UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Conjuntos Numéricos
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Conjuntos Numéricos
1.Conjunto dos números naturais
2.Conjunto dos números inteiros
3.Conjunto dos números racionais
4.Conjunto dos números reais
5.Intervalos
6.Conjunto dos números complexos
7.Resumo
1. Conjunto dos números naturais
Chama-se conjunto dos números naturais –
símbolo ℕ – o conjunto formado pelos números
ℕ = {0,1,2,3,…}
O conjunto
ℕ − {0} é denotado por ℕ
*
ℕ * = {1,2,3,…}
OBS: De um modo geral, se A é um conjunto
numérico qualquer, tem-se
A = A − {0}
*
3
1.1. Propriedades dos números
naturais
Neste conjunto são definidas duas
operações
fundamentais,
a
adição
e
a
multiplicação, que apresentam as seguintes
propriedades, onde a, b, c ∈ ℕ :
4
1.1. Propriedades dos números
naturais
[A.1] Associativa da adição
(a + b ) + c = a + ( b + c )
[A.2] Comutativa da adição
a+b = b+a
[A.3] Elemento neutro da adição
a+0 =a
5
1.1. Propriedades dos números
naturais
[M.1] Associativa da multiplicação
(ab )c = a(bc )
[M.2] Comutativa da multiplicação
ab = ba
[M.3] Elemento neutro da multiplicação
a ⋅1 = a
6
1.1. Propriedades dos números
naturais
[D] Distributiva da multiplicação relativamente à
adição
a(b + c ) = ab + ac
7
1.2. A adição e a multiplicação
nos números naturais
O conjunto ℕ é fechado para a adição e a
multiplicação, ou seja, a soma dos números naturais
é sempre um número natural e o produto de
números naturais é sempre um número natural. Em
símbolos escrevemos:
∀ a, b ∈ ℕ,(a + b ) ∈ ℕ e (a ⋅ b ) ∈ ℕ
Note que a subtração e a divisão nem
sempre têm significado no conjunto dos números
naturais. Por exemplo, 5 − 7 ∉ ℕ e 10 ÷ 3 ∉ ℕ.
Por isso, o conjunto ℕ não é fechado para a
subtração e a divisão.
8
2. Conjunto dos números inteiros
Chama-se conjunto dos números inteiros
símbolo ℤ – o conjunto formado pelos números
–
ℤ = {…, −3, −2, −1,0,1,2,3,…}
9
2. Conjunto dos números inteiros
No conjunto
juntos notáveis:
ℤ
distinguimos três subcon-
ℤ + = {0,1,2,3,…} = ℕ
conjunto dos inteiros não negativos
ℤ − = {…, −3, −2, −1,0}
conjunto dos inteiros não positivos
ℤ = {…, −3, −2, −1,1,2,3,…}
*
conjunto dos inteiros não nulos
10
2.1. Propriedades dos números
inteiros
Neste conjunto são definidas também as
operações de adição e multiplicação, que
apresentam, além de [A.1], [A.2], [A.3], [M.1],
[M.2], [M.3] e [D], a propriedade:
[A.4] Simétrico ou oposto para a adição
Para todo a ∈ ℤ existe −a ∈ ℤ tal que
a + ( −a ) = 0
11
2.1. Propriedades dos números
inteiros
Devido à propriedade [A.4], podemos
definir em ℤ a operação de subtração, estabelecendo que
a − b = a + ( −b )
para todos a, b ∈ ℤ
12
2.2. Operações no
dos números inteiros
conjunto
O conjunto ℤ é fechado para a adição, a
multiplicação e a subtração. Isto é, a adição, a
multiplicação e a subtração de dois números
inteiros resulta sempre num número inteiro. Em
símbolos escrevemos:
∀ a, b ∈ ℤ,(a + b ) ∈ ℤ, (a ⋅ b ) ∈ ℤ e (a − b ) ∈ ℤ
13
2.3. Os números inteiros e a
reta
Os
números
inteiros
podem
ser
representados sobre uma reta orientada por meio
do seguinte procedimento:
a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo
e um ponto O (origem), que representa o inteiro 0
(zero) :
0
14
2.3. Os números inteiros e a
reta
b) A partir de 0, no sentido positivo, marcamos um
segmento unitário u ≠ 0 cuja extremidade representará o inteiro 1:
u
0
1
c) para cada inteiro positivo n, a partir de 0,
marcamos um segmento de medida nu no sentido
positivo cuja extremidade representará n e
marcamos um segmento de medida nu no sentido
negativo cuja extremidade representará o inteiro
–n.
