UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
COMPUTADORES DESCONECTADOS
Propostas para ensinar lógica e fundamentos da computação para
alunos do Ensino Básico
Autora: Caroline Lameza Ramos
Orientador: Pedro Luiz Aparecido Malagutti
Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso B
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Tomas Edson Barros
Karina Schiabel-Silva
Vera Lúcia Carbone
São Carlos, 30 de novembro de 2011.
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COMPUTADORES DESCONECTADOS
Propostas para ensinar lógica e fundamentos da computação para
alunos do Ensino Básico
Autora: Caroline Lameza Ramos
Orientador: Pedro Luiz Aparecido Malagutti
Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso B
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Tomas Edson Barros
Karina Schiabel-Silva
Vera Lúcia Carbone
São Carlos, 30 de novembro de 2011
___________________________
Caroline Lameza Ramos
____________________________
Pedro Luiz Aparecido Malagutti
2
AGRADECIMENTOS
Agradeço,
À Deus por ter me proporcionado determinação e sabedoria para a realização deste
trabalho.
Ao orientador, Pedro Luiz Aparecido Malagutti, pelo tempo concedido a este trabalho
e por acreditar que ele seria possível.
À minha família e amigos por me apoiar nesta caminhada, me orientando sempre a
seguir em frente.
Aos professores do curso de Matemática pela contribuição na minha formação
acadêmica e profissional.
3
EPÍGRAFE
“As máquinas me surpreendem com muita frequência”
Alan Turing
4
RESUMO
Em continuidade ao trabalho de conclusão de curso A, que desenvolveu atividades de ensino
que trabalhavam com fundamentos matemáticos utilizados pelos computadores, esse trabalho
apresentará como construir, com materiais simples, máquinas que executam as mesmas
funções de um computador, podendo (as mesmas) serem desenvolvidas em várias etapas da
Educação Básica. Com isso, proporcionando materiais que facilitam a compreensão e
aprendizagem dos conteúdos matemáticos utilizados nos processos tecnológicos. Para
desenvolvê-lo foram utilizadas primordialmente as referências: Inteligência Artificial no
Ensino – Construção de computadores que se comportam como humanos, Computer Science
Unplugged, Logic Machines & Diagrams e An Instructional manual for CARDIAC – A
Cardboard illustrative aid to computation.
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SUMÁRIO
Apresentação.............................................................................................................................11
1. Máquinas que contam ........................................................................................................12
1.1. Cartões binários com pontos .......................................................................................12
1.2. Computador ecológico ................................................................................................14
1.3. Adivinhação do aniversário ........................................................................................15
1.4. Cartões binários perfurados ........................................................................................17
2. Máquinas que calculam ......................................................................................................21
2.1. Multiplicação com as mãos .........................................................................................21
2.2. Ábaco ..........................................................................................................................22
2.3. Réguas deslizantes ......................................................................................................24
2.3.1. Régua para adição ..............................................................................................24
2.3.2. Régua para multiplicação ...................................................................................26
2.3.3. Régua para radiciação ........................................................................................27
2.4. Tabuada com CD ........................................................................................................28
2.5. Calculadora
de
Napier .................................................................................................30
2.5.1 Método da Gelosia .............................................................................................30
2.5.2 Ossos de Napier .................................................................................................31
2.6. Máquina de Genaille – Lucas .....................................................................................32
2.7. Rudimentos de eletricidade: duas máquinas de calcular binárias ...............................36
3. Máquinas que aprendem ....................................................................................................40
3.1. Jogo de Xadrez ............................................................................................................40
3.2. NIM com palitos .........................................................................................................43
3.3. Uma variação do NIM: com envelopes ......................................................................45
3.4. Jogo da Velha com cinco instruções ...........................................................................48
3.5. Jogo da Velha 3D ........................................................................................................48
4. Máquinas que realizam operações lógicas .........................................................................50
6
4.1. Dominós ......................................................................................................................50
4.2. Palitos e elásticos ........................................................................................................51
4.3. Gardner .......................................................................................................................52
4.3.1. Máquina de Pastore ..........................................................................................53
4.3.2. Máquina de Stanhope .......................................................................................54
4.3.3. Máquina de Jevons ...........................................................................................55
4.3.4. Máquina de Marquand .....................................................................................55
4.4. Lógica Binária .............................................................................................................56
4.5. Cartões com janelas ....................................................................................................57
5. A vida sexual das máquinas ...............................................................................................59
5.1. Joga da vida ................................................................................................................59
6. Máquinas que escondem a comunicação ...........................................................................62
6.1. Máquinas feitas de papel .............................................................................................62
6.2. Códigos corretores de erros – mágica .........................................................................63
7. Computadores Analógicos .................................................................................................65
7.1. Computador com varetas ............................................................................................65
7.2. Como economizar combustível usando barbante .......................................................65
7.3. CD trigonometria ........................................................................................................66
8. CARDIAC – A cardboard illustrative aid to computation .................................................68
9. Considerações Finais ..........................................................................................................80
Referências Bibliográficas .......................................................................................................81
7
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Cartões binários com pontos ...................................................................................13
Figura 2 - Representação do número 9 em binário, utilizando os cartões ...............................13
Figura 3 - Computador Digital Ecológico Binário ...................................................................15
Figura 4 – Representação do número 14 com o Computador Ecológico .................................15
Figura 5 – Calendários Mágicos ..............................................................................................16
Figura 6 – Cartões Binários Perfurados ...................................................................................19
Figura 7 – Como localizar o cartão 18 .....................................................................................20
Figura 8 - Figura 1- Representação com as mãos: 7 x 8 ..........................................................21
Figura 9 - Representação do número 1849 no ábaco ...............................................................23
Figura 10 – Representação do número 92, que corresponde a 25 + 67 ...................................23
Figura 11- Representação do número 42, que corresponde a 67 - 25 .....................................24
Figura 12 - Tabela para adição .................................................................................................25
Figura 13 – Fita para deslizar na tabela da adição ...................................................................25
Figura 14 – Exemplo para a tabela da adição ..........................................................................25
Figura 15 - Tabela para multiplicação .....................................................................................26
Figura 16 – Fita para deslizar na tabela da multiplicação ........................................................26
Figura 17 – Exemplo para a tabela da multiplicação ...............................................................27
Figura 18 – Tabela para a Radiciação ......................................................................................28
Figura 19 – Fita com os números para deslizar .......................................................................28
Figura 20 – Exemplo da Régua da Radiciação ........................................................................28
Figura 21- Círculo para a tabuada com CD .............................................................................29
Figura 22 – Capa para o CD .....................................................................................................29
Figura 23 – Exemplo da Tabuada com CD ..............................................................................30
Figura 24 – “Ossos de Napier” ................................................................................................30
Figura 25- Multiplicação de 361 po 297, utilizando o método da Gelosia ..............................31
Figura 26 – Multiplicação de 361 por 297, utilizando os “Ossos de Napier” ..........................32
Figura 27 – Réguas da Multiplicação de Genaille – Lucas ......................................................33
Figura 28 – Réguas 5, 6 e 7 ......................................................................................................33
Figura 29 – Réguas 5, 6 e 7 ......................................................................................................34
Figura 30 – Réguas para a divisão de Genaille –Lucas ...........................................................35
8
Figura 31 – Fitas 8, 9 e 0 ..........................................................................................................36
Figura 32 – Circuito elétrico para máquina binária .................................................................37
Figura 33 – Circuito que fornece 01 em binário ......................................................................38
Figura 34 – Outro circuito que fornece 01 em binário .............................................................38
Figura 35 – Circuito que fornece 10 em binário ......................................................................39
Figura 36 – Tabuleiro do Jogo .................................................................................................40
Figura 37 – Movimentos do jogo .............................................................................................41
Figura 38 – Jogadas possíveis ..................................................................................................42
Figura 39 – Exemplo de jogo ...................................................................................................43
Figura 40 – Configuração dos palitos ......................................................................................44
Figura 41- Exemplo de como serão as caixinhas do jogo ........................................................44
Figura 42 – Possíveis Jogadas ..................................................................................................45
Figura 43 – Envelopes para montar o NIM ..............................................................................47
Figura 44 – Configuração do Jogo da Velha em 3D ................................................................49
Figura 45 – Configuração de uma jogada que marca ponto ....................................................49
Figura 46 – Porta lógica “ou” ..................................................................................................50
Figura 47 - Porta lógica “e” .....................................................................................................50
Figura 48 – Porta lógica “não” .................................................................................................51
Figura 49 – Porta lógica “ou” ..................................................................................................51
Figura 50 – Porta lógica “e” .....................................................................................................52
Figura 51 – Porta lógica “não” .................................................................................................52
Figura 52 – Arranjo de Pastore ................................................................................................53
Figura 53 – Representação de Venn ........................................................................................53
Figura 54 - Representação por Pastore de diferentes silogismos .............................................54
Figura 55 – Máquina de Stanhope ...........................................................................................54
Figura 56 – Máquina de Jevons ...............................................................................................55
Figura 57 – Máquina de Marquand ..........................................................................................56
Figura 58 – Teclado da Máquina de Marquand .......................................................................56
Figura 59 – Lógica em Binário ................................................................................................56
Figura 60 – Cartões com janelas ..............................................................................................57
Figura 61 – Tabuleiro ...............................................................................................................59
Figura 62 – População ..............................................................................................................60
Figura 63 – Um exemplo de jogo .............................................................................................60
Figura 64 – Sistema de criptografia de Júlio César .................................................................62
9
Figura 65 – Régua deslizante ...................................................................................................62
Figura 66 – Exemplo da configuração da régua deslizante .....................................................63
Figura 67 – Outra forma de criptografia ..................................................................................63
Figura 68 – Configuração inicial das cartas .............................................................................64
Figura 69 – Configuração das cartas com acréscimo de uma fileira horizontal e Vertical ......64
Figura 70 – Círculo CD de trigonometria ................................................................................67
Figura 71 – Círculo Trigonométrico ........................................................................................67
Figura 72 - Capa da frente do CARDIAC ................................................................................69
Figura 73 - Capa de trás do CARDIAC ...................................................................................69
Figura 74 - Monitor do CARDIAC ..........................................................................................69
Figura 75 – Marcador ...............................................................................................................69
Figura 76 - Memória do CARDIAC ........................................................................................70
Figura 77 - Cartão de entrada e saída e fitas para deslizar e dar as instruções ........................70
Figura 78 - Fita com Instruções ...............................................................................................71
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APRESENTAÇÃO
Na sociedade moderna percebemos que o mundo virtual vem ganhando cada vez mais
espaço na vida das pessoas e assim as mesmas vão dominando a execução de tarefas
complexas que permeiam esse mundo e acabam fascinadas pela praticidade que as máquinas
proporcionam. Em contrapartida, essas pessoas dizem não gostarem de matemática e
esquecem que ela é fundamental para o funcionamento das máquinas que hoje são tão
importantes em suas vidas.
