7º Congresso da Água
MODELAÇÃO MATEMÁTICA DO TRANSPORTE DE MISTURAS
GRANULOMÉTRICAS.
Equações de conservação para modelos unidimensionais.
Rui M. L. FERREIRA
Assistente, Dpto. de Engenharia Civil e Arquitectura, Instituto Superior Técnico, Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa, Portugal;
tel: ++351 21 841 81 55, e-mail: [email protected]
João G. A. B. LEAL
Assistente, Dpto. de Engenharia Civil e Arquitectura, Universidade da Beira Interior, Edifício II das Engenharias, Calçada Fonte do Lameiro, 6201001 Covilhã, Portugal; tel: ++351 275 329 731, e-mail: [email protected]
António H. CARDOSO
Professor Associado, Dpto. de Engenharia Civil e Arquitectura, Instituto Superior Técnico, Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa, Portugal;
tel: ++351 21 841 81 54, e-mail: [email protected]
RESUMO
A vasta aplicabilidade dos modelos unidimensionais e seu baixo custo computacional, justificam
que se proceda ainda a esforços que conduzam ao seu aperfeiçoamento. Em particular importa
abordar conjuntamente o transporte selectivo de misturas granulométricas e a evolução morfológica de
cursos de água uma vez que, constata-se, são fenómenos indissociáveis. No presente trabalho
desenvolve-se um modelo matemático unidimensional consistindo num conjunto de equações de
conservação consideradas suficientes para a descrição dos principais processos observáveis. Obtémse um sistema de equações diferencias parciais aberto, i.e., com um número de incógnitas superior ao
número de equações. Serão necessárias, portanto, equações de fecho de cariz semi-empírico. Considerando válidas as hipóteses de Saint-Venant, são apresentados argumentos para a
divisão do sistema a modelar em camadas de transporte e acumulação de sedimentos, caracterizados
por uma razoável homogeneidade interna no que diz respeito às grandezas velocidade e concentração
de sedimentos. Em particular, faz-se uso do conceito de camada de mistura. As fronteiras entre
camadas podem ser atravessadas e permitem fluxos de matéria. Mostra-se como o modelo permite
quantificar a pertinência de termos pouco utilizados nos modelos clássicos, nomeadamente os
relacionados com a inércia dos sedimentos e a acumulação de sedimentos na coluna de água.
PALAVRAS CHAVE: modelação matemática, misturas granulométricas.
1
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
1 INTRODUÇÃO
Apesar das complexas interacções entre os fenómenos relativos às fases líquida e sólida que se
constatam em escoamentos com superfície livre e leito móvel, existe uma gama de problemas
morfodinâmicos para os quais a modelação unidimensional apresenta uma relação favorável entre
esforço computacional e a qualidade das previsões. São exemplos os problemas de ruptura súbita de
barragens em vales regulares, i.e., sem alargamentos ou estreitamentos bruscos, ou a evolução, a
longo prazo, da granulometria da camada superficial de trechos de rio sem apreciável curvatura.
A vasta aplicabilidade dos modelos unidimensionais e seu baixo custo computacional,
justificariam, por si, que 39 anos após o trabalho pioneiro de de Vries (1965) se procedam ainda a
esforços que conduzam ao aperfeiçoamento desses modelos (ver trabalhos recentes como o de Cao et
al. 2001). No entanto, será uma terceira razão aquela que melhor justificará o ainda elevado
investimento científico. Os avanços fenomenológicos decorrem de ensaios laboratoriais ou trabalhos de
campo em condições controladas e as fórmulas resultantes são parametrizadas em relação às macrovariáveis do escoamento unidimensional como a velocidade, a altura do escoamento ou a tensão
arrastamento. Assim, é em modelos unidimensionais que se ensaiam numericamente as fórmulas que
serão aplicadas em modelos bidmensionais em planta ou mesmo tridimensionais. Daqui decorre que as
propriedades da estrutura global dos modelos deve ser conhecida para que se possam isolar os efeitos
e, portanto, a qualidade das equações de cariz semi-empírico.
No presente trabalho pretende-se apresentar um sistema de equações de conservação aplicável
a escoamentos variáveis com superfície livre e leito móvel, composto de sedimentos não coesivos e de
granulometria extensa. O delicado compromisso entre a qualidade dos resultados, a complexidade
formal do modelo e a dificuldade computacional conduz a que nem todos os fenómenos sejam
passíveis de serem descritos por equações de conservação. O sistema será, assim, aberto, i.e., com
um número de incógnitas superior ao número de equações, sendo alguns fenómenos abordados por
intermédio de equações de fecho. Estas são apresentadas em Ferreira (2004).
Considerando que o conhecimento dos aspectos hidrodinâmicos dos problemas de propagação
de cheias é suficientemente detalhado, o ênfase do presente modelo estará na descrição dos
processos transitórios morfodinâmicos e relativos à dinâmica do transporte de sedimentos. Sendo a
evolução morfológica de um curso de água e o transporte selectivo de misturas granulométricas
processos indissociáveis, o modelo será desenhado para que ambos os fenómenos sejam abordados
em simultâneo. Outro aspecto explicitamente abordado é o transporte de sedimentos em situações de
não equilíbrio (doravante desequilíbrio) devido, por exemplo, ao excesso de alimentação ou à privação
de alimentação de sedimentos a montante. Em particular, observa-se o efeito do eventual esgotamento
de algumas fracções granulométricas, fenómeno conhecido como encouraçamento estático.
Os capítulos seguintes serão dedicados à apresentação das principais hipóteses subjacentes ao
modelo e à dedução das equações de conservação. Posteriormente, será discutida a pertinência de
termos pouco utilizados nos modelos clássicos, nomeadamente os relacionados com a inércia dos
sedimentos e a acumulação de sedimentos na coluna de água. Finalmente, serão apresentados alguns
exemplos de aplicação.
