,
2
2
k =1
k =1
e que
Por hipótese, a série
+ ∑ ( a k + bk
a0
∞
∑ ( ak
k =1
+ bk
) é convergente.
∞
Como os termos das séries
∑ ak e
k =1
∞
∑b
k =1
k
são positivos, então as respectivas
sucessões das somas parciais, (Ak )k∈N e (Bk )k∈N , são crescentes, e consequentemente
também a sua soma, (Ak + Bk )k∈N .
∞
Como a sucessão (Ak + Bk )k∈N é limitada, pois lim (Ak + Bk )= ∑ ( a k + bk ) ,
k →∞
podemos concluir que as sucessões (Ak )k∈N e (Bk )k∈N são limitadas.
∞
Deste modo, concluímos que as séries
∑a
k =1
k =1
∞
k
e
∑b
k =1
k
são convergentes.
Estamos assim nas condições do teorema anterior.
■
∞
Resumindo, quando se sabe que as séries
∑a
k =1
∞
k
e
∑b
k =1
k
são convergentes,
podemos concluir que a série trigonométrica
a0 ∞ 
 kπ 
 kπ 
+ ∑ a k cos
x  + bk sen
x 
2 k =1 
 L 
 L 
é uniformemente e absolutamente convergente e a sua soma é uma função contínua e
periódica de período 2 L .
No entanto, nada podemos afirmar acerca da convergência da série
∞
trigonométrica se as séries
∑ ak e
k =1
∞
∑b
k =1
k
não convergirem. É o caso do exemplo (2.2),
João Carlos Martins Vieira
23
Séries de Fourier
∞
∞
sen ((2k − 1) x )
é
convergente,
mas
as
séries
a
e
bk não são
∑
∑
∑
k
(2k − 1)
k =1
k =1
k =1
necessariamente convergentes.
∞
 ∞

Embora a série ∑ a k  = ∑ 0 = 0  seja convergente, o mesmo não se pode
k =1
 k =1

∞
∞
1 

dizer quanto à série ∑ bk  = ∑
.
k =1
 k =1 2k − 1 
Consideremos a sucessão das somas parciais (S n )n∈N assim definida
∞
onde a série
n
1
.
k =1 2k − 1
Sn = ∑
∞
Pelo exemplo (1.11), sabemos que a série
1
∑k
é divergente.
k =1
Como
(k ∈ Z ),
1
1
11
>
=
,
2k − 1 2k 2 k
∞
1
segue-se pelo critério da comparação, que a série ∑
é divergente.
k =1 2 k − 1
∀k ≥ 1
 ∞ 1 
a
= ∑ k , e
∑
k
k =1
 k =1 2 
∞
Quanto ao exemplo (2.3), sabemos que as séries
∞
∑b
k =1
k
 ∞ 1 
 = ∑ 2  são convergentes, como nos mostra os exemplos (1.12) e (1.11),
 k =1 k 
1 ∞ 1
1

respectivamente. Logo podemos dizer que a série + ∑  k cos(kx ) + 2 sen (kx ) é
2 k =1  2
k

convergente.
Seguidamente apresentaremos dois resultados interessantes, um sobre o integral
e o outro sobre a derivada da séries trigonométricas uniformemente convergentes.
Teorema (3.3)
Toda a série trigonométrica uniformemente convergente em qualquer intervalo
limitado I , pode ser integrada termo a termo, ou seja
n
n 
a0
a0

 kπ 
 kπ 
 kπ 
 kπ   .
a
cos
x
b
sen
x
dx
dx
a
cos
x
dx
b
sen
+
+
=
+
+







∑
∑
k
k
k
k

∫ 2 k =1 
∫ L 
∫  L x dx
2 ∫I
 L 
 L 
k =1 
I
I
 I

Além disso, a série obtida integrando a série trigonométrica termo a termo,
converge uniformemente em todo o intervalo limitado I , para o integral da série.
Prova
a0
2π
2π
π
π
x) , b2 sen(
x) , … são
, a1 cos( x) , b1 sen( x) , a 2 cos(
2
L
L
L
L
integráveis em qualquer intervalo limitado I .
De facto
a0
a0
∫ 2 dx = 2 ∫ dx ,
I
I
As funções
João Carlos Martins Vieira
24
Séries de Fourier
kπ
 kπ 
x)dx = a k ∫ cos
x dx , ∀ k ∈ N
L


I
I
kπ
 kπ 
∫ bk sen( L x)dx = bk ∫ sen L x dx , ∀ k ∈ N
I
I
Logo, pelo teorema (1.20), podemos concluir que
∞ 
a0 ∞ 
a0
 kπ 
 kπ 
 kπ
 kπ 
+
=
+
+
a
cos
x
b
sen
x
dx
dx




ak ∫ cos x dx + bk ∫ sen
∑
k
 k
∫2 ∑
∫
2 I
 L 
 L 
 L
k =1 
k =1 
I
I
 I  L 
∫ ak cos( L
 
x dx .
 
