UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ
ÁREA DE CÊNCIAS SOCIAIS E APLICADAS
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS
Demanda
Séries 1
7500
f(x)=-76*x+4920; R²=0.9911
Sombreando 1
7000
6500
6000
MATEMÁTICA
5500
5000
4500
4000
3500
3000
D= 4920 - 76P
2500
2000
1500
1000
500
-30
-20
-10
-500
Preço
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-1000
-1500
Graph Limited School Edition
PROFESSOR: EUCLIDES CASSOL
CHAPECÓ, FEVEREIRO DE 2014.
SUMÁRIO
1-Introdução .......................................................................................................................... 6
2-Grandezas Diretamente Proporcionais ............................................................................. 6
2.1- Propriedade Característica ...................................................................................... 8
2.2 - Números Diretamente Proporcionais ................................................................... 8
3- Grandezas Inversamente Proporcionais .......................................................................... 9
3.1- Propriedade Característica ...................................................................................... 10
3.2- Números Inversamente Proporcionais .................................................................... 11
4- Regra de Sociedade ......................................................................................................... 11
4.1- Classicamente, há quatro casos a considerar: ........................................................ 11
4.2- Exercícios ................................................................................................................. 14
5- Regra de Três ................................................................................................................... 17
5.1- Regra de Três Simples .............................................................................................. 17
5.2. Exercícios .................................................................................................................. 18
5.3- Regra de Três Composta .......................................................................................... 19
5.4-Exercícios .................................................................................................................. 19
6-Porcentagem ..................................................................................................................... 21
6.1-Exercícios .................................................................................................................. 23
7- Equações do 1º Grau ...................................................................................................... 25
7.1-Exercícios .................................................................................................................. 25
8- Inequações do Primeiro Grau ....................................................................................... 27
3
8.1- Exercícios ................................................................................................................. 27
9- Sistemas de Equações do 1º Grau ................................................................................... 30
9.1- Exercícios ................................................................................................................. 30
10-Equações do Segundo Grau ........................................................................................... 32
10.1- Exercícios ............................................................................................................... 33
11- FUNÇÕES ..................................................................................................................... 35
11.1- Introdução .............................................................................................................. 35
11.2- Definição ................................................................................................................. 36
11.3- Funções Reais de uma variável Real ................................................................... 40
11.3-Exercícios ................................................................................................................ 41
11.4- Primeiras Normas Elementares para o Estudo de uma Função .......................... 44
11.4.1-Interceptos ........................................................................................................ 45
11.4.2- Funções Crescentes e Decrescentes................................................................ 45
11.4.3- Pontos de Máximo e de Mínimo ..................................................................... 46
11.4.4- Estudo do Sinal de uma Função..................................................................... 47
12- Principais Funções Elementares e suas Aplicações .................................................... 49
12.1-Função Constante ................................................................................................... 49
12.2- Função AFIM ........................................................................................................ 49
12.3 - Funções Custo, Receita e Lucro (função afim) ................................................... 54
13- Margem de Contribuição por Unidade ......................................................................... 55
14- Custo Médio de Produção ............................................................................................. 56
15- Funções Demanda e Oferta (função afim) .................................................................. 60
16- Depreciação Linear ....................................................................................................... 64
4
17- Função Consumo e Função Poupança ........................................................................ 66
18- Função Quadrática ....................................................................................................... 69
19- Funções Receita e Lucro Quadráticas ......................................................................... 72
20- Função Exponencial ..................................................................................................... 77
20.1 Equação Exponencial .............................................................................................. 77
20.2- Função Exponencial .............................................................................................. 78
21- Logaritmos ...................................................................................................................... 81
21.1- Definição ................................................................................................................. 81
22.2- Consequências da Definição .................................................................................. 82
21.3- Sistemas de Logaritmos .......................................................................................... 82
21.4- Propriedades Operatórias dos Logaritmos ............................................................ 83
21.5- Função Logarítmica .............................................................................................. 84
22- Juros Compostos ........................................................................................................... 87
23. Referências Bibliográficas ............................................................................................ 89
5
1-INTRODUÇÃO
Grande parte dos problemas que nos deparamos em situações de nosso cotidiano liga
duas grandezas relacionadas de tal forma que, quando uma delas varia, como
consequência, temos a variação da outra (ou das outras) também.
Assim, o tempo necessário para fazer uma viagem depende da velocidade com que nos
deslocamos. A receita de uma fábrica depende do número de unidades vendidas.
A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de
uma delas em função da outra (ou das outras). Existem várias formas de relações entre
grandezas, mas nos deteremos a estudar, neste momento, especificamente dois casos:
grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais.
2-GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Consideremos o número de unidades produzidas por uma empresa em função do custo
em reais descrito na tabela abaixo:
Nº unidade
Custo (R$)
1
4,00
2
8,00
3
12,00
...
...
10
40,00
6
Examinando a tabela, percebemos que a grandeza custo depende do número de
unidades já que aumentando a quantidade comprada aumenta o custo.
Chamando de X a grandeza unidades produzidas e Y a grandeza custo (reais)
temos que:
= 4,00 ou Y = 4 X
Dizemos que neste caso que as grandezas X e Y são diretamente proporcionais e 4
é a razão ou o coeficiente de proporcionalidade.
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais se os valores correspondentes
de X e Y são expressos por uma função da forma:
real constante, diferente de zero.
Gráfico
7
Y = K . X, onde K é um número
2.1- PROPRIEDADE CARACTERÍSTICA
Sendo (X1, Y1) e (X2, Y2) pares de valores correspondentes a duas grandezas
proporcionais podemos escrever:
Alternando os extremos obtemos:
Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é
igual à razão entre dois valores correspondentes da outra.
2.2 - NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
As sequências de números reais não nulos (A1, A2, ...,An) e (B1, B2,...,Bn) são diretamente
proporcionais se, e somente se:
(constante)
B1
B2
BN
8
3- GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
O tempo para fazer uma viagem está associado à velocidade média que um
automóvel consegue desempenhar. Observemos a tabela abaixo que descreve a
velocidade média em função do tempo gasto pra completar a viagem.
Velocidade média (Km/h)
Tempo (horas)
120
20
100
24
80
30
40
60
Vemos que, a grandeza tempo, depende da grandeza velocidade de maneira que,
diminuindo a grandeza “velocidade média” o tempo aumenta. Temos então que:
120 x 20 = 100 x 24 = 80 x 30 = 40 x 60 = 2400
Chamando de X a grandeza velocidade e Y a grandeza tempo podemos escrever
que X. Y = 2400 ou que Y =
Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se os valores
correspondentes de X e Y são expressos por uma função da forma: Y = K .
1/X, onde K é um número real constante, diferente de zero.
9
GRÁFICO
3.1- PROPRIEDADE CARACTERÍSTICA
Sendo (X1 , Y1) e (X2 , Y 2) pares de valores correspondentes de duas grandezas
inversamente proporcionais podemos escrever:
X1 x Y 1 = X2 x Y2 ou que
Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é
igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.
10
3.2- NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
As sequências de números reais e não-nulos (A1, A2,...., An) e (B1, B2,...,Bn) são inversamente
proporcionais se, e somente se:
A1 . B1 = A2 . B2 = ... = An . Bn = K (constante)
Ou, então:
4- REGRA DE SOCIEDADE
A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. Tem por objeto a
divisão dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade,
por ocasião do Balanço Geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos
sócios ou da admissão de um novo sócio.
Por convenção, o lucro e/ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos
capitais que empregaram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato
social.
4.1- CLASSICAMENTE, HÁ QUATRO CASOS A CONSIDERAR:
1º) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo.
A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número
deles.
11
Exemplo:
Uma empresa foi constituída por quatro sócios investindo R$200.000,00. Sabendo que seus
capitais eram iguais e que a empresa produziu um lucro de R$60.000,00 durante
determinado período. Vamos determinar o lucro que caberia a cada sócio.
Logo, a parte do lucro que caberia a cada um é de R$15 000,00.
2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. Neste caso,
dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos
sócios.
Exemplo:
Uma empresa realizando seu balanço anual verificou um prejuízo de R$45000,00.
Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio, sabendo que seus capitais
investidos foram de R$ 45.000,00 R$ 50.000,00 e R$ 85.000,00:
Vamos representar os sócios pelas letras A, B e C:
A + B + C = 45.000 + 50.000+ 85.000= 180 000
Fator de Retorno →FR
FR = 45.000/ 180000 = 0,25
12
Socio
Valor do Prejuizo
A
45 000 x 0,25 =R$ 11 250,00
B
50 000 x 0,25 = R$12 500,00
C
85 000 x 0,25 =R$21 250,00
Total
R$ 45 000,00
Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de:
R$ 11 250,00, R$ 12 500,00 e R$ 21 250,00
3º) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais.
Teoricamente, o lucro ou o prejuízo correspondente a cada sócio seria determinado
dividindo-se o lucro ou o prejuízo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos
tempos.
Porém, na prática, este caso não ocorre, porque, em uma sociedade, os sócios não
podem permanecer por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou
um novo sócio é admitido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o Balanço,
calculando-se o Ativo e o Passivo.
4º) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais.
Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos
produtos dos capitais pelos respectivos tempos.
Ex1:
Um empresário resolveu dividir o valor de R$ 1 800,00 entre três de seus funcionários
de maneira inversamente proporcional a suas faltas ao trabalho sendo elas
respectivamente 7 faltas, 5 faltas e 8 faltas. Quanto caberá a cada um?
Ex2:
13
Em uma indústria têxtil, três técnicos deram assistência durante o mês de julho. Pela
assistência receberão ao todo R$ R$12 000,00. O primeiro técnico trabalhou durante 20
dias 4 horas por dia, o segundo trabalhou durante 14 dias 6 horas por dia e o terceiro
trabalhou durante 26 dias durante 4 horas por dia. Quanto caberá a cada um?
Ex3:
Um pai distribuirá R$ 2000,00 a seus filhos de maneira diretamente proporcional a
suas idades que são respectivamente 12, 20 e 22 anos e de maneira inversamente
proporcional a suas faltas na escola que são respectivamente 3, 8 e 4 faltas. Qual o valor
que caberá a cada um?
Ex4:
Uma empresa constituída por quatro sócios onde o primeiro entrou com 20% do
capital, o segundo entrou com R$15000,00, o terceiro entrou com R$20 000,00 e o quarto
entrou com R$8 000,00. Ao final de um ano a empresa conseguiu um lucro de R$ 42000,00
e sócios decidem investir R$ 22 000,00 em novos equipamentos e o restante dividir entre os
quatro sócios. Quanto caberá a cada um?
4.2- EXERCÍCIOS
1. Quatro sócios constituem uma empresa investindo R$ 22 000,00, R$19 000,00, R$27
100,00 e R$29 200,00. Hoje, esta empresa possui um capital avaliado em R$ 326 000,00.
Qual o capital de cada sócio na empresa considerando esta avaliação e o investimento
inicial feito?
2. Três municípios constituem um consórcio para atendimento hospitalar. A parcela total
mensal é de R$ 1 092 000,00. O acordado é que cada município contribuirá de maneira
proporcional ao número de habitantes.