2 DESCRIÇÃO DO SISTEMA FÍSICO E DAS HIPÓTESES ASSUMIDAS
As primeiras tentativas de modelação de escoamentos com superfície livre e leito móvel
evitavam a descrição explícita dos fluxos verticais de sedimentos entre o escoamento e o leito,
preferindo a inclusão dos seus efeitos por intermédio de uma fórmula de caudal sólido, parametrizada a
partir de variáveis do escoamento como a velocidade, a altura do escoamento ou a tensão de
arrastamento. O resultado é suficientemente bom se as escalas temporais forem suficientemente
2
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
elevadas. O modelo aplicável a escoamentos variáveis analisado por de Vries (1965) parte desse
mesmo princípio. As equações de conservação compreendem as equações de Saint-Venant para água
limpa e uma equação de conservação da massa de sedimentos no leito, denominada por Yalin (1992,
p. 25) por equação de Exner-Polya. Este sistema pode escrever-se
∂h ∂uh
+
=0
(1)
∂t
∂x
τ
∂u
∂u
∂h
∂η
+u
+g
+g
=− b
(2)
∂t
∂x
∂x
∂x
hρ w
∂q
∂η
(1 − p ) + s = 0
(3)
∂t
∂x
em que h é a altura do escoamento, u é a velocidade média, η é a cota do leito, τb é a tensão de
arrastamento, qs é o caudal sólido em volume, p é a porosidade do leito, ρw é a massa volúmica da
água e g a aceleração da gravidade. O sistema é fechado por equações que dizem respeito à
resistência ao escoamento e ao transporte de sedimentos em equilíbrio. Com alguma perda de
generalidade, estas relacionam o caudal sólido e a tensão de arrastamento com h e u e com um
conjunto de parâmetros do fluido (viscosidade, massa volúmica, ...) e dos sedimentos (diâmetro
mediano, massa volúmica, coeficiente de graduação, ...), i.e., qs = qs ( h, u; ⋅) e τb = τb ( h, u; ⋅) .
Veja-se Yalin (1992), Capítulo 3, quanto à forma completa das parametrizações de τb e de qs.
Implícitas no sistema (1) a (3) estão as hipóteses de Saint-Venant, nomeadamente a distribuição
hidrostática de pressões implicada pela pequena curvatura das linhas de corrente e o pequeno declive
do canal. Outras hipóteses compreendem: i) a baixa concentração de sedimentos; ii) quantidade de
movimento associada aos sedimentos negligenciável; iii) transporte sólido em equilíbrio iv) sedimentos
caracterizáveis por um diâmetro médio; e v) escalas temporais dos fenómenos da fase líquida e da fase
sólida distintas, assumindo que os fenómenos da fase sólida são consideravelmente mais lentos que
os da fase sólida. Esta última hipótese está implícita na escolha das equações. Decorre da ausência de
termos que procedam ao acoplamento explícito das equações. Repare-se que o acoplamento entre os
processos morfodinâmicos e hidrodinâmicos está consignado somente na dependência simultânea da
tensão de arrastamento e do caudal sólido das variáveis h e u. Repare-se ainda que a conhecida
interdependência entre a resistência ao escoamento e o transporte sólido só é explicitamente
considerada num conjunto limitado de formulações.
Com base nas hipóteses i) a v), acima listadas, notoriamente a hipótese da separação de
escalas, o modelo (1) pode ser ulteriormente simplificado. Em particular, se o escoamento for
permanente, vários são os modelos que consagram a separação de escalas em separação
procedimental quanto ao cálculo dos processos relativos às fases líquida e sólida (cf. Thomas &
Prashun 1977). Assim, a curva de regolfo num dado curso de água é calculada, num primeiro
momento, com base nas equações da hidráulica de escoamentos com superfície livre e, num segundo
momento, a evolução morfológica é calculada a partir da Eq. (3). Se, por exemplo, qs = au b , esta
equação pode ser escrita como
η(t , x) = η0 (t0 , x) −
∫
t
t0
∂u bqs
dτ
∂x u (1 − p )
(4)
em que o tempo t0 é um tempo de referência, no qual se conhecem as variáveis do sistema,
nomeadamente, h0, u0, η0, as suas derivadas e qs0.
Uma lista não exaustiva de casos em que o modelo acima é inaplicável abarca: a) o transporte
de sedimentos em desequilíbrio, b) o transporte selectivo de misturas granulométricas c) os
escoamentos em que as concentrações são elevadas como o debris e sheet-flow. Como se explicou
3
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
anteriormente o modelo que aqui se apresenta procura, fundamentalmente, simular conjuntamente a
evolução morfológica de cursos de água e o transporte selectivo de misturas granulométricas, não
esquecendo os fenómenos associados do encouraçamento estático e dinâmico (cf. Jain 2000). De
facto, uma das características geomorfológicas mais vincadas em rios e em canais longos com leito
móvel é a variação da composição granulométrica do leito, que se observa nas direcções longitudinal e
lateral e, também, em profundidade. Por exemplo, verificam-se alterações na estrutura vertical da
composição granulométrica do leito relacionadas com a procura de estados locais de equilíbrio
morfológico, no sentido espacial e temporal. A composição superficial de leitos em equilíbrio é
frequentemente mais grosseira que a do substrato, indiciando que o declive de equilíbrio não foi
atingido por um simples basculamento do leito mas sim pela remoção selectiva das fracções
granulométricas mais finas. No limite, se o aporte de sedimentos numa fronteira de montante for muito
reduzido, todas as fracções granulométricas finas terão sido removidas ou estarão protegidas pelas
fracções grosseiras e o leito atingirá um estado de equilíbrio dinâmico instável: a capacidade de
transporte é maior que a quantidade de sedimentos transportados apenas porque a camada superficial
do leito protege as fracções potencialmente móveis.
