Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
1
Série Trigonométrica de Fourier
Uma função periódica f(t) pode ser decomposta em um somatório de
senos e cossenos eqüivalentes à função dada.
f (t ) =
Ao ∞
+ ∑ ( An cos (nω t ) + Bn sen (nω t ))
2 n =1
onde:
→
Ao
2
valor médio da função f(t)
An e Bn →
Coeficientes a determinar da série de Fourier
ω
velocidade angular da função f(t)
→
Cálculo dos Coeficientes da Série Trigonométrica de Fourier
Ao 1 T
área de f (t ) em um período
= ∫ f (t ) dt =
2
T o
valor de um periódo
An =
2
T
∫
T
Bn =
2
T
∫
T
o
o
f (t ) cos(nω t ) dt
f (t ) sen (nω t ) dt
CEFET-MG
Wander Rodrigues
Simplificações Possíveis
Função Par
f(t) = f(-t) Bn = 0
A decomposição será um somatório de funções cossenoidais
Função Ímpar
f(t) = -f(-t) A n = 0
A decomposição será um somatório de funções senoidais
Exercícios de Aplicação
Questão 03 página 68
Faça a decomposição do sinal – pulso - representado na figura abaixo:
Período: T = 0,2 s
ω= 2π f
ω=
2π
T
ω=
2π
0, 2
ω = 10π rad / s
CEFET-MG
2
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
Definição da função:
5 para 0 ≤ t ≤ 0,1
0 para 0,1 ≤ t ≤ 0,2
f(t) =
Cálculo de Ao/2
Ao 1 T
= ∫ f (t ) dt
2
T o
0, 2
Ao
1  0 ,1
1 0 ,1
=
5 dt + ∫ 0 dt  =
5 dt
∫
0 ,1
 0,2 ∫0
2
0, 2  0
0 ,1
0 ,1
0 ,1
Ao
= 5∫ 5 dt = 5 x 5 ∫ dt = 25 ∫ dt
0
0
0
2
Ao
= 25 t
2
0 ,1
0
= 25 (0,1 − 0 )
Ao
= 2,5 V
2
Cálculo de An
f (t ) cos (nω t ) dt
An =
2
T
An =
0, 2
2  0 ,1
5 cos (nω t ) dt + ∫ 0 cos (nω t ) dt 
∫
0 ,1

T  0
An =
2
T
∫
T
o
∫
0 ,1
o
5 cos (nω t ) dt =
2 x 5 0 ,1
cos (nω t ) dt
0,2 ∫0
An = 50 ∫ cos (nω t ) dt
0 ,1
0
sen (nω t )
An = 50
nω
0 ,1
0
50
=
sen (nω t )
nω
0 ,1
0
CEFET-MG
3
Wander Rodrigues
An =
50
[sen (n.10π.0,1) − sen (n.10π.0)]
nω
An =
50
(sen nπ − sen 0)
nω
An =
50 sen (nπ )
nω
4
Cálculo de Bb
f (t ) sen (nω t ) dt
Bn =
2
T
Bn =
0, 2
2  0 ,1
5
sen
(
n
ω
t
)
dt
+
∫0,1 0 sen (nω t ) dt 
0,2  ∫0
Bn =
2 0 ,1
2 x 5 0 ,1
5
sen
(
n
ω
w
t
)
dt
=
sen (nω t ) dt
0,2 ∫0
0,2 ∫0
∫
T
0
Bn = 50∫ sen (nω t ) dt
0 ,1
0
cos (nω t )
50
Bn = 50 −
=
(− cos (nω t )) 00,1
nω
nω
0
0 ,1
Bn =
50
[− cos (n.10π.0,1) − (− cos (n.10π.0))]
nω
Bn =
50
(− cos nπ + cos 0 )
nω
Bn =
50
(1 − cos nπ )
nω
Tabelando os calores de An e Bn
Considerando apenas os valores de An e Bn maiores que 10% do valor
máximo da função, teremos
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
Valores de n
An
5
Bn
1
5
sen (1.π) = 0
1.π
5
[1 − cos (1.π )] = 10
1.π
π
2
5
sen (2.π ) = 0
2.π
5
[1 − cos (2.π)] = 0
2.π
3
5
sen (3.π ) = 0
3.π
5
[1 − cos (3.π )] = 10
3.π
3.π
4
5
sen (4.π ) = 0
4.π
5
[1 − cos (4.π)] = 0
4.π
5
5
sen (5.π ) = 0
5.π
5
[1 − cos (5.π )] = 10
5.π
5.π
Escrevendo a equação de f(t)
f (t ) = 2,5 +
10
10
10
sen (10.π.t ) +
sen (30.π.t ) +
sen (50.π.t ) + L
π
3.π
5.π
Conclusão
Verificamos que o sinal apresentado é decomposto em um valor contínuo
e uma soma de senoides de freqüências harmônicas ímpares da freqüência
fundamental.
As amplitudes decrescem quando aumentamos a ordem da harmônica,
isto é, quando o valor de n aumenta, representando que essas componentes
colaboram pouco na reconstituição da forma de onda do sinal original.
Espectro de Amplitude
O espectro de amplitude apresenta o valor médio e as amplitudes
máximas das componentes harmônicas do sinal representado.
CEFET-MG
Wander Rodrigues
6
Espectro de fase
O espectro de fase apresenta o ângulo de fase das componentes
harmônicas, sempre tomando o sinal como uma função cossenoidal como
referência. (padronização)
π
Lembrete: A sen (ω t ) = A cos  w t ± 
2