u
-4
u
-3
u
-2
u
-1
u
0
u
1
u
2
u
3
4
15
2.3. Os números inteiros e a
reta
Exercício 1: Quais das proposições abaixo são
verdadeiras?
a) 0 ∈ ℕ
b) ( 2 − 3 ) ∈ ℕ
c) ℕ ⊂ ℤ
d) ℕ ∪ ℤ − = ℤ
e) ℤ + ∩ ℤ − = ∅
f) ( −3 ) ∈ ℤ −
2
g) ( −4 )( −5 ) ∈ ℤ +
h) 0 ∈ ℤ −
i) ( 5 − 11) ∈ ℤ
2.3. Os números inteiros e a
reta
Exercício 2: Sabendo que um número inteiro p é
primo quando p ≠ 0, 1 e -1, e Dp = {1, -1, p e –p},
pergunta-se: Quais dos elementos de Z, abaixo
relacionados, não são primos?
{12, −13,0,5,31, −1,2, −4,1,49,53}
17
3. Conjuunto dos números racionais
Dado um número inteiro q ≠ 1 e − 1, o inverso
1
de q não existe em ℤ : ∉ ℤ . Por isso não podemos
q
definir em ℤ a operação de divisão, dando signifip
cado ao símbolo
. A superação dessa dificuldade
q
se dará com a introdução dos números racionais.
18
3. Conjunto dos números racionais
Chama-se conjunto dos números racionais
– símbolo ℚ – o conjunto dos pares ordenados (ou
frações) a , em que a ∈ ℤ e b ∈ ℤ * , para os quais
b
adotam-se as seguintes definições:
1a) igualdade: a = c ⇔ ad = bc
b d
a c ad + bc
2a) adição:
+ =
b d
bd
3a) multiplicação: a ⋅ c = ac
b d
bd
19
3. Conjunto dos números racionais
No conjunto ℚ destacamos os subconjuntos:
ℚ + : conjunto dos racionais não negativos
ℚ − : conjunto dos racionais não positivos
ℚ * : conjunto dos racionais não nulos
20
3. Conjunto dos números racionais
Na fração a , a é o numerador e b o denomi-
b
nador. Se a e b são primos entre si, isto é, se
mdc(a, b) = 1, dizemos que a é uma fração irredu-
b3
2
tível. Assim, as frações ,
e 7
3 7
15
6
tíveis, mas
não é.
10
são irredu-
21
3. Conjunto dos números racionais
São válidas as mesmas propriedades
formais vistas para os números inteiros. Além
dessas, temos também a seguinte:
[M.4] Simétrico ou inverso para a multiplicação
a
a
Para todo
∈ ℚ e ≠ 0 , existe
b
b
b
a b
∈ ℚ tal que ⋅ = 1
a
b a
22
3. Conjunto dos números racionais
Devido à propriedade [M.4], podemos
definir em ℚ* a operação de divisão, estabelecendo
que
a c a d
÷ = ⋅
b d b c
para a e c racionais quaisquer não nulos.
b
d
23
3.1. Representação decimal
Notemos que todo número racional a pode
b
ser representado por um número decimal. Passa-se
um número racional
a
b
para a forma de número
decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Na
passagem de uma notação para outra podem
ocorrer dois casos:
24
3.1. Representação decimal
1o) o número decimal tem uma quantidade finita de
algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal
exata.
Exemplos:
3
=3
1
1
= 0,5
2
1
= 0,05
20
27
= 0,027
1000
25
3.1. Representação decimal
2o) o número decimal tem uma quantidade infinita
de algarismos que se repetem indefinidamente,
isto é, uma dízima periódica.