O que contribui para essa antipatia é a maneira como os softwares se apresentam, não
aproximando o conhecimento científico com o cotidiano dos alunos e, além disso, executando
todas as funções e, com isso, não permitindo que os alunos desenvolvam funções que
suscitam o prazer da descoberta das façanhas matemáticas e a lógica do funcionamento.
No trabalho de conclusão de curso A foi abordado teoricamente a lógica e os
conteúdos matemáticos utilizados pelos computadores, nesta nova etapa o objetivo é retomar
esses conteúdos e aprofundá-los por meio da construção de máquinas com materiais simples,
tais como: máquinas que contam, que calculam, que aprendem, que realizam operações
lógicas, de computadores analógicos, CARDIAC. Além disso, o uso de uma linguagem de
programação e a sua aprendizagem também pode ser muito significante por apresentar uma
estrutura matemática simples e interessante que se baseia na lógica.
Logo, espera-se motivar o interesse e curiosidade do aluno para o estudo da
Inteligência Artificial, utilizando para isso as inovações tecnológicas para o ensino de
matemática. Para que isso seja possível serão apresentadas máquinas simples, mas que
realizam tarefas impressionantes e máquinas que merecem uma maior atenção no estudo do
seu funcionamento.
O trabalho está dividido em oito capítulos, os quais abordam os principais temas da
Inteligência Artificial básica, do ponto de vista pedagógico, o que inclui contagem, cálculo,
aprendizagem de máquinas, comunicação, raciocínio lógico, reprodução, criptografia com
máquinas, computadores analógicos e digitais como o CARDIAC.
11
1. MÁQUINAS QUE CONTAM
Desde os primórdios já se era possível efetuar a contagem por meio de uma máquina
simples e eficaz: a mão. Ela foi utilizada por diferentes civilizações e até hoje é útil para a
contagem dos números e a efetuação de contas simples, sendo utilizada de várias formas, por
exemplo: iniciando com os dedos estendidos e abaixando-os de acordo com a contagem ou
efetuando o contrário, começando por um dedo ou outro. Além disso, também podemos
utilizar as articulações, falanges e juntas, assim como era feito antigamente para contar os
vinte e oito anos do ciclo solar ou os dezenove anos do ciclo lunar.
A partir dessa máquina surgiram outras que são construídas com materiais simples (em
geral papel) e executam funções semelhantes. Nesse capítulo serão apresentadas e construídas
algumas delas, mostrando suas contribuições para o ensino de matemática.
1.1 Cartões binários com pontos
Nos computadores, o sistema numérico utilizado é o binário, no qual palavras,
símbolos, imagens e sons são representados por uma série de zeros e uns. Essa atividade
desenvolverá conceitos relacionados ao sistema de base 2, da mesma forma como são
utilizados nos computadores, com o auxílio de cartões com pontos.
Materiais
 Figura 2: Cartões Binários
 Tesoura
 Cola
Nível Escolar: 6º ano do Ensino Fundamental em diante
Atividade
Recorte, dobre e cole os cinco cartões abaixo, com pontos em um dos lados e sem
pontos do outro.
12
Figura 1: Cartões binários com pontos.
Coloque-os sobre a carteira começando da esquerda para a direita, com o lado dos
pontos virado para cima e obedecendo a ordem decrescente, ou seja, iniciando com os cartões
de 16 pontos, depois 8 e assim por diante. Quando o cartão estiver virado, mostrando o lado
sem pontos, ele representa o número 0 no sistema binário; quando mostrar o lado com os
pontos, representa o número 1. Por exemplo, para representar o número 9, basta ordenar os
cartões da seguinte forma:
0
1
0
0
1
=9
Figura 2: Representação do número 9 em binário, utilizando os cartões.
1. O que é possível notar sobre o número de pontos nos cartões? Se continuássemos
colocando cartões novos à esquerda, quantos pontos o próximo cartão teria? E o
seguinte?
2. Forme o número binário 10010. Qual é esse número no sistema decimal? Como
seriam os números 3, 12, 19, 23 no sistema binário?
13
3. Existe mais de uma maneira para formar qualquer número? Qual é o maior número
que se poderia formar com os cinco cartões recortados? Qual seria o menor? Existe
algum número que não possa ser formado entre o maior e o menor número?
Aplicação da Atividade
A atividade foi aplicada com alunos do 8º do Ensino Fundamental, onde
primeiramente comentei sobre o sistema usual, ou seja, o sistema de base decimal, e
posteriormente sobre o sistema binário, lembrando que o mesmo utiliza apenas 0 e 1 na
representação dos números e que é muito utilizado pelos computadores. Em seguida,
apresentei os cartões binários e defini que quando o cartão estiver virado mostrando o lado
sem pontos ele representa o número 0 no sistema binário, quando mostrar o lado com os
pontos ele representa o número 1.
Exemplifiquei com a representação do o número 9, onde também relacionei os cartões
com as potências de 2. Por fim os alunos fizeram a folha de atividade, que continham as
questões levantadas acima, em grupo e com bastante empenho.
1.2 Computador Ecológico
A atividade a seguir ensina como construir uma “máquina”, com a qual é possível
efetuar a contagem de 0 a 31 em números binários, somente com o auxílio dos dedos.
Materiais
 Figura 3: Computador Digital Ecológico Binário
 Tesoura
 Barbante
Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Recorte a figura abaixo no contorno e nos círculos tracejados, nos quais os dedos
devem ser inseridos. Faça um pequeno furo no círculo menor que se encontra no topo da
figura e insira um barbante.
14
Figura 3: Computador Digital Ecológico Binário.
Insira os dedos da mão esquerda e manuseando o barbante com a mão direita, enlace os dedos
da outra mão. Os dedos não enlaçados correspondem ao algarismo 0 e os dedos enlaçados ao
algarismo 1. A partir desse processo, obtenha todos os números de 0 a 31, assim como mostra
o exemplo, que representa o número 14 no sistema binário:
Figura 4: Representação do número 14 com o Computador Ecológico.
1.3 Adivinhação do Aniversário
Assim como nas duas atividades anteriores, esta também desenvolverá o conceito de
números binários, porém com uma mágica que trabalhará com potências de 2 para adivinhar o
dia do aniversário de uma pessoa.
Materiais
 Figura 6: Calendários Mágicos
 Papel Cartão
Série: A partir do 1º ano do Ensino Fundamental
15
Atividade
Monte calendários assim como os da figura abaixo:
Figura 5: Calendários Mágicos.
O mágico deverá escolher uma pessoa e perguntar em quais calendários o dia do seu
aniversário está destacado, para que seja possível descobrí-lo. Nos calendários, nos quais o
dia o aniversário estiver em vermelho deverão ser somados os primeiros números grifados;
com isso, o valor da soma será o dia do aniversário da pessoa.
Por exemplo, suponha que a pessoa, a qual se adivinhará o aniversário, faça no dia 18.
Ela deverá falar para o mágico que o dia está grifado no segundo e no último calendários e
que não está grifado nos calendários restantes. Assim, o mágico somará o primeiro número
grifado nos dois calendários, ou seja, 2 + 16 = 18 e, consequentemente, adivinhará o dia do
aniversário.
16
O truque só é possível porque os primeiros números do calendário são potências de 2,
ou seja, 2º = 1; 2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8 e 24 = 16. Cada número natural pode ser decomposto de
forma única como soma de potências de 2. No primeiro calendário os números destacados são
os que utilizam a potência de 2º = 1 ao serem decompostos. Já o segundo destaca os números
que utilizam 2¹ = 2 na sua decomposição em potência de 2. O terceiro, quarto e quinto
calendários mostram, grifados, os números que utilizam as potências 4, 8 e 16,
respectivamente, na sua decomposição.
Aplicação da Atividade
A regência foi aplicada com alunos do 8º ano do Ensino Fundamental e para introduzir
adivinhei o aniversário de uma aluna, com isso, os alunos queriam saber como consegui,
solicitavam que adivinhasse o seu aniversário e davam sugestões de qual era o truque.
Introduzir a aula com a aplicação da mágica foi interessante, uma vez que chamou muito a
atenção dos educandos e os manteve atentos durante a mesma. Pedia para o aluno indicar,
olhando nos calendários, em quais calendários o dia do seu aniversário aparecia destacado em
vermelho, com isso descobria a data .
Após realizar a mágica com vários alunos, revelei o mistério que envolvia os
calendários e expliquei como conseguia adivinhar o dia do aniversário. Notei que os alunos
gostaram da atividade, uma vez que queriam dar continuidade as adivinhações.
1.4 Cartões Binários Perfurados
Continuando com atividades relacionadas à contagem de números binários, nesta
proposta, será efetuada a contagem dos números de 0 a 31 em binários, mas agora com o
auxílio de cartões perfurados.
Materiais
 Figura 7: Cartões Binários Perfurados
 Cartolina
 Tesoura
 Palito
Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental
Atividade
17
Construa cartões, feitos de cartolina, como os da figura abaixo. Recorte os cartões,
perfure-os e corte as suas fendas.
18
Figura 6: Cartões Binários Perfurados.
Cada buraco representará o número 0 e cada fenda, o número 1. Faça um maço
com os cartões, sendo que ao colocar um palito por alguns dos buracos e levantá-los,
alguns cartões cairão e outros ficarão presos. Assim, repetindo organizadamente este
procedimento, poderá realizar várias operações com os números binários de 0 a 31. Veja
alguns modos de separar as cartas:
•
Para separar os cartões pares dos ímpares, basta colocar o palito no primeiro furo à
direita (casa das unidades) e levantá-los. Com isso, todos os cartões com números
ímpares cairão.
•
Com somente 5 colocações e levantamento do palito é possível colocar os cartões de 0
a 31 em ordem crescente. Para isso, é necessário embaralhá-los e começar colocando o
palito no primeiro buraco da direita (casa das unidades) e levantar o maço deixando os
cartões caiarem, mas mantendo a ordem. Em seguida, deve-se posicionar os cartões
19
que caíram atrás dos demais e repetir o mesmo procedimento para todos os outros 4
buracos, sempre mantendo a ordem. Ao terminar, os cartões estarão em ordem
crescente.