14
Município
Número de habitantes
A
32 780
B
22 570
C
29 540
Qual o valor da parcela mensal que caberá a cada município considerando a tabela
acima?
3. No ato de constituição de uma empresa o investimento total feito por 3 sócios foi de R$360
000,00. Se hoje, o capital de cada sócio na empresa é respectivamente de R$190 000,00,
R$ 150 000,00 R$ 210 000,00. Qual foi o capital investido inicialmente por cada sócio?
4. Uma indústria organizou uma competição entre seus colaboradores, separando-os em
setores de atividades desafiando a terem iniciativas que pudessem melhorar o
funcionamento das atividades em seus setores. Estas iniciativas foram classificadas em
iniciativas geradoras de economia ou, geradoras de gastos.
Durante o período da
competição, gerou o relatório que consta na tabela abaixo:
Setores
Iniciativas
geradoras
de Iniciativas geradoras de gastos
economia
Setor A
12
4
Setor B
16
6
Setor C
3
7
Setor D
9
2
Como prêmio da competição dividiu-se R$ 32 000,00 de maneira diretamente
proporcional as iniciativas geradoras de economia e de maneira inversa as iniciativas
geradoras de gastos. Qual o valor que caberá a cada equipe?
15
5. Dois sócios constituíram uma empresa que presta consultoria financeira investindo R$ 18
000,00 e R$ 26 000,00. No momento de liquidar a sociedade o segundo sócio recebeu R$
24 000,00 a mais que o primeiro sócio. Qual o valor total recebido por cada sócio?
6. Dhara e Schauny se tornaram sócios investindo um capital total de R$ 150 000,00. No
momento de liquidar a sociedade, Dhara recebeu capital mais lucro no total de R$ 149
760,00. Sabendo que o lucro total foi de R$ 84 000,00 qual o capital investido por cada
sócio?
7. Uma empresa, em fase de expansão, dividiu R$ 30 000,00 a seus três representantes
comerciais de maneira diretamente proporcional as vendas de determinado período e de
maneira inversa a reclamações quanto ao atendimento dos mesmos. Os resultados
constam da tabela abaixo. Qual o valor que caberá a cada um?
8.
Representante
Vendas (R$)
Reclamações
Eduardo
252 000,00
3
Felipe
326 000,00
7
Bianca
294 000,00
9
Divida R$ 22 000,00 de maneira diretamente proporcional a 3 e 2/5 e de maneira
inversamente proporcional a 1/3 e 6.*
16
5- REGRA DE TRÊS
Chamamos de regra de três a técnica de resolver problemas nos quais figura uma
grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas
grandezas, e a composta, que envolvem mais de duas grandezas.
5.1- REGRA DE TRÊS SIMPLES
Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual
corresponde a um dos valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da
segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira.
Exemplos:
Ex1:
Uma obra estava prevista para ser concluída em 60 dias por 25 operários. Devido
à chuva ter atrasado o início das obras resolveu-se trabalhar utilizar 30 operários para
fazer a obra. Em quantos dias (aproximadamente) se espera a obra concluída?
Ex 2:
Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um
gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas,
quanto tempo teria demorado a aplicação desta mesma medicação?
Observações :
. Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais, dizemos
que a regra de três é inversa.
. Convém observar que, em problemas de Matemática, geralmente são consideradas
condições iguais. No problema 2, por exemplo, supõe-se que os operários produzam
17
igualmente e que as condições de trabalho também sejam iguais. Nestas condições,
podemos empregar a regra de três para resolver estes problemas.
5.2. EXERCÍCIOS
1. Seu Marcos resolve passar 18 dias no exterior. Para tal, reserva uma quantidade de
dinheiro X para este período, estimando, assim, uma quantidade de dinheiro por dia. Após
estar em viagem, decide ampliar seu tempo de permanência no exterior que se estende
para 30 dias; nessa condição, o dinheiro gasto por dia fica reduzido em quantos %?
R: 40%
2.Em uma prova de valor 8, Rodrigo obteve a nota 5,6. Se o valor da prova fosse 10, qual
seria a nota obtida por Rodrigo? R: 7,0
3.Um carro percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10
km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do carro,
em km/h. R: 40Km/h
4.Um técnico em manutenção industrial recebe R$ 910,00 por 28 dias de trabalho. Quanto
receberá por 42 dias? R$ 1365,00
5.Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam
empregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia?
R:9dias
6.Se 1 cl de álcool pesa 8 g, a quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool?
R.:40,5l
7. Num campeonato, há 48 atletas e alimento suficiente para um mês (30 dias). Com a
eliminação de 16 atletas para quantos dias dará a quantidade de alimento?
R:. 45 dias
18
5.3- REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Como escrevemos anteriormente, na regra de três composta, ocorrem três ou mais
grandezas relacionadas entre si. Neste caso, de cada grandeza são dados dois valores, com
exceção de uma delas, da qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores
de cada uma das outras grandezas.
Exemplos:
Ex1:
Uma gráfica conseguiu imprimir 90 000 panfletos com objetivo político utilizando 6
máquinas e gastando 1:30 horas. Quanto tempo seria esperado que 9 máquinas (iguais as
anteriores) imprimissem 200 000 panfletos com o mesmo grau de complexidade dos
anteriores?
Ex2:
Uma empresa resolveu substituir todos seus computadores da central de
processamento de dados por 18 novos computadores. Sabe-se que todos esses novos
computadores possuem o dobro da velocidade de processamento dos antigos computadores
e uma tarefa, que demorava uma hora para ser processada nos antigos computadores
agora leva 45 minutos nos novos. Qual era o número antigo de computadores nesta central
de processamento?
5.4-EXERCÍCIOS
1.Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários.
Tendo conseguido apenas 12 operários em quantos dias terminará o trabalho? R: 40 dias
19
2.Um livro está pronto para ser impresso e está disposto em 120 páginas com 20 linhas por
página e em média 22 caracteres por linha. Como sugestão pensou-se na ideia colocar 25
linhas e colocar 25 caracteres em média por linha. Aceitando a sugestão em quantas
páginas o livro seria escrito? R: 85 pag.
3.Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 horas diárias, em 15
dias. Quantos dias levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar o triplo de trabalho
anterior, trabalhando 5 horas diárias, com velocidade que torna o rendimento 1/8 maior?
R: 38,4
4.Em um seminário com 300 participantes há alimento para 20 dias. Tendo chegado mais
140 a quanto se deve reduzir o alimento para que ainda dure pela mesma quantidade de
dias?
R: 31,81%
5. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas para o
almoço de 25 dias. Se tivesse 500 empregados a mais as marmitas serviriam para quantos
dias?
R: 15 dias
6. Uma obra executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando 11
dias com jornada de 6 hora por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários
adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo anteriormente
estabelecido. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias
que faltam pra a conclusão da obra no prazo previsto?
R: 7h 48 min
20
6-PORCENTAGEM
Em nosso dia a dia é comum vemos, lemos, observarmos expressões como:
A inflação do mês foi de 0,90 %
Liquidação de verão com desconto de 60%
4% dos jovens que começam o ensino fundamental concluem o curso superior.
Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem.
A porcentagem costuma normalmente aparecer de três formas:
FORMA DE PORCENTAGEM
22%;
1,5%
128%
Forma de razão
22/100 ;
1,5/100
128/100
Forma Unitária
0,22;
0,015
1,28
Elementos do Cálculo Percentual
Considerando que uma pessoa tenha feito uma prova de 15 questões e tenha
acertado 12 teremos que
.
12 - Chamado de percentagem
15 - Principal
80 - taxa
21
TAXA é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
PERCENTAGEM é o valor que representa a quantidade tomada de outra,
proporcionalmente a taxa.
PRINCIPAL é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
Ex1:
Na turma de universitários do 1º período de Ciências Contábeis 2014 tem 26
homens de um total de 64 universitários. Qual o percentual de universitários e de
universitárias desta turma de ciências contábeis?
Ex 2:
Um determinado produto em uma loja estava sendo vendido por certo valor.
Aplicou-se um aumento de 15% sobre este produto passando a ser vendido por R$ 420,40.
Qual o preço do produto anterior ao aumento?
Ex3
Uma empresa constituída por três sócios onde o primeiro entrou com um capital
inicial de R$ 22200,00, o segundo entrou com um capital de R$ 28400,00 e o terceiro
entrou com 3/8 do capital total da empresa no ato de sua constituição. Pede-se:
a) O capital com que o terceiro sócio participou na constituição da empresa?
b) O percentual de cada sócio na empresa segundo a participação que teve no ato de sua
constituição?
Ex 4:
O salário de um trabalhador teve dois reajustes sucessivos de 5,4% e de 9 %
passando então a atingir o valor de R$ 1720,00. Qual era o salário do trabalhador antes
dos aumentos? Estes dois reajustes equivaleriam a um único reajuste de quantos por
cento?
22
Ex5:
Um comerciante não conseguindo colocar determinada mercadoria dá descontos
sucessivos de 5%, 6% e 7% e 8%. Sabendo que após os descontos a mercadoria está sendo
vendida por R$ 250,00/unidade, qual era valor pelo qual estava sendo vendida antes de
dar os descontos? Qual o desconto único que equivaleria aos três descontos sucessivo?
6.1-EXERCÍCIOS
1. Em um concurso Renato acertou 78 das 90 questões. Qual o percentual de erro?
Resp.: 13,33%
2. Em uma negociação de determinada mercadoria o cliente pediu um desconto de 20 %
sobre uma determinada mercadoria. O vendedor ofereceu um desconto sucessivo de 15 % e
outro de 5% sendo dados de forma sucessiva nesta ordem. Existe diferença em termos de
resultado na proposta do vendedor e do cliente? Mostre através de cálculos.
3. Um funcionário recebeu um salário de R$ 1250,00 após dois aumentos sucessivos de
9,5% e 12% nesta ordem. Qual o valor do salário antes dos reajustes? Qual o percentual
de um reajuste único que equivaleria aos dois reajustes?
Resp.:1019,24 ; 22,65%
4. Para custear as despesas médicas da mãe, suas três filhas decidiram que os gastos
seriam repartidos proporcionalmente ao salário de cada uma. Ana tem um salário de R$
1.800,00, Marisa, de R$2100,00 e Laura R$3050,00. Qual o percentual da despesa que
caberá a cada uma das filhas?
Resp.: 25,90% , 30,21% , 43,89%
23
5. Verificar os dados da inflação mensal do ano de 2013-2014 até o presente momento e
mostrar através de cálculos, como encontrar a inflação acumulada de 2013- 2014.
6. Para trabalharmos com aumentos ou desconto (diminuição) sobre valores
podemos
trabalhar com FATOR MULTIPLICATIVO ao invés de ficar aplicando regra de três ou
outro procedimento de cálculo.