O trabalho de Hirano (1971) condicionou durante mais de 2 décadas a investigação sobre a
modelação dos fenómenos relativos ao transporte de misturas granulométricas e é, ainda hoje, uma
das abordagens conceptualmente mais bem fundamentadas. O conceito de camada de mistura,
situada entre a camada de transporte de sedimentos e o leito, permitiu organizar a informação empírica
quanto aos fluxos verticais entre o leito e a camada de transporte de sedimentos. Trabalhos como os
de Armanini e Di Silvio (1988) ajudaram a estabelecer o paradigma no qual se inserem os chamados
modelos de camada múltiplas. Nestes modelos procura-se manter a simplicidade computacional dos
modelos unidimensionais enquanto se abordam explicitamente os fluxos verticais de sedimentos. Em
particular, as trocas entre o leito e a camada de transporte é condicionada pela dinâmica da camada de
mistura. Esta age fundamentalmente como um filtro, condicionando a entrada das fracções no leito e
escolhendo as fracções que, em função das condições hidrodinâmicas, podem entrar em movimento.
Obviamente, este comportamento será regulado por expressões apropriadas de cariz semi-empírico.
Em geral, o conceito de camada é entendido, em sentido lato, como uma porção dos
escoamento em que a dimensão longitudinal é muito superior à dimensão normal ao sentido do
escoamento e no qual as variáveis fundamentais são aproximadamente constantes na direcção normal
ao escoamento (uniformes na parcela da secção que diz respeito a essa camada). As fronteiras são
linhas virtuais, por exemplo, linhas de corrente médias no tempo. As variáveis são, assim, velocidades,
concentrações ou quantidades de movimento médias, quer no tempo quer em profundidade. Por
exemplo, a velocidade média numa dada camada é
1
um =
∆h
∫
y0 +∆h
u (ξ)dξ
y0
em que ∆h é a espessura da camada e y0 a cota da sua base.
No presente modelo considerem-se as camadas constantes na figura. 1. A primeira camada,
camada [1], identifica-se com a coluna de água, na qual são transportados sedimentos finos em
suspensão. Na camada [2] processa-se o transporte por arrastamento. Um traço fundamental do
modelo fica consagrado nesta distinção: a sua aplicabilidade restringe-se aos casos em que a distinção
conceptual transporte em suspensão/transporte por arrastamento é aplicável. Esta distinção implica
que: i) a espessura da camada de transporte por arrastamento seja muito menor que a profundidade do
escoamento e é da ordem de grandeza das fracções mais grosseiras transportadas por arrastamento;
ii) não exista segregação entre os sedimentos em suspensão e o escoamento médio, i.e., a velocidade
média dos sedimentos suspensos seja igual à velocidade média da mistura; iii) exista segregação entre
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ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
os sedimentos transportados por arrastamento e o escoamento líquido na respectiva camada de
transporte, i.e., a velocidade média de transporte de uma dada fracção granulométrica seja menor que
a velocidade média da mistura e iv) a distinção entre sedimentos finos e grosseiros seja feita com base
na velocidade relativa do fluido circundante e não na natureza dos fluxos verticais de sedimentos.
Repare-se, no entanto, que a definição de [2] radica na existência de sedimentos grosseiros. Assim,
em [1] encontram-se apenas sedimentos finos mas em [2] coexistem finos e grosseiros [3];
[1]
[2]
[3]
[4]
Figura 1 Idealização do sistema físico para os modelos de camadas múltiplas.
A camada [3] é a camada de mistura, na qual se processam as trocas entre os sedimentos, finos
ou grosseiros, entre a camada [2] e o leito. Este último corresponde à camada [4] e define-se por uma
camada passiva onde os sedimentos são acumulados. Nas últimas duas camadas a velocidade
longitudinal dos sedimentos é nula. Refira-se, por último que se admite que os sedimentos em qualquer
das camadas possuem a mesma densidade s = ρ g ρ w em que ρg é a massa volúmica dos
sedimentos.
De seguida, deduzir-se-ão as equações de conservação do modelo com base na aplicação dos
princípios fundamentais da Mecânica dos Fluidos às correspondentes grandezas de cada uma das
camadas apresentadas na figura 1.
3 APRESENTAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO
3.1 Aplicação dos princípios de conservação da massa e da quantidade de movimento
Nesta secção mostra-se como se aplicaram os princípios de conservação da massa e da
quantidade de movimento a fim de obter as equações fundamentais do modelo. Antes de proceder à
dedução das equações de conservação da massa devem precisar-se alguns termos relativos à
concentração e à massa volúmica de uma dada fracção granulométrica. Assim, refira-se que a
concentração mássica e a concentração volumétrica são equivalentes dado que todas as fracções
granulométricas têm a mesma massa volúmica. A concentração volumétrica na camada [1] é
(1)
Csw ≡ Cˆ (1)
∀(1) em que em que ∀(1)
f = ∀f
f é o volume de sedimentos finos contidos no volume de
controlo da camada [1] e ∀(1) é o volume total. Esta concepção estática de concentração é válida
porque se admite que não existe segregação entre os sedimentos suspensos e o escoamento líquido
circundante. De igual modo, a concentração de sedimentos finos na camada [2] é definida por
(2)
Csb ≡ Cˆ (2)
∀(2) em que os volumes envolvidos são definidos como os da camada [2]. A
f = ∀f
5
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
concentração de sedimentos grosseiros na camada [2] terá que ser definida a partir do fluxo de
partículas numa dada secção, ou seja, Ccb ≠ Cˆ c(2) = ∀(2)
∀(2) .
c
Assim, o caudal sólido unitário total na camada [2] define-se por
1 δ (2)
1
(5)
qb ≡
ur ⋅ ndS
∀
=
B δt
B
∫
( )
∂∀
em que δ δt é o operador da derivada convectiva num referencial Euleriano e B é a largura do canal.