•
Pode-se localizar qualquer número de 0 a 31 colocando o palito e levantando o maço 5
vezes. Isso, deve-se ao fato de que qualquer número natural tem representação única
na base 2. Veja como você pode fazer para localizar a cartão 18:
Primeiramente, coloque o palito na casa das unidades (20), levante o maço e pegue os
que ficaram presos. Em seguida, coloque no buraco 21, levante e pegue os que caíram.
Prossiga, colocando o palito na casa 22 e pegando os cartões que ficaram presos. Coloque-o na
casa 23, levante e pegue os cartões que ficaram presos. Para finalizar coloque-o na casa 2 4,
levante o maço, assim, o cartão que cair será o 18.
Figura 7: Como localizar a cartão 18.
Responda:
1. Se os cartões tiverem 6 buracos, ao invés de 5, quantos números diferentes seriam
possíveis obter?
2. Qual é o número mínimo de buracos que os cartões deveriam ter para representar os
números de 0 até 127?
3. Pensando na atividade anterior “Adivinhação do aniversário”, descreva uma maneira
de adivinhar o aniversário de uma pessoa usando os cartões perfurados.
20
2. MÁQUINAS QUE CALCULAM
No início do século XVII, ocorreu um grande avanço na área da matemática em
relação ao que já se havia descoberto nos séculos anteriores. O progresso do cálculo levou a
duas vias diferentes: a primeira, baseada nos logaritmos inventados por John Napier,
acarretou o desenvolvimento das réguas de cálculo, a segunda, conduziu ao desenvolvimento
precoce de máquinas de calcular. Com isso, esse capítulo, abordará algumas réguas
deslizantes e máquinas de calcular, começando desde a mais antiga, que é o ábaco, até
algumas máquinas de eletricidade.
2.1 Multiplicação com as mãos
As mãos também nos ajudam a efetuar multiplicações. Essa atividade trabalhará com
esse artifício com o intuito de cativar os alunos, que em geral, não gostam de memorizar a
tabuada. Com esse método é possível obter os resultados das multiplicações de números entre
5 e 10, apenas movendo os dedos e com simples operações.
Material
 Mãos
Nível Escolar: A partir do 4º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Para facilitar a visualização e, com isso, a compreensão, o método será apresentado
por meio de um exemplo: 7 x 8.
Figura 8: Representação com as mãos; 7 x 8.
Primeiro, estenda as duas mãos abertas e com as palmas viradas para cima. Agora,
abaixe em uma das mãos o número de dedos que o 7 passa do 5, ou seja, 2 dedos. Na outra
mão, o número de dedos que o 8 passa do 5, que equivale a 3 dedos. Agora, some os números
21
abaixados para obter o valor da casa das dezenas, que no nosso caso é 3 + 2 = 5, e multiplique
os dedos levantados para obter a quantidade das unidades, ou seja, 3 x 2 = 6. Com isso,
obtemos o resultado da multiplicação, que no caso em questão resultou em 7 x 8 = 56.
É importante lembrar que quando a multiplicação dos dedos levantados for maior do
que 10, deverá “ir um” na casa das dezenas. Por exemplo, quando é multiplicado 7 por 6,
obtém-se 3 dedos levantados em uma mão e 4 na outra , o que resulta 3 x 4 = 12. Assim
obtém-se o número 2 na casa das unidades e “vai um” para a casa das dezenas.
Com essa estratégia, é possível multiplicar dois números x e y compreendidos entre 5
e 10. Desse modo, deve-se dobrar em uma mão o número de dedos que satisfaça a relação (x 5) e na outra mão o número de dedos que satisfaça a relação (y – 5). O número de dedos
estendidos na primeira mão é igual a 5 – (x – 5) e na outra mão 5 – (y – 5).
Para se obter o resultado da multiplicação, deve-se multiplicar por 10 o número total
de dedos dobrados em ambas as mãos e acrescentar o produto dos dedos levantados de uma
mão pela outra, ou seja,
10 . [(x – 5) + (y – 5)] + [ (5 – (x – 5)) . ( 5 – (y – 5))] = xy
2.2 Ábaco
Ao contrário do que muitos pensam, o ábaco não é apenas um brinquedo, ele constituise de uma “máquina” de contar e calcular muito antiga, a qual a história aponta que tenha sido
largamente utilizada pelos chineses, egípcios e outros. Possui diferentes configurações e a sua
origem é desconhecida. Acredita-se que possa ter surgido por meio de seixos que eram
movidos em linhas desenhadas no chão. Apesar de facilitar a realização das operações, não é
muito utilizado atualmente.
Materiais
 4 palitos de picolé de madeira
 4 palitos de churrasco
 Canudinhos de refrigerante
 Tesoura e cola
Nível Escolar: A partir do 2º ano do Ensino Fundamental
22
Atividade
As unidades, dezenas, centenas e unidades de milhar serão representadas por palitos de
churrasco.
Os palitos de picolé servirão como base para apoiar os palitos de churrasco e os
canudinhos deverão ser cortados em pedaços pequenos, sendo inseridos nos palitos de
churrasco, no qual cada pedaço representará uma unidade e sendo que:
10 unidades = 1 dezena
10 dezenas = 1 centena
10 centenas = 1 unidade de milhar
Escreva na madeira, em cima de cada palito, a letra inicial da casa que ele representa.
A figura abaixo ilustra o ábaco construído e representando o número 1849.
Figura 9: Representação do número 1849 no ábaco.
Sugestões de atividades:
Represente, no ábaco, outros números com o intuito de aprender a manuseá-lo. É
possível, também realizar operações de adição e subtração.
Por exemplo, para efetuar a adição 25 + 67 teríamos a seguinte configuração:
Figura 10: Representação de 92, que corresponde a 25 + 67.
E a subtração 67 – 25:
23
Figura 11: Representação do número 42, que corresponde a 67 – 25.
2.3 Réguas deslizantes
Outros materiais, possíveis de se utilizar são as réguas deslizantes que, assim como o
ábaco,são úteis para efetuar alguns cálculos. Elas foram criadas, em 1638, por Willian
Oughtred, o qual se baseou na máquina de calcular logaritmos de John Napier, e foram muito
utilizadas até a criação da calculadora.
Construa réguas com a configuração das figuras abaixo, de forma que a fileira do meio
consiga deslizar sobre a folha para obter a soma ou a multiplicação dos números das duas
parcelas, como por exemplo, 3 + 3 = 9, 2 x 2 = 4, etc.
2.3.1 Régua de Adição
Materiais
 Figura 12: Tabela para adição
 Figura 13: Fita para deslizar na tabela para adição
 Tesoura
Nível Escolar: 2º ano do Ensino Fundamental em diante
Atividade
Com as duas figuras abaixo será possível construir a régua da adição. Recorte, na
figura 13, as duas retas paralelas do meio e insira a fita na tabela para a adição.
24
Figura 12: Tabela para adição.
Figura 13: Fita para deslizar na tabela da adição.
A configuração deverá ficar como a da figura abaixo. Ao somar a primeira parcela
com a segunda obtém-se o resultado da operação na coluna do meio; por exemplo, 6 + 6=12.
Figura 14: Exemplo para a tabela da adição.
25
2.3.2 Régua de Multiplicação
Materiais
 Figura 15: Tabela para multiplicação
 Figura 16: Fita para deslizar na tabela para multiplicação
 Tesoura
Nível Escolar: 2º ano do Ensino Fundamental em diante
Atividade
Com as duas figuras abaixo será possível construir a régua da multiplicação. Recorte,
na figura 16, as duas retas paralelas do meio e insira a fita na tabela para a multiplicação.
Figura 15: Tabela para a multiplicação.
Figura 16: Fita para deslizar na tabela da multiplicação.
Assim, a régua deverá ter a configuração como da figura abaixo, na qual a primeira
coluna multiplicada com a segunda resulta na coluna do meio; por exemplo, 3 x 3 = 9.
26
Figura 17: Exemplo para a tabela da multiplicação.
2.3.3 Régua para Radiciação
Materiais
 Figura 18: Tabela para a radiciação
 Figura 19: Fita com os números para deslizar
 Tesoura
Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Recorte, na figura 18, as duas linhas pretas, para que seja possível inserir a tira com os
números abaixo. Ao deslizar a régua, será possível obter as raízes quadradas de determinados
valores.
27
Figura 18: Tabela para a Radiciação.
Figura 19: Fita com os números para deslizar.
Assim como mostra a figura abaixo:
Figura 20: Exemplo da Régua da Radiciação.
2.4 Tabuada com CD
Essa atividade mostrará como construir um aparato que forneça as tabuadas do 1 ao 10
de modo prático, com apenas um CD, fora de uso, e as figuras 21 e 22.
Materiais
 1 CD com a caixinha
28
 Figura 21: Círculo para a tabuada com CD
 Figura 22: Capa para o CD
 Tesoura
 Cola
Nível Escolar: A partir do 2º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Recorte a figura abaixo de forma que o tamanho do círculo seja equivalente ao
tamanho do CD, e em seguida cole-a no mesmo.
Figura 21: Círculo para a tabuada com CD.
Em seguida, faça um buraco na borda da caixinha do CD para que, com o dedo,
consiga girá-lo.
Coloque a figura na capa da caixinha, mas antes recorte pequenos quadradinhos nos
asteriscos da figura.
Figura 22: Capa para o CD.
29
Desse modo, será possível obter os resultados das multiplicações, apenas girando o
CD, assim como mostra a figura abaixo da multiplicação 6 x 4= 24.
Figura 23: Exemplo da Tabuada com CD
2.5 Calculadora de Napier
John Napier (1550 – 1617), muito reconhecido por seus trabalhos com logaritmos,
desenvolveu esquemas para facilitar os mecanismos da aritmética. Um desses métodos é
conhecido como “Ossos de Napier”, que podem ser confeccionados com tiras de papel,
contendo cada uma as colunas de multiplicação do 0 ao 9.
Figura 24: “Ossos de Napier”.