Ex: Se quisermos aumentar um VALOR em 5% basta multiplicar este VALOR por 1,05
para encontrarmos o valor com o aumento e se quiséssemos descontar 5% sobre um valor
e verificar o que resta basta multiplicar por 0,95. Os valores 1,05 e 0,95 são chamados
FATORES MULTIPLICATIVOS. Se quisermos saber apenas o valor do aumento ou o valor
do desconto basta multiplicarmos por 0,05.
Expresse o fator multiplicativo que aplicado a uma quantia represente:
Percentual
Aumento
Desconto
9%
22%
2,5%
12,125
112%
24
Novo valor com Novo valor com
aumento
desconto
7- EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Chamamos de equações do primeiro grau na incógnita X, no universo real, toda
equação redutível à forma
a . X = b, em que a e b são números reais quaisquer com a ≠ 0.
Para resolvermos esse tipo de equação, basta dividir ambos os membros por a:
O valor encontrado
é chamado raiz da equação.
Ex1: Resolver a equação: 12x - 24 = 18 – 2x
Ex 2: Resolver a equação
Ex 3: Um pagamento de uma dívida foi acrescido de 15% de seu valor, resultando em um
total a ser pago de R$530,00. Qual o valor da dívida original?
7.1-EXERCÍCIOS
1. Resolva as equações do 1º grau:
a)5(x - 2) = 4x + 6
S = {16}
b) -4(4 - x) = 2(x - 1)
S = {7}
2. O lucro mensal de uma empresa é dado por L= 40x-5.000, em que x é a quantidade
mensal vendida de seu produto, Qual a quantidade que deve ser vendida mensalmente
para que o lucro mensal seja igual a R$ 8.000,00? R: 325 unidades
25
3. O custo mensal de produção de x camisas de uma fábrica é C = 2000 + 25x, Qual a
quantidade mensal produzida sabendo-se que o custo mensal é $ 10.000,00?
R: 320 camisas
4. O saldo de uma aplicação financeira após t meses de aplicação é dado por:
S = 4500 + 75t, Após quanto tempo da aplicação o saldo dobra? R:60 meses
5. Um boleto bancário teve seu valor aumentado em 15% devido ao pagamento em
atraso, resultando um total de R$991,30. Qual era o valor do pagamento sem o
aumento devido ao atraso?
R: R$862,00
6. O peso total de um produto é 1 kg por unidade. Sabendo que a embalagem corresponde
a 4% do peso total, qual o peso líquido do produto?
R: 960 g
7. Um produto é anunciado por uma revenda com pagamento parcelado e sem juro , ou a
vista ,com desconto de 20%. Se um cliente pagou a vista R$ 400,00 produto, qual o
valor das prestações para compra a prazo considerando 2 parcelas iguais?
R: R$ 250,00
8. Um usuário de cartão de crédito acordou com a administradora para pagar o saldo de
seu cartão de crédito em 3 vezes sem juros. O primeiro pagamento correspondente a
metade da dívida e o segundo pagamento, R$ 300,00. Qual o valor da dívida se o
último pagamento era 20% da dívida inicial?
R: R$ 1000,00
9. Uma caixa contém vidros de perfume e aplicadores. Cada vidro pesa o dobro dos
aplicadores. O peso total da caixa é 2,5 Kg, e a embalagem corresponde a 4% do peso
total da caixa. Qual a quantidade de vidros de perfume e de aplicadores, sabendo que o
total de produtos é 100 e que cada aplicador pesa 20 g?
R: 20
26
8- INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Inequações do primeiro grau na incógnita x são aquelas redutíveis a uma das formas:
a.x< b ou
a. x b
ou a.x > b
ou a . x b, em que a e b são números reais
quaisquer com a
A resolução é feita de modo análogo ao das equações do 1º grau, porém lembrando que,
quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros da inequação por um número negativo, o sentido da desigualdade muda. No caso de multiplicarmos ou dividirmos os membros por um número positivo, o sentido da desigualdade não se altera.
Ex1: Se um acadêmico tirou 6,2 na média de G1, quanto deverá tirar na G2 para passar
sem G3?
Ex2: Resolva a inequação 8(x - 4) > x + 12.
Ex3: Um estudante está de férias e sai de casa com R$ 500,00. Conseguiu adquirir uma
passagem de ida e volta para um passeio a R$ 160,00 e acredita que irá gastar apenas R$
25,00 por dia com outras despesas no local. Quanto tempo ele poderá ficar hospedado
nesse local, se reservar R$ 40,00 para alguma eventualidade?
8.1- EXERCÍCIOS
1. Resolva em
as inequações:
a) 2 x > 10
b) - 3 X
27
12
c)
2m 4 m 1
1
2
3
5
S {m R m }
2
2. O lucro mensal de uma empresa é dado por L = 30x - 4000, em que x é a
quantidade mensal vendida. Acima de qual quantidade vendida o lucro é superior a
R$ 11000,00?
R: 500 unidades
3. O custo diário de produção de um artigo é C = 200 + 10 x. Sabendo-se que em
determinado mês o custo diário oscilou entre um máximo de R$ 4000,00 e um
mínimo de R$ 2000,00 e, que intervalo variou a produção diária nesse mês?
R: 180 e 380 unidades
4. A relação entre preço de venda e a quantidade vendida de um determinado produto
é dada por x = 100 – 2p. Determinar os valores de p para que a quantidade
vendida seja de, no mínimo 40 unidades sendo que p representa preço e x
representa quantidade.
R: p
30
5. Uma pessoa extrapolou seus gastos. Como uma tentativa de saldar parte de suas
dívidas economizou R$ 400,00 para pagamento de dois carnês em atraso. O
primeiro carnê tem prestações fixas de R$ 50,00 e o segundo tem prestações fixas
de R$ 80,00. Qual o número máximo de prestações que ele poderá pagar do
segundo carnê se for obrigado a pagar pelo menos duas prestações do primeiro
carnê?
R: 3
6. Um hotel tem lugar para hospedar 50 pessoas. Cada pessoa ao hospedar-se gasta
R$ 40,00 por dia em acomodação. Sabe-se que em média 40% dos hospedes
28
utilizam o restaurante do hotel e gastam em média R$10,00 por pessoa. Quantas
pessoas o hotel deverá abrigar para ter uma receita diária:
a) De no mínimo R$1000,00. R: no mínimo 23
b) Entre R$1500,00 e R$ 2000,00. R: no mínimo 35 e no máximo 45
7. Um feirante vende seus produtos com margem de lucro de 40% sobre o preço de
custo. Se o custo de produção é de R$2,00 a unidade, qual a quantidade que deverá
vender para lucrar, no mínimo R$ 120,00?
29
R: x 150
9- SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
É um conjunto de duas ou mais igualdades de primeiro grau.
Ex1:
2x - 3 y 18
4x 5 y 14
Ex 2:
Uma pessoa tem R$ 1875,00 em notas de R$50,00 e de R$5,00 que ao todo
totalizam 78 notas. Quantas são as notas de R$50,00 e quantas são as notas de R$5,00.
9.1- EXERCÍCIOS
1.
Encontre o valor de X e Y nos sistemas:
3x 2 y 0
a)
5 x 4 y
0,1x 0,5 y 0,35
b)
(1, ½)
6,2 x 4 y 4,2
(0,0)
2. Uma pessoa possui 360 cédulas entre notas de R$ 1,00 e de R$ 10,00 totalizando
R$513,00. Qual a quantidade de cédulas de R$1,00 e de cédulas de R$ 10,00? (343,17)
3. Uma caixa d’água está cheia até 4/7 de sua capacidade total. Como faltam ainda
12000 litros para enchê-la, qual a capacidade total da caixa? (28000 l)
4. Um empresário, ao final do primeiro semestre, distribuiu uma parte de seu lucro entre
seus três empregados. O primeiro recebeu 2/5 da parte do lucro mais R$50,00, o segundo
recebeu 3/7 da parte do lucro mais R$70,00, o terceiro recebeu R$ 90,00. Qual foi a parte
do lucro distribuída? (1 225,00)
5. Em um festival da canção foram distribuídos R$ 5400,00 em prêmios. O segundo
colocado recebeu o dobro do terceiro e o primeiro, o triplo do segundo. Qual foi o prêmio
do primeiro colocado? (3600,00)
30
6. Numa seção eleitoral votaram 1260 eleitores, onde dois candidatos disputavam o
mesmo cargo. O eleito obteve 153 votos a mais que seu concorrente, 147 votos foram
anulados. Quantos votos obteve cada candidato? R: ( 480 , 633)
31
10-EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Uma equação do segundo grau, na incógnita x, é toda equação redutível à forma
ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são constantes reais quaisquer com a 0. As raízes de
tipo de equação podem ser obtidas por meio da seguinte fórmula resolutiva:
x
-b
b² - 4 a c
2a
na qual o valor b² - 4ac, indicado usualmente por (delta), é chamado de discriminante
equação. É fácil notar que:
. Se > 0, a equação terá duas raízes reais distintas.
. Se = 0, a equação terá uma única raiz real.
. Se < 0, a equação não terá raízes reais.
Exemplos
Ex1:
a) 2x² - 1250 = 0
b) x² - 22x = 0
Ex 2 : x² -15 x + 54= 0
Ex 3: Uma indústria tem um terreno retangular medindo 42m x 26 m. Para executar um
projeto que está previsto precisa adquirir uma área de terra junto a este terreno de
maneira que o comprimento e a largura sejam ampliados na mesma quantidade perfazendo
uma área de 2203,84 m². Qual a quantidade de metros que devem ampliados para atingir a
metragem desejada?
32
Ex4: A área de um retângulo é 483 m². Sabendo que a medida da base e da altura são
números impares consecutivos, determine seus valores.
x² y ² 346
Ex 5:
x y 26
10.1- EXERCÍCIOS
1- Resolva as seguintes equações:
a) x² - 5x + 4 = 0 {1,4}
b) x² -7x+ 12=0
c) t² - 6t + 8 = 0 {2,4}
d) x² - 4x + 4 = 0 {2}
{3,4}
2. Resolva as seguintes equações:
a) x² - 5x = 0
{0,5}
c) x² - 25 = 0
{ 5}
b) -2x² + 6x = 0
{0,3}
d) -m2 + 16 = 0
{4 }
3. Para que valores de k a equação na incógnita x, x2 - 2kx = 1 - 3k, tem raízes iguais? R:
3 5
3- 5
ou
2
2
4. O lucro mensal de uma empresa é dado por L = -x2 + l0x - 16, em que x é a quantidade
vendida. Para que valores de x o lucro são nulos? R:x=2 ou x = 8
5. Em relação ao exercício anterior, para que valores de x o lucro é igual a 9? R: x= 5
6. A receita diária de um estacionamento para automóveis é R = 100p - 5p2, em que P é o
preço cobrado por dia de estacionamento por carro. Qual o preço que deve ser cobrado
para dar uma receita diária de $ 375? R: R$5,00 ou R$ 15,00
33
7. Uma quadra tem o formato retangular. A área da quadra é 117 m² e suas dimensões são
indicadas por x+4 e por x. Deseja-se cercá-lo com um alambrado que tem um custo de R$
25,00 ao metro linear. Qual o custo do cercado? R$1100,00
8. Resolver os sistemas:
x y 10
a)
x. y 21
Nenhum vento sopra a
favor de quem não sabe
para onde que ir
(7,3) ou (3,7)
Sêneca
x y 3
b)
x. y 18
(6 ,3) ou
(-3, -6)
34
11- FUNÇÕES
11.1- INTRODUÇÃO
No estudo científico de qualquer fato sempre se procura identificar grandezas
mensuráveis ligadas a ele e, em seguida estabelecer as relações existentes entre essas
grandezas.