Espectro de Potência
A potência média de uma função periódica é dada por
P=
1
T
∫
T
o
f 2 (t ) dt
Lembrando que
P=
2
Emax
E2
P = DC
2.R ,
R
podemos escrever:
∞
P = Eo2 + ∑
n =1
En2
2
CEFET-MG
e considerando um R unitário,
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
7
Questão 08 página 68
Represente a função decomposta por meio de seus espectros de amplitude, fase e
de potência.
Espectro de amplitude
Espectro de fase
Espectro de potência
CEFET-MG
Wander Rodrigues
Eo = 2,5
Po = (2,5)
2
B1 = 3,183
3,183 
P1 = 

 2 
2
B3 = 1,061
1,061 
P3 = 

 2 
2
B5 = 0,637
0,637 
P5 = 

 2 
2
B7 = 0,455
0,455 
P7 = 

 2 
8
Po = 6,25 W
2
P1 = 5,066 W
P3 = 0,563 W
P5 = 0,203 W
P7 = 0,103 W
Simulando a função do Exemplo
Utilizando para simulação o aplicativo Electronic WorkBench podemos
trabalhar com o seguinte circuito para verificarmos se a decomposição realizada,
retoma a forma de onda do sinal, com um mínimo de distorção.
Para tal usaremos o seguinte circuito:
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
9
Nesse circuito de simulação utilizamos a função three-way voltage
summer – somador de tensão de tensão de três entrada para fazer a adição de cada
uma das parcelas que compõem o sinal.
Assim, aos fecharmos cada uma das chaves, de 1 a 5, estaremos
adicionando a componente contínua, chave 1, as demais componentes harmônicas
do sinal, chaves 2 a 5.
Fechando, sucessivamente, cada uma das chaves encontraremos a
seguintes formas de ondas:
CEFET-MG
Wander Rodrigues
10
Fechando a chave 1, aparece a tensão contínua na saída.
Fechando a chave 2, a freqüência fundamental será sobreposta ao valor
contínuo.
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
11
Fechando a chave 3, o terceiro harmônico é adicionado ao valor anterior.
Observe que nesse ponto a forma de onda resultante começa a tomar uma forma
próxima ao valor do pulso.
CEFET-MG
Wander Rodrigues
12
Fechando a chave 4, o quinto harmônico é adicionado ao valor anterior.
Nesse caso torna-se mais caracterizado a forma do pulso, tendo apenas algumas
ondulações na parte reta do mesmo.
Finalmente, fechando a chave 5, temos uma forma de onda semelhante
ao pulso decomposto, porém apresentando alguma ondulação nas partes retas do
pulso. Esses ondulações, certamente serão reduzidas se um número maior de
harmônicas forem consideradas na reconstituição do mesmo. É importante relembrar
que a decomposição utilizando a série trigonométrica de Fourier é uma função com
infinitas componentes. A determinação do número máximo de componentes
resultará numa maior ou menor aproximação da forma de onda recomposta. Em
outras palavras, o número de componentes vai determinar a distorção máxima
aceitável na forma de onda reconstituída.
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
13
Utilizando o mesmo aplicativo é possível obter cada um dos espectros de
amplitude à medida que as chaves forem fechadas ou novas componentes forem
adicionadas.
Assim, para a chave 1 fechada, teremos:
Fechando as chaves 1 e 2:
CEFET-MG
Wander Rodrigues
Fechando as chaves 1, 2 e 3:
Fechando as chaves 1, 2, 3 e 4:
CEFET-MG
14
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
15
Fechando as chaves 1, 2, 3, 4 e 5:
Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sendo que a
componente fundamental representa a maior contribuição na reconstituição do pulso
original.
CEFET-MG
Wander Rodrigues
16
Questão 09
Faça a decomposição do sinal retificado de meia onda representado na
figura abaixo:
Definição da função f(t):
0 para -T/2 < t < 0 ou -π < t < 0
f(t) =
Emax sen (ωt) para 0 < t < T/2 ou 0 < t < π
Simplificação
Verificando se a função é par ou ímpar chegamos a conclusão que ela
não se encaixa em nenhuma das duas condições. Assim sendo, teremos a
decomposição da mesma apresentando parcelas senoidais e cossenoidais.
Período da função
T = 2.π rad
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
Cálculo de Ao/2
Ao 1 T / 2
= ∫ E max sen (ω t ) dt para –T/2 < t < 0 f(t) = 0
2
T 0
Ao E max
=
2
T
∫
T /2
0
sen (ω t ) dt
Ao E max  − cos(ω t ) 
=