Ou seja, toda a série trigonométrica uniformemente convergente pode ser
integrada termo a termo, e a série trigonométrica integrada termo a termo, converge
uniformemente para o integral da série, em todo o intervalo limitado I .
■
Teorema (3.4)
Toda a série trigonométrica uniformemente convergente em qualquer intervalo
limitado I , pode ser derivada termo a termo, ou seja
d
kπ 
kπ 
kπ   ∞  d 
d  a0 ∞ 
kπ
 + ∑ ak cos x  + bk sen x   = ∑ ak  cos x   − bk  sen x  
dx   L  
dx  2 k =1 
 L   k =1  dx   L  
 L 
Além disso, a série obtida derivando a série trigonométrica termo a termo,
converge uniformemente em todo o intervalo limitado I , para a derivada da série.
Prova
a0
2π
2π
π
π
, a1 cos( x) , b1 sen( x) , a 2 cos(
x) , b2 sen(
x) , … são
2
L
L
L
L
deriváveis em qualquer intervalo limitado I .
De facto, para qualquer x ∈ I segue-se
d a0
= 0,
dx 2
d 
kπ
 kπ  
 kπ 
 a k cos
x   = − a k
sen
x , ∀ k ∈ N
L
dx 
 L 
 L 
As funções
d 
kπ
 kπ  
 kπ 
 bk sen
x   = bk
cos
x , ∀ k ∈ N
L
dx 
 L 
 L 
Como, por hipótese, a série trigonométrica é uniformemente convergente, então
existe x0 ∈ R tal que a série trigonométrica é convergente.
Logo, pelo teorema (1.21), podemos dizer que
d
kπ 
kπ 
kπ   ∞  d 
d  a0 ∞ 
kπ
 + ∑ ak cos x  + bk sen x   = ∑ ak  cos x   − bk  sen x  
dx   L  
dx  2 k =1 
 L   k =1  dx   L  
 L 
Ou seja, toda a série trigonométrica uniformemente convergente pode ser
derivada termo a termo, e a série trigonométrica derivada termo a termo, converge para
a derivada da série, em todo o intervalo limitado I.
■
João Carlos Martins Vieira
25
Séries de Fourier
Coeficientes de Fourier
Vimos, nas secções anteriores, que os coeficientes da série trigonométrica eram
elementos muito importantes, nomeadamente na prova da convergência destas séries. É
portanto de esperar que, se uma série trigonométrica é convergente para uma certa
função, os coeficientes da série estejam relacionados com essa função.
Assim, nesta secção, iremos conhecer qual é a relação entre esses coeficientes e
a função para a qual converge a série trigonométrica. Além disso iremos verificar que
para calcular esses coeficientes não necessitamos de saber se a série trigonométrica é ou
não convergente para a função.
Definição (4.1)
Seja f : R → R
uma função periódica de período
2 L , integrável e
absolutamente integrável em cada intervalo limitado, em particular
L
∫−L
f (x ) dx < ∞ , e seja a série trigonométrica
∫− L f (x )dx < ∞
L
e
∞

1
 kπ 
 kπ  
a0 + ∑  a k cos
x  + bk sen
x  
2
 L 
 L 
k =1 
uniformemente convergente para a função f ,
∞

1
 kπ 
 kπ  
f (x ) = a0 + ∑  a k cos
x  + bk sen
x   ,
2
 L 
 L 
k =1 
então os coeficientes a k e bk dizem-se os coeficientes de Fourier de f .
(4.I)
■
Vejamos agora como é que podemos obter os coeficientes de Fourier de uma
função.
Teorema (4.2)
Seja f : R → R
uma função periódica de período
2 L , integrável e
absolutamente integrável em cada intervalo limitado, em particular
∫− L f (x )dx < ∞
L
e
∞