Ex1:
O instituto de meteorologia e climatologia de uma cidade quis fazer um estudo do
Índice pluviométrico 120
60
45
70
112 150 182 75
100 62
47
dezembro
Novembro
outubro
agosto
julho
junho
maio
abril
março
fevereiro
janeiro
mês
setembro
índice pluviométrico durante o ano e obteve os dados
100
(mm)
Neste exemplo citado acima são medidas duas grandezas, o mês e o seu
correspondente índice pluviométrico. A cada mês corresponde um único índice
pluviométrico. Afirmamos, por isto, que o índice pluviométrico está relacionado a
determinado mês.
Ex 2:
Na tabela abaixo expressa o número de prestações pagas por um carro e o
valor(R$).
35
Quantidade
1
2
3
4
5
6
1470
1960
2450
2940
...
de prestações
Valor (R$)
490
980
...
Nesse exemplo temos uma relação entre o número de prestações pagas e o
respectivo valor total pago. A cada quantidade de prestações
corresponde um a um
único valor. Por este motivo podemos afirmar que o valor total é uma função do número de
prestações pagas. Nesse caso podemos estabelecer uma fórmula que relaciona a
interdependência (y) do valor em função do número (x) prestações: y = 490. x
Ex 3:
Sejam os conjuntos A= { 1, 2, 3 }e B = { 2, 3, 4 , 5} e seja a relação dada por S
= { (x, y) A X B | y = x + 1} . Fazer a representação da relação por meio de diagrama e
de maneira geométrica.
Exercícios
1. Sendo A = { 1, 3, 5, 7 } e B = { 3, 5, 8, 9} , escrever sob a forma de conjuntos as
relações de A em B, com X A e Y B, dadas por:
a) X >Y
b) X = Y
c) X < Y
d) Y = X + 2
2. Faça o gráfico e o “diagrama de flechas” de cada relação do exercício anterior.
11.2- DEFINIÇÃO
Em matemática, se x e y são duas variáveis tais que para cada valor atribuído a x
existe, em correspondência um único valor para y, dizemos que y é uma função de x.
O conjunto de valores que podem ser atribuídos a x é chamado de domínio da
função. A variável x é chamada de variável independente.
36
O valor de y correspondente a determinado valor atribuído a x, é chamado de
imagem de x pela função e é representado por f(x). A variável y é chamada de variável
dependente, porque y assume valores que dependem dos correspondentes valores de x.
x
Y= f(x)
Imagem
Domínio
Consideremos os seguintes diagramas de flecha que representam relações de A em B:
a)
b)
Diga quais destas relações representam funções de A em B observando a definição abaixo:
c)
Dentre as relações tem fundamental importância aquelas que obedecem a definição:
37
Uma relação F de A em B é uma função se e somente se:
a) Todo elemento de X pertencente a A tem um correspondente Y pertencente a B
definido pela relação chamado de imagem de X.
b) A cada X pertencente a A corresponde um único elemento de y pertencente a B por
meio de F.
Ex:
Seja A = { 1,3,4 } e B = { 2, 4, 5, 7} e a função que a cada X pertencente a A
associa-se um Y pertencente a B de modo que Y = X + 1. Fazer a representação por
diagramas e determinar o domínio e a imagem da relação afirmando se a relação é ou não
função.
Representações de Funções
Existem quatro modos de representar uma função:
a) Verbalmente (descrevendo-a com palavras)
b) Numericamente (por meio de uma tabela de valores)
Evolução Populacional de Chapecó
ANO
1960
1970
1980
1991
1996
1997
1998
1999
2000
2006*
HABITANTES
52.089
49.865
83.768
123.050
131.014
135.371
139.878
144.536
146.967
172.962
2011
183.533
38
c) Visualmente (através do gráfico)
d) Algebricamente (utilizando uma fórmula explicita)
Consiste em fornecer uma fórmula para a função juntamente com uma limitação
nos valores da variável independente. Temos abaixo uma função especificada desta
forma:
Dizemos que uma função definida em termos de uma fórmula está definida analiticamente.
Nota: Um recurso interessante para analisar o comportamento de funções é utilizar
programas computacionais. Sugerimos aqui a utilização do programa Graph que facilita
em muito a construção de gráficos dentre outras ferramentas que o programa possui.
39
11.3- FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Se F é uma função com domínio em A e contradomínio em B, dizemos que F é uma
função definida em A com valores em B. Se tanto A como B forem Subconjuntos dos reais
dizemos que F é uma função real de variável real.
Ex:
Seja a função dada pela sentença F(x) = 2 x sendo o domínio A = { 1, 2, 3, ..., n,...} e B = R
14
12
10
8
6
4
2
0
-1 -2
1
3
5
Gráfico de F(x) = 2x com Domínio em N*
40
7
Gráfico de F(x) = 2x em que D =
20
15
10
y = 2x
5
0
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-5
-10
11.3-EXERCÍCIOS
1.
Dada a função f(x) = 7x - 3, com D = , obtenha:
a) f(2)
b) f(6)
c) f(0)
d) f(-1)
f) f(1/2)
g) f( -1/3)
h) f(a + b)
e) f ( 2 )
Resp:
a) 11
b) 39
g) -16/3
h)7( a + b) -3
2.
a) f(3)
c)-3
e) 7 2 - 3
d)-10
Dada a função f(x) = 2x - 3, obtenha:
R: 3
b) f(-4)
R: -11
41
f) ½
c) o valor de x tal que f(x) = 49
R: 26
Dada a função f(x) = x2, obtenha
3.
a) f(xo)
R: x²0
c) f(xo + h) - f(xo)
b) f(xo + h)
R: (x0 + h)²
R: 2x0 h + h²
Dada a função f(x) = x2 - 4x + 10, obtenha os valores de x cujo a imagem seja 7.
4.
R: 1 e 3
5.
Dada a função f(x) = mx + 3, determine m sabendo-se que f(1) = 6.
R: m = 3
6. Faça o gráfico da função f(x) =2x+ 1, com domínio D= {0,1,2,3,4}. Qual o conjunto
imagem?
Im (f) = { 1, 3 , 5, 7, 9 }
7.
Qual o gráfico da função f(x) = 3, sendo D =
?
8.
Esboce o gráfico da função f, de domínio D = R, dada por:
9.
Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade
vendida.
a) Obtenha a função receita R(x).
b) Calcule R(40).
R: R(x) = 5x
R: R$ 200,00
c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700,OO?
R:
140 unidades
10.
O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função
C(x) = 100 + 2x.
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades?
R: R$ 120,00
b)Qual o custo de fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricados nove unidades?
R: R$ 2,00
42
11.
Resolva o exercício 10 considerando a função custo
C(X) =
- 24X² + 600X +
400.
a) R: 4333,33
b) R: 234,33
12.
Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de produção dividido
pela quantidade produzida. Indicando o custo médio correspondente a x unidades
produzidas por Cme(x), teremos:
.
O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 500 + 4x.
a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades?
R: R$ 29,00
b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades?
R: R$ 16,50
c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?
13.
R$ 4,00
Em determinado país, o imposto de renda é igual a 10% da renda, para rendas até
R$ 900,00. Para rendas acima de $ 900,00, o imposto de renda é igual a R$ 90,00 (10% de
R$ 900,00) mais 20% da parte da renda que excede R$ 900,00.
a) Qual o imposto de renda para uma renda de R$ 600,00?
R: R$ 60,00
b) Qual o imposto de renda para uma renda de $ 1.200,00?
R$ 150,00
c)Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a expressão de y em função
de x.
0,1x para x 900
y
90 0,2 (x - 900) para x 900
14.
Em determinada cidade, a tarifa mensal de água é cobrada da seguinte forma: para
um consumo de até 10m3 mensais, a tarifa é um valor fixo de R$ 8,00. A parte consumida
no mês entre 10m3 e 20m3 paga uma tarifa de $ 1,00 por m3, e o que exceder 20m3 paga
R$ 1,40 por m3.
a) Calcule a tarifa de quem consome 2m3 por mês. R$ 8,00
b) Calcule a tarifa de quem consome 15m3 por mês. R$ 13,00
43
c) Calcule a tarifa de quem consome 37m3 por mês.
R$ 41,80
d) Chamando de x o consumo mensal (em m3) e de y a tarifa, obtenha a expressão de y em
8 para x 10
função de x . R: y 8 1 (x - 10) para 10 x 20
18 1,4 (x - 20) para x 20
15.
Um vendedor de assinaturas de uma revista ganha $ 2.000,00 de salário fixo
mensal, mais uma comissão de $ 50,00 por assinatura. Sendo x o número de assinaturas
vendidas por mês, expresse seu salário total S como função de x.
R: S (x) = 2000 + 50 x
11.4- PRIMEIRAS NORMAS ELEMENTARES PARA O ESTUDO DE UMA
FUNÇÃO
Domínio
Quando temos uma função real de uma variável real, de A em B, sabemos que A é um
subconjunto dos números reais. Nos exemplos dados anteriormente, a função era definida
por uma sentença y = f(x), e os conjuntos A e B eram especificados.
A natureza trabalha sem mestres.
Exemplos:
Marta Medeiros
Encontrar o domínio das funções:
a) f ( x)
9
2 x 12
b) f ( x) x 10
c) f ( x) x ² 8 x 15
44
Observemos que em funções envolvendo situações práticas, o domínio é constituído
de todos os valores reais de x para os quais tenha significado o cálculo da imagem. Assim,
por exemplo, caso tenhamos uma função custo C(x) = 1000 + 5x, os valores de x não
podem ser; negativos (não podemos ter quantidades negativas). Além disso, caso o produto
seja indivisível (por exemplo, quando x é a quantidade de carros), o domínio é constituído
apenas de números inteiros não negativos.
11.4.1-INTERCEPTOS
São os pontos de intersecção do gráfico de uma função com os eixos. Os pontos de
intersecção com o eixo X têm como coordenadas do tipo (x,0) e são chamados Xinterceptos. Os pontos de intersecção com o eixo Y têm como coordenadas do tipo ( 0, y) e
são chamadas Y- interceptos.
Exemplo:
Obter os pontos de intersecção do gráfico da função F(x) = x² +2x -24 com os eixos X e Y.
11.4.2- FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Dizemos que uma função F é crescente num intervalo [a, b] se à medida que aumenta o
valor de x, dentro do intervalo, as imagens correspondentes também aumentam. Em outras
palavras, F é crescente num intervalo [a, b] se para quaisquer valores xl e x2 do intervalo,
com xl < x2, tivermos f(x1) < f(x2).