Da mesma forma, o caudal sólido unitário de sedimentos grosseiros em [1], é
1 δ∀(2)
c
qcb ≡
(6)
B δt
Note-se que o caudal sólido em (6) é aquele medido experimentalmente pelo método volumétrico. É
diferente, todavia, do caudal estimado a partir de uma imagem lateral do escoamento em que a
concentração estática é multiplicada pelo caudal total médio. A concentração de sedimentos grosseiros
na camada [2] define-se, assim, por Ccb = qcb qb . Quanto às velocidades nota-se que
1 δ (2)
∀
= qcb + qwb = ucb Ccb hb + uwb (1 − Ccb ) hb
qb =
(7)
B δt
em que hb ≡ δ é a espessura da camada [2], qwb é o caudal de líquido e sedimentos suspensos na
camada [2], ucb é a velocidade dos sedimentos grosseiros em [2] e uwb é a velocidade do fluido na
mesma camada, a qual é, relembre-se, por causa da segregação dos sedimentos grosseiros, maior
que ucb . A partir de (5) e de (7) verifica-se que a velocidade média, ub , na camada [2] é
( )
ub hb = ucb Ccb hb + uwb (1 − Ccb ) hb ⇔ ub = ucb Ccb + u wb (1 − Ccb )
(8)
ou seja, é uma média ponderada das velocidades de cada fracção granulométrica e da velocidade
média do fluido circundante. Quanto aos caudais sólidos das fracções transportadas em suspensão
verifica-se que, porque não se admite segregação, qws = us hs Cws e qsb = uwb hb Cwb em que
qws , us , hs e Cws são, respectivamente, o caudal sólido de sedimentos suspensos, a velocidade
média, a espessura e a concentração de sedimentos suspensos em [1] e qsb , uwb e Cwb são as
quantidades homologas na camada [2]. Desta discussão releva que a modelação do transporte das
misturas grosseiras necessita da definição das concentrações mas também das velocidades médias
dos sedimentos transportados por arrastamento. Tendo as definições acima presentes, o teorema do
transporte de Reynolds pode ser aplicado para obter as equações de conservação da massa e da
quantidade de movimento. Por exemplo quanto aos sedimentos grosseiros na camada [2] tem-se
dM c(2)
d
(2) d
ρ(2)
ρ(2)
ndS = 0
=
ρ(csist ) d∀ = 0 ⇔
c d∀ +
c ur
dt
dt
dt
(2)
(2)
∫
∫
∀sist
∫
∀
∂∀
Integrando no tempo e atendendo a que a velocidade e massa volúmica são constantes na
secção transversal da camada, obtém-se
t2
∫ ∫
t1
d
dt
x2
t2
ˆ(2)
l
∫
∫∫
hb ρcb dxdt +
x1
t1
t2
+
t1
(
 ˆ(2)
 − l hb ρcb ucb

x2
x1
(
) + (lˆ
(2)
x1
) (
hb ρcb ucb
)

 dt
x2 
)
 − l ρ Cˆ (3) φ
+ l2,3ρs Ccb φ2,3  dxdt = 0
 3,2 g c 3,2

6
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em que Cˆc(3) é a concentração de sedimentos grosseiros na camada de mistura, φi , j são fluxos de
fluido de i para j e as grandezas l são larguras do canal. Aplicando a regra de Leibnitz, obtém-se
t2
∫∫
t1
x2
x1
(
)
t2
t1
t2
+
x2
∫∫
∫∫ (
∂ ˆ(2)
l hb ρcb dxdt +
∂t
x1
x2
t1
(
)
∂ ˆ(2)
l hb ρcb ucb dxdt
∂x
) (
)
 − l ρ Cˆ (3) φ
+ l2,3ρs Ccb φ2,3  dxdt = 0
 3,2 g c 3,2

x1
Definindo os fluxos de sedimentos como φci , j = Cc φi , j , agrupando os mesmos, e
considerando que canal é prismático, i.e., lˆ(2) = l3,2 = l2,3 = B , obtém-se, finalmente, a equação de
conservação da massa de sedimentos grosseiros na camada [1] na forma integral
t2
∫∫
t1
x2
x1
(
)
∂
dxdt +
hb ρˆ (2)
c
∂t
t2
∫∫
t1
x2
x1
∂
( hb ρcb ub )dxdt +
∂x
t2
∫∫
t1
x2
−ρs φcnet 3,2 dxdt = 0
(9)
x1
Sendo o elemento de integração de dimensão arbitrária, é o integrando de (9) que se anula.
Considerando que ρcb = ρ g Ccb , obtém-se
(
)
∂
∂
hb Ccb + ( Ccb ucb hb ) − φ cnet 3, 2 = 0
(10)
∂t
∂x
A Eq. (10) é a equação de conservação da massa de sedimentos grosseiros na camada [2]. Se
se aplicar a técnica acima descrita às restantes fracções granulométricas e ao fluido nas restantes
camadas obtêm-se as equações de conservação da massa. Quanto às equações de quantidade de
movimento, obtêm-se da 2ª lei de Newton
dPv( k )
d
(11)
=
ρ(csist ) ud∀ =
F ext
dt
dt
∑
∫
∀ sist
A equação de quantidade de movimento do fluido nas camadas [1] e [2] pode encontrar-se na
bibliografia, por exemplo, em Jain (2001), Capítulo 3. Neste texto importa decidir se a quantidade de
movimento associada aos grãos transportados por arrastamento é ou não negligenciável. Para tanto
observe-se a figura 2 em que se mostra uma vista em planta de um dos ensaios laboratorial descritos
em Ferreira et al. (2002). Trata-se de um ensaio de transporte selectivo de misturas granulométricas no
qual as fracções mais grosseiras permanecem imóveis. As setas brancas correspondem ao movimento
instantâneo de algumas partículas. Na direcção paralela ao escoamento, a quantidade de movimento
do conjunto de partículas cujos centros de massa se encontram numa tira de comprimento dx,
arbitrariamente pequena, é
N
dPs =
∑
ρ g ∀ pi u pi
(12)
i =1
em que upi e ∀pi são, respectivamente, a velocidade e o volume de cada uma das partículas em
movimento e N é o número destas partículas. Note-se que, para garantir a compatibilidade com a Eq.