1
 kπ 
 kπ  
a
+
 a k cos
x  + bk sen
x  
∑
0
∫−L
2
 L 
 L 
k =1 
uniformemente convergente para a função f , então os coeficientes de Fourier de f
obtêm-se das seguintes igualdades
L
f (x ) dx < ∞ , e seja a série trigonométrica
1
 mπ 
a m = ∫ f (x )cos
x dx , para m ≥ 0
L −L
 L 
(4.II)
1
 mπ 
bm = ∫ f (x )sen
x dx , para m ≥ 1 .
L −L
 L 
(4.III)
L
L
Prova
 kπ 
 kπ
As funções cos
x  e sen
 L 
 L
qualquer intervalo I = [a, b ] .

x  ( k ∈ N , L > 0 ), são integráveis em

João Carlos Martins Vieira
26
Séries de Fourier
De facto
b
L
 kπ 
 kπ 
∫I cos L x dx = kπ sen L x  a
e
b
−L
 kπ 
 kπ 
∫I sen L x dx = kπ cos L x  a .
Pelo teorema (1.20), podemos integrar ambas as expressões da igualdade (4.I)
para obter
L
L
∞
1

 kπ 
 kπ  
(
)
f
x
dx
=
a
+

a
cos
x
+
b
sen
x   dx =




∑
0
k
k
∫
∫ 2 k =1 
 L 
 L  
−L
− L


 L

L
  kπ  
  kπ   
1

a 0 dx + ∑  a k ∫  cos
x  dx + bk ∫  sen
x  dx  = L a0
2 −∫L
L
L







k =1 
L !!
−L
−
!#!!!
"
$
!#!!!
" 
 $!!
=0
=0


Deste modo, concluímos que
L
∞
L
1
a 0 = ∫ f (x )dx
L −L
Para obtermos os restantes coeficientes, usamos as relações de ortogonalidade
das funções trigonométricas enunciadas no teorema (1.24).
 mπ 
Assim, se multiplicarmos ambos os membros da igualdade (4.I) por cos
x ,
 L 
com m ≥ 1 fixado, e integrando, obtemos
L
 mπ
L

∫  f (x )cos
−L

x  dx =

1
 mπ  ∞ 
 kπ   mπ 
 kπ   mπ  
a
cos
 a k cos
x  cos
x  + bk sen
x  cos
x   dx =
∫  2 0  L x  + ∑
L
L
L
L







 

=
1
k
−L
L
=
L
L
L
∞ 
1
 kπ   mπ  
 kπ   mπ 
 mπ 

x dx + ∑ a k ∫ cos
x  cos
x dx + bk ∫ sen 
x  cos
x dx =
= a 0 ∫ cos

2 −L  L 
 L   L  
 L   L 
k =1 
−L
−L




L
L
L

∞ 
1
 mπ 
 kπ   mπ 
 kπ   mπ  
x dx + ∑  a k ∫ cos
x  cos
= a 0 ∫ cos
x dx + bk ∫ sen 
x  cos
x dx =

2 −L  L 
 L   L 
 L   L  
L !!
−
L !!
$!!#!!" k =1  −$
!!#!!!!"
$
!!#!!!!" 
=0
= 0 se k ≠ m
=0


= L se k = m


= am L .
Donde se conclui que
1
 mπ 
f (x )cos
x dx , para m ≥ 1 .
∫
L −L
 L 
L
am =
1
1
 0π 
Se m = 0 então a 0 = ∫ f (x )cos
x dx = ∫ f (x )dx .
L −L
L −L
 L 
L
João Carlos Martins Vieira
L
27
Séries de Fourier
Logo, podemos afirmar que
1
 mπ 
f (x )cos
x dx , para m ≥ 0 .
∫
L −L
 L 
Por outro lado, se multiplicarmos ambos os membros da igualdade (4.I) por
 mπ 
x  , com m ≥ 1 fixado, e integrando, obtemos
sen
 L 
L
am =
L
 mπ  
x  dx =
L  

∫  f (x )sen
−L
1
 mπ  ∞ 
 kπ   mπ 
 kπ   mπ  
a
sen
 a k cos
x  sen
x  + bk sen
x  sen
x   dx =
∫  2 0  L x  + ∑
 L   L 
 L   L  
k =1 
−L
L
L
L
∞ 
1
 mπ 
 kπ   mπ 
 kπ   mπ  

= a0 ∫ sen
x dx + ∑ a k ∫ cos
x  sen
x dx + bk ∫ sen
x  sen
x dx =

2 −L  L 
 L   L 
 L   L  
k =1 
−L
−L




L
L
L

∞ 
1
 kπ   mπ 
 kπ   mπ  
 mπ 
x dx + ∑  a k ∫ cos
x  sen
x dx + bk ∫ sen
x  sen
x dx =
= a 0 ∫ sen

2 −L  L 
 L   L 
 L   L  
L !!
L !!
−
$!!#!!" k =1  −$
!!#!!!!"
$
!!#!!!!" 
=0
=0
= 0 se k ≠ m


= L se k = m


= bm L
Donde se conclui que
L
=
1
 mπ
f (x )sen
∫
L −L
 L
L
bm =

x dx , para m ≥ 1 .