2
T 
ω
0
T /2
Ao − E max
=
(cos (ω t )) T0 / 2
2
ωT
Ao − Emax   2.π T 
 2.π

=
cos
x  − cos
x 0 

2.π
2
 T

xT   T 2 
T
Ao − E max
−E
=
(cos π − cos 0) = max (− 1 − 1)
2
2.π
2.π
Ao Emax
=
2
π
Cálculo de A1
A1 =
2 T /2
f (t ) cos(ω t ) dt
T ∫−T / 2
A1 =
2
T
A1 =
2.E max
T
A1 =
E max
T
A1 =
− Emax  cos (2ω t ) 
T  2.ω  0
∫
Emax sen (ω t ) cos (ω t ) dt =
T /2
0
∫
T /2
0
∫
T/2
0
∫
T /2
0
sen (ω t ) cos (ω t ) dt
2.E max 1 T / 2
1
sen (2ω t ) dt =
x ∫ sen (2ω t ) dt
2
T
2 0
sen (2ω t ) dt
T /2
A1 =
2.Emax
T
− Emax
2.π
2x
xT
T
=
− E max
[cos (2ω t )] T0 / 2
2.ω.T

2.π T 
2.π



cos  2 x T x 2  − cos  2 x T x 0  





CEFET-MG
17
Wander Rodrigues
A1 =
− Emax
(cos 2.π − cos 0)
4.π
A1 =
− Emax
x0
4.π
18
A1 = 0
Cálculo de An para n ≠ 1
An =
2
T
An =
2.E max
T
∫
T/2
0
E max sen (ω t ) cos (n.ω t ) dt
∫
T /2
0
sen (ω t ) cos (n.ω t ) dt
2.E max  − cos (ω.t − n.ω.t ) 
An =
T  2(ω + n.ω)  o
T /2
2.E max  − cos (ω.t + n.ω.t ) cos (ω.t − n.ω.t )
An =
−
T  2 (ω + n.ω)
2 (ω − n.ω)  0
T /2

2.π T
2.π T 
2.π T
2.π T 
2.π
2.π
2.π
2.π

− cos 
x + n.
x  cos 
x − n.
x  cos 
x 0 + n.
x 0  cos
x 0 − n.
x 0  
2.Emax 
T
2
T
2
T
2
T
2
T
T
T
T









An =
−
+
+
T 
2 (ω + n.ω )
2 (ω − n.ω )
2 (ω + n.ω )
2 (ω − n.ω )



An =
2.E max
T
 − cos (π + n.π ) cos (π − n.π )

1
1
−
+
+


2 (ω − n.ω ) 2 (ω + n.ω ) 2 (ω − n.ω )
 2 (ω + n.ω )
Para n =2
A2 =

2. E max  − cos (π + 2.π ) cos (π − 2.π )
1
1
−
+
+


T  2 (ω + 2.ω )
2 (ω − 2.ω ) 2 (ω + 2.ω ) 2 (ω − 2.ω )
A2 =
2.E max  − cos (3π ) cos (− π ) 1
1 
−
+
+