(11), a Eq. (12) garante a conceptualização Eulereana da quantidade de movimento associada às
partículas em movimento. O volume das partículas deve ser expresso em função do diâmetro médio,
D, e de um coeficiente de forma, αD, estimado para cada classe. O problema seguinte é a tradução da
Eq. (12) numa função contínua por intervalos. É fácil compreender a necessidade da descrição
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ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
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contínua da quantidade de movimento: considerando que o número de partículas em movimento é
finito, o sub-conjunto de dx para o qual a quantidade de movimento não é zero é de medida nula. O
correspondente integral seria, portanto, nulo.
Psi (MLT-1)
dx
x-x1 (L)
Figura 2 vista em planta de um escoamento no qual se processa o transporte selectivo de
misturas granulométricas. As setas brancas são proporcionais à quantidade de movimento das
partículas, o qual é quantificado no sistema de eixos à esquerda. O ensaio caracteriza-se por
τ*50 = 0.0044.
Pelo contrário, se a quantidade de movimento correspondente a cada evento de movimento for
distribuída por um comprimento finito, δs , pode obter-se uma função integrável. Este argumento está
ilustrado na figura 3.
Psi (MLT-1)
psk (MT-1)
x-x1 (L)
x-x1 (L)
δs (L)
Figura 3 Quantidade de movimento num segmento dx. Esquerda: distribuição discreta; direita:
distribuição contínua equivalente.
A transformação subjacente é tal que Ps i = p s i δ s e
lim psi δ s = 0 se x ≠ xi e
δ s →0
lim psi δ s = Psi se x = xi . Note-se que a função δs tende para a função de Kronecker à medida que
δ s →0
dx tende para zero. A quantidade de movimento em dx = x2−x1 é, assim,
P
π1
Ps ≡ s = ρ g
6B
B
∫
x2
x1
α Di Di 3u pi
1
dx
δs
(13)
É desejável que a taxa de variação quantidade de movimento das partículas, representada pola
Eq. (13), seja expressa na forma diferencial para que se possa comparar com a conservação da
quantidade de movimento da mistura de água e de sedimentos suspensos. Para tanto é necessário,
para além de derivar a Eq. (13), encontrar uma expressão funcional para δs e converter a função
contínua por intervalos psi numa função contínua diferenciável. Esta última tarefa é de fácil realização
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ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
se considerar que em cada instante psi é uma soma de Darboux de uma função contínua e
diferenciável. Tomando uma série temporal suficientemente longa, podem-se calcular a média e os
momentos considerados necessários para a correcta descrição contínua de psi. Em particular, pode
separar-se em valor médio e flutuação, tal como a decomposição das grandezas turbulentas. Este
processo está ilustrado na figura 4.
psk (MT-1)
t = t1 (T)
psk (MT-1)
psk (MT-1)
t = t2 (T)
x
3
αDD u p
1
δs
t = tn (T)
x
(
αDD
(L3T-1)
3
)'
up'
1
δs
x
(L3T-1)
x
x
Figure 4 Conversão de psi numa parcela média, contínua e diferenciável e numa parcela
flutuante, igualmente contínua e diferenciável
Quanto à função δs, pode demonstrar-se que esta pode ser escrita δs = 4πα D D3 3B χ s em
que χ s é a concentração média medida em área, definida por
N ( τ)
4 1
π
3 ∆t
∫∑
α Di Di 3dτ
3
4π α D D
dxB
3 dxB
A manipulação do integral na Eq. (13) exige, como se pode demonstrar (ver Ferreira 2004), o
χs =
∆t
i =1
≈N
(
)'
conhecimento de cada um dos termos de α D D 3 = α D D 3 + α D D 3 e u p = u p + u p ' , o produto
das sua médias e covariância da distribuição de conjunta do volume e da velocidade das partículas.
Quanto ao produto α D D3 u p , verifica-se que a sua variação temporal é da ordem de grandeza da
variação do caudal sólido total. Deste resultado decorre que esta quantidade é função das variáveis
macroscópicas do escoamento, nomeadamente da tensão de arrastamento. Quanto à covariância
( α D D3 ) 'u p ' , dados recentes obtidos da análise de imagens como as da figura 2 (ver Ferreira 2004)
parecem indicar que as partículas maiores tendem a apresentar maiores desvios em relação à média,
e, reciprocamente, as menores partículas tendem a mostrar desvios padrão menores.
Mostra-se na figura 5 um exemplo dos resultados experimentais obtidos que permitem estimar
( α D D3 ) 'u p ' . Aquela particular organização dos dados permite verificar que a maior parte dos
eventos movimento ocorre nos primeiro e terceiro quadrantes, a que correspondem velocidades e
9
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
u p '/u *
volumes respectivamente, superiores e inferiores, às respectivas médias. Portanto, é de esperar que as
partículas maiores que a média atinjam velocidades maiores que a média e que partículas menores
que a média possuam velocidades menores que a média.
0.08
0.04
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-0.04
2
3 4
5
6
7 8
9
V p '/D m
3
-0.08
Figure 5 Distribuição conjunta das flutuações da velocidade e do diâmetro das partículas.