■
É claro que este teorema é válido para qualquer série trigonométrica
uniformemente convergente da forma
∞

1
 kπ 
 kπ  
a0 + ∑  a k cos
x  + bk sen
x   .
2
 L 
 L 
k =1 
Também é claro que, nas condições do teorema anterior, verificam-se as duas
propriedades seguintes
a) Se f é par, então
2
 kπ 
f (x )cos
x dx , k = 0,1,2, …
∫
L0
 L 
L
ak =
bk = 0 , k = 1,2,3, … .
b) Se f é impar, então
a k = 0 , k = 0,1,2, …
2
 kπ 
f (x )sen
x dx , k = 1,2,3, …
∫
L0
 L 
De facto, basta observar que o produto de duas funções pares ou o produto de
duas funções ímpares é uma função par, que o produto de uma função ímpar por uma
função par é impar, que cos(x ) é par, que sen (x ) é ímpar e que, para qualquer função
f integrável num intervalo [− a, a ] , se f é par, então
L
bk =
João Carlos Martins Vieira
28
Séries de Fourier
a
a
−a
0
∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx ,
e se f é ímpar, então
a
∫ f (x )dx = 0 .
−a
Recordemos agora a função ψ do exemplo (2.2). Facilmente concluímos que
π
π
π
1
1
1
1
1 π
π
π π
a 0 = ∫ψ (x )dx = ∫ψ (x )dx + ∫ψ (x )dx = ∫ − dx + ∫ dx = − + = 0 ,
4 4
π −π
π −π
π 0
π −π 4
π 04
0
π
am =
0
π
0
1
1
1
ψ (x )cos(mx )dx = ∫ψ (x )cos(mx )dx + ∫ψ (x )cos(mx )dx =
∫
π −π
π −π
π 0
1
=
π
π
π
1 π
1 π π 
π
∫ − 4 cos(mx )dx + π ∫0 4 cos(mx )dx = π  4 − 4 ∫0 cos(mx)dx = 0 ,
−π
0
e
π
π
0
1
1
1
bm = ∫ψ (x )sen (mx )dx = ∫ψ (x )sen (mx )dx + ∫ψ (x )sen (mx )dx =
π −π
π −π
π 0
=
1
π
0
∫−
−π
π
π
π
1 π
2 π
1
π
sen (mx )dx + ∫ sen (mx )dx = ∫ sen (mx )dx = ∫ sen (mx )dx =
4
20
π 04
π 04
0 se m é par
1

(
(
)
)
=
1 − cos mπ =  1
.
2m
 m se m é ímpar
1
, k = 1,2,3, …
2k − 1
∞
sen (2k − 1)
.
Logo, surge-nos a série trigonométrica ∑
2k − 1
k =1
De futuro iremos mostrar que esta série converge para a função ψ .
De notar que, pelo facto da função cos(x ) ser par, podemos concluir que
Então podemos dizer que b2 k −1 =
0
a
−a
0
∫ cos(x )dx = ∫ cos(x )dx ,
e que, pelo facto da função sen (x ) ser ímpar, podemos concluir que
0
a
−a
0
∫ − sen(x )dx = ∫ sen(x )dx .
Quando recorremos ao teste de Weirstrass (teorema (1.16)) para provar a
convergência uniforme de uma série de funções, usamos majorantes, ou seja, usamos
uma estimativa para cada coeficiente. Assim, por vezes, não necessitamos de conhecer
exactamente os valores dos coeficientes de Fourier, basta-nos apenas conhecer uma
estimativa sua. Como é que podemos fazer uma estimativa dos coeficientes de Fourier
de uma função, é o que nos informará o teorema seguinte.
João Carlos Martins Vieira
29
Séries de Fourier
Teorema (4.3)
Seja f uma função periódica de período 2 L , integrável e absolutamente
integrável. Se a derivada de ordem s de f é integrável e absolutamente integrável, e as
derivadas de ordem i , para 1 ≤ i < s , forem contínuas, então os coeficientes de Fourier
de f satisfazem as relações
ak ≤
2 Ls M s
(kπ )s
onde
, bk ≤
2 Ls M s
(kπ )s
, para k = 0,1,2,… ,
M s = max f (s ) (x ) .
− L≤ x≤ L
Prova:
1
 kπ
f (x )cos
∫
L −L
 L
L
Integrando por partes a expressão a k =
L
1
1
L
 kπ 
a k = ∫ f (x )cos
x dx =  f (x )
L −L
L
kπ
 L 

