Sólidos semelhantes
Segmentos
proporcionais
Área
Volume
Sólidos semelhantes
Considere uma
pirâmide cuja a base é
um polígono qualquer:
Se seccionarmos essa
pirâmide por um plano
paralelo à base,
dividiremos a pirâmide
em dois outros sólidos:
Sólidos semelhantes
Ao seccionar a pirâmide encontramos uma segunda
pirâmide semelhante a primeira, ou seja, os ângulos
de ambas são congruentes e segmentos
proporcionais.
Teremos então uma razão de semelhança que é
chamado de k;
Aplicando a semelhança entre as figuras, temos:
a b e aB → medidas das arestas das bases
a e a → medidas das arestas laterais
ab al a p h
 l
L
=
=
=
= k
aB aL aP H
a p e aP → medidas dos ápotemas
h e H → medidas das alturas

Sólidos semelhantes
Para você fazer – p. 30
Uma pirâmide tem como base um quadrado cujos lados
medem 10 cm, e a altura mede 20 cm. Seccionando-se essa
pirâmide por um plano paralelo à base que dista 16 cm dessa,
obtém-se uma pirâmide menor. Calcule a medida de cada um
dos lados da base dessa nova pirâmide.
Resposta:
A altura dessa pirâmide menor mede 20cm - 16cm = 4cm.
Assim, sendo x a medida do lado de cada um dos lados da base da pirâmide menor,
h a
4
x
temos = b →
= → x = 2cm
H aB
20 10
Sólidos semelhantes
Na geometria plana, estudamos
que a razão entre as áreas de
dois polígonos semelhantes é
igual ao quadrado da razão de
semelhança.
Assim, se duas pirâmides são
semelhantes, suas bases e
faces laterais são polígonos
semelhantes.
Portanto, sendo Ab e AB as
áreas das bases de duas
pirâmides semelhantes, Al e AL
suas faces laterais, temos:
Ab
Al
=
= k2
AB AL
Como a área total é
igual à soma das áreas
lateral e da base,
podemos escrever:
At
Al + Ab k 2 . AL + k 2 . AB
=
=
=
AT AL + AB
AL + AB
k 2 .( AL + AB )
=
= k2
AL + AB
Sólidos semelhantes
Para você fazer – p. 30
Uma pirâmide cuja a base é um triângulo de área 4dm² tem
altura de medida 10 dm. Seccionando essa pirâmide por um
plano paralelo à base e que passa pelo ponto médio da altura,
qual é a área da base da pirâmide menor obtida?
Resposta:
A medida da altura da pirâmide menor é igual à metade da pirâmide
original, ou seja, 5 dm.
Assim, sendo A b a área da base da pirâmide menor, temos :
Ab  5 
Ab 1
=  →
= → A b = 1dm2
4  10 
4 4
2
Sólidos semelhantes
A razão entre os volumes
também pode ser
determinada em função da
razão de semelhança k.
Para tanto, basta lembrar
que o volume de uma
pirâmide é igual a 1/3.Ab.h,
em que Ab é área da base,
e h, a medida da altura.
Logo, sendo v e V os
volumes de duas pirâmides
semelhantes, temos:
1
. Ab .h
v
A h
3
=
= b .
= k 2 .k = k 3
V 1 . A .H
AB H
B
3
Logo, se a razão de
semelhança entre os
segmentos de duas
pirâmides é k, então a razão
entre seus volumes é igual
k³.
Sólidos semelhantes - Resumo
ab al a p h
segmentos proporcionais →
=
=
=
=k
aB aL aP H
Ab
Al
áreas →
=
= k2
AB AL
1
. Ab .h
Ab h
v
3
volumes → =
=
. = k 2 .k = k 3
V 1 . A .H AB H
B
3
Sólidos semelhantes
Se um cone for seccionado por um plano paralelo à
base, este será divididos em dois sólido: outro cone
e um tronco de cone.
São válidas as mesmas propriedades estudadas na
pirâmide;
r g h
segmentos correspondentes → = =
=k
R G H
A
A
áreas → b = l = k 2
AB AL
v
volumes → = k 3
V
Sólidos semelhantes
Para você fazer – p. 31
1) Seccionando-se um cone reto cujo o volume é igual
a V por um plano paralelo à base e que passa pelo
ponto médio da altura, qual a razão entre os
volumes menor obtido e do cone original.
Sendo v o volume do cone menor, podemos escrever a seguinte proporção :
v h
v 1
v 1
=  → =  → =
V H 
V 2
V 8
3
3
1
, o que equivale
8
dizer que o volume do cone menor é igual a 12,5% do volume do cone original.
Assim, a razão entre os volumes dos cones menor e maior é
Sólidos semelhantes
Para você fazer – p. 31
2) Uma pirâmide de altura 4dm é seccionada por um
plano paralelo à base. Qual deve ser a distância de
plano ao vértice dessa pirâmide para que o volume
da pirâmide menor obtida seja igual à quinta parte
do volume da pirâmide original?
Sendo d a distância do plano ao vértice da pirâmide, temos :
3
3
3
2
v h
1 d 
4
4
4
5
=   → =   → d3 =
→d =3
→d = 3 .
→
3
2
V H
5 4
5
5
5 5
3
43 25
→d =
5
3
Sólidos semelhantes
Para você fazer – p. 31
3) Uma taça tem o formato de um cone invertido, como mostra a
figura. A altura da taça mede 10cm, e ela está cheia de suco
de uva. Se duas pessoas querem dividir esse suco em partes
iguais, qual é a distância do vértice para que a quantidade
(volume) de suco tomado pela primeira pessoa seja igual à
quantidade (volume) de suco tomado pela outra?
Resposta
Sendo d a distância do plano ao vértice do cone, temos :
V
3
3
3
3
2
v h
d
10
10
10
2


=   → 2 =   → d3 =
→d =3
→d = 3 .
→
3
2
V H
V  10 
2
2
2 2
3
→ d = 53 4
Resolução de Atividades
Página 31 e 32