Os mesmos dados permitem ainda verificar que a distribuição da velocidade para um dado
volume, f p (u p | ∀ p ) , é insensível ao valor da tensão de arrastamento, pelo que também o será em
ordem ao tempo, já que u p só varia no tempo se τb variar. Nas condições acime descritas mostra-se
que a soma das variações locais e convectiva da quantidade de movimento é
∂
∂  σ g Ccb
3
ρ g  gC f
αV σ g D uCcb + α D D 3 u p '

16 
∂t
∂t  α D D 2
) (
(
+ gC f u
)'



∂
∂  σ g Ccb   Fpx
αV σ g Du Ccb + gC f u α D D3 ' u p ' 
 =
∂x
∂x  α D D 2  
h
(
)
(
)
(14)
em que Fpx representa as forças exteriores que resultam da interacção entre as partículas e o fluido,
Cf é o coeficiente de resistência da fórmula de Chézy, σg é o desvio padrão geométrico de uma dada
classe granulométrica, e αV é um coeficiente relacionado com o 3º momento da distribuição do volume
das partículas. Valores típicos das grandezas intervenientes na Eq. (14) foram estimados por Ferreira
(2004). Assim, para D = 0.003 m, αD = 0.8, σg = 2.6 tem-se αV = 7.35 e
(α
DD
3
)'u
p '=
10−8.
Considerando Cf = 0.001, a conservação da quantidade de movimento das partículas fica
 ∂u 
∂C ∂h ∂ Ccb ∂u ∂ Ccb −3  ∂h ∂ Ccb
8x10−3   Ccb + u cb + u
+
+ 1.0 x10 
∂u ∂t ∂h ∂t ∂u  ∂t ∂h
 ∂t 
 ∂u 
∂C ∂C ∂h ∂C ∂h Fpx
−4  ∂Ccb ∂u
(15)
+5x10−4 u   Ccb + u cb + u cb
+ cb
=
+ 2.0 x10 u 
∂u ∂h ∂x ∂h ∂x hρ w
 ∂u ∂x
 ∂x 
Como se pode observar na Eq. (15), os termos relativos à derivada material da quantidade de
movimento são multiplicados por coeficientes da ordem de 10−3 (derivada local) ou 10−4 (derivada
convectiva). Na maior parte das aplicações práticas, estes valores são suficientemente baixos para
que a contribuição dos sedimentos transportados por arrastamento seja desprezada. Quanto à
sensibilidade destes valores, verifica-se que são afectados primordialmente pela distribuição de
volumes e pela distribuição conjunta dos volumes e velocidades das partículas. Em todo o caso a
variação não excederá uma ordem de grandeza, pelo que se pode, em geral, prescindir destes termos
na equação de conservação da quantidade de movimento.
10
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
Retomando a apresentação do modelo, apresentam-se de seguida as equações de conservação
que resultam da aplicação do teorema do transporte de Reynolds às camadas da figura 1.
3.2 Equações de conservação do modelo
Na camada [1] as equações de conservação são
∂hs ∂ us hs
+
− φnet
(16)
cs = 0
∂t
∂x
∂
∂
∂
∂η
(17)
( ρs us hs ) + ρs us 2 hs + 12 g ρs hs 2 = −u I φbsnet − ρs hs − τbs
∂t
∂x
∂x
∂x
∂
∂
Csk hs +
Csk us hs − φSnetbsk = 0
(18)
∂t
∂x
net
é um fluxo vertical de quantidade de movimento associado ao fluxo vertical de massa
em que u I φcs
(
)
(
(
)
)
(
)
net
φbs
entre as camadas [1] e [2]. A velocidade característica uI é a velocidade no interface entre ambas
as camadas e pode ser considerada igual à velocidade média. A massa volúmica da mistura envolve
uma média entre os constituintes sólido e líquido e define-se como ρ s = ρ w (1 + ( s − 1)Cs ) . Na
camada [2] as equações de conservação são
∂hb ∂ ub hb
net
net
+
+ φbs
− φmb
=0
∂t
∂x
∂η
∂
∂
∂
( ρs uwb hb ) + ρs uwb 2 hb + 12 g 2ρs hs hb + ρs hb 2 = u I φbsnet −ρs hb + τbs − τb
∂t
∂x
∂x
∂x
∂
∂
net
Cck hb +
Cck ucbk hb + φnet
S bsk − φS mbk = 0
∂t
∂x
(
)
(
(
)
(
)
)
(19)
(20)
(21)
Repare-se que na equação de quantidade de movimento, Eq. (20), está incluída a hipótese de
que a quantidade de movimento relativa ao movimentos dos sedimentos grosseiros seja negligenciável.