L
  kπ 
L
sen L x  − kπ
 − L
 

x dx , vem que

 kπ  
′
(
)
f
x
sen
x dx =

∫
 L  
−L
L
=−
1
kπ
L
 kπ 
x dx ,
L 
∫ f ′(x )sen
−L
donde
ak ≤
1
kπ
L
∫ M 1 × 1 dx =
−L
2 LM 1
, com M 1 = max f ′(x ) .
− L≤ x≤ L
kπ
Fazendo agora a integração por partes da expressão −
1
kπ
L
 kπ 
x dx ,
L 
∫ f ′(x )sen
−L
vem que
−
1
kπ
L
 kπ
L
∫ f ′(x )sen
−L
1
=−
kπ

x dx =

L
L


 f ′(x ) − L cos kπ x  − f ′′(x ) − L cos kπ x dx  =

kπ   L  − L −∫L
kπ
 L  

=−
L
 kπ 
x dx ,
L 
f ′′(x )cos

(kπ ) −∫L
L
2
donde
ak ≤
L
L
∫ M 2 × 1 dx =
(kπ )2 − L
2 L2 M 2
(kπ )2
, com M 2 = max f ′′(x ) .
− L≤ x≤ L
Ora, fazendo sucessivas integrações por partes, s vezes, iremos obter
L
2 Ls M s
Ls −1
ak ≤
M s × 1 dx =
, com M s = max f (s ) (x ) .
s ∫
s
− L≤ x≤ L
(kπ ) − L
(kπ )
João Carlos Martins Vieira
30
Séries de Fourier
De modo análogo concluiríamos que
L
2 Ls M s
Ls −1
, com M s = max f (s ) (x ) .
bk ≤
M
×
1
dx
=
s
s
s ∫
− L≤ x≤ L
(kπ ) − L
(kπ )
■
Para qualquer função f , integrável e absolutamente integrável em qualquer
intervalo limitado [a, b ], podemos sempre associar uma função g definida do seguinte
modo
 f (x ) se x ∈ [a, b[
g (x ) = 
.
e periódica de período 2 L(= b − a )
Torna-se óbvio que, se existir uma série trigonométrica uniformemente
convergente para a função g , então podemos dizer que essa série aproxima a função f
no intervalo [a, b ]. Mas, também podemos construir uma série trigonométrica do tipo
∞

1
 kπ 
 kπ  
a0 + ∑  a k cos
x  + bk sen
x   ,
2
 L 
 L 
k =1 
onde os coeficientes a0 , a k e bk (k = 1,2,3, …) são obtidos pelas formulas (4.II) e
(4.III), apenas não sabemos nada sobre a sua convergência.
Vejamos o seguinte exemplo, onde se ilustra o caso de uma função não
periódica, que a série trigonométrica, cujos coeficientes foram calculados pelas
formulas (4.II) e (4.III), parece convergir para a função num dado intervalo.
Exemplo (4.4)
Consideremos a seguinte função f , definida por f (x ) = [x ], onde [x ] representa
o maior inteiro menor que x, e cujo esboço gráfico se apresenta.
No intervalo [− 1,1], podemos calcular os coeficientes de Fourier da função f .
Teríamos assim que L = 1 ,
1
a0 =
∫
−1
0
−1
1
ak =
1
0
0
−1
f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx = − ∫ dx = − 1 ,
0
1
−1
0
∫ f (x )cos(kπx )dx = ∫ f (x )cos(kπx )dx + ∫ f (x )cos(kπx )dx =
−1
0
= − ∫ cos(kπx )dx = −
−1
1
1
0
sen (kπx )]−1 = −
[sen(0) + sen(kπ )]=
kπ
kπ
1
1
0
=−
sen (kπx )]−1 = −
[sen(0) + sen(kπ )]=0,
kπ
kπ
e
João Carlos Martins Vieira
31
Séries de Fourier
1
bk =
0
1
−1
0
∫ f (x )sen(kπx )dx = ∫ f (x )sen(kπx )dx + ∫ f (x )sen (kπx )dx =
−1
0
[
]
1
1
0
cos(kπx )]−1 =
[cos(0) − cos(kπ )] = 1 1 − (− 1)k .
kπ
kπ
kπ
−1
Assim, podemos construir a seguinte série trigonométrica
k