Analogamente, dizemos que uma função f é decrescente num intervalo [a, b] se à medida
que aumenta o valor de x, dentro do intervalo, as imagens correspondentes vão diminuindo. Em outras palavras, F é decrescente num intervalo [a, b] se para quaisquer
valores x 1 e x2 do intervalo, com xl < x2, tivermos f(xl) > f(x2).
45
Caso a função tenha a mesma imagem em todos os pontos de um intervalo
[a, b], dize-
mos que a função é constante naquele intervalo.
Uma função que seja crescente ou constante num intervalo é chamada não decrescente
naquele intervalo; se uma função for constante ou decrescente num intervalo ela é
chamada não crescente naquele intervalo.
11.4.3- PONTOS DE MÁXIMO E DE MÍNIMO
Seja F uma função definida num domínio D. Dizemos que x0 é um ponto de máximo
se existir um intervalo aberto A, com centro em x0 tal que:
f(x) f (x0)
x A D
Em outras palavras, X0 é ponto de máximo relativo se as imagens de todos os
valores de x pertencentes ao domínio, situados num intervalo centrado em x0, forem
menores ou iguais a imagem de x0. A imagem fx0 ) é chamada de valor máximo de F.
Analogamente dizemos que x0 é um ponto de mínimo se existir um intervalo aberto
A, com centro em x0 , tal que:
f(x) f (x0)
x A D
46
Em outras palavras, x0 é ponto de mínimo relativo se as imagens de todos os valores
de x pertencentes ao domínio, situados num intervalo centrado em x0, forem maiores ou
iguais a imagem de x0. A imagem f (x0 ) é chamada de valor mínimo de f.
11.4.4- ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO
Estudar o sinal de uma função significa obter os valores de x para os quais y > 0 ou
y < 0 ou y = 0.
Exemplo:
Uma Fábrica tem a função lucro para determinado produto vendido dada por
L(x) = -2075 + 25x onde x representa o número de unidades vendidas e L(X) o lucro em
reais. Faça o estudo do sinal desta função.
Exercícios
1. Obtenha o domínio das seguintes funções:
a) y = 2 x + 7
c) y
1
3
x x3
e) y x 2
b) y
1
x2
d) y=
x
f) y =
2 x
Resp.:
a) R
b)R - {2}
c) R - {0,3}
d) 0,
e) 2,
f) ,2
47
2. Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente,
indicando pontos de máximo e de mínimo para a figura a seguir:
Resp:
Crescente: 7,4, - 1,6
Decrescente: 4,1, 6,7
Não vemos as coisas como elas
Pontos de Máximos: -4 e 6
são, mas como nós somos.
Ponto de Mínimo: -1
Anais Nin
3. Estude o sinal das seguintes funções:
48
12- PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES E SUAS APLICAÇÕES
12.1-FUNÇÃO CONSTANTE
É toda a função do tipo Y = K, onde K é uma constante real. O gráfico desta função
é uma reta horizontal paralela ao eixo X, passando ponto pondo de ordenada K.
Y
K
X
Exemplo:
Construir o gráfico da função y = 10
12.2- FUNÇÃO AFIM
A função afim ou do 1º grau é um dos tipos mais simples de funções mas de grande
utilização.
Observe a tabela abaixo que representa o custo de produção de determinado tipo
de boné em uma empresa de confecções.
Quantidade(x) 0
5
10
20
500
1200
Custo
550
600
700
5500
12500
(C) 500
49
(R$)
Podemos perceber na tabela existe uma relação entre a quantidade produzida e o custo.
Além disto, podemos perceber que quando a quantidade de bonés aumentou 5 o custo
aumentou R$50,00 e quando a quantidade de bonés aumentou 10 o custo aumentou
R$100,00.
Podemos concluir, a partir da tabela que a variação na variável independente
quantidade de bonés gera uma variação proporcional na quantidade na variável
dependente Custo. É isso que caracteriza uma função do primeiro grau.
Para melhor compreensão do conceito de função do primeiro grau, desse exemplo,
podemos calcular a taxa de variação média, ou simplesmente, a taxa de variação da
variável dependente C em relação à variável independente X pela razão:
A esta razão vamos representar pela letra m e, portanto para este exemplo ele é igual a 10
e significa que o acréscimo de 1 boné produzido gera um aumento de R$10,00 no custo.
Notamos ainda que, mesmo quando não forem produzidas nem uma unidade o custo
é de R$500,00. Tal custo pode ser atribuído a manutenção de instalações, impostos, etc.
Teríamos então a função escrita na forma C(X) = 500 + 10 X
onde
representaria um custo fixo e 10 representaria o custo variável por unidade produzida.
50
500
Graficamente teríamos:
De maneira geral uma função é chamada afim se sua sentença for dada por
Y= m . x + n, sendo m e n constantes reais com m 0.
O valor de m é denominado coeficiente angular e expressa a taxa de crescimento de
uma função e pode ser calculado considerando dois pontos quaisquer pertencente à função
dado por A(x1,x1) e B(x2,x2).
m=
O valor de n indica o coeficiente linear e indica onde o gráfico vai cortar o eixo Y.
51
Exemplos:
Representar graficamente as funções;
a) y = 5x + 4
b) y = -5x + 4
Exercícios
1. Esboce os gráficos das funções:
a) y = 5
c) y = 3x + 2
b) y = x + 1
y 2x, se x O
e)
y x, se x O
d) y = -x + 2
2. Estude o sinal das seguintes funções:
a) y = 2x - 6
c) y = -2x + 8
b) y = 3x + 12
d) y = -3x
52
3. Obtenha o coeficiente angular da reta que passa por A e B nos seguintes casos:
a) A(1, 2) e B(2, 7) Resp.: 5 c) A(-1, 4) e B(3, 5) Resp.: 1/4
b) A (0, 3) e B(2, 5) Resp.: 1
4-. Obtenha a equação da reta que passa por P e tem coeficiente angular m nos seguintes
casos:
a) P(1, 3) e m = 2
Resp.: y = 2x +1
c) P(-1,4) e m =-1
Resp.: y= -x +3
b) P(0, 0) e m = 3
Resp.: y= 3x
5. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
A(1, 2) e B(2, 3)
R: y = x + 1
A(-1, 0) e B(4, 2)
R : y= 2x/5 + 2/5
6- Obtenha as funções, dados seus gráficos, nos seguintes casos:
Res:
a) y = -3x/4 +3
b) y = 1x/2 + 2
c) y = -x + 5
53
12.3 - FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO (FUNÇÃO AFIM)
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção (ou
simplesmente custo) depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo total
(ou simplesmente função custo), e a indicamos por C.
Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e
outros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de
custo fixo e indicamos por C F. A parcela do custo que depende de x chamamos de custo
variável, e indicamos por Cv.
Assim, podemos escrever:
C(x)= CF+ Cv. x
Verificamos também que, para x variando dentro de certos limites (normalmente
não muito grandes), o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela
quantidade x. Essa constante é chamada de custo variável por unidade.
Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita ao
produto de x pelo preço de venda e a indicamos por R.
A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função
custo C.
Assim, indicando a função lucro por L, teremos
L(x) = R(x) - C(x).
Exemplo 1:
O custo fixo mensal de fabricação de um produto é $ 5.000,00, e o custo variável
por unidade é $ 10,00. Então a função custo total é dada por C (x)= 5000 + 10x.
54
Se o produto em questão for indivisível (por exemplo, número de rádios), os valores
de x serão 0, 1, 2, 3, ..., e o gráfico será um conjunto de pontos alinhados. Caso o produto
seja divisível (como toneladas de aço produzidas), os valores de x serão reais positivos, e o
gráfico será a semirreta, pois trata-se de uma função do 1º grau.
Quando nada for dito a respeito das características do produto, admitiremos que o mesmo
seja divisível, sendo o gráfico então uma curva contínua.
Exemplo 2:
Um produto é vendido a R$ 15,00 a unidade (preço constante). Determine a função
receita originada da venda deste produto e o respectivo gráfico.
Exemplo 3:
Suponhamos que a função custo de certo produto seja C(x) = 5000 +10x e a função
receita seja R(x) = 15x. Determine o ponto de nivelamento da empresa que trabalha com
este produto ( R(x) = C(x) )
13- MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO POR UNIDADE
A diferença entre o preço de venda e o de custo variável por unidade de um certo
produto é chamada de margem de contribuição por unidade.
Exemplo 1:
a) Um produto é vendido com uma margem de contribuição unitária igual a 40 % do preço
de venda. Qual o valor dessa margem como percentual do custo variável por unidade?
b) Um produto é vendido com uma margem de contribuição unitária igual a 50% do custo
variável por unidade. Qual o valor desta margem como porcentagem do preço de venda?
55
14- CUSTO MÉDIO DE PRODUÇÃO
Chamamos de custo médio de produção (ou ainda custo unitário) e indicamos por
Cme o custo total dividido pela quantidade produzida, isto é:
Cme
C ( x)
x
Exercícios
1. Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico), e esboce os gráficos da função
receita e custo em cada caso:
a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x
R: (25,100)
b) R(x) = 200x e C(x) = 10.000 + 150x
R: (200, 40000)
R( x)
c)
1
x
2
e C(x) 20
1
x
4
R: ( 80, 40)
2. Obtenha as funções lucro em cada caso do exercício anterior, esboce seu gráfico e
faça o estudo do sinal.
Resp.: L = 2x - 50
Resp.: L = 50 x - 10000
Resp.: L = 1x/4 - 20
3. Uma editora vende certo livro por $ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é $ 10.000,00 por
mês, e o custo variável por unidade é $ 40,00. Qual o ponto de nivelamento?
Resp.: 500 unidades
56
4. Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês
para ter um lucro mensal de $ 8.000,00?
Resp.: 900 unidades
5. O custo fixo de fabricação de um produto é $ 1.000,00 por mês, e o custo variável por
unidade é $ 5,00. Se cada unidade for vendida por $ 7,00:
a) Qual o ponto de nivelamento? Resp.: 500 unidades
b) Se o produtor conseguir reduzir o custo variável por unidade em 20%, à custa do
aumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de nivelamento?
Resp.: 400 unidades
c) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de nivelamento
(em relação ao item a) quando o custo variável por unidade é reduzido em 30%? 75 %
6. O custo fixo mensal de uma empresa é $ 30.000,00, o preço unitário de venda é $ 8,00 e
o custo variável por unidade é $ 6,00.
a) Obtenha a função lucro mensal. Resp.: L = 2x - 30 000
b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 30% do
lucro.
Resp.: LL = 1,4 x - 21 000
7.O custo fixo mensal de uma empresa é $ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é R$30,00, e o preço de venda é $ 40,00.
Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de $ 2.000,00
por mês, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 35% do lucro?
Resp.: 807,7 unidades
8. Sabendo que a margem de contribuição por unidade é R$ 3,00, o preço de venda é R$
10,00 e o custo fixo é R$ 150,00 por dia, obtenha:
57
a) A função receita. R = 10x
b) A função custo total diário. C= 150 + 7x
c) O ponto de nivelamento. 50
d) A função lucro diário. L = 3x - 150
e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de $ 180,00 por dia. 110
9. O preço de venda de um produto é $ 25,00. O custo variável por unidade é dado por:
Matéria-prima: R$ 6,00 por unidade
Mão-de-obra direta: R$ 8,00 por unidade.