No leito têm-se as seguintes equações de conservação da massa
net
∂t (Yb ) + φnet
(23)(a)(b)
mb = 0 e (1 − p)∂ t ( Yb ) + φS mb = 0
Na camada de mistura, a aplicação do princípio de conservação da massa permite obter
∂Y
∂L F
(1 − p) f Ik b + (1 − p) a k + φnet
(24)
Smbk = 0
∂t
∂t
em que La ≡ A é a espessura da camada de mistura, tipicamente da ordem de grandeza de D90 se o
leito for plano, ou da amplitude das formas de fundo, se estas existirem. A fracção granulométrica
f I k é a que ocorre no interface entre o leito imóvel e a camada de mistura e a fracção
granulométrica Fk é a que ocorre na camada de mistura. Verifica-se ser computacionalmente mais
cómodo escrever a Eq. (24) como
∂H ak
∂
net
+
Cck ucbk hb + Csk usk hs = f I k φSmb
(25)
∂t
∂x
em que H ak = (1 − p ) La Fk + Cck hb + Csk hs . Note-se que uma das fracções granulométricas é
(
)
obtida com base na conservação das restantes e na conservação da massa total no leito. Sem perda
de detalhe fenomenológico, as equações acima podem ser agrupadas da seguinte forma
11
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
∂
∂
(26)
( h + Yb ) + ( uh ) = 0
∂t
∂x
∂η
∂
∂
∂
(27)
( ρs uh ) + ρs u 2 h + 12 g ρs h 2 = −ρs h − τb
∂t
∂x
∂x
∂x
∂
∂
Csk hs +
Csk us hs = φnet
(28)
S csk
∂t
∂x
∂
∂
net
Cck hc +
Cck uck hc = φnet
(29)
S bck − φS csk
∂t
∂x
∂
∂
H ak +
Cck uck hc = f I k φnet
(30)
Sbc
∂t
∂x
∂Y
(1 − p ) b + φnet
(31)
S bc = 0
∂t
O sistema composto pelas equações (27) a (31) está escrito na forma conservativa e a solução
numérica correspondente a um esquema de discretização adequado pode conter descontinuidades, na
forma de gradientes muito pronunciados. Trata-se de um sistema de 3+3(n-1) equações em que n é o
número de fracções granulométricas. As incógnitas são h, u, η, Csk, Cck e Fk, k = 1....n−1. Necessita de
um maior número de equações de fecho mas pode ser utilizado em situações de transporte em
desequilíbrio. Obviamente, a qualidade da resposta dependerá da qualidade das formulações semiempíricas de fecho.
Se o transporte de sedimentos for pouco intenso, se não se verificarem gradientes muito
pronunciados e se os sedimentos forem passíveis de serem descritos por um único diâmetro
representativo, as equações (26) a (31), podem escrever-se na forma não conservativa, sem os termos
de fonte que dão conta dos fluxos verticais de sedimentos e sem a equação de conservação da
camada de mistura. O sistema resultante, de 3 equações para as incógnitas h, u e η, escreve-se
∂h
∂η
∂h
∂u
+ α1
+u
+h
=0
(32)
∂t
∂t
∂x
∂x
∂u
u
∂η
− α 2 ( α1 + M ( (1 − p ) − C ) + M ( C − Cs ) )
∂t
h
∂t
2
 ∂Cs 2 1
 ∂h
u
 ∂C

+ M
u + 2 gh −
M
h + ( C − Cs )  + g 

 ∂x
∂h
h
 ∂h



(
)
(
(
)
)
(
(
(
(
(
)
)
)
)
(
)
)
(
)
τ
 ∂C s 2 1
∂u
∂η
 ∂C
u + 2 gh − uM 
u + ( C − Cs ) + u + g
+ M
= − b (33)
∂u
∂x
ρs h
 ∂u

∂x
∂C  ∂h
∂C ∂u 
∂η 
∂C  ∂h 
∂C  ∂u
(1 − p)
+  Cs + h s  + h s
+ C +
= 0 (34)
hu + C +
uh
∂t 
∂h  ∂t
∂u ∂t 
∂h  ∂x 
∂u  ∂x
em que M = ( s − 1) (1 + ( s − 1) Cs ) e α1, e α2 devem tomar o valor 1 para que se obtenha o
máximo efeito de acoplamento entre os fenómenos da fase líquida e o da fase sólida. Repare-se que o
modelo de de Vries preconiza, α1 = 0, α2 = 0, M = 0 e Cs = 0. O parâmetro M permite considerar, na
equação de conservação da quantidade de movimento, a inércia dos sedimentos transportados em
suspensão. Se se calcularem as características, λi, do sistema hiperbólico representado pelas Eqs.
(32) a (34), podem avaliar-se os efeitos de se considerar, como é comum em modelos unidimensionais,
α1 = 0, α2 = 0 e Cs = C. Os resultados podem ser vistos na figura 6.
Observando a figura 6 verifica-se que, para números de Froude elevados, as diferenças nos
resultados dos modelos completo e simplificados podem ser tão altas quanto 15%. Um modelo simples
como o representado pelas Eqs. (1) a (3) dever se utilizado só para Fr < 0.3, de acordo com a figura 6.
12
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
1
λ3
C
λ1
0.001
0.0001
0.0
0.5
1.0
1.5
/
0.01
R
λ2
R (-)
0.1
0.60
0.10
0.55
0.05
0.50
0.00
0.45
-0.05
0.40
-0.10
0.35
0.10
0.30
0.05
0.00
0.25
-0.05
0.20
-0.10
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00
0.00
-0.05
-0.10
0.1
λ2
0.01
C
λ1
0.001
0.0001
0.0
2.0
1
λ3
0.5
1.0
1.5
2.0
Fr (−)
Fr (−)
.
C , Cs (-)
0.60
0.10
0.55
0.05
0.50
0.00
0.45
-0.05
0.40
-0.10
0.35
0.10
0.30
0.05
0.00
0.25
-0.05
0.20
-0.10
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00
0.00
-0.05
-0.10
C, Cs (-)
R
/
R (-)
7º Congresso da Água
Figura 6 Características, λi, do sistema composto pelas Eqs. (32) a (34). Esquerda: variação
) e α1 = 0 (
). Direita: idem se considerar α1 = 0.
relativa devido a se considerar Cs = C (
4 APLICAÇÕES
Os resultados do modelo constituído pelas Eqs. (32) a (34), complementado pela Eq. (30),
podem ser vistos nas figuras 7 e 8. Na figura 7 mostram-se uma comparação entre observação e
resultados do modelo matemático composto por (32), (33), (34) e (30).
0.075
0.070
0.080
0.075
0.075
0.050
0.070
0.025
0.065
0.065
0.055
0.000
η (m)
0.060
0.065
h (m)
h (m)
η (m)
0.070
-0.025
0.060
-0.050
0.055
0.050
-0.075
0.060
0
500
1000
1500
t (min)
0.050
0
50
100
150
200
250
-0.100
300
t (min)
Bed elevation, Multi-Layer
Bed elevation, Diffusive
Water depth, Multi-Layer
Water depth, Diffusive
Figura 7 Evolução temporal da cota do fundo e da superfície livre. Dados laboratoriais e
resultados do modelo em equilíbrio. Esquerda: erosão generalizada culminando em encouraçamento
estático; direita: deposição generalizada. Figura retirada de Ferreira et al. (2000).