2.5.1 Método da Gelosia
Materiais
 Papel
 Lápis
30
 Figura 24: Ossos de Napier
Nível Escolar: A partir do 3º ano do Ensino Fundamental
Atividade
O método consiste em construir uma matriz, colocando os dígitos do multiplicando no
topo da matriz e os dígitos do multiplicador ao lado direito. Em seguida, faça cada
multiplicação e some os números das diagonais. O resultado é obtido a partir do canto
superior esquerdo. A multiplicação de 361 x 297, por exemplo, ocorreria da seguinte forma:
Figura 25: Multiplicação de 361 por 297, utilizando o método da Gelosia.
O resultado obtido nesse caso seria 107.217.
2.5.2 Ossos de Napier
Materiais
 Figura 24: Ossos de Napier
Nível Escolar: 3º ano do Ensino Fundamental em diante
Atividade
Os “Ossos de Napier” foram criados com o objetivo de facilitar a multiplicação, pois
com seu auxilio é possível efetuar as operações colocando as tiras ao lado, somando as
diagonais de cada tira e por fim somando os resultados obtidos, bem como mostra o exemplo
(361 x 297):
31
Figura 26: Multiplicação de 361 por 297, utilizando os “Ossos de Napier”.
Resultado: 361 x 297 = 72200 + 32490 + 2527 = 107.217
2.6 Máquina de Genaille - Lucas
Henri Genaille e Edouard Lucas foram dois franceses que desenvolveram, no final do
século XIX, réguas para a multiplicação e para a divisão, nas quais não eram necessário
efetuar a soma das diagonais, como nos “Ossos de Napier”. Essa “máquina” ficou conhecida
como Máquina de Genaille-Lucas.
Material
 Figura 27: Réguas da Divisão de Genaille - Lucas
 Figura 30: Réguas da Multiplicação de Genaille - Lucas
Nível Escolar: A partir do 3º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Com a régua de Genaille - Lucas é possível obter a multiplicação ou a divisão de duas
parcelas. Abaixo, segue a configuração da régua para a multiplicação e o método para se obter
o produto.
32
Figura 27: Réguas da Multiplicação de Genaille- Lucas.
A multiplicação de 567 x 9, por exemplo, ocorre da seguinte forma:
Primeiro dispomos as réguas 567.
Figura 28: Réguas 5, 6 e 7.
Observe a linha 9. Como 7 x 9 = 63, obtém-se o número 3 na casa das unidades e o 6
fica guardado, esperando a próxima conta, para somar na casa das dezenas.
33
Tendo 6 x 9 = 54, junta-se com o 6 que ficou esperando (a dezena de 63), e obtém-se
60. Assim a casa das dezenas deve ficar preenchida com 0 e o 6 fica esperando a conta na
casa das centenas.
Para finalizar tem-se que 5 x 9 = 45. Somando ao 6 que ficou esperando, tem-se o
resultado 45 + 6 = 51. Desse modo, a casa das centenas deve ser preenchida com 1 e a casa
dos milhares com 5.
Assim, o resultado da multiplicação 567 x 9 = 5103, o que também pode ser obtido
seguindo as flechas.
Agora veja como ocorre a multiplicação 567 x 13.
Figura 29: Réguas 5, 6 e 7.
Inicialmente faça a multiplicação de 567 x 3 e, posteriormente a de 567 x 1, assim,
somaremos os resultados para obter o produto da multiplicação 567 x 13.
Analisando a linha 3, como 567 x 3 = 21, então temos 1 na casa das unidades e o 2 que
fica aguardando a conta da casa das dezenas.
34
Já que 6 x 3 = 18 , ao adicionar o 2 que ficou esperando (dezena de 21), obtém-se que
18 + 2 = 20. Assim, tem-se 0 na casa das dezenas e 2 que ficará esperando para ir à casa das
centenas.
Como 5 x 3 = 15, que somando ao 2 que ficou esperando, obtém-se 15 + 2 = 17,
resultando em 7 na casa das centenas e o 1 que vai para casa do milhar.
Para 567 x 1, obtém-se que 7 x 1 = 7, resultando em 7 na casa das dezenas.
Já 6 x 1 = 6 que ficará na casa das centenas e 5 x 1 = 5 que ficará na casa do milhar.
Agora somando os números de cada casa obtemos que na casa das unidades temos 1.
Na casa das dezenas temos 0 + 7 = 7 e na casa das centenas temos 7 + 6 = 13,
resultando em 3 na casa das centenas e o 1 fica na espera para ir à casa do milhar.
Na casa do milhar temos 1 + 5 + 1 = 7.
Assim, 567 x 13 = 7371, o que poderia ser obtido somente seguindo as flechas.
A figura abaixo mostra a tabela utilizada para o processo da divisão:
Figura 30: Réguas para a divisão de Genaille – Lucas.
Temos a coluna do quociente (Q), dos divisores (D) e dos restos (R).
Por exemplo, veja a divisão 890 : 5. Disponha as réguas que correspondem aos valores
8,9,0, as réguas dos divisores e do resto como no modelo abaixo.
35
Figura 31: Fitas 8, 9 e 0.
Observe a linha do divisor 5. Nela temos que 8 : 5 = 1 e resta 3, mas como o número 8
está na casa da centena temos 1 centena e 3 centenas como resultado da divisão e resto,
respectivamente.
Temos que 9 : 5 = 1 resto 4, mas ainda há as 30 dezenas (que são equivalentes as 3
centenas que restou acima). Portanto, 30 : 5 = 6 resto 0. Ou seja, temos 6 + 1 = 7 dezenas.
Para concluir temos 0 : 5 = 0, mas ainda há as 40 unidades = 4 dezenas, então, 40 : 5 =
8.
Desse modo, temos que 890 : 5 = 178, com resto 0.
Olhando as setas observamos que 8 : 5 = 1 no quociente, assim concluímos que o
número 1 leva no 7, o número 7 leva no 8 e, finalmente, o 8 leva no resto 0.
2.7 Rudimentos de eletricidade: uma máquina de cálculo binário
A atividade a seguir apresenta a construção de uma máquina que utiliza rudimentos de
eletricidade (os circuitos) para realizar algumas operações com binários, de modo que para
obter os resultados basta interpretá-la.
Materiais
 2 lâmpadas
 1 pilha
 4 chaves
36
Nível Escolar: A partir do 7º ano do Ensino Fundamental em diante
Atividade
Para se obter uma máquina binária com rudimentos da eletricidade basta construir o
circuito elétrico abaixo:
Figura 32: Circuito elétrico para máquina binária.
Fonte: Malagutti (2008)
As setas indicam as chaves, sendo que a chave A e a chave B são as mais importantes
no momento. As linhas pontilhadas mostram que as chaves estão interligadas, ou seja, se uma
mudar a posição a outra também deverá mudar. As lâmpadas L 1 e L2 apresentam o resultado
da operação, sendo que a L1 indica o resultado da casa da unidade e a L2 indica a casa das
dezenas. Assim, se a lâmpada L1 estiver apagada deve-se ter o número 0 na casa das unidades,
e se estiver acesa deve-se ter o número 1. O mesmo ocorre com a lâmpada L2, mas agora em
relação à casa das dezenas.
Quando as duas lâmpadas estão apagadas (como no circuito acima) temos que 0 + 0 =
00.
Dada a configuração do circuito:
37
Figura 33: Circuito que fornece 01 em binário.
Fonte: Malagutti (2008)
Observe que agora a lâmpada L1 está acesa, como indica o circuito em vermelho, de
modo que A=1 e B=0, o que resulta na soma 1 + 0= 01 (na base 2).
Além desse, podemos ter outro circuito:
Figura 34: Outro circuito que fornece 01 em binário.
Fonte: Malagutti (2008)
Nesse caso, a lâmpada L2 está acessa, portanto A=0 e B=1, resultando em 0 + 1 = 01
(na base 2).
Para finalizar seja a última configuração:
38
Figura 35: Circuito que fornece 10 em binário.
Fonte: Malagutti (2008)
Agora A=1 e B=1, o que fornece 1 + 1 = 10 (na base 2).
39
3. MÁQUINAS QUE APRENDEM
Esse capítulo mostrará como construir “máquinas” que conseguem “aprender”. Muitos
questionamentos têm sido feitos acerca dessa aprendizagem, pois o computador mantém
armazenadas várias estratégias que facilitam a sua vitória. O capítulo mostrará que a
programação de uma “máquina” segue os princípios da teoria da evolução descrita por
Charles Darwin, a qual afirma que o indivíduo se adapta para sobreviver no meio em que está.
Partindo desse pressuposto, a “máquina” se adaptará para sempre ganhar.
3.1 Jogo de Xadrez
Essa “máquina” aprende a ganhar um simples jogo de xadrez de um adversário
humano. Inicialmente, ela executará algumas jogadas que serão consideradas errôneas, mas,
por meio de recompensas e castigos, depois de um tempo a vitória será garantida.
Materiais
 37 caixinhas de fósforos vazias
 Canudinhos de quatro cores diferentes
 Figura 38: Possíveis jogadas
Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental
Atividade
O jogo será realizado com a utilização de um tabuleiro como da figura abaixo:
Figura 36: Tabuleiro do Jogo.
Fonte: Malagutti (2008)
Inicialmente as peças deverão ocupar as posições de acordo com a figura 36.
Cada ficha poderá ser deslocada com os mesmos movimentos de um jogo de xadrez,
ou seja, poderá andar para uma casa da frente (se a mesma estiver vazia) ou poderá mover-se
na diagonal, capturando uma peça do adversário.
40
Figura 37: Movimentos do jogo.
Fonte: Malagutti (2008)
Três situações caracterizam vitória:
1- Se uma peça atingir o lado oposto do tabuleiro.
2- Se todas as peças adversárias forem capturadas.
3- Se todas as peças do adversário não puderem mais ser movimentadas segundo as
regras.
41
Figura 38: Jogadas possíveis.
Fonte: Malagutti (2008)
42
Cada caixinha representa uma situação do jogo com as possíveis jogadas, sendo
indicadas pelas setas coloridas. Assim, é necessário recortar todas as situações e colá-las uma
em cada caixinha.
Dentro de cada caixinha de fósforo encontram-se 3 pedaços de canudinhos com a
mesma cor das setinhas, ou seja, azul, verde e vermelho. Quando chega a vez do computador
jogar ele escolhe aleatoriamente uma cor de canudinho, realizando a jogada na qual a seta é
corresponde à cor do canudinho retirado. Se a mesma gerar uma derrota, o canudinho
“responsável” é retirado da caixa. Se o lance for vitorioso e o computador ganhar, então a
caixinha recebe mais um canudinho dessa cor.