Sabendo-se que o custo fixo mensal é de $ 2.500,00:
a) Qual o ponto crítico (ponto de nivelamento)?
b) Qual a margem de contribuição por unidade?
227,3 unidades
R$ 11,00
c) Qual o lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por mês? R$ 8500,00
d) De quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar de 1.000 para
1.500 unidades por mês?
64,7%
10. Para uma produção de 100 unidades, o custo médio é R$ 4,00, e o custo fixo, R$
150,00 por dia. Sabendo-se que o preço de venda é $ 6,00 por unidade, obtenha
a) O lucro para 100 unidades vendidas.
b) O ponto crítico (nivelamento).
R$ 200,00
300/7
11. Uma empresa fabrica um produto a um custo fixo de $ 1.200,00 por mês e um custo
variável por unidade igual a $ 2,00; o preço de venda é $ 5,00 por unidade. Atualmente o
nível de vendas é de 1.000 unidades por mês. A empresa pretende reduzir em 20% o preço
de venda, visando com isso aumentar suas vendas. Qual deverá ser o aumento na
quantidade vendida mensalmente para manter o lucro mensal?
58
R: 500 unidades
12. Uma malharia opera a um custo fixo de $ 20.000,00 por mês. O custo variável por
malha produzida é $ 60,00, e o preço unitário de venda é $ 100,00. Nessas condições seu
nível mensal de vendas é de 2.000 unidades. A diretoria estima que, reduzindo em 10% o
preço unitário de venda, haverá um aumento de 20% na quantidade vendida. Você acha
vantajosa essa alteração? Justifique.
R: Não é vantajosa
13. Um encanador A cobra por serviço feito um valor fixo de $ 100,00 mais $ 50,00 por
hora de trabalho. Outro encanador B cobra pelo mesmo serviço um valor fixo de $ 80,00
mais $ 60,00 por hora trabalhada. A partir de quantas horas de um serviço o encanador A
é preferível ao B?
R: 2 horas
14. A transportadora X cobra por seus serviços $ 3.000,00 fixo mais $ 20,00 por
quilômetro rodado. A transportadora Y cobra $ 2.000,00 fixo mais $ 30,00 por quilômetro
rodado. A partir de quantos quilômetros rodados é preferível usar a transportadora X?
R: 100Km
15. Uma empresa que trabalha com um produto de precisão estima um custo diário de R$
2.000,00 quando nenhuma peça é produzida, e um custo de R$ 8.000,00 quando 250
unidades são produzidas.
a) Obtenha a função custo, admitindo que ela seja uma função do 1º grau da quantidade
produzida x. R: C = 2000 + 24 x
b) Qual o custo diário para se produzirem 300 unidades? R: R$ 9 200,00
16. Quando 10 unidades de um produto são fabricadas por dia, o custo é igual a $
6.600,00. Quando são produzidas 20 unidades por dia o custo é $ 7.200,00. Obtenha a
função custo supondo que ela seja uma função do lº grau.
59
R: C = 6000 + 60 X17.
17.Uma empresa opera com um custo fixo diário de R$ 500,00. O ponto de nivelamento
ocorre quando são produzidas e vendidas 20 unidades diariamente. Qual a margem de
contribuição por unidade?
R$ 25,00
15- FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA (FUNÇÃO AFIM)
A demanda de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores
pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros).
A demanda de um bem é função de várias variáveis: preço por unidade do produto,
renda do consumidor, preços de bens substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as
variáveis mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do próprio produto (p), verifica-se que o preço p relaciona-se com a quantidade demandada (x). Chama-se função de
demanda à relação entre p e x, indicada por p = f(x).
Existe a função de demanda para um consumidor individual e para um grupo de
consumidores (nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, a um
nível de preço p). Em geral, quando nos referirmos à função de demanda, estaremos nos
referindo a um grupo de consumidores e chamaremos de função de demanda de mercado.
Normalmente, o gráfico de p em função de x (que chamaremos de curva de
demanda) é o de uma função decrescente, pois quanto maior o preço, menor a quantidade
demandada. Cada função de demanda depende dos valores em que ficaram fixadas as
outras variáveis (renda, preço de bens substitutos e outros). Assim, se for alterada a
configuração dessas outras variáveis, teremos nova função de demanda.
O tipo e os parâmetros da função de demanda são geralmente determinados por
métodos estatísticos. Consideraremos neste item funções de demanda do 10 grau.
60
Exemplo 1:
O número de sorvetes (x) demandados por semana numa sorveteria relaciona-se
com o preço unitário (P) de acordo com a função de demanda
p = 10 - 0,002x.
Encontrar a demanda de sorvetes quando o preço é R$ 4,00 a unidade e representar
graficamente a situação.
Exemplo 2:
Admitamos que, para quantidades que não excedam sua capacidade de produção, a
função de oferta da sorveteria do exemplo anterior, seja do 1º grau. Suponhamos que se o
preço do sorvete for R$ 2,10, a quantidade ofertada será 350 por semana, e, se o preço for
R$ 2,40, a quantidade ofertada será 1 400. Obter a função oferta.
Exemplo 3
Considerando a função de demanda por sorvetes p = 10 - 0, 002x e a função de
oferta de sorvetes por P= 1x/ 3500 + 2 encontrar o ponto de equilíbrio.
Exercícios
1. Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês, se o preço unitário é $
5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 20%, o número de unidades
vendidas será 50% maior. Obtenha a função de demanda admitindo-a como função do
lº grau.
R: p = - 0,01 x + 7
2. O preço unitário do pão francês é $ 0,12 qualquer que seja a demanda em uma padaria.
Qual o gráfico dessa função?
3. Quando o preço unitário de um produto é R$ 10,00, cinco mil unidades de um produto
são ofertadas por mês no mercado; se o preço for R$ 12,00, cinco mil e quinhentas
unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função oferta seja do lº grau, obtenha
sua equação.
R: P(x)= 0,004x – 10
61
4. Um fabricante de fogões produz 400 unidades por mês quando o preço de venda é R$
500,00 por unidade, e são produzidas 300 unidades por mês quando o preço é R$
450,00. Admitindo que a função oferta seja do lº grau, qual sua equação?
R: P(x) = 300 + 0,5 x
5. A demanda de um produto no mercado é dada por D= 8000 – 100P onde D representa
a demanda em unidades e P representa o preço em reais.
a) Determinar o intervalo de variação de P.
b) Determinar o intervalo de variação de D.
c) Representar graficamente a função demanda.
d) Calcular os valores das demandas referentes aos preços:
P= R$40,00, P= R$ 50,00 e P= R$75,00
e) A que preço a demanda será 4500 unidades?
f) A que preço a demanda será menor que 2000 unidades?
g) A que preço a demanda será maior que 5000 unidades?
h) A que preço a demanda ficará entre 5000 e 6000 unidades
6. Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes situações:
a) oferta: p = 10 + x
b) oferta: p = 3x + 20
demanda:p = 20-x
demanda:p = 50-x
R: a) R$ 15,00
b) R$ 42,50
7. Em certa localidade, a função de oferta anual de um produto agrícola é
p = 0,01x - 3, em que p é o preço por quilograma e x é a oferta em toneladas.
a. Que preço induz uma produção de 500 toneladas?
b. Se o preço por quilograma for R$ 3,00, qual a produção anual?
c.
Qual o ponto de equilíbrio de mercado se a função de demanda anual for p = 10 -
0,01x?
R: a) R $ 2,00
b) 600T
c) x = 650 T e p = 3,5
8. Uma doceria produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é p
= 10 + 0,2x.
62
a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? R: R$ 14,00
b) Se o preço unitário for $ 15,00, qual a oferta diária?
R:25 unidades
c) Se a função de demanda diária por esses bolos for p = 30 - 1,8x, qual o preço de
equilíbrio?
R: R$12,00
9. Num certo mercado, as equações de oferta e demanda de um produto são dadas por:
oferta: x = 60 + 5p demanda: x = 500 - 13p
Qual a quantidade transacionada quando o mercado estiver em equilíbrio?
R: 182,2
10. Em certo mercado as funções de oferta e demanda são dados por:
oferta: p = 0,3x + 6
demanda: p = 15 - 0,2.x
Se o Governo tabelar o preço de venda em $ 9,00 por unidade, em quantas unidades a
demanda excederá a oferta?
R: 20 unidades
11. Considere que a oferta de mercado de determinado produto seja dada por:
X= -30 + 2P, com P
a. A partir de que preço haverá oferta?
b. Represente graficamente a função oferta.
c. A que preço a oferta será de 1200 unidades?
d. A partir de que preço a oferta será maior que 2000 unidades?
e. A partir de que preço a oferta será menor de 2500 unidades?
f. Para que preço a oferta ficará entre 500 e 950 unidades
63
16- DEPRECIAÇÃO LINEAR
Devido ao desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem diminui com
o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo chama-se depreciação.
Assim, o gráfico em função do tempo é uma curva decrescente. Nesse momento
vamos admitir que a curva de valor seja retilínea.
Exemplo:
O valor de uma máquina hoje é R$ 58.000,00, e estima-se que daqui a 6 anos seja
R$ 42000,00.
a) Qual o valor da máquina daqui a x anos?
b) Qual sua depreciação total daqui a x anos?
Exercícios
1.
O valor de um equipamento hoje é $ 2.000,00 e daqui a 9 anos será $ 200,00.
Admitindo depreciação linear:
a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos?
b) Qual o total de sua depreciação daqui a 3 anos?
R$ 1400,00
R$ 600,00
c) Daqui a quanto tempo o valor da máquina será nulo? 10 anos
2.
Daqui a 2 anos o valor de um computador será $ 5.000,00 e daqui a 4 anos será $
4.000,00. Admitindo depreciação linear:
a) Qual seu valor hoje?
R$ 6000,00
b) Qual seu valor daqui a 5 anos?
R$ 3500,00
64
3.
Daqui a 3 anos, a depreciação total de um automóvel será $ 5.000,00, e seu valor
daqui a 5 anos será R$ 10.000,00. Qual seu valor hoje?
R: R$ 18 333,33
4.
Um equipamento de informática é comprado por $ 10.000,00 e após 6 anos seu
valor estimado é de $ 2.000,00. Admitindo depreciação linear:
a)
Qual a equação do valor daqui a x anos?
b) Qual a depreciação total daqui a 4 anos?
16 000/3
5. Com relação ao exercício anterior, daqui a quantos anos o valor do equipamento será
nulo?
R: 7,5 anos
65
17- FUNÇÃO CONSUMO E FUNÇÃO POUPANÇA
Suponhamos que uma família tenha uma renda disponível (renda menos os impostos)
variável mês a mês, e uma despesa fixa de $ 1.200,00 por mês. Suponhamos ainda que essa
família gaste em consumo de bens e serviços 70% de sua renda disponível, além do valor
fixo de $ 1.200,00. Assim, chamando de C o consumo e Y a renda disponível, teremos:
C(Y) = 1.200 + 0,7Y.
