Tarefa:
SIMULADO DE MATEMÁTICA
ALUNO(A): ______________________________________________
Professores:
Octamar e Caribé
3ª série do
ensino médio
Turma: ___
Nº: ______
Nota:
Nº de questões: 15
Data: ____/____/____
Unidade: II
SIMULADO_2010 DE MATEMÁTICA APLICADO ÀS TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO
MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM JULHO DE 2010.
ELABORAÇÃO:
PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
QUESTÕES DE 01 A 08
Assinale os itens verdadeiros em cada questão, some os resultados e marque na Folha de
Respostas.
Questão 01
Na figura, ABC é um triângulo equilátero de lado 6cm e CDEF, um quadrado de lado 2cm.
É verdade que:
(01) 6,3 < BF < 6,4.
(02) A altura do triângulo equilátero é igual a 2 3 cm.
(04) AF = 2 10 − 3 3 cm.
(08) A área do triângulo ACF é igual a 6cm².
(16) A área do triângulo ACE 6 2sen75° cm².
(32) O raio do círculo que passa nos pontos B, D e E , é igual a 17 cm.
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RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
No triângulo retângulo BCE da figura ao lado:
x 2 = 4 + 36 ⇒ x = 40 = 6,32 cm
(02) FALSA.
l 3 6 3
h=
=
= 3 3 cm
2
2
(04) VERDADEIRA.
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ACF:
3
AF2 = 36 + 4 − 2 × 6 × 2 ×
⇒ AF2 = 40 − 12 3 ⇒ AF = 2 10 − 3 3 cm.
2
(08) FALSA.
1
A área do triângulo ACF é igual a s = × 6 × 2 × sen30° = 3 cm².
2
(16) VERDADEIRA.
A área do triângulo ACE è: S =
1
× 6 × 2 2 × sen75° = 6 2sen75° cm².
2
(32) VERDADEIRA.
B, D e E, são os vértices de um triângulo retângulo. Logo a medida do raio do
círculo que o circunscreve é igual à metade da sua hipotenusa:
BE
64 + 4
68
=
=
= 17 cm.
2
2
2
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2
Questão 02
O crescimento anual das exportações de um país, em um determinado ano, é medido tendo-se por base o
valor total das exportações do ano imediatamente anterior. Supondo que o crescimento das exportações
de um país foi de 20% em 2006 e de 10% em 2007, julgue os itens seguintes.
(01) O valor total das exportações em 2006 foi igual a 1,2 vezes o valor correspondente em 2005.
(02) Diminuindo-se 10% do valor total das exportações ocorridas em 2007, obtém-se o valor total das
exportações ocorridas em 2006.
(04) Em 2007, o valor total das exportações foi 32% maior que o de 2005.
(08) O crescimento do valor das exportações durante o biênio 2006 – 2007 equivale a um crescimento
anual constante inferior a 15% ao ano, durante o mesmo período.
(16) Supondo que em 2008 as exportações caíram 30%, então nesse ano o país exportou menos que
em 2005.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Valor2006 = Valor2005 + 0,20 Valor2005 = 1,20 Valor2005
(02) FALSA.
Valor2007 = Valor2006 + 0,10 Valor2006 = 1,10 Valor2006
1,10 Valor2006 – 0,10 × 1,10 Valor2006 = 0,99Valor2006
(04) VERDADEIRA.
Valor2007 = 1,10 Valor2006 = 1,10 × 1,20 Valor2005 = 1,32 Valor2005
(08) VERDADEIRA.
Considerando a como a taxa anual de variação constante do valor das exportações:
(x + ax) + (x + ax)a = 1,32x ⇒ 1 + a + a + a2 = 1,32 ⇒ a2 + 2a – 0,32 = 0 ⇒
− 2 ± 4 + 1,28
− 2 + 2,2978
a =
⇒a=
= 0,1489 < 0,15
2
2
(16) VERDADEIRA.
Valor2008 = 0,70 Valor2007 = 0,70 × 1,32 Valor2005 = 0,924 Valor2005
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3
Questão 03
03
Sobre polígonos é verdade que:
(01) Se l e R são, respectivamente , lado e raio de um triângulo eqüilátero, então l = R 2 .
(02) A área de um quadrado de raio R é igual a 2R².
(04) Cada ângulo interno de um pentágono regular mede 96°.
(08) A área de um dodecágono regular de raio R é igual a 3R².
(16) As menores diagonais de um hexágono regular de lado l , tem medida igual a l 3 .
(32) O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado pela fórmula
n (n − 3)
, portanto
2
existe polígono convexo com 30 diagonais.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
No triângulo retângulo ABC da figura ao lado:
l
3
= R × cos30° ⇒ l = 2R ×
⇒l=R 3
2
2
(02) VERDADEIRA.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da figura ao lado:
(
4 R 2 = 2l 2 ⇒ l = R 2 ⇒ S = R 2
)
2
= 2R 2
(04) FALSA.
Num polígono convexo regular, a medida do ângulo interno é dada pela relação: a i =
Então no pentágono regular: a i =
180°(5 − 2 )
36° × 3 = 108°
5
(08) VERDADEIRA.
O dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio R divide essa
360°
circunferência em 12 arcos congruentes que medem
= 30° .
12
1
1
Logo a área do dodecágono é S = 12 × × R 2 × sen 30° = 6R 2 × = 3R 2
2
2
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4
180°(n − 2 )
.
n
(16) VERDADEIRA.
Uma das diagonais menores do hexágono regular ao lado, é a corda AB cuja
medida é 2x.
No triângulo retângulo destacado:
l2
3l 2
l 3
x 2 = l2 − ⇒ x 2 =
⇒x=
⇒ AB = l 3
4
4
2
(32) FALSA.
n (n − 3)
3 ± 9 + 240 3 ± 249
= 30 ⇒ n (n − 3) = 60 ⇒ n 2 − 3n − 60 = 0 ⇒ n =
=
∉N
2
2
2
Questão 04 (UFBA2008/Modificada)
(UFBA2008/Modificada)
Uma caixa contém cinco varetas azuis, medindo 1cm, 3cm, 4cm, 5cm e 7cm, e quatro varetas verdes,
medindo 2cm, 3cm, 4cm e 5cm. Com relação às varetas da caixa, é correto afirmar:
(01) A média aritmética dos comprimentos das varetas é menor que 4cm.
(02) Escolhendo-se, ao acaso, uma vareta, a probabilidade de ser azul ou ter comprimento maior que
4cm é igual a 2/3.
(04) Escolhendo-se, ao acaso, duas varetas, sem reposição, a probabilidade de serem da mesma cor é
igual a 4/9.
(08) Existem exatamente 21 maneiras distintas de escolher três varetas que formem um triângulo
isósceles.
(16) Existem exatamente 9! maneiras distintas de se enfileirar as varetas.
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 2 + 3 + 4 + 5 34
=
= 3,777... < 4 ,
Ma =
9
9
(02) VERDADEIRA.
Existem 5 varetas azuis ou 3 com comprimentos maiores que 4cm, das quais, duas são azuis. Assim ao
todo existem 6 varetas que satisfazem à condição estabelecida.
6 2
A probabilidade pedida é p = = .
9 3
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5
(04) VERDADEIRA.
9×8
= 36 (Número de possibilidades distintas de se escolher 2 entre as 9 varetas).
n(E) = C92 =
2 ×1
n(A) = C52 + C 24 = 10 + 6 = 36 (Número de possibilidades distintas de se escolher, sem reposição, 2
varetas de mesma cor, entre as 9 varetas).
16 4
A probabilidade pedida é p =
= .
36 9
(08) FALSA.
Para a resolução, deve-se considerar o teorema: “Em todo triângulo a medida de um lado
qualquer é sempre menor que a soma dos outros dois lados”.
1) Para formar os lados congruentes, pode-se escolher duas varetas medindo 3cm. Sendo 6m a soma
desses lados, o terceiro lado somente poderá ser escolhido entre as varetas que medem 1cm, 2cm, 4cm
