ceito de limite, q u e t e m « a l g u m a coisa de
i r r a c i o n a l » , o cálculo i n t e g r a l e diferencial
é l e g í t i m o , e t u d o o q u e se r e l a c i o n a com
tal c o n c e i t o ; a p a s s a g e m ao limite c o n t i n u a ,
v á l i d a e eficaz. E ' isto u m a das c a r a c t e r í s t i c a s históricas e lógicas m a i s n o t á v e i s das
m a t e m á t i c a s , — a saber, a eficácia e a legit i m i d a d e d a sua c o n s t r u ç ã o a t r a v é s d a s
dificuldades racionais m a i s s i n g u l a r e s , como
é o i r r a c i o n a l e o ilógico, p o r e x e m p l o , o
círculo vicioso de H . W e y l : — como diz
Gronseth, «o seu edifício não e s t á a n c o r a d o
em q u a l q u e r p a r t e com u m a solidez absol u t a ; é u m a c o n s t r u ç ã o aérea q u e se m a n t é m c o m o p o r m i l a g r e : a mais a u d a c i o s a e
a m a i s i n v e r o s í m i l das a v e n t u r a s do eapir i t o ».
H á n e s t a q u e s t ã o problemas lógicos e problemas psicológicos
t a n t o m a i s difíceis de
a n á l i s e e de esclarecer, q u a n t o u n s e o u t r o s ,
a p a r t i r de u m c e r t o m o m e n t o , m e r g u l h a m
n a s p r ó p r i a s r a í z e s do p e n s a m e n t o e n o
i n c o n s c i e n t e : ó n o e n t a n t o n o e s t u d o comb i n a d o do lógico e do psicológico q u e reside
o esclarecimento destas questões. Não pod e m o s a p r o f u n d a r e s t a d i s c u s s ã o a q u i ; conv é m n o e n t a n t o fazer a i n d a n o t a r o s e g u i n t e .
D i s s e m o s acima q u e o p a r a d o x o de Z e n o n
r e s u l t a da s o b r e p o s i ç ã o de dois p r o c e s s o s
psicológicos q u e , como t a i s , são irreductív e i s . Se o cálculo diferencial e i n t e g r a l , e
a p a s s a g e m ao limite são v i á v e i s , ó em
p a r t e p r e c i s a m e n t e p o r q u e os p r o c e s s o s
psicológicos q u e lhes e s t ã o n a b a s e são
aplicados s u c e s s i v a m e n t e e depois retinidos
em s í n t e s e . N ã o se diferencia e i n t e g r a ao
mesmo tempo, n e m se constróe h i s t o r i c a m e n t e
a d e r i v a d a e o i n t e g r a l ao mesmo
tempo;
m a s p o r u m a realização de p r o c e s s o s psicológicos diferentes, aplicados s u c e s s i v a m e n t e ,
e daqui tomados conexos.
R e d u z a m o s a q u e s t ã o à s u a forma m a i s
simples ; c o n s i d e r e m o s o i n t e g r a l como defin i d o p o r u m s e g m e n t o de r e c t a q u e t o t a liza os seus e l e m e n t o s i n f i n i t a m e n t e p e q u e nos. Quando construímos psicologicamente
o ds e x e c u t a m o s u m a o p e r a ç ã o diferente da
c o n s t r u ç ã o do s e g m e n t o de r e c t a ; m a s considerando que este segmento construído é
p r e c i s a m e n t e o m e s m o q u e foi dividido em
n ú m e r o infindo de ds, n ó s fizemos do
s e g m e n t o o integral d e s t e s ds. Q u e r dizer,
d e u m l a d o t e m o s , como p r o c e s s o psicológ i c o , u m fluxo i n f i n d o ; m a s e s t e fluxo
infindo c o r r e s p o n d e t o t a l m e n t e a u m segm e n t o de r e c t a finito, q u e o c o n t é m : e s t e é,
como p r o c e s s o psicológico de c o n s t r u ç ã o ,
i r r e d u c t í v e l ao p r o c e s s o de fluxo infindo :
m a s os dois e s t ã o t o r n a d o s c o n e x o s p o r se
t r a t a r do m e s m o s e g m e n t o . A p a s s a g e m ao
l i m i t e n ã o se faz a q u i d i r e c t a m e n t e , p o r
e x g o t a m e n t o do fluxo infindo, o que é impossível; m a s i n d i r e c t a m e n t e .