1 ∞  1 − (− 1)
sen (kπx ) .
− + ∑ 
2 k =1  kπ

Visualizemos os primeiros termos da sucessão das somas parciais,
k

1 n  1 − (− 1)

S n (x ) = − + ∑ 
sen (kπx ) , associada à série, e respectivos esboços gráficos.
2 k =1  kπ

= − ∫ sen (kπx )dx =
1 2
S1 (x ) = − + sen (πx )
2 π
S 2 (x ) = S1 (x )
1 2
2
S 3 (x ) = − + sen (πx ) +
sen (3πx )
4 π
3π
S 4 (x ) = S 3 (x )
1 2
2
S 5 (x ) = − + sen (πx ) +
sen (3πx )
4 π
3π
2
+
sen (5πx )
5π
S 6 (x ) = S 5 (x )
Os esboços gráficos dos termos da sucessão das somas parciais, levam-nos a
k

1 ∞  1 − (− 1)
sen (kπx ) é uniformemente
intuir que a série trigonométrica − + ∑ 
2 k =1  kπ

convergente para a função f no intervalo [− 1,1].
■
João Carlos Martins Vieira
32
Séries de Fourier
Série de Fourier
Finalmente, nesta secção, iremos conhecer o que são séries de Fourier,
apresentar alguns exemplos, e também uma curiosidade conhecida por fenómeno de
Gibbs.
Definição (5.1)
Dada uma função f : R → R periódica de período 2 L , integrável e
absolutamente integrável, podemos calcular os seus coeficientes de Fourier pelas
expressões (4.II) e (4.III), e escrever
∞

1
 nπ 
 nπ  
(5.I)
f (x ) ~ a 0 + ∑  a k cos
x  + bk sen
x   .
2
 L 
 L 
k =1 
À expressão do lado direito chamamos a série de Fourier de f .
■
Naturalmente que levanta-se uma questão. Porque é que não se coloca o símbolo
de igualdade em (5.I)? Não podemos colocar o símbolo de igualdade em (5.I), porque
nem sempre ocorre a igualdade, além disso, a série de Fourier de f pode ser
divergente.
Ocorre-nos imediatamente outra questão. Quando é que há igualdade?
Futuramente iremos responder a esta questão mostrando condições suficientes para que
uma função possa ser expressa pela sua série de Fourier. Por enquanto, ficamos apenas
com alguns exemplos de funções e respectivas séries de Fourier, e seus esboços
gráficos.
Exemplo (5.2)
Consideremos a função f definida por
0≤ x <π
1 se

f (x ) = 0 se − π ≤ x < 0
,
e periódica de período 2ð

periódica de período 2π .
Vamos calcular os coeficientes.
a0 =
e para k ≠ 0
π
π
1
1
f (x )dx = ∫ dx = 1
∫
π −π
π 0
1
1
1  sen (kx )
a k = ∫ f (x )cos(kx )dx = ∫ cos(kx )dx = 
= 0 , k = 1, 2, 3, … ,
π −π
π 0
π  k  0
π
π
π
1
1
1  − cos(kx )
1
(1 − cos(kπ )),
bk = ∫ f (x )sen (kx )dx = ∫ sen (kx )dx = 
=

k
π −π
π 0
π
 0 kπ
π
π
π
ou
2
, k = 1, 2, 3, …
(2k − 1)π
A série de Fourier da função f será
b2 k = 0 e b2 k −1 =
João Carlos Martins Vieira
33
Séries de Fourier

1 ∞ 
2
+ ∑ 
sen ((2k − 1)x )
2 k =1  (2k − 1)π

Vejamos o esboço gráfico dos primeiros termos da sucessão das somas parciais.
f (x ) ~
Para k=1, temos
1 2 sen (x )
f1 = +
2
π
Para k=2, temos
1 2 sen (x ) 2 sen (3 x )
f2 = +
+
2
3π
π
Para k=3, temos
1 2 sen (x ) 2 sen (3x ) 2 sen (5 x )
f2 = +
+
+
2
3π
5π
π
À primeira vista, os termos da sucessão das somas parciais da série de Fourier
de f parecem convergir para a função, o que a ser verdade, teremos a série a convergir
para a função.
De facto assim é, mas será numa próxima oportunidade que iremos provar este
facto, depois de apresentarmos condições suficientes para que a série de Fourier de uma
função convirja para essa função.
Apenas por curiosidade, se calcularmos o integral da função no intervalo [0, π ]
iremos obter o valor de π , ou seja,
π
∫ f (x )dx = π .
0
Supondo que a série de Fourier de f converge para a função, temos que
π
π