Note que cada caixinha possui uma posição e a sua simétrica, para diminuir o número
de caixinhas utilizadas.
Um exemplo de como poderiam ser as jogadas segue abaixo:
Figura 39: Exemplo de jogo.
E assim, com o lance da setinha vermelha tem-se que as bolinhas pretas ganham o
jogo, pois conseguem alcançar o lado do adversário.
3.2 NIM com palitos
O jogo NIM foi o primeiro analisado e estudado nos aspectos da matemática, sendo
que o primeiro matemático a desenvolver trabalhos foi Charles Bouton, nos quais apresentou
uma estratégia para vitória que se baseava na “aritmética dos números naturais no sistema
binário de numeração” (RODRIGUES e SILVA, pág. 3).
Além disso, Charles Bouton afirmou que a origem do jogo seria chinesa, o que não foi
comprovado mediante a possibilidade de origem inglesa.
Materiais
 18 caixinhas de fósforos vazias
 Pedaços de papel de três cores: azul, verde e vermelho
 Figura 42: Possíveis Jogadas
43
Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental
Atividade
O jogo do NIM é constituído por uma quantidade de peças, dispostas em uma
superfície plana ou no espaço e deve ser realizado por dois participantes, denominados de A e
B. Sobre uma mesa deve haver três fileiras de palitos, dispostos como mostra a figura abaixo:
Figura 40: Configuração dos palitos.
Cada jogador deve retirar uma quantidade de palitos na sua vez, de modo que só
podem ser retirados palitos da mesma linha. Perde o jogo quem ficar com o último palito.
Assim como na atividade anterior, cada caixinha conterá as possíveis jogadas. Dentro
da caixa de fósforos haverá uma quantidade de cartões das cores dos palitos e numerados com
1, 2 ou 3 indicando quantos palitos podem ser retirados naquela caixa. Por exemplo,
Figura 41: Exemplo de como serão as caixinhas do jogo.
Fonte: Malagutti (2008)
Se o computador realizar uma jogada que faça com que ele perca, então será retirado o
último cartão que direcionou esse fato. Caso ele ganhe, será recompensado com o acréscimo
de todas as fichas que proporcionaram a vitória, em suas respectivas caixas.
As possíveis jogadas para um jogo com configuração 3 x 3 são:
44
Figura 42: Possíveis Jogadas
Fonte: Malagutti (2008)
3.3. Uma variação do NIM: com Envelopes
Assim como o Jogo de Xadrez e o NIM de Palitos, existe uma versão com envelopes
para o NIM que também é uma “máquina” que aprende a jogar e, principalmente, a ganhar.
Materiais
 20 envelopes pequenos e enumerados de 1 a 20
 30 fichas com o número 1
 30 fichas com o número 2
 30 fichas com o número 3
 20 palitos de qualquer tamanho
Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental
45
Atividade
Escolha um número entre 10 e 20, colocando o mesmo número de palitos na mesa. O
primeiro jogador deverá retirar 1, 2 ou 3 palitos. O segundo, também deverá retirar uma das
três quantidades. Assim, sucessivamente, até ser retirado o último (ou últimos) palitos.
Por exemplo, um jogo iniciando com 12 palitos:
Para montar o “computador” recorte os envelopes e fichas abaixo:
46
Figura 43: Envelopes para montar o NIM.
Fonte: Malagutti(2008)
Monte e coloque em cada envelope uma ficha com o número 1, uma com o número 2 e
uma com o número 3, sabendo que cada ficha corresponde ao número de palitos que deverão
ser retirados da mesa. O número correspondente do cartão representa o número de palitos na
mesa.
A seguir, apresenta-se um exemplo de como jogar com um computador:
Suponha que o número 12 seja escolhido. Selecione o envelope com o número 12.
Assuma que o “computador” seja o primeiro jogador. Assim escolhe-se, sem olhar, uma ficha
do envelope. Suponha que seja a ficha com o número 3. Desse modo, deve-se retirar 3 palitos
da mesa, restando 9 palitos. Em seguida, o jogador humano retira 3 palitos também,
totalizando 6 palitos na mesa. Novamente, é a vez do computador que sorteia e retira a ficha
com o número 2 do envelope 6, restando 4 palitos na mesa. Assim, sucessivamente, até acabar
os palitos das mesas.
Se o computador ganhar será recompensado com o acréscimo de uma ficha em cada
envelope, repetindo o caminho que o levou à vitória. Com isso, a probabilidade de fazer um
47
jogo vitorioso aumenta. Entretanto, se o computador perder, retira-se do envelope a última
ficha que o levou à derrota.
3.4 Jogo da velha com cinco instruções
O jogo da velha é um jogo simples, muito conhecido e fácil de ser realizado, pois com
pequenas jogadas já é possível obter um vencedor. Essa atividade mostrará como é possível
vencer sempre o jogo da velha apenas seguindo as instruções.
Materiais
 Folha de papel
 Lápis
 Instruções
Nível Escolar: A partir do 3º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Para realizar o jogo serão necessários dois participantes. Deve-se construir, no papel,
um jogo da velha com configuração 3 x 3, de maneira que cada participante seja representado
pelo símbolo “x” ou “o”. Seguindo as instruções abaixo, o primeiro jogador nunca perderá:
1- O jogador 1 deverá marcar o seu símbolo em um canto.
2- Se o outro jogador não marcar, o jogador 1 deverá marcar o canto oposto ao do
movimento 1, caso contrário deverá marcar um canto livre.
3- Se existe um espaço livre em uma reta unindo dois “x”, o primeiro jogador deverá ir
para este espaço. Em oposição, se houver um espaço em uma reta determinada por dois “o”,
então deverá ir para este espaço. Caso contrário, deverá marcar um canto livre. Repetir esse
movimento quantas vezes for necessário.
4- Ir para o espaço livre.
3.5 Jogo da velha 3D
Esse jogo apresenta a configuração do jogo da velha, mas em 3 dimensões.
Materiais
 3 placas de plástico transparentes
 4 pedaços de canudinhos
48
Nível Escolar: A partir do 3º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Para construir o jogo é necessário desenhar um jogo da velha com configuração 3 x 3
nas três placas de plástico. Feito isso, faça furinhos em todos os cantos das placas, visando
colocar os canudinhos ligando as placas. Obtendo a seguinte configuração:
Figura 44: Configuração do Jogo da Velha em 3D.
O jogador que alinhar três dos seus símbolos em uma reta qualquer marca um ponto.
Abaixo, um exemplo:
Figura 45: Configuração de uma jogada que marca ponto.
Entretanto, apenas essa atitude não define o vencedor do jogo; sua função é marcar
pontos. Ganha o jogador que marcar o maior número de pontos.
49
4. MÁQUINAS QUE REALIZAM OPERAÇÕES LÓGICAS
O hardware de um computador se baseia na lógica, que é caracterizada pelas portas
lógicas. Esse capítulo desenvolverá algumas “máquinas” que realizam operações lógicas “e”,
“ou” e “não”, com o uso de dominós, palitos e elásticos, polias e correias e cartões com
janelas.
Além disso, apresentará, de forma ilustrativa, algumas máquinas antigas de lógica.
4.1 Dominós
Com os dominós posicionados em pé, essa atividade simulará as portas lógicas “e”,
“ou” e “não”.
Material
 Dominós
Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Construa as seguintes configurações com os dominós para obter as portas lógicas.
Figura 46: Porta lógica “ou”
Figura 47: Porta lógica “e”
Fonte: Malagutti (2008)
Fonte: Malagutti (2008)
Note que apesar da configuração dos dominós ser a mesma, a saída é diferente. Isso
deve - se ao fato dos 1´s e 0´s da entrada estarem invertidos.
50
Figura 48: Porta lógica “não”
Fonte: Malagutti (2008)
4. 2 Palitos e Elásticos
Assim como fizemos com os dominós podemos usar palitos para obter as portas
lógicas “e”, “ou” e “não”.
Materiais
 Palitos
 Elásticos
 Blocos
Nível Escolar: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Construa aparatos como os das figuras abaixo, sendo que em todas as construções um
elástico liga a figura em forma de “T” com o bloco.
Figura 49: Porta lógica “ou”.
Fonte: Malagutti (2008)
51
Para a construção abaixo, verifica-se que o elástico une os palitos ao bloco.
Figura 50: Porta lógica “e”.
Fonte: Malagutti (2008)
O movimento para a direita será identificado como 1 e para a esquerda como 0. Esse
aparato inverte o sentido do movimento.
Figura 51: Porta lógica “não”.
Fonte: Malagutti (2008)
4.3 Gardner
A lógica teve um grande avanço no século XIX. Com isso, muitas máquinas de lógica
foram desenvolvidas, como, por exemplo, a máquina de Pastore, de Stanhope, de Jevons, de
Marquand e cartões com janela. As máquinas serão apresentadas apenas de forma ilustrativa,
demonstrando sua importância e engenhosidade para a época.
52
4.3.1 Máquina de Pastore
A máquina de Pastore busca traduzir a estrutura do raciocínio silogístico em
movimento físico assemelhando-se à forma de um computador analógico. Consiste em um
arranjo triangular com três círculos, sendo que cada um deles equivale às afirmações e
conclusão do silogismo. Por exemplo, para as premissas:
Todo A é B
Nenhum B é C
Logo nenhum A é C
O arranjo de Pastore seria equivalente à figura 52:
Figura 52: Arranjo de Pastore.
Figura 53: Representação de Venn.
Fonte: Gardner
Como A é B, as duas polias estão girando para o sentido horário, então as linhas que
as ligam são paralelas. Como B não é C, as polias estão se movimentando em sentido
contrário, então as linhas que as unem se cruzam. Com isso, A e C também girarão em sentido
oposto, resultando no cruzamento das linhas que as ligam.
Com o mesmo raciocínio, Pastore desenvolveu 256 máquinas que representavam
diferentes silogismos. Algumas delas estão ilustradas na figura abaixo:
53
Figura 54: Representação por Pastore de diferentes silogismos.
Fonte: Gardner
4.3.2 Máquinha de Stanhope
Stanhope foi o primeiro a desenvolver uma máquina para estudar a lógica formal.
Esta, além de ser utilizada para desenvolver silogismos tradicionais por meio de um método
muito parecido ao diagrama de Venn, desenvolve silogismos numéricos e elementares
probabilidades. As figuras abaixo ilustram a máquina:
Figura 55: Máquina de Stanhope.