Exemplos:
1
= 0,333… = 0,3 (período 3)
3
2
= 0,285714285714… = 0,285714 (período 285714)
7
11
= 1,8333… = 1,83 (período 3)
6
26
3.1. Representação decimal
Podemos notar também que todo número na
forma de decimal exata ou de dízima periódica
pode ser convertido à forma de fração a e, portanto, representa um número racional.
b
27
3.1. Representação decimal
Quando a decimal é exata, podemos
transformá-lo em uma fração cujo numerador é o
numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador
é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais do numeral dado.
Exemplos:
37
0,37 =
100
2631
2,631 =
1.000
634598
63,4598 =
10.000
28
3.2. Determinação da fração
geratriz
Quando a decimal é uma dízima periódica,
devemos procurar sua geratriz, conforme o
exemplo a seguir:
Como exemplo, vamos determinar a fração
geratriz do número 1,3212121…
Seja x a fração procurada. Então,
x = 1,3212121…
29
3.2. Determinação da fração
geratriz
1o passo: Multiplicamos o número por uma potência
conveniente de dez (isto é, 10, 100, 1000, etc…),
com o propósito de deslocar a vírgula de modo a
posicioná-la imediatamente antes do primeiro
período.
Neste exemplo, a vírgula deve deslocar-se
uma casa para a direita. Para isso, basta multiplicar
o número por 10.
10 x = 13,212121…
(1)
30
3.2. Determinação da fração
geratriz
2o passo: Multiplicamos o número obtido,
novamente, por uma potência conveniente de dez,
de modo que a vírgula se desloque e se posicione
imediatamente antes do segundo período.
No exemplo, a vírgula deve deslocar-se duas
casas para a direita. Para isso, multiplicamos ambos
os membros da igualdade (1) por 100, obtendo a
igualdade (2):
100 ⋅ 10 x = 100 ⋅ 13,212121…
1000 x = 1321,2121…
(2)
31
3.2. Determinação da fração
geratriz
Subtraindo a igualdade (1) da igualdade (2),
membro a membro, eliminamos todas as casas
decimais. Em seguida, é só isolar x e simplificar a
fração obtida.
1000 x = 1321,212121…
− 10 x = −13,212121…
990 x = 1321 − 13
990 x = 1308
1308
218
x=
⇒x=
990
165
32
3.2. Determinação da fração
geratriz
Exercício 3: Quais das seguintes proposições são
verdadeiras?
b) ℤ ⊂ ℚ
 4 11
f)  ,  ⊂ ℚ
7 3 
g) 1∈ ℚ − ℤ
c) 0 ∈ ℚ
h)
a) ℕ ⊂ ℚ
d) 517 ∈ ℚ
e) 0,474747 … ∈ ℚ
2
∈ℚ − ℤ
7
14
i)
∈ℚ − ℤ
2
21
j)
é irredutível
14
3.2. Determinação da fração
geratriz
Exercício 4: Colocar na forma de uma fração
irredutível os seguintes números racionais:
a) 0,444 …
b) 0,32
c) 0,323232…
d) 54,2
e) 5,423423423 …
4. Conjunto dos números reais
Números irracionais: Existem números cuja
representação decimal com infinitas casas
decimais não é periódica. Por exemplo, o numeral
decimal 0,1010010001… (em que o número de
algarismos 0 intercalados entre os algarismos 1 vai
crescendo) é não periódico. Ele representa um
número não racional.
Outros exemplo de números irracionais:
1,234567891011…
6,202002000…
34,5678910112…
35
4. Conjunto dos números reais
Chama-se conjunto dos números reais - ℝ aquele formado por todos os números com
representação decimal, isto é, as decimais exatas
ou periódicas (que são números racionais) e as
decimais não exatas e não periódicas (chamadas
números irracionais).
Dessa forma, todo número racional é número
real, ou seja:
ℚ⊂ℝ
36
4. Conjunto dos números reais
Além dos racionais, estão em ℝ
números
como:
2 = 1,4142136…
π = 3,1415926…
a = 1,010010001…
chamados números irracionais.