A q u e s t ã o é m a i s difícil se se t r a t a de u m
integral-superfície, t o t a l i z a n d o as superfícies e l e m e n t a r e s ds de cuja s o m a o i n t e g r a l
ó limite. M a s , n o fundo é a n á l o g a ; d e n t r o
d a superfície i n t e g r a l c o n t i n u a e m fluxo
infindo o p r o c e s s o p s i c o l ó g i c o de d i v i s ã o ;
o p r o c e s s o c o n s t r u c t i v o da superfície i n t e g r a l é p s i c o l o g i c a m e n t e diferente, m a s cont é m esse p r o c e s s o em fluxo infindo.
N ã o p o d e m o s r e a l i z a r do mesmo tempo,
s o b o p o n t o de v i s t a psicológico, os dois
p r o c e s s o s ; m a s p o d e m o s reuni-los, conjug a n d o - o s , d e p o i s de c a d a u m s u c e s s i v a mente realizado : e é isto que corresponde,
n o c a m p o psicológico, à p a s s a g e m ao limite.
A p a s s a g e m ao l i m i t e ó pois, n e s t e sent i d o , a r e u n i ã o de dois p r o c e s s o s psicológicos irreductíveis n u m t o d o ; e s t a c ó p u l a í a z -se i n d i r e c t a m e n t e p e l a c o n s i d e r a ç ã o de u m
t o d o ( i n t e g r a l ) d e n t r o do qual se realiza u m
fluxo infindo. N ã o h á pois em rigor, salto
ao limite, m a s fluxo infindo d e n t r o de u m
t o t a l ; i s t o ó, c ó p u l a e n t r e dois p r o c e s s o s
psicológicos i r r e d u c t í v e i s m a s t o m a d o s estreitamente conexos. A verdadeira passag e m ao l i m i t e , s o b o p o n t o de v i s t a psicológico r e s i d e p o i s n a p a s s a g e m do fluxo
infindo a e s s e t o t a l , isto é, n a p a s s a g e m —
n o salto — de u m p r o c e s s o psicológico p a r a
o u t r o , q u e n o e n t a n t o lhe ó i r r e d u c t í v e l . O
i n t e g r a l c o n s t r o e o t o d o d e n t r o do qual flue
o infinitesimal, e p o r essa r a z ã o , a p e z a r d a
i r r e d u c t i b i l í d a d e dos p r o c e s s o s , como t a i s ,
a c o n e x ã o e s t á e s t a b e l e c i d a , e ao p a s s a r m o s de u m p r o c e s s o p a r a o o u t r o e s t a b e l e c e m o s a u t o m a t i c a m e n t e a p a s s a g e m ao
limite.
P r e c i s a m e n t e u m a d a s u t i l i d a d e s do cálculo i n t e g r a l c o n s i s t e em calcular u m t o t a l
q u e n ã o é p o s s í v e l a t i n g i r sem p a s s a r p e l a
t o t a l i z a ç ã o dos seus e l e m e n t o s ; o p r o c e s s o
de i n t e g r a r p e r m i t e calcular t o t a i s q u e n ã o
são possíveis de avaliação d i r e c t a . Mas os
p r o c e s s o s do cálculo, n a s s u a s q u a l i d a d e s
são u m a coisa, o u t r a são as s u a s b a s e s
conceptuais, a sua construção histórica
e psicológica, e é e s t a a p e n a s que e s t a m o s c o n s i d e r a n d o : o r e s t o é mecanismo do
cálculo.