1 ∞ 
2
sen ((2k − 1)x )dx = π .
+ ∑ 
2 k =1  (2k − 1)π

0
f (x )dx = ∫
∫
0
Segue-se que
π
π
π
∞



1 ∞ 
2
1
2

sen
(
(
2
k
1
)
x
)

dx
=
dx

sen ((2k − 1)x )dx =
+
−
+
∑
 (2k − 1)π

∫2 ∑
∫
∫
(2k − 1)π
2


k =1 
0
0
0 k =1 
π
1 2
2
2
sen (3 x ) +
sen (5 x ) + … dx =
+ sen (x ) +
2 π
3π
5π
0
=∫
π
π
π
π
1
2
2
2
= ∫ dx + ∫ sen (x )dx +
sen (3 x )dx +
sen (5 x )dx + … =
∫
20
3π 0
5π ∫0
π 0
João Carlos Martins Vieira
34
Séries de Fourier
π
π
π
2
1
2
2
= π + ∫ sen (x )dx +
sen (3x )dx +
sen (5 x )dx + … =
∫
π 0
2
3π 0
5π ∫0
π
π
1
2
2  1
2  1


π
− cos(3 x) +
− cos(5 x) + … =
= π + [− cos( x)]0 +


2
3π  3
π
 0 5π  5
0
1
2
2
2
= π + [− cos(π ) + cos(0)] + 2 [− cos(3π ) + cos(0)] + 2 [− cos(5π ) + cos(5π )] + … =
2
π
3 π
5 π
1
4
4
4
1
14 4
4

= π + + 2 + 2 + … = π +  + 2 + 2 + …
2
2
π 1 3
π 3 π 5 π
5

Portanto
1
14 4
4
4
1
1
1


π = π +  + 2 + 2 + … ⇔ π − π = 1 + 2 + 2 + … ⇔
2
π 1 3
π 3
2
5
5


∞
1
1
1


⇔ π 2 = 81 + 2 + 2 + … ⇔ π 2 = 8∑
2
5
 3

k =1 (2k − 1)
Consideremos a sucessão das somas parciais (Pn )n∈N associada à série
∞
8∑
k =1
1
(2k − 1)2
, definida do seguinte modo
n
Pn = 8∑
k =1
1
(2k − 1)2
.
Vejamos agora alguns termos desta sucessão
P1 = 8 , P2 = 8,8(8), P3 = 9,208(8) , … , P28 ≈ 9,79818 ,
P208 ≈ 9,85999 , P209 ≈ 9,86004 , …
P29 ≈ 9,80065 ,
…,
Sabendo que π 2 ≈ 9,869605 , constatamos que os termos da sucessão (Pn )n∈N
vão "aproximando-se" do valor π 2 .
De facto, considerando Rn = π 2 − Pn como o erro cometido pela aproximação
Pn de π 2 , concluímos que
∞
1
.
∑
2
k = n +1 (2k − 1)
Rn = 8
Como
n →∞
n →∞
∞
1
∑
2
k = n +1 (2k − 1)
lim Rn = lim 8
= 0,
podemos afirmar que para qualquer ε > 0 , existe n0 ∈ N
n > n0
(n ∈ N ) , temos
Pn − π
2
tal que para todo
< ε . Logo, podemos sempre obter uma estimativa do
valor π 2 , cujo erro cometido é inferior a ε
(ε > 0 ) .
■
João Carlos Martins Vieira
35
Séries de Fourier
Retomemos a função f do exemplo (1.3), definida por f (x ) = x − [x] , onde [x ]
representa o maior inteiro menor ou igual a x , cujo esboço gráfico se apresenta.
Calculemos os coeficientes de Fourier desta função.
1
a0 = 2
2
∫ f (x )dx
−1
=
teorema(1.8)
2
1
1
0
0
2∫ f (x )dx = 2 ∫ xdx =1,
1
 x

1
a n = 2∫ f (x )cos(2nπx )dx = 2∫ x cos(2nπx )dx = 2 
sen (2nπx ) +
cos(2nπx ) =
2
(2nπ )
0
0
 2 nπ
0
1
1
1
 1