Fonte: Gardner
54
4.3.3 Máquinha de Jevons
William Stanley Jevons produziu uma máquina de lógica que ficou conhecida
historicamente por ser a primeira a resolver rapidamente problemas complicados. Ela se
assemelha a um piano em miniatura, como mostra a figura abaixo:
Figura 56: Máquina de Jevons.
Fonte: Gardner
Na frente possui 16 combinações de quatro letras e suas negações. O teclado possui 21
teclas e cada lado (direito e esquerdo) possui oito letras chaves. As outras cinco chaves são
chamadas chaves de operação, de modo que a chave do meio serve para indicar o sinal de
igualdade conectando o lado esquerdo e direito da equação. O “full stop” é acionado quando a
equação completa alimenta a máquina.
Para operar a máquina basta digitar as teclas de acordo com a ordem da equação. Por
exemplo, para a equação AB = B digite A e B no lado esquerdo. Em seguida, digite cópula e
digite B no lado direito. Assim, as combinações incompatíveis com a proposição serão
eliminadas.
4.3.4 Máquina de Marquand
Em 1881, Allan Marquand (1853-1924) desenvolveu uma máquina que representou
um avanço em relação à máquina de Jevons. Esse trabalho foi apresentado em um artigo
intitulado “Máquina A New Logic”.
A máquina de Marquand é melhor que a de Jevons por não utilizar as equações
embaraçosas que este utilizava. Desse modo, foi possível reduzir a quantidade de chaves. O
teclado é composto por dez teclas nomeadas como representado na figura 58.
55
Figura 57: Máquina de Marquand (A figura do lado esquerdo mostra a máquina vista de frente e a do
lado direito mostra como é o interior da máquina).
Fonte: Gardner
Figura 58: Teclado da Máquina de Marquand.
Fonte: Gardner
As dezesseis possíveis combinações de verdadeiro ou falso são representadas pelos
dezesseis ponteiros giratórios. Cada ponteiro pode ser elevado a uma posição horizontal,
apontando para a esquerda e mostrando que a afirmação é verdadeira. Ou pode ser
posicionado verticalmente, apontando para baixo e mostrando que a afirmação é falsa.
4.4 Lógica em Binários
A lógica das premissas pode ser verificada assim como nas tabelas verdades, mas
agora quando tivermos algo verdadeiro indicamos por 1 e quando tivermos algo falso
colocamos 0.
Figura 59: Lógica em Binário.
56
Sejam as proposições A e B. Se A equivale a B, obtém-se o valor 1001. Assim, a
primeira e a última colunas são verdadeiras e a segunda e a terceira colunas são falsas.
Quando fizer A ou B, A e B ou A implica B, obtém-se, respectivamente, os resultados
em binário: 0111, 0001 e 1011.
Para fazer a negação de uma sentença basta trocar 0 por 1 e o 1 por 0.
Por exemplo:
A é verdadeira se, e somente se, B for verdadeira.
A é verdadeira.
Então B é verdadeiro, pois 1001 . 0101= 0001.
4.5 Cartões com janela
Todas as máquinas vistas acima preocupavam-se com as premissas e a conclusão, mas
é possível elabora uma que só que considere a conclusão. Martin Gardner desenvolveu para
cada premissa, cartões perfurados, de maneira que quando eles são sobrepostos, apresentam a
conclusão do silogismo. Silogismos equivalentes foram considerados em um único cartão,
tais como: “Alguns A são B” e “Alguns B são A”.
Figura 60: Cartões com janelas.
Fonte: Gardner
A parte do cartão riscada estará perfurada. Quando se coloca um cartão sobre o outro,
deve-se ter um quadrado completamente preto para obter uma conclusão válida. Por exemplo,
considere as premissas “All P is M” e “All M is S”, que correspondem, respectivamente, a
57
“Todo P é M” e “Todo M é S”. Ao se sobrepor os cartões, obtém-se o quadrado da premissa
“Some S in P” em preto, que corresponde a “Alguns S são P”, o que é válido.
58
5. REPRODUÇÃO DAS MÁQUINAS
Este capítulo abordará o assunto: reprodução das máquinas, especificamente em um
programa de computador que pode fazer uma cópia de si mesmo. Algumas questões que
envolvem a auto-reprodução de máquinas serão levantadas por meio do Jogo da vida.
5.1 Jogo da vida
Esse jogo lidará, de forma fictícia, com uma população de indivíduos que se reproduz,
evolui e se extingui, sendo um modelo de autômato celular.
Materiais
 Figura 61: Tabuleiro
 Fichas pretas e cinza
Nível Escolar: A partir do 9º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Para começar deve-se introduzir uma população inicial no tabuleiro abaixo:
Figura 61: Tabuleiro.
Fonte: Malagutti (2008)
Cada indivíduo da população será representado por bolinhas, sendo que as pretas
representaram as células vivas e, as cinzas, as células mortas.
59
Figura 62: População.
Fonte: Malagutti (2008)
A cada instante t do tempo a população inicial se modificará. Cada célula poderá ter
oito vizinhos: dois na horizontal, dois na vertical e quatro na diagonal. As regras do jogo são
as seguintes:
1. Se a célula estiver viva no instante t, ela permanecerá viva no instante t+1,
desde que tenha dois ou três vizinhos, morrendo se tiver menos que dois ou
mais que três vizinhos.
2. Se a célula estiver morta no tempo t, continuará nesse estado até ter três
vizinhos vivos.
Por exemplo, uma configuração de um jogo:
Figura 63: Um exemplo de jogo
Fonte: Malagutti (2008)
60
A primeira figura de todas as gerações representa a população inicial. A segunda
figura mostra a população inicial com o número de células que nasceram e, a terceira, a
população com as células que nasceram e sem as células que morreram. Note que, no jogo,
todas as figuras 2 e 3 das gerações ocorreriam simultaneamente.
Observe que a partir da 4ª geração o número da população se repete, mudando apenas
a disposição no plano. Assim, como ocorre à reprodução da população pode-se pensar na
reprodução de máquinas.
61
6. MÁQUINAS QUE ESCONDEM A COMUNICAÇÃO
Esse capítulo apresentará algumas máquinas que possuem construções simples e que
podem ser utilizadas para codificar e decifrar mensagens secretas. O uso de envio de
mensagens secretas é muito antigo e atualmente, tem sido amplamente utilizado em
transações bancárias.
6.1 Máquinas feitas de papel
6.1.1.Réguas Deslizantes
Material
 Figura 63
Nível Escolar: A partir do 5º ano do Ensino Fundamental
Júlio César, general do Império Romano, foi o responsável por um dos primeiros
sistemas de criptografia utilizado, que era baseado na seguinte regra: transforma cada letra do
alfabeto em número e, em seguida, substitui cada letra pela terceira letra que a segue no
alfabeto. Obtendo assim:
A=0
I=8
Q=16
Y=24
B=1
J=9
R=17
Z=25
C=2
K=10
S=18
D=3
L=11
T=19
E=4
M=12
U=20
F=5
N=13
V=21
G=6
O=14
W=22
H=7
P=15
X=23
Figura 64: Sistema de criptografia de Júlio César.
Fonte: Malagutti (2008)
A palavra ESCOLA, por exemplo, ficaria GVFROD.
Para facilitar, podemos construir a régua deslizante. Dadas as figuras abaixo:
Figura 65: Régua deslizante.
Fonte: Malagutti (2008)
62
Corte os dois riscos da primeira régua e passe a segunda régua por eles, obtendo a
seguinte configuração:
Figura 66: Exemplo da configuração da régua deslizante.
Fonte: Malagutti
Outra forma, ainda mais segura, de codificar mensagens foi utilizada pelos espartanos
na Antiga Grécia. Consiste em dois tubos iguais (um deve ficar com quem envia a mensagem
e outro com quem recebe) e uma fita de papel. Quem vai enviar a mensagem deve enrolar a
fita no tubo e escrever a mensagem Assim, quando desenrolar a fita, as letras ficarão com as
letras bagunçadas. A figura abaixo dá um exemplo de como deve ser feito:
Figura 67: Outra forma de criptografia.
Fonte: Malagutti (2008)
6.2 Códigos corretores de erros – Mágica
Com o armazenamento e a transmissão, os dados podem sofrer algumas modificações
acidentalmente. Por isso, os computadores precisam de métodos para detectar e corrigir os
dados danificados. Essa atividade, mostrará como realizar uma mágica que detecta um erro e
corrigí-lo.
Materiais
 25 cartas idênticas feitas de papel
 Tesoura
 Cola
Nível Escolar: A partir do 7º ano do Ensino Fundamental
Atividades
63
Prepare um conjunto de 25 cartas idênticas com um dos lados colorido. Para realizar a
mágica coloque-as aleatoriamente formando um quadrado de 5 x 5, como na figura abaixo:
Figura 68: Configuração inicial das cartas
Acrescente outra coluna de cartas verticalmente e outra linha horizontalmente, obtendo
uma configuração 6 x 6.
Figura 69: Configuração das cartas com acréscimo de uma fileira horizontal e vertical
Ao colocar as novas cartas deve-se obter um número par de cartas pretas em cada
coluna. Quando alguém virar uma carta, uma fileira vertical e uma fileira horizontal, estarão
com um número ímpar de cartas coloridas. Assim, a carta que estiver em ambas as fileiras,
será a carta virada.
64
7. COMPUTADORES ANALÓGICOS
Os computadores analógicos funcionam por comparação de procedimentos contínuos.
Por muito tempo foram utilizados para medir o tempo, resolver equações diferenciais e eram
considerados mais velozes do que os computadores digitais. Atualmente, devido à tecnologia,
não são muito utilizados. Os computadores digitais realizam os processos com quantidades
discretas que mudam passo a passo, e assim, são mais precisos. Porém, esse capítulo mostrará
como computadores analógicos são eficientes para ordenar números naturais e encontrar a
menor distância entre duas cidades.
7.1 Computador com varetas
Nessa atividade serão utilizadas apenas varetas para colocar em ordem decrescente
números naturais.
Material
 Varetas
Nível Escolar: A partir do 4ª ano do Ensino Fundamental
Atividade
Dada a seqüência 4, 9, 2, 8, 7, 6, 13, 5, 18, basta pegarmos 9 varetas e cortá-las no
tamanho (em centímetros) dos números das seqüência, para colocá-la em ordem decrescente.
Assim, podemos juntar todas as varetas apoiadas em uma mesa e determinar qual é a maior
delas. Em seguida, pegamos o restante das varetas e fazemos o mesmo procedimento para
obter a maior delas. Assim, sucessivamente, até ordenar todos os números de forma
decrescente.