T  6ω
− 2.ω
6ω − 2.ω 
A2 =
2.E max  1
1
1
1 
−
+
−

T  6.ω 2.ω 6.ω 2.ω
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
 1 − 1  = 2.Emax x − 2
 3.ω ω
T
3.ω
A2 =
2.E max
T
A2 =
2.E max
x
T
A2 =
− 2.E max
3.π
2.E max − 2.T
−2
=
x
2.π
T
6π
3x
T
Para n = 3
A3 =

2.E max  − cos (π + 3.π ) cos (π − 3.π )
1
1
−
+
+


T  2 (ω + 3.ω )
2 (ω − 3.ω ) 2 (ω + 3.ω ) 2 (ω − 3.ω )
A3 =
2.E max
T
A3 =
2.Emax  − 1
1
1
1 
+
+
−

T  8.ω 4.ω 8.ω 4.ω
 − cos (4π ) cos (− 2.π ) 1
1 
−
+
+


− 4.ω
8ω − 4.ω 
 8ω
A3 = 0
Para n = 4
A4 =

2. E max  − cos (π + 2.π ) cos (π − 2.π )
1
1
−
+
+


T  2 (ω + 2.ω )
2 (ω − 2.ω ) 2 (ω + 2.ω ) 2 (ω − 2.ω )
A4 =
2.E max  − cos (3π ) cos (− π ) 1
1 
−
+
+


T  6ω
− 2.ω
6ω − 2.ω 
A4 =
2.E max
T
A4 =
2.E max  1
1
2.Emax − 2
−  =
x

T  3.ω ω
T
3.ω
 1 − 1 + 1 − 1 
 6.ω 2.ω 6.ω 2.ω
CEFET-MG
19
Wander Rodrigues
A4 =
2.E max
x
T
A4 =
− 2.E max
3.π
20
2.E max − 2.T
−2
=
x
2.π
T
6π
3x
T
Para n = 5
 − cos (π + 5.π ) cos (π − 5.π )

1
1
−
+
+


2 (ω − 5.ω ) 2 (ω + 5.ω ) 2 (ω − 5.ω )
 2 (ω + 5.ω )
A5 =
2.E max
T
A5 =
2. E max  − cos (6π ) cos (− 4.π )
1
1 
−
+
+


T  12.ω
− 8.ω
12.ω − 8.ω 
A5 =
2.Emax  − 1
1
1
1 
+
+
−

T 12.ω 8.ω 12.ω 8.ω
A5 = 0
Observando os valores calculados de An, verificamos que An = 0 para
todo n ímpar.
Cálculo de Bn
Bn =
2
T
∫
T/2
Bn =
2
T
∫
T /2
Bn =
2.E max
T
−T / 2
0
f ( t ) sen (n.ω.t ) dt
Emax sen (ω.t ) sen (n.ω.t ) dt para –T/2 < t < 0 ou -π/2 < t < 0 f(t) = 0
∫
T /2
0
sen (ω.t ) sen (n.ω.t ) dt
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
Para n = 1
B1 =
2.Emax
T
∫
T /2
B1 =
2.E max
T
∫
T /2
B1 =
2.Emax
T
∫
T /2
B1 =
2.E max
T
 1 T / 2 dt − 1 T / 2 cos (2.ω.t ) dt 
 2 ∫0

2 ∫0
B1 =
T/2
E max  T / 2
dt
−
cos (2.ω.t ) dt 
∫
∫
0

T  0
E
B1 = max
T

t

0
0
0
sen (ω.t ) sen (ω.t ) dt
sen 2 (ω.t ) dt
 1 − 1 cos (2.ω.t ) dt
 2 2

T/2
T /2
0
1
−
sen (ω.t )
2.ω
0



B1 =
Emax  T
1
1
 2.π T 
 2.π

−
sen 
x − 0 +
sen 
x 0

T  2 2.ω  T
2
2.ω  T

B1 =
Emax
T
B1 =
E max T
x
T
2
B1 =
Emax
2
T − 1 sen π + 1 sen 0 
 2 2.ω

2.ω
Para n ≠ 1
Bn =
2.E max
T
∫
T /2
0
sen (ω.t ) sen (n.ω.t ) dt
2.E max  − sen (ω.t + n.ω.t ) sen (ω.t − n.ω.t ) 
Bn =
+
T  2.(ω + n.ω)
2.(ω − n.ω)  0
T /2
CEFET-MG
21
Wander Rodrigues
22

2.π T 
2 .π T 

 2 .π T
 2 .π T
− sen 
x + n.
x  sen 
x − n.
x 

2. Emax 
sen
(
ω
.
0
−
n
.
ω
.
0
)
sen
(
ω
.
0
−
n
.
ω
.
0
)
2
T
2
2
T
2
 T
 T


Bn =
+
+
−
T 
2.(ω + n.ω)
2.(ω − n.ω)
2 .(ω + n.ω)
2 .(ω − n.ω) 