37
4. Conjunto dos números reais
Se quisermos outros números irracionais,
poderemos obtê-los, por exemplo, por meio da
expressão
p , em que
p é primo e positivo. São
irracionais: 3, 5, 7, etc….
38
4. Conjunto dos números reais
Outro
recurso
para
construção
de
irracionais é usar o fato de que, se α é irracional e
r é racional não nulo, então: α + r, α . r, α/r e r/α
são todos irracionais.
Exemplos:
3 3
2 + 1, 3 2,
,
são irracionais.
2
5
39
4. Conjunto dos números reais
No conjunto ℝ destacamos os subconjuntos:
ℝ + : conjunto dos reais não negativos
ℝ − : conjunto dos reais não positivos
ℝ * : conjunto dos reais não nulos
40
4.1. Operações
dos números reais
no
conjunto
As operações de adição e multiplicação
em ℝ gozam das mesmas propriedades vistas para
o conjunto ℚ . Em
ℝ é também definida a operação
de subtração e em ℝ * é definida a divisão.
41
4.2. Os números reais e a
reta
Já vimos que os números inteiros podem ser
representados por pontos de uma reta:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
u
42
4.2. Os números reais e a
reta
Analogamente, os números racionais não
inteiros também podem. Se queremos, por
exemplo, representar o número ½ sobre a reta,
marcamos a partir de 0 um segmento de medida
½u no sentido positivo. A extremidade desse
segmento representa ½. Na figura abaixo
representamos sobre a reta vários números
racionais.
-3
-2
−
5
2
-1
−
5
3
−
4
3
0
−
1
2
1
1
2
2
3
2
3
9
4
11
4
43
4.2. Os números reais e a
reta
Os
números
racionais,
entretanto,
não
preenchem completamente a reta, isto é, há pontos
da reta que não representam nenhum racional. Por
exemplo, entre os pontos 1,41 e 1,42 fica um ponto
que representa 2 = 1,414215… (irracional).
44
4.2. Os números reais e a
reta
Quando representamos também sobre a
reta os números irracionais, cada ponto da reta
passa a representar necessariamente um número
racional ou irracional (portanto, real), isto é, os
reais preenchem completamente a reta.
-3
-2
−
5
2
− 3
-1
−
5
3
−
4
3
0
−
1
2
1
1
2
2
3
2
2
Essa reta, que representa
reta real ou reta numérica.
3
9
4
11
4
π
ℝ , é chamada
45
4.2. Os números reais e a
reta
Na reta real os números estão ordenados.
Um número a é menor que qualquer número x
colocado à sua direita e maior que qualquer número
x à sua esquerda.
a
{ x ∈ ℝ / x < a}
{ x ∈ ℝ / x > a}
46
4.2. Os números reais e a
reta
Exercício 5: Quais das proposições abaixo são
verdadeiras?
a) 3 ∈ ℝ
f)
b) ℕ ⊂ ℝ
g)
c) ℤ ⊂ ℝ
1
d) ∈ ℝ − ℚ
2
e)
4 ∈ℝ − ℚ
h)
i)
3
(
4 ∈ℝ −ℚ
)
2 −3 3 ∈ℝ − ℚ
3 2
5
3 2
5 2
∈ℝ − ℚ
∈ℚ
4.2. Os números reais e a
reta
Exercício 6: Mostrar que
4 + 2 3 = 1+ 3
5. Intervalos
Dados dois números reais a e b, com a < b,
definimos:
a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto
]a, b[ = {x ∈ ℝ / a < x < b}
que também pode ser indicado por a
b.
49
5. Intervalos
b) intervalo fechado de extremos a e b é o
conjunto
[a, b] = {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b}
que também pode ser indicado por a
b.
c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à
direita) de extremos a e b é o conjunto
[a, b[ = {x ∈ ℝ / a ≤ x < b}
que também pode ser indicado por a
b.
50
5. Intervalos
d) intervalo fechado à direita (ou aberto à
esquerda) de extremos a e b é o conjunto
]a, b] = {x ∈ ℝ / a < x ≤ b}
que também pode ser indicado por a
b.