7.2 Como economizar combustível usando barbantes
Essa atividade mostrará como obter a menor rota, dentre várias ligadas por rodovias,
apenas com a utilização de um barbante.
Materiais
 Barbante
 Mapa com as rotas das cidades
65
Nível Escolar: A partir do 5º ano do Ensino Fundamental
Atividade
Com o intuito de fazer uma viagem mais curta, busca-se encontrar a rota que possui a
menor distância entre as duas cidades, obtendo, por meio de um mapa, todas as possíveis
rotas. Suponha que o número de rotas seja grande, desse modo, podemos analisar os possíveis
caminhos com o auxílio de um barbante com nós, em que cada um representará uma cidade e
a distância entre dois representará uma estrada. Esticando o barbante e segurando o nó da
cidade de origem e chegada, obtemos o menor caminho.
7.3 CD Trigonometria
Essa atividade construirá um instrumento que facilita a obtenção dos valores
trigonométricos dos ângulos de 30º, 45º, 60º.
Materiais
 CD com a capa
 Figura 70: Círculo para o Cd
 Figura 71: Círculo Trigonométrico
 Tesoura
 Cola
Nível Escolar: A partir do 1º ano do Ensino Médio
Atividades
Recorte a figura 70 de forma que o tamanho do círculo seja equivalente ao tamanho do
CD e em seguida cole-a no mesmo.
66
Figura 70: Círculo para o CD de trigonometria.
Posteriormente, faça um buraco na borda da caixinha do CD para que, com o dedo,
consiga girá-lo.
Coloque o círculo trigonométrico na capa da caixinha.
Figura 71: Círculo Trigonométrico.
67
8. CARDIAC
CARDIAC (A cardboard illustrative aid to computation) é um acrônimo de papelão,
que apesar de não ser um computador, ilustra as operações que são executadas pelo mesmo,
sendo então muito útil à compreensão da programação de computadores. Todos os seus
elementos estão em correspondência com os elementos do computador. Para facilitar, o
CARDIAC trabalha com números decimais ao invés de binários como o computador.
Materiais
 Figura 72: Capa da frente do CARDIAC
 Figura 73: Capa de trás do CARDIAC
 Figura 74: Monitor do CARDIAC
 Figura 75: Marcador
 Figura 76: Memória do CARDIAC
 Figura 77: Cartão de entrada e saída e fitas para deslizar e dar as instruções
 Figura 78: Fita com instruções
 Tesoura e cola
 Fita adesiva
Nível Escolar: A partir do 1º ano do Ensino Médio
Atividade
O CARDIAC terá os mesmos elementos de um computador, exceto a fonte de energia,
pois essa será a pessoa que manuseará a máquina. Abaixo, apresenta-se como será
representado cada dispositivo no CARDIAC e sua função:
•
Entrada: tem como função inserir os dados no computador para que depois eles
sejam armazenados na memória. Será uma tira de papel com os números de 1 a 25.
•
Decodificador: apresentará as instruções e também será feito com tiras deslizantes
de papel, de modo que ao deslizá-las obtêm-se diferentes instruções.
•
Memória: é utilizada para armazenar os dados. No CARDIAC, é possível
armazenar apenas 100 códigos de três dígitos, que devem ser colocados a lápis nas
células de memória e depois recuperados visualmente.
68
•
Acumulador: local onde ocorrem as operações (adição ou subtração) com os
dados.
•
Contador de programa: controla qual é o próximo procedimento a ser executado.
No CARDIAC, ele será movido manualmente a partir de uma célula de memória
para outra.
•
Registrador de instruções: registra todos os passos das instruções.
•
Teste do Acumulador: testa o sinal de um número do acumulador e se todos os
cartões foram lidos na memória.
•
Sequenciamento: Assim como nos computadores a seqüência de passos é muito
importante. Ela é indicada pelas setas e deve ser seguida rigidamente.
•
Controle: Compõe-se de 3 etapas que são: buscar uma instrução na memória para o
registrador de instruções, levar essa instrução para o controlador para que se possa
saber qual é o próximo passo e acionar o registrador de instrução para executar a
próxima instrução. Enquanto o registrador executa seu processo, o controle fica em
repouso.
Para montá-lo recorte as figuras:
Figura 72: Capa da frente do CARDIAC.
Figura 73: Capa de trás do CARDIAC.
69
Figura 74: Monitor do CARDIAC.
Figura 75: Marcador.
Figura 76: Memória do CARDIAC
70
Figura 77: Cartão de entrada e saída e fitas para deslizar e dar as instruções.
Figura 78: Fita com Instruções.
71
Para executar um simples programa que some dois números A + B no CARDIAC, por
exemplo, é necessário executar os seguintes procedimentos:
Escreva nas células de memória determinadas, os correspondentes valores da tabela
abaixo:
Célula
Conteúdo
17
034
18
035
19
134
20
235
21
636
22
536
23
900
Coloque os números a serem somados na entrada, de maneira que o primeiro dígito
seja escrito na entrada 1 e o segundo na entrada 2. Coloque o contador na célula 17 para
executar o programa. Mova as réguas e coloque o código da célula 17 na instrução/registro.
Desse modo, aparecerá no decodificador de instruções o que deverá ser feito. Executada a
instrução, mova o contador para a célula abaixo e faça o mesmo processo.
Programa 1: Somar A + B
Célula
17
18
19
20
21
22
23
Conteúdo
034
035
134
235
636
536
900
Instrução
Copie o dígito A da entrada para a célula 34
Copie o dígito B da entrada para a célula 35
Limpe o acumulador e adicione o valor da célula 34
Adicione o conteúdo da célula 35 ao acumulador
Armazene a soma do acumulador na célula 36
Copie o conteúdo da célula 36 na saída
Mova o marcador para a célula 00 e pare.
O segundo programa fará a contagem 1, 2, 3, 4, 5,..., e assim por diante, até o número
desejado. Ele poderia ser construído utilizando o programa da adição, sendo somado 1 a cada
número para se obter a contagem, mas dessa forma o programa ficaria muito longo e
demorado. Por esse motivo, será utilizado um loop para diminuir os códigos de instruções.
Escreva nas células de memória da tabela o número do conteúdo correspondente. Em seguida
execute o programa da mesma forma como foi feito no anterior.
Programa 2: Contagem
72
Célula
21
22
23
24
25
Conteúdo
100
603
503
200
822
Instrução
Limpe o acumulador e adicione o conteúdo da célula 00
Armazene o conteúdo do acumulador na célula 03
Imprima na saída o conteúdo da célula 03
Adicione o conteúdo da célula 00
Ir para a instrução da célula 22
O código de operação 8 apresenta uma característica que permite que o contador do
programa salte e retorne a uma instrução anterior para começar a executá-la novamente.
Como existem instruções para desenvolver um loop, é possível construir um programa
que o retire do mesmo, pois não é interessante um computador ficar preso a um loop. Para
isso ele deve saber quando introduzir essa nova instrução, sendo que muitas vezes isso é feito
com a mudança de sinal no acumulador. O programa abaixo desenvolverá uma contagem
regressiva e utilizará essa nova instrução. O contador deverá iniciar na célula 20 para executar
o programa. Insira o conteúdo correspondente a cada célula, de acordo com a tabela abaixo.
Programa 3: Contagem Regressiva
Célula
00
19
20
21
22
23
24
25
Conteúdo
+001
-004
119
200
618
518
321
900
Instruções
Dados
Dados
Limpe e adicione -004 no acumulador
Adicione 001 no acumulador
Armazene o valor do acumulador na célula 18
Imprima o conteúdo da célula 18 na saída
Teste do acumulador: se negativo pule para célula 21 e se
positivo vá para a célula 25
Coloque o marcador na célula 00 e pare
Note que o programa utilizou o código de instrução 3, que é o teste do conteúdo do
acumulador, utilizado para que o programa saiba se deve ou não continuar no loop.
Também é possível desenvolver um programa que execute instruções para multiplicar
dois números. Quanto mais cara é uma máquina melhor é o seu hardware, o que lhe permite
multiplicar diretamente. Já as máquinas mais acessíveis, financeiramente, necessitam recorrer
ao método da adição repetida, ou seja, armazena-se o maior dos dois números a ser
multiplicado no acumulador adicionando-o o número de vezes que corresponda ao outro
número da multiplicação. Por exemplo, para multiplicar 5 x 3, armazena-se o número 5 no
acumulador e soma-se 3 vezes o número 5.
Veja o programa abaixo. Escreva os dígitos A e B nas entradas 1 e 2,
respectivamente. Copie, nas células da tabela, os conteúdos correspondentes.
73
Programa 4: Multiplicação A x B
(A= multiplicando e B = multiplicador)
Célula
07
08
09
10
Conteúdo
068
404
669
070
Instruções
Copie A na célula 68
Mova 4 casas para a direita o valor do acumulador
Armazene o valor do acumulador (0) na célula 69
Copie B na célula 70 (terá o mesmo papel que o 3 no exemplo
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
170
700
670
319
169
268
669
811
569
900
acima)
Adicione o valor de B no acumulador
Subtraia 1 de B
Armazene o novo valor de B na célula 70
Teste do sinal do acumulador. Se negativo vá para a célula 19.
Limpe o acumulador. Escreva o valor célula 69 no acumulador
Adicione A no acumulador
Armazene a soma na célula 69
Volte para a célula 11
Imprima o produto A x B
Coloque o marcador na célula 00 e pare
Agora esse programa irá mostrar como fazer uma mágica com alguma pessoa que não
a conhece. A pessoa escolhida deverá escrever um número com três dígitos, que não possua
repetição de dígito e de modo que o mágico não veja. Em seguida, ela deverá escrever o
número em ordem inversa e subtrair o menor dígito do maior. Por fim, dará o resultado da
subtração para o mágico, que adivinhará o número com três dígitos.
Ao invés de usar uma pessoa, pode-se usar o CARDIAC. Assim, ele terá que ser capaz
de inverter os três dígitos, de maneira que, para executar essa nova instrução, utilizará o
código de instrução 4, que move um número do acumulador para “x” à esquerda e para “y” à
direita.