Observamos então que o consumo é função da renda disponível e tal função é chamada
função consumo. A diferença entre a renda disponível e o consumo é chamada de
poupança e é indicada por S. Assim:
S = Y - C,
S= Y - (1.200 + 0,7Y),
S = 0,3Y-1.200
Portanto, a poupança também é função da renda disponível.
O gasto fixo de $ 1.200,00 é chamado de consumo autônomo (existente mesmo que
a renda disponível seja nula, à custa de endividamento ou de uso do estoque de
poupança).
Notemos que na função poupança, se Y = 4.000, então S = O, ou seja, $ 4.000,00 é a
renda mínima para não haver endividamento (ou uso do estoque de poupança). De fato:
Se Y = 4.000, então C = 1.200 + 0,7(4.000) = 4.000.
De modo geral, podemos escrever as funções consumo e poupança da seguinte forma:
C = Co + mY e S= Y-C=-Co+ (1-m)Y.
66
A constante Co é chamada de consumo autônomo; o coeficiente angular m da
função consumo é propensão marginal a consumir, e o coeficiente angulara da função
poupança (1 - m) é chamado de propensão marginal a poupar.
Observações
1) Verifica-se que a propensão marginal a consumir é sempre um número entre 0 e 1.
2) Admitimos, neste item, que a função consumo é do 1º grau da renda disponível. Contudo, dependendo das hipóteses feitas, ela pode ser de outra natureza.
3) No exemplo feito, vimos a função consumo e a função poupança para uma única família,
mas a ideia pode ser estendida para um conjunto de famílias. Nesse caso, teremos as
funções consumo e poupança agregadas.
Exercícios
1. Uma família tem um consumo autônomo de $ 800,00 e uma propensão marginal a
consumir igual a 0,8. Obtenha:
a) A função consumo.
b) A função poupança.
Resp.:
a) C = 800 + 0,8 Y
b) S = - 800 + 0,2 Y
2. Dada a função consumo de uma família C = 500 + 0,6Y, pede-se:
a) A função poupança.
R: S = 0,4 y - 500
b) A renda mínima para que a poupança seja não negativa.
R: 1250,00
3. Dada a função poupança de uma família S = -800 + 0,35Y, pede-se:
a) A função consumo. R: C = 800 + 0,65 Y
67
b) A renda que induza um consumo de $ 1.450,00. R: R$ 1000,00
4. Suponha que tudo que é produzido numa ilha seja consumido nela própria. Não há
gastos com investimentos (visando aumento futuro da capacidade produtiva), nem governo.
A função consumo anual é
C = 100 + 0,8Y. Qual a renda de equilíbrio (aquela para a
qual o que é produzido é consumido)?
R: 500,00
5. Com relação ao exercício anterior, suponha que os habitantes decidam investir $ 50,00
por ano, visando com esses gastos um aumento da capacidade produtiva. Qual seria a
renda anual de equilíbrio (aquela para a qual o que é produzido é gasto com consumo
mais investimentos)?
R: 750,00
6. Numa economia fechada e sem governo, suponha que a função consumo do país seja C
= 40 + 0,75Y, e a renda de pleno emprego igual a $ 500,00. Qual o nível de investimento I necessário para que a economia esteja em equilíbrio a pleno emprego?
R: R$ 85,00
68
18- FUNÇÃO QUADRÁTICA
É toda função da forma y = ax² + bx + c, em que a, b e c são constantes reais com
a> 0. O gráfico desse tipo de função é uma curva chamada parábola. A concavidade é
voltada para cima se a > O, e voltada para baixo se a < 0.
O ponto V da figura da figura anterior é chamado de vértice. Se a 0, a abscissa do
vértice é um ponto de mínimo; se a 0, a abscissa do vértice é um ponto de máximo.
Vértice :
Vértice:
X
v
b
2a
y
v
[b² 4ac]
4a
x , y
v
v
Os pontos (quando existem) de intersecção da parábola com o eixo x são obtidos fazendo
Y=0.
Se a equação do segundo grau tiver duas raízes distintas
, a parábola
interceptará o eixo x em dois pontos distintos; se a equação tiver uma única raiz real ( =
0), a parábola interceptará o eixo x em um único ponto; se a equação não tiver raízes reais
, a parábola não interceptará o eixo x.
69
Exemplo 1:
Esboçar o gráfico da função y = x² - 4x + 3
Exemplo 2:
Fazer o estudo do sinal da função y = -x² + 9
Exemplo 3:
y
Fazer o estudo do sinal da função
x² 4 x 3
x2
Exemplo 4:
Resolver a inequação x² - 4x + 3 0
Exercícios
1. Esboce os gráficos das seguintes funções: a
a) y = x² - 3x + 2
70
b) y = x² - 5x + 4
c) y = -x²+ 7x - 12
2. Estude o sinal das funções do exercício anterior, ache os pontos de máximo ou de
mínimo e ainda o conjunto imagem.
3. Estude o sinal das seguintes funções:
b) f(x)=
x² 6x 8
x2
3. Dê o domínio das seguintes funções:
a) f(x) x² - 6x
b) f ( x ) 3 x x ²
1
c) f ( x)
x² 4
d ) f ( x)
x3
x² 6 x
Resp.:
a)x R | x 0oux 6}
b){x R | 0 x 3}
c)x R x2oux3
d ){x R | 0 x 3oux 6}
4. Encontre os valores de x para os quais ocorrem os pontos de máximo e de mínimo das
seguintes funções, nos domínios indicados:
a) y = 4x - x²; D = [2, 4]
c) y = x²; D = [-1, 1]
b) y = 4x - x²; D = [0,2]
d) y = 10x - x², D = [5, 8]
71
R:
a) Ponto de máximo x= 2
A máxima do ser humano é
conquistar sua felicidade
Ponto de mínimo x = 4
sem diminuir a possibilidade
de conquista da felicidade
pelos outros.
b) Ponto de máximo x= 2
Ponto de mínimo x = 0
c) Ponto de máximo x= -1 ou x = 1
Ponto de mínimo x = 0
d) Ponto de máximo x= 5
Ponto de mínimo x = 8
19- FUNÇÕES RECEITA E LUCRO QUADRÁTICAS
Anteriormente vimos como obter a função receita quando o preço era constante. Vejamos, neste item, como obter a função receita quando o preço pode ser modificado (com
consequente alteração da demanda, de acordo com a função de demanda).
Exemplo1:
A função de demanda de um produto é p = 10 - x, e a função custo é C = 20 + x. obter:
a) A função receita e o preço que a maximiza.
b) A função lucro e o preço que a maximiza.
72
Exemplo2:
Sendo a função de demanda D de determinado produto em função do preço P dada por:
D= -P2 – P + 56 pede-se:
a) Qual o valor da demanda de mercado para P=R$5,00?
b) Qual o intervalo de variação de D?
c) Qual o intervalo de variação de P?
Exemplo 3:
Uma indústria de calçados o preço de determinado tipo de calçado pode variar conforme a
expressão P= -2x + 200*. Considere também que a função custo ao produzir este tipo de
calçado seja dada por C(x) = 40 x + 1400.
a) Qual a função receita desta empresa para este tipo de calçado?
b) Quais os pontos onde o gráfico da função receita corta o eixo x?
c) Qual o vértice da parábola e qual o seu significado?
d) Qual a função lucro para este tipo de calçado?
e) Entre que valores de x esta empresa terá lucro?
f) Qual o valor do vértice desta parábola e seu significado?
Exercícios
1. Dada a função de demanda p(x) = 20 - 2x e a função custo C(x) = 5 + x:
a) Obtenha o valor de x que maximiza a receita.
b) Obtenha o valor de x que maximiza o lucro.
R: a) x= 5
b) x = 19/4
2. Resolva o exercício anterior supondo p = 40 - x e C = 20 + 31x.
R: x = 20
b) x = 4,5
73
3.Uma loja de CD's adquire cada unidade por $ 20,00 e a revende por $ 30,00. Nessas
condições, a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário
estima que, reduzindo o preço de venda para $ 28,00, conseguirá vender 600 unidades por
mês.
a) Obtenha a função de demanda admitindo que seu gráfico seja linear.
b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal?
R: a) p= 0,02x + 40
b) 30,00
4 . Em um cinema, verificou-se que o número de frequentadores (x) por sessão relacionava-se com o preço de ingresso (p) por meio da relação p = 15 - 0,015x.
a) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares for
600?
b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares for
400?
R: a) 7,50
b) 9,00
5.O Sr. Ângelo é proprietário de um hotel para viajantes solitários com 40 suítes. Ele sabe
que, se cobrar $ 150,00 por diária, o hotel permanece lotado. Por outro lado, para cada $
5,00 de aumento na diária, uma suíte permanece vazia.
a) Obtenha a função de demanda admitindo-a como função do 1º grau.
b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita?
R: a) p = - 5x + 350
b) 175,00
6.Sendo a função de demanda D de determinado produto em função do preço P dada por:
D= -P2 – 7P + 30 pede-se:
a) Qual o valor da demanda de mercado para P=R$3,00?
c) Qual o intervalo de variação de D?
74
d) Qual o intervalo de variação de P?
7.Um estacionamento para automóveis tem a seguinte equação de demanda: p = 100 - x,
em que p é o preço por dia de estacionamento e x, o número de automóveis que
comparecem. Encontre o preço que maximiza a receita, supondo que:
a) O estacionamento tenha 40 lugares.
b) O estacionamento tenha 60 lugares.
R: a) 60,00
b) 50,00
8.A função custo de um monopolista (único produtor de um produto) é C = 200 + 2x, e a
função demanda pelo produto é p = 100 - 2x.
a) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?
b) Se o governo tabelar o preço do produto de modo que o preço máximo seja $ 60,00,
qual preço deve ser cobrado para maximizar o lucro?
(c) Resolva o item anterior considerando um preço máximo de $ 40,00.
R: a) 51,00
b) 51,00
c) 40,00
9.Pesquisas mercadológicas determinaram que o número de um certo eletrodoméstico (x)
demandado por semana relacionava-se com seu preço unitário por meio da relação x =
1.000 - 1O0p, em que 4 p 10.
a) Obtenha a função receita.
b) Qual preço deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?
R: a) - 0,01 x² + 10x , 0 x 600
b)R$ 5,00
10.Uma vídeo locadora aluga 200 fitas por dia, se o aluguel diário de cada fita for R$
4,00. Para cada R$ 1,00 de acréscimo no preço, há uma queda de demanda de 50 fitas.
a) Qual a equação de demanda diária de fitas, admitindo-a como função do 1º grau?
75
b) Qual preço deve ser cobrado para maximizar a receita?
R :a) p = - 0,02 x² + 8
b) R$ 4,00
11.A equação de demanda de um produto é p = 100 - 2x e o custo é C = 500 + 3x.
a) Obtenha o preço que maximiza o lucro.
b) Se o governo cobrar um imposto igual a R$ 2,00 por unidade vendida, qual o novo
preço que maximiza o lucro?