(azul), 4cm (verde), 5cm (azul) e 5cm (verde), logo, nesse caso, poderão ser formados 6 triângulos.
2) Para formarem os dois lados congruentes, pode-se também escolher –se duas varetas medindo 4cm ou
duas medindo 5cm, e, em cada caso, restarão sempre, 7 varetas para o terceiro lado. Então poderão ser
formados exatamente 2 × 7 = 14 triângulos isósceles.
Ao todo são (6 + 14) = 20 maneiras distintas de se escolher três varetas que formem um triângulo
isósceles.
(16) VERDADEIRA.
Existem exatamente 9! maneiras distintas de se enfileirar as varetas.
Questão 05
05
Considere a figura, a seguir, onde ABCD é um quadrado de lado 6cm e centro M. A reta VM é
perpendicular ao plano ABCD e o diedro VBCA mede 60°.
É verdade que:
(01) As retas VM e BC são ortogonais.
(02) A interseção dos planos VBC e VAD é uma reta paralela ao plano ABCD.
(04) Pelo vértice V passa uma única reta paralela ao plano ABCD.
(08) VM = 3 3 cm.
(16) A área do triângulo VBC é igual a 6 3 cm².
(32) A área do triângulo VAC é igual a 9 3 cm².
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6
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRA.
Sendo a reta VM perpendicular ao plano ABCD, ela é ortogonal a toda reta
desse plano que não passe pelo ponto M, pois sempre existe uma reta s
contida no plano passando pelo ponto M, paralela a infinitas retas desse
plano. No exemplo, s // BC .
(02) VERDADEIRA.
Como se vê na figura ao lado, os planos VBC e
VAD se interceptam segundo a reta s paralela ao
plano ABCD.
(04) FALSA.
Todas as retas que passam por V e estão contidas no plano α paralelo ao
plano ABCD, são paralelas a este palno.
(08) VERDADEIRA.
No triângulo retângulo VMN, tg 60° =
VM
VM
⇒ 3=
⇒ VM = 3 3 cm.
3
3
(16) FALSA.
No triângulo retângulo VMN, cos 60° =
A área do triângulo VBC é igual a
3
1
3
⇒ =
⇒ VN = 6 .
VN
2 VN
6× 6
= 18 cm².
2
(32) FALSA.
Considere-se AC , diagonal do quadrado ABCD como base do triângulo VAC,
cuja altura é o segmento VM .
AC × VM 6 2 × 3 3
Então a área do triângulo VAC é:
=
= 9 6 cm².
2
2
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7
Questão 06
No 3o ano de um colégio existem 3 turmas (A; B e C) com as seguintes quantidades de alunos:
TURMA A
TURMA B
TURMA C
HOMENS
20
30
10
MULHERES
30
20
40
Com base nas informações, é verdade que:
(01) A probabilidade de, sorteando-se um aluno do 3o ano, ele ser homem é 0,4.
(02) A probabilidade de, sorteando-se um aluno da turma B, ele ser homem é 0,6.
(04) A probabilidade de, sorteando-se um aluno do 3o ano, ele ser mulher ou ser da turma B é 0,8.
(08) A probabilidade de, sorteando-se dois alunos do 3o ano A, encontrarmos um homem e uma mulher é
12/49.
(16) A probabilidade de, sorteando-se três homens do 3º ano, encontrarmos um de cada turma é
300/1711.
(32) A probabilidade de, sorteando-se três alunos do 3º ano C, encontrarmos pelo menos um homem é
111/245.
RESOLUÇÃO:
TURMA A
TURMA B
TURMA C
TOTAL
HOMENS
20
30
10
60
MULHERES
30
20
40
90
TOTAL
50
50
50
150
(01) VERDADEIRA.
60 2
p=
= = 0,4
150 5
(02) VERDADEIRA.
30 60
p=
=
= 0,6
50 100
(04) VERDADEIRA.
n(M∪B) = n(M) + n(B) – n(M∩B) = 90 + 50 – 20 = 120 ⇒ p =
(08) FALSA.
C × C30,1 20 × 30 120 24
p = 20,1
=
=
=
50 × 49 245 49
C50, 2
2
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8
120 4
= = 0,8
150 5
(16) VERDADEIRA.
20 × 30 × 10
6000
300
=
=
p=
60 × 59 × 58 1711
C60,3
3× 2
(32) FALSA.
30 × 29   20 × 19