1
0
1
sen (2nπ ) +
cos(2nπ ) −
sen (0) −
cos(0 ) =
= 2
2
2
2nπ
(2nπ )
(2nπ )
0
 2nπ
 1
1 
−
= 2
=0,
2
2 
 (2nπ ) (2nπ ) 
1
1
0
0
bn = 2∫ f (x )sen (2nπx )dx = 2 ∫ x sen (2nπx )dx =
1


x
1
= 2−
cos(2nπx ) +
sen (2nπx ) =
2
(2nπ )
 2 nπ
0
1
 1

1
0
1
= 2−
cos(2nπ ) +
sen (2nπ ) +
cos(0) −
sen (0) =
2
2
2nπ
(2nπ )
(2nπ )
 2nπ
0
1
 1 
= 2−
=−

nπ
 2nπ 
Assim, a série de Fourier desta função será
1 ∞  1

+ ∑−
sen (2kπx )
2 k =1  kπ

Vejamos os esboços gráficos dos primeiros termos a sucessão da somas parciais,
1 n  1

S n (x ) = + ∑  −
sen (2kπx ) , da série.
2 k =1  kπ

S1 (x ) =
1 1
− sen (2πx )
2 π
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36
Séries de Fourier
S 2 (x ) =
1 1
1
− sen (2πx ) −
sen (4πx )
2 π
2π
S 3 (x ) =
1 1
1
− sen (2πx ) −
sen (4πx )
2 π
2π
−
1
sen (6πx )
3π
S 4 (x ) =
1 1
1
− sen (2πx ) −
sen (4πx )
2 π
2π
1
1
−
sen (6πx ) −
sen (8πx )
3π
4π
S 5 (x ) =
1 1
1
− sen (2πx ) −
sen (4πx )
2 π
2π
1
1
−
sen (6πx ) −
sen (8πx )
3π
4π
1
−
sen (10πx )
5π
Os esboços gráficos dos termos da sucessão das somas parciais, transmitem-nos
uma visão de aparente convergência da série para a função.
Certamente que o leitor já deve ter reparado que, a partir de certa ordem, o
conjunto das imagens da soma parcial da série de Fourier de uma função, contêm o
conjunto das imagens dessa função, ou por outras palavras, a partir de certa ordem, o
valor máximo e mínimo de um termo da sucessão das somas parciais da série de
Fourier de uma função, é superior, respectivamente inferior, ao valor máximo,
respectivamente valor mínimo, que a função toma.
Ora, sendo a série de Fourier de uma função, convergente para essa mesma
função, é claro que numa vizinhança, [x0 − ε , x0 + ε ] , de um ponto de descontinuidade,
de abcissa x0 , da função, existe uma ordem, a partir da qual a diferença, ω n (x0 , ε ) ,
entre o valor máximo e mínimo que um termo da sucessão das somas parciais da série
de Fourier , é superior à diferença entre o valor máximo e mínimo que a função toma
nessa vizinhança. Curiosamente, ω n (x0 , ε ) não só é superior como também não
João Carlos Martins Vieira
37
Séries de Fourier
converge para diferença entre o valor máximo e mínimo que a função toma nessa
vizinhança, por muito pequena que seja. Tal curiosidade foi descoberta por Gibbs4, e
hoje é conhecida por fenómeno de Gibbs.
Neste último exemplo é evidente o facto de que só à quinta aproximação (quinto
termo da sucessão das somas parciais), é que o valor máximo da função é inferior ao
valor máximo da aproximação.
S5
S4
S3
S2
4
Gibbs, Josiah Welleard (1839-1903) - físico na Universidade de Yale, América do Norte.
João Carlos Martins Vieira
38
Séries de Fourier
Bibliografia
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Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1987.
NIKOLSKI, S. M.; BUGROV, Ia. S. - Matemática para Engenharia - U.R.S.S., Mir,
1987.
LIMA, E. L. - Curso de Análise - Rio de Janeiro - Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, 1992.
ROGOSINSKI, W. - Fourier Series - New York, Chelsea Publishing Company, 1950.
EYROLLIS - Mathématiques pour la Physique - 1994
BOYER, C. B. - História da Matemática - São Paulo, Edgard Blücher Ltda., 1993.
ARAÚJO, P. V. - Curso de Geometria - Lisboa, Gradiva, 1998.
MARQUES, S. M. - Dicionário Ilustrado de Matemática Elementar - Lisboa, JME,
1998
ALAIN, G. - Dicionário Prático de Matemática - Lisboa, Terramar, 1999.
HORRIL, P. J. F. - Maths A-Z - London, Longman Group Limited, 1986.
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FERREIRA, M. A. M. - Sucessões e Séries - Lisboa, Edições Sílabo, 1999.
DIEUDONNÉ, J. - A Formação da Matemática Contemporânea - Lisboa, Publicações
Dom Quixote, 1990.
vários- Fourier Series - Departament os Mathemathics The University os Arizona,
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João Carlos Martins Vieira
39