Os números reais a e b são denominados,
respectivamente, extremo inferior e extremo
superior do intervalo.
51
5. Intervalos
Exemplos:
1o ) ]2, 5[ = { x ∈ ℝ / 2 < x < 5} é intervalo aberto
2o ) [ −1, 4] = { x ∈ ℝ / −1 ≤ x ≤ 4} é intervalo fechado
2
2  

3o )  , 7  =  x ∈ ℝ / ≤ x < 7  é intervalo fechado à esquerda
5
5  

1
 1
 

4 )  − , 2  =  x ∈ ℝ / − < x ≤ 2  é intervalo fechado à direita
3
 3
 

o
52
5. Intervalos
Também consideramos intervalos lineares os
“intervalos infinitos” assim definidos:
a ) ]−∞, a[ = { x ∈ ℝ / x < a}
que também podemos indicar por -∞
a
b ) ]−∞, a ] = { x ∈ ℝ / x ≤ a}
que também podemos indicar por -∞
a
53
5. Intervalos
c ) ]a, + ∞[ = { x ∈ ℝ / x > a}
que também podemos indicar por a
+∞
d ) [a, + ∞[ = { x ∈ ℝ / x ≥ a}
que também podemos indicar por a
+∞
e ) ]−∞, + ∞[ = ℝ
que também podemos indicar por -∞
+∞
54
5.1. Representação gráfica
Os intervalos têm uma representação
geométrica sobre a reta real como segue:
]a, b[
a
b
a
b
[a, b[
]a, b]
]-∞, a ]
]a, + ∞[
a
b
a
b
[a, b]
a
a
55
5.1. Representação gráfica
Exercício 7: Representar sobre a reta real, cada
um dos seguintes conjuntos
A = { x ∈ ℝ / 1 ≤ x ≤ 2}
B = { x ∈ ℝ / 0 < x < 3}
C = { x ∈ ℝ / x ≤ 0 ou x > 2}
D = { x ∈ ℝ / −1 < x < 0 ou x ≥ 3}
5.1. Representação gráfica
Exercício 8: Descrever, conforme a notação da
teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:
a) [ −1,3]
b) [0,2[
c) ]−3,4[
d) ]−∞,5[
e) [1, +∞[
5.1. Representação gráfica
Exercício 9: Utilizando a representação gráfica
dos intervalos sobre a reta real, determinar
AWB e AUB sendo A = [0, 3] e B = [1, 4].
5.1. Representação gráfica
Solução:
0
1
3
4
A
B
AWB
AUB
Então: AWB = [1, 3] e AUB = [0, 4]
5.1. Representação gráfica
Exercício 10: Descrever os seguintes conjuntos
 9 
a) [ −1, +∞[ ∩  − ,2 
 2 
b) [1,2] ∩ [0,3] ∩ [ −1, 4]
5.1. Representação gráfica
Exercício 11: Determinar os seguintes conjuntos
a) ]−2,1] ∪ ]0,5[
b) [ −1,3] ∪ [3,5]
6. Conjunto dos números complexos
Vimos que n a ∈ ℝ , qualquer que seja o real a
17
não negativo. Assim, por exemplo, 2 , 3 5 , 4 8 , 2 ,
5
e
6
π são números reais.
Desde que o índice da raiz seja ímpar, os
radicais da forma
n
−a , em que a ∈ ℝ + , também re-
presentam números reais. É o caso, por exemplo,
de
3
−1 , 5 −32 e
7
−3 .
62
6. Conjunto dos números complexos
Se o radicando é negativo e o índice da raiz
é par, entretanto, o radical
n
−a
não representa
elemento de ℝ . Por exemplo, −1 não é real, pois:
−1 = x ⇒ −1 = x 2
e isso é impossível, pois se x ∈ ℝ , então x 2 ≥ 0 .
63
7. Resumo
Os conjuntos numéricos
representados esquematicamente
abaixo:
podem ser
pela figura
ℕ ℤℚℝℂ
Observamos que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
64