Bn =
2.E max  − sen (π + n.π ) sen (π − n.π) 
+
T  2.(ω + n.ω)
2.(ω − n.ω) 
Para n = 2
B2 =
2.E max  − sen (π + 2.π) sen (π − 2.π ) 
+
T  2.(ω + 2.ω)
2.(ω − 2.ω) 
B2 =
2.E max  − sen (3.π) sen (− π) 
+
T  6.ω
− 2.ω 
B2 = 0
Para n = 3
B3 =
2.Emax  − sen (π + 3.π ) sen (π − 3.π )
+
T  2.(ω + 3.ω)
2.(ω − 3.ω) 
B3 =
2.Emax  − sen (4.π) sen (− 2.π )
+
T 
8.ω
− 4.ω 
B3 = 0
Assim, Bn para todo n ≠ 1 será igual a zero.
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
23
Equação do sinal
f (t ) =
Emax E max
2.Emax
2.Emax
+
sen (ω.t ) −
cos (2.ω.t ) −
cos (4.ω.t ) + L
π
2
3.π
15.π
Para um valor máximo de 12 volts, temos:
Emax = 12 V
f (t ) = 3,822 + 6 sen (ω.t ) − 2,548 cos (2.ω.t ) − 0,509 cos (4.ω.t ) − 0, 218 cos (6.ω.t ) + L
Simulando a função do Exemplo
Utilizando para simulação o aplicativo Electronic WorkBench podemos
trabalhar com o seguinte circuito para verificarmos se a decomposição realizada,
retoma a forma de onda do sinal, com um mínimo de distorção.
Para tal usaremos o seguinte circuito:
CEFET-MG
Wander Rodrigues
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Nessa simulação estaremos utilizando um ângulo de defasagem de 90o
nas fontes de sinais senoidais para representar um sinal cossenoidal, como
solicitado na decomposição.
Alem disso, também empregamos o bloco Voltage Gain Block com o
propósito de termos um ganho unitário, porém fazendo a inversão de fase de 180o
caracterizado pelo sinal negativo à frente das parcelas cossenoidais do sinal
decomposto.
Assim, aos fecharmos cada uma das chaves, de 1 a 5, estaremos
adicionando as componentes harmônicas do sinal.
Fechando, sucessivamente, cada uma das chaves encontraremos a
seguintes formas de ondas:
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
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Fechando a chave 1, aparece a tensão contínua na saída.
Fechando a chave 2, a freqüência fundamental será sobreposta ao valor
contínuo.
CEFET-MG
Wander Rodrigues
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Fechando a chave 3, o segundo harmônico é adicionado ao valor anterior.
Observe que nesse ponto a forma de onda resultante começa a tomar uma forma
próxima ao valor do sinal retificado.
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
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Fechando a chave 4, o quarto harmônico é adicionado ao valor anterior.
Nesse caso torna-se mais caracterizado a forma do sinal retificado, tendo apenas
algumas ondulações na parte reta do mesmo.
Finalmente, fechando a chave 5, temos uma forma de onda semelhante
ao sinal decomposto, porém apresentando alguma ondulação nas partes retas do
sinal. Esses ondulações, certamente serão reduzidas se um número maior de
harmônicas forem consideradas na reconstituição do mesmo. É importante relembrar
que a decomposição utilizando a série trigonométrica de Fourier é uma função com
infinitas componentes. A determinação do número máximo de componentes
resultará numa maior ou menor aproximação da forma de onda recomposta. Em
outras palavras, o número de componentes vai determinar a distorção máxima
aceitável na forma de onda reconstituída.
CEFET-MG
Wander Rodrigues
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Utilizando o mesmo aplicativo é possível obter cada um dos espectros de
amplitude à medida que as chaves forem fechadas ou novas componentes forem
adicionadas.
Assim, para a chave 1 fechada, teremos:
Fechando as chaves 1 e 2:
CEFET-MG
Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier
Fechando as chaves 1, 2 e 3:
Fechando as chaves 1, 2, 3 e 4:
CEFET-MG
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Wander Rodrigues
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Fechando as chaves 1, 2, 3, 4 e 5:
Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sendo que a
componente fundamental representa a maior contribuição na reconstituição do pulso
original.
CEFET-MG