R: a) R$ 51,50
b) R$ 52,50
12.O custo médio de fabricação de x unidades de um produto é
e a função receita é R(x) = 200x - 2.x².
a) Obtenha a função lucro.
b) Obtenha a quantidade que deve ser produzida e vendida para maximizar o lucro.
R: a) L = - 3x² + 180x – 200
b) x = 30
13. O custo de produzir x unidades por dia de um produto é C =
+ 20x + 15 e a
equação de demanda é p = 30 - x. Obtenha o preço que maximiza o lucro.
R: 80/3
14.Sabendo que a função demanda é p = 10 - x, e a função custo é C = 12 + 3x, pedem-se:
a) preço que maximiza o lucro
b) O intervalo em que deve variar o preço para que o lucro seja não negativo.
R: a) R$6,50
b) 6 p 7
76
20- FUNÇÃO EXPONENCIAL
20.1 EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Propriedades:
(a
a-1 =1/a
(a
)
)
Equação exponencial é toda igualdade em que a incógnita se apresenta no expoente de
uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de um.
Exemplos:
a) 2x = 32
b) (1/3)x = 81
c) (3x)x + 1 = 243
d)
( 2 ) x 256
e) 4x – 2x = 12
77
20.2- FUNÇÃO EXPONENCIAL
Define-se como função exponencial qualquer função f de Reais em Reais dada por
uma lei de formação expressa por f(x) = ax, onde a é um número real dado, a > o e
a 1.
Para exemplificarmos o modelo exponencial de crescimento vamos nos utilizar da
população de Chapecó que no ano de 2010 contava com 183561 habitantes. Para a
análise da evolução populacional de Chapecó vamos considerar um crescimento
mínimo de 2,5% ao ano e máximo de 3,5% ao ano.
a) Encontrar segundo as afirmações acima a população de Chapecó em 2014.
b) Fazer uma estimativa da população de Chapecó para 2020.
c) Utilizando as informações acima estimar a população de Chapecó em 2000.
Para efeitos de análise do modelo exponencial podemos perceber que para valores
de a > 1 temos um crescimento positivo e para valores de 0< a <1 temos um
“ crescimento negativo”.
Função Exponencial Crescente
35
30
25
F(x) = 2
20
x
15
10
5
0
-2
0
2
78
4
6
Função Exponencial Decrescente
2,5
2
1,5
F(x) = (1/2)
1
x
0,5
0
-2
0
2
4
6
Exercícios
1. Resolva as equações exponenciais:
a) 5x = 125
b) (2/3)x = 2,25
c) 4x + 1= ½
d)273-x = (1/81)x
2.Resolva, no conjunto dos números reais as equações:
a)(2x)x –1= 4
c) (0,1)x – 5= 10
b) 81x + 1 = (1/3)x
d) 22x + 2x+1=80
3. Representar graficamente
a)f(x)= 5x
b) f(x) 400 (1,02)x
4.O número de habitantes de uma cidade é hoje 7000 e cresce a uma taxa de 3% ao ano.
a) Qual o número de habitantes daqui a 8 anos?
b) Qual o número de habitantes daqui a 20 anos?
79
5. O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 8000 e cresce exponencialmente a
uma taxa i ao ano. Se daqui a 20 anos o número de habitantes é igual a 16000, qual a taxa
de crescimento anual?
6.A que taxa anual deve crescer exponencialmente uma população para que ela dobre em
25anos?
7.Uma empresa expande suas vendas em 30% ao ano. Se este ano ela vendeu 1000
unidades, quantas venderá daqui a 5 anos?
8. Um imóvel vale hoje R$ 150000,00 e cada ano sofre uma desvalorização de 3% ao ano.
a) Qual o seu valor daqui a 10 anos?
9.Um automóvel novo vale R$ 20.000,00. Sabendo-se que ele sofre uma desvalorização de
15% ao ano:
a) Qual o seu valor daqui a 5 anos?
10. Um equipamento sofre uma depreciação exponencial de tal forma que seu valor daqui
a t anos será V(t) = 6561 (1/3) t.
a) Qual o seu valor hoje?
b) Qual o seu valor daqui a 3 anos?
c) Qual será a depreciação total até esta data?
80
21- LOGARITMOS
Consideremos a equação exponencial 2x = 64. Para resolvê-la podemos notar que
64 é igual à potência 26, e então concluímos que x = 6. Da mesma forma poderíamos
resolver a equação 3x = 1/81, pois notamos que 1/81 = 1/34 = 3 –4 e como consequência x
= -4.
Entretanto se tivermos de resolver uma equação como 2x= 5, não conseguiremos
reduzir as potências a mesma base. Nesse caso, como 4 < 5 < 8, então 4 < 2x< 8, ou seja,
22 < 2x < 23, e apenas podemos garantir que 2< x< 3. Com os estudos que fizemos até
aqui, não sabemos qual é o valor de x nem como determiná-lo.
21.1- DEFINIÇÃO
Sendo a e b números reais e positivos, com a 1 chama-se logaritmo de b na base
a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência ax seja igual a b.
log b x a x b
a
Na expressão loga b = x, temos:
a é a base do logaritmo;
b é o logarítmando;
x é o logaritmo
Por mais que pareça
difícil a persistência é
uma virtude desejável
ao seu humano
81
Exemplos:
a) log 4
2
b) log 81
3
c) log 1 / 8
2
d ) log
3
3
f ) log 0,25
16
22.2- CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
1º
log 1 0
a
2º log a 1
a
3º a
log b
a
b
21.3- SISTEMAS DE LOGARITMOS
a) O sistema de logaritmos decimais, que é o de base 10 foi desenvolvido pelo inglês
Briggs que mostrou as vantagens de se utilizar os logaritmos decimais e publicou a
primeira tabela de logaritmos.
Indicação
log x ou simplesmen te log x
10
82
b) O sistema de logaritmos neperianos, que é o de base e (e é um número irracional que
vale 2,71828...) foi proposto pelo escocês Napier.
log x ou simplesmen te ln x
Indicação
e
21.4- PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
Logaritmo de um Produto
log(b.c) log b log c
a
a
a
Logaritmo de um Quociente
log(b / c) log b - log c
a
a
a
Logaritmo da Potência
log b m m. log b
a
a
Mudança de Base
log b
a
log b
c
log a
c
83
Exemplos:
a) log (6 x 9) 4
3
b) log (2 x 10) log 2 ( x 1) 6
2
c) log (3x 7) log ( x 1) 1
5
5
d )(log x) 2 3 log x 2
Exercícios
1.Calcule os logaritmos:
a) log 49
7
b)log10000
c)log1024
d)log 4
4
128
2.Resolva as equações:
a) log 4 2
2x
b)log (2x 3) log x²
2
2
21.5- FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Chamamos de Função Logarítmica a toda função escrita na forma f(x) =
, em que a
base a é um número positivo diferente de 1.
Características desta função:
a) Domínio da função é o conjunto dos números reais não negativos
b) A intersecção do gráfico da função logarítmica com o eixo x é o ponto (1,0) ; não há
intersecção com o eixo y
84
c) Exemplos de gráficos de funções logarítmicas:
F(x) =
85
F(x) =
Exercícios
1. O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7000 e cresce a taxa de 3% ao
ano. Daqui a quanto tempo a população dobrará?
2. O PIB de um país cresce a uma taxa de 5% ao ano. Daqui a quantos anos
aproximadamente o PIB triplicará?
3. Um imóvel vale hoje R$ 120.000,00, e cada ano sofre uma desvalorização de 3% ao
ano. Daqui a quanto tempo se reduzirá a metade?
4. Um automóvel novo vale hoje R$22000,00 e sofre desvalorização de 15% ao ano. Em
quanto tempo seu valor se reduzirá a metade?
5. Daqui a t anos o valor de uma máquina será V=50. (0,85)t mil reais. Daqui a quanto
tempo seu valor se tornará 25 mil reais?
86
22- JUROS COMPOSTOS
Juros compostos é a modalidade de juros onde o juro é incorporado ao capital no
final de cada período.
Exemplo:
Um empréstimo bancário no valor de R$ 42000,00 é concedido a um empresário
que pagará juros de 15% ao ano.
a) Qual o montante a ser devolvido no final de quatro anos?
b) Qual o capital que deveria ser tomado emprestado desta instituição bancária para que
ao final de 4 anos tivéssemos que devolver R$35500,00?
a)Quanto tempo levaria para que um capital de R$20000,00 se tornasse igual a
R$46261,21?
b)Qual a taxa de juro que o banco estaria cobrando se ao tomar emprestado durante 3
anos o valor de R$25000,00 teria que devolver R$35123,20?
Exercícios
1.
Um capital de R$3000,00 é aplicado a juros compostos durante 5 meses a taxa de
1,2% ao mês. Qual o montante produzido?
2.
Uma pessoa aplica hoje R$ 1000,00 e aplicará R$3000,00 daqui a 4 meses a juros
compostos de 2% ao mês. Qual o montante daqui a 6 meses?
3.
Qual o capital que aplicado a juros compostos, durante um ano, à taxa de 7%ao
trimestre, produz um montante de R$ 5000,00?
87
4.
Um capital de R$ 2000,00 é aplicado durante 5 meses a juros compostos
produzidos um montante de R$2400,00. Qual a taxa mensal?
5.
Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos à taxa de
1,9% ao mês para que ele duplique
6.
Quanto devo aplicar hoje a juros compostos e a taxa de 2% ao mês para pagar um
compromisso de R$6000,00 daqui a 6 meses?
7.
A que taxa devo aplicar R$500,00 num fundo que rende juros compostos, para
poder sacar R$200,00 daqui a 1 mês e R$341,25 daqui a 2 meses, esgotando seu saldo?
8.
Um indivíduo que pretende se aposentar dentro de 30 anos resolve fazer 36o
depósitos mensais, de A reais cada, em uma aplicação que rende juros de 0,5% ao mês.
Seu objetivo é constituir uma poupança que possa sacar R$2000,00 por mês, durante 240
meses, sendo a primeira retirada um mês após o último depósito.
a) Qual a poupança que ele deverá constituir logo após o último depósito?
b) Qual o valor de A?
Aproveite todas as oportunidades para
ser feliz e tornar as pessoas que você
gosta felizes
88
23. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.
LEITHOLD, Louis. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo:
HARBRA, 1988. 500 p.
2.
GENTIL, Nelson (Et. al.) Matemática para o 2º grau. 9. ed. São Paulo: Ática, 1996.
302 p. ISBN 85-08-05916-7
3.
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática: para os cursos de economia,
administração, ciências contábeis. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2007. 2 v.
4.
MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton de Oliveira; HAZZAN, Samuel. Introdução
Cálculo para administração, economia e contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2009. 341 p.
ISBN 978-85-02-0768-4
5.
HARIKI, Seiji; ABDOUNUR, Oscar João. Matemática aplicada: administração,
economia, contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999. 466 p. ISBN 85-02-02802-2
6.
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: HARBRA,
1994. 2. v.
89
Download