  20 × 19 × 18 
× 30  + 
 20 ×
+

(
C 20,1 × C30, 2 ) + (C 20, 2 × C30,1 ) + (C 20,3 )
2   2
3× 2 



p=
==
=
50 × 49 × 48
C50,3
3× 2
8700 + 5700 + 1140 15540 777 111
=
=
=
=
19600
19600 980 140
Questão 07
07
Considere os polinômios p(x) = x³ − 2x² + 1 e q(x) = x² − 1.
É verdade que:
(01) Sendo r(x) o resto da divisão de p(x) por q(x), então r(2) = 0.
(02) O resto da divisão de p(x) por 2x – 1 é igual a 5/8.
(04) A equação p(x) = 0 possui duas raízes irracionais.
p( x ) 1
= possui duas raízes positivas.
(08) A equação
q( x ) 3
(16) A equação p(x) .q(x) = 0 possui uma raiz dupla.
(32) 3 é raiz da equação p(2x – 7) = 0.
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
x³ − 2x² + 0x + 1
− x³
+ x
− 2x² + x + 1
2x²
−2
(Resto)
x− 1
x² − 1
x −2
x(x² − 1) = x³ − x
− 2 (x² − 1) = − 2x² + 2
(02) VERDADEIRA.
3
2
1 1
1− 4 + 8 5
1 1
1
p  =   − 2  + 1 = − + 1 =
=
8 2
8
8
2 2
2
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9
(04) VERDADEIRA.
x³ − 2x² + 1 = 0 ⇒ p(1) = 1 – 2 + 1 = 0 ⇒ p(x) é divisível por x – 1
Aplicando Briot-Ruffini:
1
1
1
−2
−1
0
−1
1
0
Logo podemos escrever: p(x) = (x – 1)(x² – x – 1)
1± 1+ 4 1± 5
=
.
2
2
1− 5 1+ 5
Logo as raízes de p(x) = 0 são: 1,
e
2
2
Resolvendo a equação x² – x – 1 = 0 ⇒ x =
(08) FALSA.
p( x ) x 3 − 2 x 2 + 1 x 2 − x − 1 1
=
=
= ⇒ 3x 2 − 3x − 3 = x + 1 ⇒ 3x 2 − 4x − 4 = 0 ⇒ o produto das suas
q( x )
x 2 −1
x +1
3
4
raízes é − ⇒ que as raízes possuem sinais diferentes.
3
(16) VERDADEIRA.
A equação p(x) . q(x) = ( x 3 − 2 x 2 + 1 )( x² – 1) =0 ⇒ (x – 1)(x² – x – 1)(x – 1)(x + 1) = 0⇒
(x² – x – 1)(x – 1)²(x + 1) = 0 ⇒ 1 é uma raiz dupla.
(32) FALSA.
p(2x – 7) = (2x – 7) 2(2x – 7)² +1.
Substituindo x por 3:
(6 – 7)³ – 2(6 – 7)² +1 = –1 – 2 + 1 = – 2 ⇒ 3 não é raiz da equação p(2x – 7) = 0
Questão 08
08
 1 1


 1 0 1
 e B =  0 1
Considere as matrizes: A = 
 2 1 1
 1 1


Pode-se afirmar que:
(01) A matriz AB é simétrica.
(02) A matriz BA é inversível.
x
(04) (3, 1) é solução do sistema (AB) X = C, onde X =   e C =
 y
X
X
(08) + B t .A t = ⇒ x 22 = 24 .
3
2
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10
8
  .
13 
1
−1
(16) det (AB) = − .
4
x
(32) O sistema (AB)X = C, onde X =   e C =
 y
a
  é determinado, ∀ a, b ∈ R.
b
RESOLUÇÃO:
(01) FALSA.
 1 1
  2 2
 1 0 1 
 não é simétrica, pois a21 ≠ a12.
  0 1 = 
AB = 
 2 1 1  1 1  3 4 


(02) FALSA.
 1 1

  1 0 1
 =
BA =  0 1 
 1 1  2 1 1


BA não é inversível.
1 + 2 1 1 + 1  3 1 2 

 

 2 1 1  =  2 1 1  ⇒ det(BA) = 6 + 4 + 3 − 3 − 6 − 3 = 0 ⇒
1 + 2 1 1 + 1  3 1 2 

 