Observe que:
•
Quando um dígito transborda no acumulador ele não é recuperado. Por
exemplo, o acumulador possui o dígito 543 e o registrador lê a instrução
433, tem-se que os três dígitos devem ser deslocados três casas para a
esquerda e depois três casas para a direita. Entretanto, os números 5 e 4 não
serão recuperados quando deslocamos para a direita, apenas o 3 voltará a
posição inicial.
•
Não existe espaço em branco. Quando isso acontece o dígito corresponde
ao zero. Por exemplo, se temos o dígito 543 e deslocamos quatro casas para
a esquerda, então obteremos o dígito 0000.
74
O programa abaixo mostra como ele executará essa nova instrução:
Programa 5: Invertendo a ordem de um número com três dígitos (abc)
Célula
15
16
17
18
19
20
21
Conteúdo
039
139
431
640
139
413
240
22
23
24
25
26
27
28
29
640
139
423
410
240
640
540
900
Instrução
Leia “abc” na célula 39
Limpe o acumulador e adicione “abc”
Mudança no acumulador. Resultado “c00”
Armazene valor do acumulador na célula 40
Limpe o acumulador e adicione “abc”
Mudança no acumulador. Resultado “00a”
Adicione o conteúdo do acumulador ao da célula 40 para obter
“c0a” no acumulador
Armazene o conteúdo do acumulador na célula 40
Limpe acumulador e adicione “abc”
Mudança no acumulador. Resultado “00b”
Mudança no acumulador. Resultado “0b0”
Adicione o conteúdo na célula 40 ao acumulador, obtendo “cba”
Armazene o resultado do acumulador na célula 40
Imprima o conteúdo da célula 40
Coloque o marcador na célula 00 e pare
Até o momento, os programas começavam adicionando o conteúdo nas células de
memória correspondentes. Porém, os computadores não funcionam assim, eles são carregados
por meio da entrada. O programa a seguir mostrará como fazer um carregamento, que consiste
em colocar os dados na entrada e encaminhá-los para as células de memória.
O primeiro programa, que efetuou a adição, será utilizado como exemplo.
Programa 6: Programa de Carregamento
Entrada
Conteúdo
001
Instrução
Início na célula 00. Execute a instrução 001: copiar entrada na
1
2
3
4
5
6
002
800
010
017
011
018
célula 01
Copie a entrada na célula 02
Pule para a célula 00
Copie a entrada na célula 01
Copie a entrada na célula 10 e mova o marcador para a célula 02
Pule para a célula 00 e copie a entrada na célula 01
Copie a entrada na célula 11 e avance o marcador para a célula
7
8
9
10
012
117
013
217
02
Pule para a célula 00. Copie o dado da entrada na célula 01
Copie a entrada na célula 12. Avance o marcador para a célula 02
Pule para a célula 00. Copie a entrada na célula 01
Copie na célula 13 a entrada e avance com o marcador
75
11
12
13
14
15
16
17
18
19
014
619
015
519
016
900
Vazio
-----
Pule para a célula 00. Copie a entrada na célula 01
Copie a entrada na célula 14. Avance o marcador para a célula 02
Pule para a célula 00. Copie a entrada na célula 01
Copie a entrada na célula 15. Avance o marcador
Pule para a célula 00. Copie a entrada na célula 01
Copie a entrada na célula 16. Avance o marcador para a célula 02
Fim do programa
Dados – número a ser adicionado
Dados – número a ser adicionado
Com a finalidade de não ter que escrever rotinas comuns para programas diferentes
surgem sub-rotinas, que são pedaços de programas, armazenadas em uma fita magnética e que
podem ser utilizadas por qualquer programa.
Às vezes, um programa inteiro também pode ser útil para um programa com um
problema maior, de modo que também seja utilizado como uma sub-rotina.
Os programas que envolvem sub-rotinas utilizam uma sequência de instruções para
chamá-las ou escrevem o endereço no qual o programa deverá acessar para encontrá-las.
Escreva na entrada os números a serem adicionados, de modo que os números mais
significativos devem estar na entrada 1 e 3 e os menos significativos na entrada 2 e 4. Copie
os conteúdos dos dois programas nas células correspondentes. Comece pelo programa
principal e com o marcador na célula 50.
Programa 7: Sub-rotina para somar A + B
Célula
86
Conteúdo
199
87
88
89
90
91
92
93
694
196
298
698
403
295
297
94
8--
Instrução
Limpe o acumulador e copie o conteúdo da célula 99 ( _ _
será o endereço da última instrução mais um)
Armazene o conteúdo do acumulador na célula 94
Adicionar dígitos menos significativos
Deslocar 3 casas a direita do valor do acumulador
Adicionar os números mais significativos ao valor do
Acumulador
Pule para a célula _ _
Programa 8: Programa Principal
Célula
50
51
52
Conteúdo
095
096
097
Instrução
76
53
54
098
886
55
56
57
58
659
559
598
900
Copie os dados da entrada nas respectivas células e pule para a
célula 86
Saída
Parar e reiniciar
Os algoritmos 9 mostrará como preparar um programa. Para isso primeiro é necessário
determinar exatamente o problema. Em seguida, deve-se encontrar um algoritmo para sua
solução. Observe que o algoritmo deve ser escrito na linguagem de um computador e não na
linguagem humana. O programa abaixo será desenvolvido para jogar o NIM.
Regras para o jogo:
1. Dez palitos devem ser colocados em uma única pilha e cada jogador poderá
retirar um, dois ou três. Se o jogador 1 retirar três palitos, o jogador 2 não
poderá retirar o mesmo número de palitos na sua vez. O mesmo acontece
com os outros valores.
2. O jogo termina quando não houver mais palitos a serem retirados. Perde o
jogador que deverá retirar o último palito ou quando restar apenas um
palito e o jogador o retirar, fazendo com que o seu adversário perca.
O jogo termina com uma das seguintes configurações: 1,0; 2,0; 3,0 e 1,1, de maneira
que o primeiro dígito corresponde ao número de palitos retirados e o segundo dígito ao
número de palitos que sobrarem na mesa.
Analisando as jogadas vencedoras podemos obter quais são as que levam à derrota.
Veja a tabela que é possível obter:
Jogadas vencedoras
1,0
2,0
Jogadas perdedoras
3,0
1,1
2,1
3,1
1,2
2,2
3,2
1,3
2,3
Podemos desenvolver o mesmo processo para obter quais são as jogadas que levam à
vitória e quais levam à derrota com um número maior de palitos.
Jogadas vencedoras
1,0
2,0
Jogadas perdedoras
3,0
1,1
1,2
2,1
3,1
2,2
3,2
77
3,3
1,4
2,4
1,3
3,4
1,5
3,7
1,8
2,3
2,5
3,5
1,6
2,6
3,6
1,7
2,7
2,8
1,9
Note que qualquer jogada realiza pelo primeiro jogador leva-o à vitória, já que as
jogadas 1,9; 2,8 e 3,7 são vitoriosas.
No CARDIAC, o primeiro dígito do conteúdo corresponde ao jogador, sendo que o 0
corresponde ao CARDIAC e o 5 ao humano. O segundo dígito corresponde ao número de
palitos que serão retiradas e o terceiro, ao número de palitos que restaram na mesa.
A tabela abaixo deve ser inserida na memória do CARDIAC.
Célula
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Conteúdo
000
001
020
030
022
023
033
034
026
027
000
010
011
030
Célula
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
Conteúdo
013
014
015
034
017
019
000
010
020
012
013
014
024
025
O adversário do CARDIAC deverá escrever cada jogada sua no cartão de entrada e o
CARDIAC escreverá em um cartão de saída. Se a pessoa iniciar o jogo, o marcador deverá
começar na célula 00. Em contrapartida, se o CARDIAC for o primeiro jogador, o marcador
deverá começar na célula 01.
Programa 9: Jogo do NIM com 10 palitos
Célula
00
01
Conteúdo
001
529
Instrução
Copie o conteúdo da entrada na célula 01
Imprima na saída o conteúdo da célula.
È usado se o CARDIAC inicar o jogo. A célula 01 deve ser
78
02
900
alterada para 529 para cada novo jogo.
Mova o marcador para a célula 00 e pare
Quando o CARDIAC inicia jogando ele é imbatível. Se o jogador iniciar o jogo
provavelmente ganhará, mas uma jogada ruim pode proporcionar a vitória do CARDIAC.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A motivação para o desenvolvimento desse trabalho resume-se no interesse pela área
de Ensino e no desenvolvimento de atividades significativas para a futura atuação docente. No
Trabalho de Conclusão de Curso A foram desenvolvidas atividades de ensino que abordavam
a lógica e fundamentos matemáticos utilizados pelos computadores.
Nesse trabalho, dando continuidade ao anterior, apresenta-se como construir máquinas
simples e que desenvolvem funções de um computador
De maneira geral, os trabalhos estabeleceram laços entre o conhecimento matemático
e o aspecto pedagógico, por meio de métodos de ensino que apresentam as aplicações da
matemática nos processos tecnológicos.
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REFERÊNCIAS
BELL, T.; WITTEN, I. H.; FELLOWS, M. Computer Science Unplugged, 2008. Disponível
em: www.csunplugged.org. Acessado em: 16/03/2011
MALAGUTTI, P. L. A. Inteligência Artificial no Ensino. EdUFSCar. 1ª edição, 2008.
MALAGUTTI, P. L. A.; SAMPAIO, J. C. V. Mágicas, Matemática e outros mistérios.
EdUFSCar. 2008
ASPRAY,W. et. al. Computing Before Computers. Iowa State University Press. 1ª edição,
1990
GARDNER, M. Logic Machines & Diagrams. McGraw-Hill Book Company, 1958. Estados
Unidos
HAGELBARGER, D.; FINGERMAN, S. An instructional manual for CARDIAC – A
cardboard illustrative aid to computation. Bell Telephone Laboratories. 3ª edição, 1970
LANZARIN, Z. B. Ossos de Napier e Réguas de Genaille- Lucas. Florianópolis. 2004.
Trabalho de Conclusão de Curso. Centro de Ciências Físicas e Matemáticas da Universidade
Federal de Santa Catarina. Disponível em: http://lie.ufsc.br/tcc/MTM/MTM/Z%C3%A9lia
%20Bavaresco%20Lanzarin%200.PDF. Acessado em: 28/11/2011
RODRIGUES, H. O.; SILVA, J. R. O jogo do NIM e os conceitos de MDC e MMC. VII
Encontro Nacional de Educação Matemática. Universidade de Pernambuco. Recife, 2004.
80
Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/2MC06193102434.pdf. Acessado
em: 28/11/2011
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