Instituto Politécnico de Bragança
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Análise Matemática I – 2003/04
Ficha Prática nº 1.
Operações com números reais; Expressões algébricas; Resolução de equações e
inequações em IR.
1) Escolha a opção correcta:
1 1 1
+ =
2 2 4
1 1 2
+ =
b)
2 2 4
1 1 4
+ =
2 2 4
1 1 8
+ =
d)
2 2 4
a)
c)
2) Considere as seguintes afirmações:
x2 + a2
1
= 2
, para quaisquer x e a não nulos
4
4
x +a
x + a2
1
1 1
= + , para todo o x ∈ IR \ {− 2,0}
x+2 x 2
(x + 1)2 = x + 1 , para todo o x ∈ IR \ {− 1,1}
x −1
x2 −1
x+2 2
= , para todos o x ∈ IR \ {0}
x+3 3
Escolha a resposta correcta:
a)
b)
é falsa e é verdadeira
é falsa e é verdadeira
c)
d)
e
e
são verdadeiras
são verdadeiras
3) Sejam a e b dois números reais não nulos e p e q dois números inteiros quaisquer.
Considere as seguintes condições:
a p b q = (ab )
p+q
1
(ab ) p
a p + b p = (a + b )
Escolha a resposta correcta
a p a q = a pq
p
a)
b)
é falsa e é verdadeira
é falsa e é verdadeira
a−p
= p
b
c)
d)
e são verdadeiras
e são verdadeiras
IPB-ESTiG: Análise Matemática I – 2003-/04
4) Seja a ∈ IR . Escolha a resposta correcta:
a)
a2 = a
b)
a2 = 4 a2
c)
a 2 = ±a
d)
a2 = a
5) Considere as seguintes proposições:
a + b − b = a , para quaisquer a e b não negativos
5
3
a
= a , para todo o a > 0
a
a b = 4 ab , para quaisquer a e b não negativos
4
3
a a = a , para qualquer a ∈ IR
Escolha a resposta correcta:
3
a)
b)
é falsa e
é falsa e
c)
d)
é verdadeira
é verdadeira
e
e
6) Considere as seguintes equações:
•
•
x 2 − 5x + 6 = 0
(x − 1)3 = 0
(
)
são verdadeiras
são verdadeiras
•
(x
•
x + x +1 = 0
2
)
− 1 ( x + 1) = 0
2
• ( x + 1) x − 4 x = 0
Qual é o número de soluções reais e distintas das equações anteriores pela ordem
2
2
indicada?
a) 0, 1, 2, 3, 0
b) 2, 1, 3, 3, 2
c) 2, 1, 3, 2, 0
d) 2, 3, 4, 3, 2
7) Considere o conjunto A = {x ∈ IR : x(x − 1) = x}. Escolha a resposta correcta:
a) A = {0}
b) A = {0,1}
c) A = {2}
d) A = {0,2}
{
}
8) Considere o conjunto A = x ∈ IR : x 2 + 3 x > −2 . Escolha a resposta correcta:
a) A = [− 2,−1]
b) A = ]− ∞,−2[
]− 1,+∞[
c) A = ]− ∞,−2[
d) A = { }
[− 1,+∞[
9) Considere o conjunto A = {x ∈ IR : x − 1 ≤ 2}. Escolha a resposta correcta:
a) A = ]− ∞,3]
b) A = ]− ∞,−1]
[3,+∞[
c) A = [− 1,3]
d) A = [− 3,3]
2
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10) Considere as seguintes proposições:
∀x ∈ IR 25 x = 5 2 x
2
∀x ∈ IR e x = e 2 x
ln(2 ) ln(3) = ln(5)
1
=x
ex
Escolha a resposta correcta:
∀x > 0 − ln
a)
b)
c)
d)
é verdadeira e é falsa
e são verdadeiras
11) Sendo x ∈ 0,
π
2
, tal que sen( x ) =
e
e
são falsas
são verdadeiras
1
qual das seguintes afirmações é verdadeira?
3
2
3
c) cos( x ) = 3
a) cos( x ) =
b) cos( x ) =
d) x =
π
2 2
3
3
12) Para cada uma das seguintes alíneas, escolha a opção correcta.
a) O valor da expressão numérica
3
2 6 é:
i) 6 12
ii) 2
b) O valor da expressão numérica
i)
ii) 11
i)
2 6 x+ 3
e3
(
ii) 32e
iv)
64
3
4
iii)
15
iv)
693
é equivalente a:
(
)
−8 x 3
x+ y
x− y
iii) 1
64
3
iii) 2(2e )
d) A expressão algébrica
i)
3
37 2 − 4 × 13 2 é:
1335
c) A expressão algébrica (16e − 4 2 8 x )
iii)
(
)
2 x −1 3
iv) 16e −1 2 2 x
)
3
x2
x2 − y2
⋅
é equivalente a:
xy − y 2 x 2 + xy
x
y
x
iv)
y
ii)
,
x ≠ y ∧ x ≠ 0.
3
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13) Resolva, em IR , as seguintes equações, se possível e indique o conjunto-solução:
a) ( x − 3)( x 3 + 2) = 0
x 2 − 25
= −10
x+5
d) 2 x + 1 + x − 3 = 2 x
b)
1+ x
=1
5− x
e) x 4 + 2 x 2 − 3 = 0
c)
g)
i)
x 5 − 4 x 3 + 3x 2
1
x −1
f)
1
1
=
x + 1. x − 3 5
h) 2 2 x + 4 x − 8 = 0
=0
e
ln( x + 2) = 0
j) e x − 2 = 0
2
14) Encontre os erros das seguintes resoluções:
1
1
= 3+
x−2
x−2
x−2
b) ( x − 3) ⋅
=0
x−3
a) x + 1 +
x +1 = 3
x=3 ∨
x = 2;
x = 2.
15) Descubra o erro da seguinte demonstração:
Seja x = y ≠ 0 . Então
x2 = y2
x 2 − y 2 = xy − y 2
(x − y ) ⋅ (x + y ) = y ⋅ (x − y )
x+ y = y
x=0
16) Resolva, em IR , as seguintes inequações e apresente a solução sob a forma de intervalos de
números reais.
a) 2 − x < 5
b) x 2 − 4 x + 4 < 1
x+2
c)
>1
1− x
x + 3x 2
d)
≤1
x+2
e)
2x − 1 ≥ x − 2
f)
x −1 + x + 2 ≥ 4
2
g) e x + 5 ≥ e x +3
h) log 1 x 2 − x < log 1 ( x − 5)
e
(
)
e
Sugestão para mais exercícios:
Sebenta de exercícios: exercícios 1 a 6 do capítulo 1.
4