(04) VERDADEIRA.
 2 2  x 
   =
(AB) X = C ⇒ 
 3 4  y
8
 2x + 2 y 
  ⇒ 
 =
13 
 3x + 4 y 
2 x + 2 y = 8
4 x + 4 y = 16 x = 3
⇒
⇒

3x + 4 y = 13 3x + 4 y = 13
y = 1
8
  ⇒
13 
(08) VERDADEIRA.
 2 3
X
X
 ⇒ x22 = 24.
+ B t A t = ⇒ 2X + 6(AB)t = 3X ⇒ X = 6
3
2
 2 4
(16) FALSA.
1
1
1
1
−1
det (AB) =
=
=
= .
det(AB)
 2 2 8 − 6 2

det 
 3 4
(32) VERDADEIRA.
 2 2
 = 2 ≠ 0 ⇒ o sistema
Como det 
 3 4
.
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 2 2  x   a 

   =   é determinado, ∀ a, b ∈ R.
 3 4  y  b
11
QUESTÕES DE 09 E 10
Resolva as questões 09 e 10, deixando os cálculos e suas justificativas, e marque as respostas
encontradas na Folha de Respostas.
Questão 09
Na segunda guerra mundial, mensagens secretas eram enviadas por meio de códigos que utilizavam
matrizes.
 1 1 0


Suponha que uma mensagem foi enviada por meio da matriz A =  − 1 0 2  .
 1 2 1


0 1 1


Para encontrar a matriz B a ser decodificada usa-se a matriz C =  1 2 1  tal que BC = A.
1 0 2


Cada número da matriz B corresponde a letras que traduzirão a mensagem enviada. Calcule o número b12.
RESOLUÇÃO:
 b11 b12

 b 21 b 22
b
 31 b32
b13  0 1 1   1 1 0 

 

b 23  1 2 1  =  − 1 0 2  ⇒
b33  1 0 2   1 2 1 
b12 + b13 = 1

(L1; L 2 − L3 ) ⇒
b11 + 2b12 = 1
b + b + 2 b = 0
13
 11 12
b12 + b13 = 1
2b12 + 2b13 = 2 3b12 = 3
⇒
⇒
.

b12 = 1
b12 − 2b13 = 1 b12 − 2b13 = 1
RESPOSTA: b12 = 1
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12
Questão 10
Seis operários constroem um muro de 30 m de comprimento em 5 dias, trabalhando 6 horas por dia.
Quantas horas por dia devem trabalhar 9 operários, para construírem um muro semelhante ao anterior, só
que com 48 m de comprimento e em 4 dias?
RESOLUÇÃO:
Representando em uma tabela as grandezas que aparecem na questão:
1) Trabalhando-se 6h/d, o trabalho foi feito em 6 dias.
Trabalhando-se (2×6)h/d, o trabalho será feito em (6÷2) dias.
Ao se multiplicar a primeira grandeza por 2, a segunda ficou dividida
pelo mesmo dois, logo h/dia e dias são grandezas inversamente
proporcionais.
2) Trabalhando-se 6h/d, o trabalho foram feitos em 30 metros.
Trabalhando-se (2×6)h/d, serão feitos (2×30) metros.
Ao se multiplicar a primeira grandeza por 2, a segunda ficou
multiplicada pelo mesmo dois, logo h/dia e comprimento são
grandezas diretamente proporcionais.
3) Trabalhando 6h/d, 6 operários fizeram o trabalho num certo tempo.
Trabalhando (2×6)h/d, (6÷2) operários farão o trabalho no mesmo
tempo.
Ao se multiplicar a primeira grandeza por 2, a segunda ficou dividida
pelo mesmo dois, logo h/dia e número de operários são grandezas
inversamente proporcionais.
Representando os resultados da comparação na tabela inicial:
Armando a proporção:
6 9 30 4
6 3 5 4
6 3 1 1
6 3
= × × ⇒ = × × ⇒ = × × ⇒ = ⇒ x =8
x 6 48 5
x 2 8 5
x 2 2 1
x 4
RESPOSTA: 8 horas
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
13
H/DIA
6
(2×6) ↓
DIAS
5
(6÷2)
↑
H/DIA
6
(2×6) ↓
METROS
30
(2×30) ↓
H/DIA
6
(2×6) ↓
OPERÁR.
6
(6÷2) ↑