Verifica-se que o modelo reproduz sem dificuldade o estado de equilíbrio correspondente ao
encouraçamento estático. Da mesma forma, os níveis correspondentes à deposição generalizada são
adequadamente modelados. Na figura 8 mostra-se a variação em profundidade da granulometria do
fundo após as situações de deposição generalizada e erosão generalizada culminando em
encouraçamento. Note-se que em ambos os casos a camada superficial é mais grosseira que os
substratos. Se no caso do encouraçamento, o modelo não tem dificuldade em captar a tendência, no
caso da deposição os resultados não reproduzem adequadamente as observações.
Na figura 9 mostram-se os resultados do modelo composto pelas equações (26) a (31). A
utilização do modelo completo e na forma conservativa impôs-se porque o teste, conceptual, contempla
13
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
a entrada súbita pela fronteira de montante de uma cheia que conduz ao desenvolvimento de
gradientes muito pronunciados.
D 80
D 50
D 90
D 70
D 20
D 90
D 80
D 70
D 50
D 30
D 20
D 10
D 30
D 10
-90 -75 -60 -45 -30 -15
0 -50
-40
-30
-20
-10
0
η (mm)
η (mm)
Figura 8 Distribuições granulométricas no leito correspondentes aos testes da figura 7.
1.5
3
1.4
2.5
2
1.2
u (m)
h (m)
1.3
1.1
1.5
1
1
0.5
0.9
0.8
0
0
200
400
x (m)
600
800
0
0.025
3.5
0.015
3
200
400
x (m)
600
800
, Y, Ys (m)
z (m)
t = 30 s
0.005
-0.005
-0.015
2.5
2
1.5
-0.025
1
0
200
400
x (m)
600
800
0
200
400
x (m)
600
800
Figure 9 Resultados do modelo completo em desequilíbrio, Eqs. (26) a (31).
Repare-se que o número de Froude é, no início, da ordem de 0.75. Verifica-se que, para as
equações de fecho empregues, a resposta do modelo é satisfatória, apresentando o perfil do fundo a
configuração esperada durante uma cheia.
14
ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DOS RECURSOS HÍDRICOS
7º Congresso da Água
5
CONCLUSÕES
Com o presente trabalho pretendeu-se explicar o procedimentos necessários à construção de
um modelo conceptual para a simulação de escoamentos com superfície livre e leito móvel composto
de sedimentos não coesivos e de granulometria extensa. O modelo é formado por equações de
conservação, na forma de um sistema hiperbólico de equações diferenciais parciais, e de equações de
fecho. Procurou-se persuadir o leitor de que, apesar de os traços fundamentais da modelação
unidimensional de escoamentos fluviais terem sido estabelecidos por de Vries em 1965, estes modelos
são ainda úteis e passíveis de serem melhorados. Mostrou-se que a complexidade dos fenómenos
fluviais, nomeadamente a profunda interacção entre as fases líquida e sólida e a interacção entre os
processos do transporte em desequilíbrio e do transporte selectivo de misturas granulométricas, obriga
a que, em várias situações práticas, se utilizem modelos tão complexos como aquele expresso nas
Eqs. (26) a (31). Em particular, nos casos em que podem ocorrer fortes gradientes, por exemplo uma
cheia decorrente da ruptura de uma barragem, não é possível obter bons resultados com modelos mais
simples que este.
Procurou-se ainda mostrar que termos são verdadeiramente importantes na equação de
conservação da quantidade de movimento e qual o efeito de desprezar termos computacionalmente
incómodos ou, simplesmente, tradicionalmente ignorados. Por exemplo, a inércia dos sedimentos e a
acumulação de sedimentos na coluna de água. Apresentaram-se alguns exemplos de aplicação nos
quais ficou patente que a estrutura do modelo é adequada à simulação dos processos fluviais.
Quantitativamente, é um truísmo relembrar que os resultados serão tanto melhores quanto mais
aplicáveis forem as equações de fecho.
AGRADECIMENTOS
Agradece-se o apoio financeiro dado pela Comissão Europeia através do projecto IMPACT no
âmbito do quinto programa (1998-2002), Environment and Sustainable Development programme.
BIBLIOGRAFIA
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non-equilibrium conditions”. J. Hydraul. Res., 26 (3) ,1988, pp. 236-248.
CAO, Z., DAY, R. & EGASHIRA, S. – “Coupled and decoupled numerical modeling of flow and
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DE VRIES, M. – “Considerations about non-steady bed-load transport tin open-channels”. Proc. XI
IAHR Congress, Leningrad, URSS, 1965.
FERREIRA, R. M. L – Sediment movement in rivers and associated morphodynamics. One-dimensional
conceptual model and numerical solutions. PhD Thesis, Instituto Superior Técnico, 2004.
FERREIRA, R.M.L. & CARDOSO, A.H. − “Modelling the morphologic evolution of graded sediment
beds using multiple bed layers and diffusive flux concepts”, Proc. 4th International Conference on
Hydroscience and Engineering, Sept. 26−29, Seoul, Korea, 2000 (CD−ROM).
FERREIRA, R.M.L.; LEAL, J.G.A.B. & CARDOSO, A.H.– “On the interaction between turbulent flow structures
and sediment transport in open-channels”. Proc. River Flow 2002, Louvain, Bélgica, Sept. 2002
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Div., ASCE, 103 HY8, 1977, pp. 851-863.
YALIN, M. S. – River Mechanics. Pergamon Press, 1992.
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